Page1期中模擬試卷（新高考版基礎卷2）考試范圍：人教A版2024選擇性必修第一冊（全冊）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（2024·河南省葉縣高級中學高二階段練習）已知，則下列向量中與平行的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對于A，因為，所以A不正確；對于B，因為，所以B正確；對于C，因為，所以C不正確；對于D，因為，所以D不正確．故選：B．2．（2024·全國·高二課時練習）已知兩圓和沒有公共點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．無法確定【答案】A【詳解】由已知，得兩圓的圓心分別為，，半徑分別為1，5，故圓心距．因為兩圓沒有公共點（外離或內含），所以或，解得或或．故選：A.3．（2024·河南·高二階段練習）如圖，在平行六面體中，E，F(xiàn)分別在棱和上，且.記，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設，因為，所以，，.因為，所以.故選:B.4．（2024·全國·高三專題練習）數(shù)學家華羅曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，”事實上，許多代數(shù)問題可以轉化為幾何問題加以解決，例如，與相關的代數(shù)問題，可以轉化為點A（x，y）與點B（a，b）之間的距離的幾何問題，結合上述觀點，可得方程的解是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由可得4表示點（x，1）到定點（-3，0）和（3，0）的距離之差等于4，由雙曲線的定義可知，點（x，1）在以（-3，0）和（3，0）為焦點，的雙曲線的右支上，所以，所以雙曲線方程為，令可得，因為，所以，即方程的解是，故選：C.5．（2024·江蘇·高二課時練習）已知直線過圓的圓心，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【詳解】由題意得圓心為（1,1），因為直線過圓心，所以，即，所以，所以當時，的最小值為.故選：A6．（2024·全國·高二課時練習）中心在原點，焦點在坐標軸上，長軸和短軸之和為36，橢圓上的點到一個焦點的最短距離為1，則橢圓的標準方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【詳解】設橢圓的長軸長，短軸長，焦距分別為，由題意，，得，橢圓焦點在軸或軸上，橢圓的標準方程為或.故選：C7．（2024·山東濟寧·高一期末）如圖，圓臺的軸截面ABCD為等腰梯形，，E為弧AB的中點，F(xiàn)為母線BC的中點，則異面直線AC和EF所成角的正切值為（

）A． B． C． D．2【答案】C【詳解】設圓臺的上底面圓心為，下底面圓心為，則，連接，因為是弧AB的中點，所以，以為原點，分別以為軸建立如圖空間直角坐標系，則，，，，，，，設異面直線AC和EF所成角為，所以，可得.故選：C.8．（2024·江西·高三開學考試（文））設橢圓的左、右焦點分別為，，點M，N在C上（M位于第一象限），且點M，N關于原點O對稱，若，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：依題意作下圖，由于，并且線段MN，相互平分，∴四邊形是矩形，其中，，設，則，依據(jù)勾股定理，，，整理得，由于點M在第一象限，，由，得，即，整理得，即，解得.故選：C．二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．（2024·全國·高二單元測試）已知方程，則下列說法正確的是（

）A．當時，表示圓心為的圓 B．當時，表示圓心為的圓C．當時，表示的圓的半徑為 D．當時，表示的圓與軸相切【答案】BCD【詳解】整理為：，A選項，當時，此時半徑為0，故A錯誤；B選項，當時，此時半徑大于0，表示圓心為的圓，B正確；C選項，當時，表示的圓的半徑為，C正確；D選項，當時，表示的圓半徑為2，又圓心坐標為，故與軸相切，D正確.故選：BCD10．（2024·江蘇·海安縣試驗中學高二期中）已知正方體的棱長為1，下列四個結論中正確的是（

）A．直線BC1與直線所成的角為90°B．B1D⊥平面ACD1C．點B1到平面ACD1的距離為D．直線B1C與平面所成角的余弦值為【答案】BD【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系：.A：，因為，所以，因此本選項不正確；B：，因為，所以，而平面ACD1，因此平面ACD1，所以本選項正確；C：因為平面ACD1，所以是平面ACD1的法向量，，所以點B1到平面ACD1的距離為，因此本選項不正確；D：由上可知：，所以直線B1C與平面所成角的余弦值，因此本選項正確，故選：BD11．（2024·江蘇·高二課時練習）已知直線l：與圓C：交于A，B兩點，則弦長|AB|的可能取值是（

）A．6 B．7 C．8 D．5【答案】BC【詳解】解：由，得，令解得故直線l恒過點.圓心，半徑，，則，即.故選：BC.12．（2024·全國·高二課時練習）一塊斯里蘭卡月光石的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標系中，半圓的圓心在坐標原點，半圓所在的圓過橢圓的右焦點，橢圓的短軸與半圓的直徑重合．若直線與半圓交于點A，與半橢圓交于點，則下列結論正確的是（

）A．橢圓的離心率是B．線段長度的取值范圍是C．面積的最大值是D．的周長存在最大值【答案】AC【詳解】由題意得半圓的方程為，設半橢圓的方程為，由題意知，∴，∴半橢圓的方程為．對于A，，A正確；對于B，由圖可知，當時，；當時，，所以線段長度的取值范圍是，B錯誤．對于C，，設，則，∴，設，∴，∴，∴，∴，當且僅當時等號成立，C正確．對于D，的周長為，所以當時，的周長最大，但是不能取零，所以的周長沒有最大值，D錯誤，故選：AC三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，其次空3分.）13．（2024·江蘇·高二課時練習）已知點到直線的距離等于，則實數(shù)的值為___________.【答案】或【詳解】點到直線的距離，解得：或.故答案為：或.14．（2024·全國·高三專題練習）設，是雙曲線：的兩個焦點，為坐標原點，點P在雙曲線C上且，則的面積為________.【答案】9【詳解】由雙曲線定義可知：，，由已知，因為，所以點在以為直徑的圓上，即是以P為直角頂點的直角三角形，故，即，又，所以，解得:，所以故答案為：915．（2024·全國·高二課時練習）已知，為空間單位向量，，則在方向上投影的模為_______．【答案】【詳解】由題意可知，在方向上投影的模為故答案為：.16．（2024·全國·高三專題練習（理））在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，現(xiàn)將△ABC沿對角線AC翻折，得到四面體DABC，則該四面體外接球的體積為________；設二面角D－AC－B的平面角為θ，當θ在內改變時，BD的取值范圍為________．【答案】

【詳解】如圖1，分別過點，作，垂足分別為F，E，則在四面體中也滿意．因為，，所以，，則，．在四面體ABCD中，三角形ABC和三角形DAC均為直角三角形，設點O為AC的中點，如圖2，連接OB，OD，則，即點O為四面體ABCD外接球的球心，則外接球的半徑，所以外接球的體積．在四面體ABCD中，，因為二面角的平面角為θ，且，所以和的夾角為，所以因為，所以，則．故答案為：；四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2024·全國·高二課時練習）已知直線，直線過點，______．在①直線的斜率是直線的斜率的2倍，②直線不過原點且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍這兩個條件中任選一個，補充在上面的橫線中，并解答下列問題．(1)求的方程；(2)若與在x軸上的截距相等，求在y軸上的截距．【答案】(1)x＋2y＋2＝0(2)6（1）選擇①．由題意可設直線的方程為y－1＝k（x＋4），因為直線的斜率是直線的斜率的2倍，所以，所以直線的方程為，即x＋2y＋2＝0．選擇②．由題意可設直線的方程為，因為直線過點A（－4．1），所以，解得m＝－1．所以直線的方程為，即x＋2y＋2＝0．（2）由（1）可知直線的方程為x＋2y＋2＝0，令y＝0，可得x＝－2，所以直線在x軸上的截距為－2，所以直線在x軸上的截距為－2．故直線過點（－2，0），代入ax＋2y－12＝0，得a＝－6．所以直線的方程為3x－y＋6＝0．因此直線在y軸上的截距為6．18．（2024·全國·高二課時練習）已知圓及直線．(1)證明：不論m取什么實數(shù)，直線l與圓C恒相交；(2)求直線l被圓C截得的弦長的最短長度及此時的直線方程．【答案】(1)證明見解析(2)，（1）將直線的方程變形為，令，解得，即直線過定點．因為，所以點在圓內部．所以不論m為何實數(shù)，直線與圓恒相交．（2）（1）的結論知直線過定點，且當直線時，此時圓心到直線的距離最大，進而被圓所截的弦長最短，故,從而此時，此時,直線方程為，即19．（2024·福建省詔安縣橋東中學高二期末）如圖，在直三棱柱中，，點分別在棱和棱上，且．(1)設為中點，求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)（1）證明：取中點，連接、，則，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面．（2）解：因為直三棱柱中，所以、、兩兩垂直．分別以、、的方向為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，所以，，，設平面法向量為，則，，即，令，得到平面的一個法向量．設直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．20．（2024·江西·貴溪市試驗中學高二期末）已知雙曲線C：的焦距為4，且過點.(1)求雙曲線方程；(2)若直線與雙曲線C有且只有一個公共點，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)，．（1）解：由題意可知雙曲線的焦點為和，依據(jù)定義有．，又，所以，，．所求雙曲線的方程為．（2）解：因為雙曲線的方程為，所以漸近線方程為；由，消去整理得．①當即時，此時直線與雙曲線的漸近線平行，此時直線與雙曲線相交于一點，符合題意；②當即時，由，解得，此時直線雙曲線相切于一個公共點，符合題意．綜上所述：符合題意的的全部取值為，．21．（2024·河北邢臺·高三開學考試）如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，側面為正三角形，為的中點，為的中點.(1)求證：平面.(2)當時，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).（1）取中點為，連接,在中，∵為的中點，為中點，∴,在正方形中，∵為的中點，∴,∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，平面，平面，∴平面；（2）在正三角形中，為的中點，∴，又∵，平面，平面，∴AM⊥平面，平面PCD，∴AM⊥DC，∵在正方形ABCD中，AD⊥DC，又平面，平面，∴DC⊥平面PAD，平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，取的中點，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設AD＝2，則，，，，，，，，，設平面MDN的法向量為，，令，則，設平面PDC的法向量為，，令，則，∴，∴