直線和平面復(fù)習(xí)（一）

教學(xué)目標(biāo)

1.配合系統(tǒng)復(fù)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)空間想象力；

2.借助平面兒何中，三角形的重心、垂心、內(nèi)心、外心等知識(shí)，解決立體

幾何問題.

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

1.空間想象力的培養(yǎng)；

2.分析問題能力與綜合運(yùn)用知識(shí)能力的培養(yǎng).

教學(xué)設(shè)計(jì)過程

師：同學(xué)們已經(jīng)很好地完成了知識(shí)總結(jié)的作業(yè)，有些同學(xué)還將知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)

系用圖表展示出來.也有的同學(xué)將各種位置關(guān)系用圖形語言和符號(hào)語言進(jìn)行歸納

和整理.在此一并提出表揚(yáng).我們將把這些總結(jié)用展板展示，請(qǐng)同學(xué)們互相學(xué)習(xí).

師：本節(jié)課我們將通過一組問題來進(jìn)行復(fù)習(xí).復(fù)習(xí)的目的之一是進(jìn)一步培養(yǎng)

同學(xué)們的空間想象力.

關(guān)于空間想象力的問題，在高一年級(jí)剛開始時(shí)，單純的想象占主導(dǎo)地位，隨

著一個(gè)學(xué)期的學(xué)習(xí)，關(guān)于線面的各種位置關(guān)系及性質(zhì)研究的深入，單純的想象力

就轉(zhuǎn)化為：在線面各種位置關(guān)系的定義、性質(zhì)定理指導(dǎo)下的想象.

請(qǐng)先看下面一組題目：

填空題：

1.空間三個(gè)平面可能將空間分成____部分.

2.正方體各個(gè)面所在的平面將空間分成____部分.

3.與空間四個(gè)點(diǎn)距離相等的平面有個(gè).

*4.A,B,C,D是空間不共面的四點(diǎn).它們到平面a的距離比（依次）為：

2：1：1：1,滿足條件的平面a有個(gè).

生：第1題空間三個(gè)平面可能將空間分成4或6或7或8部分.

師：請(qǐng)你畫圖說明你的觀點(diǎn).

生：（作圖）

師：很好，圖1、圖2、圖3、圖4依次表示三個(gè)平面將空間分成4,6,7,

8部分.

生：第2題答案是27.

師：你給同學(xué)們解釋一下，答案為什么是27.

生：（手拿一個(gè)粉筆盒）這個(gè)粉筆盒近似看成一個(gè)正方體，它的上底面與下

底之間被分成9部分.同樣，上底面上邊與下底面下面也各被分成9部分.總計(jì)

正方體各個(gè)面所在的平面將空間分成27部分.

師：對(duì)于第3小題，需要先證明下面的命題：線段AB與平面a相交，若AB

中點(diǎn)C在平面a上，則點(diǎn)A、點(diǎn)B到平面a的距離相等.

生A：本題的答案為4,因?yàn)榻?jīng)過有公共頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)作截面，根據(jù)老師

B

剛介紹的引理，可以證明這樣的截面符合條件.（如圖5）圖5

生B：還有一種情況.剛才生A所作平面使已知四個(gè)點(diǎn)中有三個(gè)在平面的同

一側(cè)，另外一個(gè)點(diǎn)在另一側(cè).我想所作平面兩側(cè)各有2個(gè)點(diǎn).如圖6.這類平面

共有3個(gè)，即V,A兩點(diǎn)在平面同側(cè)；V,B兩點(diǎn)在平面同側(cè)；V,C兩點(diǎn)在平面同

側(cè).

師：剛才兩名同學(xué)講的都很好，相互補(bǔ)充，符合條件的平面共有7個(gè).同學(xué)

們有不同意見嗎？

師：剛才兩名同學(xué)都認(rèn)為已知四個(gè)點(diǎn)不共面，事實(shí)上，當(dāng)這四個(gè)點(diǎn)共面時(shí)，

符合題目要求的平面有無數(shù)個(gè).只要與四點(diǎn)所在平面平行的平面都符合要求.

生：老師，如果這四個(gè)點(diǎn)共線呢？

師：當(dāng)四個(gè)點(diǎn)共線時(shí)，只要與這條直線平行的平面均符合條件，這個(gè)題目的

正確答案應(yīng)該是7個(gè)或無數(shù)個(gè).分類討論的方法不僅在代數(shù)課上使用，兒何學(xué)中

也經(jīng)常使用，此題就是按照?qǐng)D形的不同位置關(guān)系進(jìn)行分類討論.

我們繼續(xù)討論第4題.

生：我認(rèn)為仿照第3小題的解答，可提出下面引理：若點(diǎn)A、點(diǎn)B

在平面。異AB與。交于點(diǎn)C,黑?巴，=點(diǎn)段點(diǎn)B到平面。的距

BCn

離之比為巴.

n

師：他的猜測是正確的.這個(gè)命題的正確性請(qǐng)同學(xué)們課下論證.下面我們討

論第4小題的解法.

生A：分別延長AB,AC,ADSB,,C”D?使BB尸AB,CCFAC,DD,=AD,如圖

7,則平面a就是平面BCD.

生B：分別在AB,AC,AD上取點(diǎn)B',C',D',使得:

舒?熊?舒4,咽平面B'°D'也是一個(gè)符合條件的平

醞

師：分別取BC,CD,DA的中點(diǎn)E,F,G.那么經(jīng)過EG的任何一個(gè)平面都滿

足：它與B,C,D三點(diǎn)的距離相等，在這些平面中，經(jīng)過點(diǎn)B'或經(jīng)過C'>（因

為C'?〃CD〃GE）的平面符合題目要求.（圖8）

經(jīng)過EG有兩個(gè)平面符合題意.同樣，經(jīng)過EF,FG各有兩個(gè)平面符合題意，

綜合以上分析共有8個(gè)平面符合題目要求.

師：問題5.是否存在一個(gè)四面體，它的每個(gè)面都是直角三角形？請(qǐng)同學(xué)們

思考.

生A：我找到一個(gè)幾何體，它的三個(gè)面都是直角三角形.如圖9.ZAVB=

ZBVC=ZCVA=90°.

生B：我曾經(jīng)證過生A所給的圖中，AABC是銳角三角形.

師：根據(jù)兩名同學(xué)的發(fā)言，給我們以下啟示：三個(gè)面是直角三角形的幾個(gè)體

已經(jīng)找到；三個(gè)直角頂點(diǎn)不能是同一個(gè)點(diǎn)！

構(gòu)造NVAB=NVAC=90°,且NBACW90。.再構(gòu)造NACB=90°,同學(xué)們不難

證明NVCB=90°.

生：是根據(jù)三垂線定理.

師：空間想象力在不同時(shí)期有不同要求.上面這個(gè)問題如果是高一第一學(xué)期

開始讓同學(xué)們作，那就只有想象或動(dòng)手制做模型.現(xiàn)在解決它，可以借助我們所

學(xué)的線面位置關(guān)系去尋找解決問題的方法，并月在想象結(jié)束時(shí)，論證想象的合理

性.

師；如圖11,正方體ABCD-ABCD,P,Q,R分別在CD,CC,,AB±.畫出

截面PQR與正方體各面的交線.

由公理知：PQu面DC.因?yàn)槊鍭B,〃面DC”截面與它們相交，交線必平行

（根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理）.過點(diǎn)R在面AB,中作PQ平行線交AL于S.PQ交

DC于T,TR交BC于E,連結(jié)EQ,過S作SF〃EQ交AD于F,連FP,則多邊形

PQERSF的邊就是截面PQR與正方體各面的交線.

師：同學(xué)們請(qǐng)看下面一組題：

6.從平面外一點(diǎn)向平面引垂線和斜線，若斜線與平面所成的角都相等，垂

足是斜足多邊形的______心.

7.直角三角形ABC中，NC是直角，AC=6,BC=8,Z^ABC所在平面外一點(diǎn)P,

PA=PB=PC=13,點(diǎn)P到4ABC所在平面的距離為.

生：垂足是斜足多邊形的外心，因?yàn)閺钠矫嫱庖稽c(diǎn)向平面引斜線.它們與平

面所成角相等，可以得到它們的長相等，它們?cè)谄矫鎯?nèi)的射影長也相等.

師：同學(xué)們還可以進(jìn)一步思考,滿足什么條件時(shí),垂足是斜足多邊形的內(nèi)心？

垂足有沒有可能成為斜足多邊形的重心？垂心？

做完一道題目之后，不要滿足于題目的本身，能夠?qū)l件、結(jié)論變換后的有

關(guān)命題進(jìn)行研究，可達(dá)到事半功倍，提高能力的效果.

師：根據(jù)已知條件，第7小題中，點(diǎn)P在aABC所在平面上的射影恰為AABC

的外心.由于AABC是直角三角形，所以由點(diǎn)P引平面ABC的垂線，垂足恰為^

ABC斜邊AB的中點(diǎn)，你們知道了解題思路嗎？

生：作PD_LjIfABC于D,由PA=PB=PC,得DA=DB=DC,D是AABC外心.又因

為NACB=90°,由平面幾何知識(shí)，得出D為AB的中點(diǎn).PA=13,AD=5,PD=12.即

點(diǎn)P到平面ABC的距離為12.

師：三角形的垂心、內(nèi)心、外心、重心的知識(shí)在立體幾何中經(jīng)常使用.有…

些題目本身沒有明確給出，如第7小題，恰到好處地運(yùn)用四心有關(guān)的知識(shí)，可簡

化解題過程.

下面一道題目也是與三角形的“心”有關(guān)的問題.

8.如圖13,正AABC邊長為a,0為夕卜心，PO_L面ABC,PA=PB=PC=b,D,E

分別為AC,AB的中點(diǎn)，且PA〃面DEFG.

求：四邊形DEFG的面積.

圖13

由題設(shè)我們能得到哪些有用的結(jié)論？

生A：因?yàn)镻A〃面EFGD,由線面平行的性質(zhì)可得：EF〃PA,GD〃PA,所以

EF//DG.

由D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，DE〃BC,所以BC〃面DEFG.進(jìn)一步得出BC

//FG.

綜上DEFG是平行四邊形.

生B,不難求出DE=：垢EF=：b,只要季出DE與可耐的角，就

能求出平行四邊形DEFG的面積.

師：到目前為止，已知條件中還有兩條沒有發(fā)揮作用.

①等邊AABC；②0為4ABC的外心，

生C：當(dāng)0為等邊三角形外心時(shí)，它也是等邊aABC的垂心.即BCLAO,又

POL面ABC,由三垂線定理知：B