e排列組合在高考中的多方位交匯及古典概型與幾何概型中的三類錯誤一、排列組合在高考中的多方位交匯排列組合問題在高考中是?？純?nèi)容，但近些年在考查角度及與其他知識的綜合上有了加強，這反映出高考題中重在考查學(xué)生綜合運用知識、分析問題、解決問題的能力．有以下幾個題型．熱點一：組合知識與向量知識的綜合[例1]在集合{1,2,3,4,5}中任取一個偶數(shù)a和一個奇數(shù)b構(gòu)成以原點為起點的向量a＝(a，b)．從所有得到的以原點為起點的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形，記所有作成的平行四邊形的個數(shù)為n，其中面積不超過4的平行四邊形的個數(shù)為m，則eq\f(m,n)＝()A.eq\f(4,15) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,5) D.eq\f(2,3)[解析]由已知條件，滿足要求的向量分別為(2,1)，(2,3)，(2,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，故能構(gòu)成的平行四邊形個數(shù)n＝Ceq\o\al(2,6)＝eq\f(6×5,2)＝15.由S平行四邊形＝|x1y2－x2y1|可得，(2,1)，(2,3)兩向量構(gòu)成的平行四邊形面積為S1＝|2×3－1×2|＝4，(2,3)，(2,5)兩向量構(gòu)成的平行四邊形面積為S2＝|2×5－2×3|＝4，(2,1)，(4,1)兩向量構(gòu)成的平行四邊形面積為S3＝|2×1－1×4|＝2，(2,1)，(4,3)兩向量構(gòu)成的平行四邊形面積為S4＝|2×3－1×4|＝2，(2,3)，(4,5)兩向量構(gòu)成的平行四邊形面積為S5＝|2×5－3×4|＝2.面積不超過4的共有m＝5個．故所求概率為eq\f(m,n)＝eq\f(1,3).[答案]B[點評]本題中計數(shù)要求不高，但大家要有代入檢驗的意識．熱點二：組合知識與概率知識的綜合[例2]盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個．若從中隨機取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率等于________．[解析]由題意知，從5個球中隨機取出2個球共有Ceq\o\al(2,5)＝10種不同取法，而取出的球顏色不同共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2)＝6種不同取法，故所取出的2個球顏色不同的概率P＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).[答案]eq\f(3,5)[點評]注意情景中的抽取球的過程與順序無關(guān)，因此屬組合問題，在找2個球顏色不同的個數(shù)時，又用了分步計數(shù)原理的知識．熱點三：排列知識與概率知識的綜合[例3]有5本不同的書，其中語文書2本，數(shù)學(xué)書2本，物理書1本．若將其隨機的并排擺放到書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率是()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)[解析]5本書的全排列有Aeq\o\al(5,5)種排法，其中語文書相鄰的排法有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)種，數(shù)學(xué)書相鄰的排法有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)種，語文書數(shù)學(xué)書各自同時相鄰的排法有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種，故所求概率為eq\f(A\o\al(5,5)－A\o\al(2,2)A\o\al(4,4)＋A\o\al(2,2)A\o\al(4,4)－A\o\al(2,2)A\o\al(2,2)A\o\al(3,3),A\o\al(5,5))＝eq\f(2,5).[答案]B[點評]圖書擺放在書架上具有順序性，因此屬于排列問題，本題在處理都不相鄰的問題上靈活應(yīng)用了間接思維，使復(fù)雜問題簡單化．二、盤點古典概型與幾何概型中的三類錯誤古典概型與幾何概型是高考中的常考知識點．對于古典概型，列舉法仍是求解其概率的主要方法，而與排列、組合問題相結(jié)合的概率問題仍是命題的熱點；對于幾何概型除掌握其定義外，其題型的重點主要體現(xiàn)在兩種常見的幾何度量——長度、面積，難度不會太大，但題型可能較靈活，背景更新穎．如下幾個類型易錯：類型一：知識性錯誤[例1]設(shè)袋中有4只白球和2只黑球，現(xiàn)從袋中無放回地摸出2只球．(1)求這2只球都是白球的概率；(2)求這2只球中1只是白球1只是黑球的概率．[錯解]一次摸出2只球，觀察結(jié)果的顏色只能是(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)3種情況，(1)用A表示“2只球都是白球”這一事件，則A＝{(白，白)}，所以P(A)＝eq\f(1,3).(2)用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”這一事件，則B＝{(白，黑)}，所以P(B)＝eq\f(1,3).[錯因分析]在上述錯解中(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)3種結(jié)果的出現(xiàn)不是等可能的．[正解]我們不妨把4只白球標(biāo)以1,2,3,4號，2只黑球標(biāo)以5,6號，則基本事件有(1,2)，(1,3)，…，(1,6)，(2,1)，(2,3)，…，(2,6)，…，(6,1)，(6,2)，…，(6,5)，共30個．(1)用A表示“2只球都是白球”這一事件，則A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}共12個．所以P(A)＝eq\f(12,30)＝eq\f(2,5).(2)用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”這一事件，則B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)}共16個．所以P(B)＝eq\f(16,30)＝eq\f(8,15).類型二：數(shù)學(xué)思維方法應(yīng)用錯誤[例2]有6個房間安排4個旅客住，每個人可以住進任一房間，且住進各房間是等可能的．(1)指定的4個房間中各有1人住的事件的概率為________；(2)指定的房間有2人住的事件的概率為________．[錯解]所有基本事件的個數(shù)為6×5×4×3＝360.(1)指定的4個房間中各有1人住，有4×3×2×1＝24種，故所求的概率為eq\f(1,15)；(2)從4人中選2人去指定的房間，有6種方法，余下2人每人去5個房間中的任一間，有5×4＝20種方法，故所求的概率為eq\f(6×20,6×5×4×3)＝eq\f(1,3).[錯因分析]本題錯誤地理解了基本事件的個數(shù)，忽視了基本事件可以包含多個人住一個房間的情況．[正解]每人可以進住任一房間，且進住各房間都有6種等可能的方法，故所有可能的情況有64種，(1)指定的4個房間中各有1人住，有4×3×2×1＝24種，故所求的概率為eq\f(24,64)＝eq\f(1,54)；(2)從4人中選2人去指定的房間，有6種方法，余下2人每人去5個房間中的任一間，有52種方法，故所求的概率為eq\f(6×52,64)＝eq\f(25,216).類型三：審題錯誤[例3]在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)部任作一射線CM，與線段AB交于點M，求AM<AC的概率．[錯解]如圖，點M隨機地落在線段AB上，故線段AB的長為基本事件的度量，當(dāng)M位于線段AC′(AC′＝AC)上時，AM<AC，故線段AC′的長為所求事件的度量．故P(AM<AC)＝P(AM<AC′)＝eq\f(AC′,AB)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(2),2).答：AM的長小于AC的概率是eq\f(\r(2),2).[錯因分析]由于本題是在∠ACB作射線CM，等可能分布的是CM在∠ACB內(nèi)的任一位置，因此基本事件的度量應(yīng)是∠ACB的大小而不是線段AB的長，這是類似問題由于等可能的視角不同造成的，概率也會不一樣．[正解]據(jù)題意知AM<AC的概率應(yīng)為滿足條件的∠ACM與∠ACB大小的比，即P(AM<AC)＝eq\f(67.5°,90°)＝eq\f(3,4).幾點建議1．重視錯題病例“錯誤是最好的老師”，錯題病例也是財富，它有時暴露我們的知識缺陷，有時暴露我們的思維不足，有時暴露我們的方法不當(dāng)．毛病暴露出來了，也就有治療的方向，提供了糾錯的機會，只有認(rèn)真地追根溯源查找錯因，教訓(xùn)才會深刻．建議在復(fù)習(xí)過程中做到建立錯題集，特別是那些概念理解不深刻、知識記憶錯誤、思維不夠嚴(yán)謹(jǐn)、方法使用不當(dāng)?shù)鹊湫湾e誤收集成冊，并加以評注，指出錯誤原因，經(jīng)常翻閱，常常提醒，以