第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)模型

基本要求

1.掌握拉氏變換、拉氏反變換的定義、定理。

2.了解數(shù)學(xué)模型的基本概念。能夠運(yùn)用動力學(xué)、電學(xué)及專業(yè)知識，列

寫機(jī)械系統(tǒng)、電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的微分方程。

3.掌握傳遞函數(shù)的概念、特點，會求傳遞函數(shù)的零、極點。

4.掌握各個典型環(huán)節(jié)的特點，傳遞函數(shù)的基本形式及相關(guān)參數(shù)的物理

意義。

5.摹握閉環(huán)系統(tǒng)中前向通道傳遞函數(shù)、開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)

的定義及求法。掌握干擾作用下，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的求法和特點。

6.了解傳遞函數(shù)框圖的組成及意義；能夠根據(jù)系統(tǒng)的微分方程，繪制

系統(tǒng)傳遞函數(shù)框圖，并實現(xiàn)簡化，從而求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

7.了解相似原理的概念。

本章重點

1.拉氏變換定理。

2.列寫系統(tǒng)的微分方程。

3.傳遞函數(shù)的概念、特點及求法。

4.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。

5.系統(tǒng)的方框圖及其化簡。

本章難點

L列寫系統(tǒng)微分方程。

2.系統(tǒng)的方框圖及其化簡。

2.1拉普拉斯（Laplace）變換

2.1.1拉氏變換概述

L拉氏變換的定義

尸⑸=耳/⑺]二「/⑺「力

雙方）：原函數(shù)（實域、時間域）F（s）：

象函數(shù)（s域、復(fù)數(shù)域）

S:復(fù)變量，S=O+j3

L：拉氏算子

?A__

2.基本函數(shù)的拉氏變換

\Xi(t)

,3(/)

序號原函數(shù)/⑺象函數(shù)b(s)\

一0

01單位脈沖函數(shù)5(。1

1_at

AM(f)2k:e-

單位階躍函數(shù)1(。s

1

3K常數(shù)

1-，sD>

1

4

t單位斜坡函數(shù)s1lsin<2?Z

vJ-

5■nL\__t

Itsc〃+loV

1

6at

e~S+Q

coscot

7sinatfS2+。2

之,*

c、r,

8cos的

s2+co20i

2.L2拉氏變換的主要性質(zhì)

1.線性性質(zhì)

設(shè)/［/（方）［二A（s）,/［玄（力］二巴（s）,kv股為常數(shù)，則

“左/⑺+/力⑺］=W.（3+左2〃力（3

=3（5）+左2尸2。）

2.微分性質(zhì)

若/"（%）］二分（s）,且“0）二0,（初始條件為零）則

.df⑺卜s尸（s）

dt

3.積分定理

若/"⑺］"(s),且初始條件為零,則

山加)力］J/⑶

JS

4.平移定理

若/木方)］二戶(s)］則

力］*(s+a)

5.初值定理

若￡"(方)］二分(s),則

/(O+)=lim/⑺=lims?尸(s)

0sfoo

6.終值定理

若/"("]=Rs),則有

f(00)=lim/Q)=lims?尸(s)

oos-0

7.延遲定理

若若f(Z)]二上s),對任一正實數(shù)8則有

L[f(t-a)]=ff(t-a)e~stdt=e~asF(s)

JO

2.L2拉氏變換的主要性質(zhì)

1.線性性質(zhì)

設(shè)/［/（方）［二A（s）,/［玄（力］二巴（s）,kv股為常數(shù)，則

“左/⑺+/力⑺］=W.（3+左2〃力（3

=3（5）+左2尸2。）

2.微分性質(zhì)

若/"（%）］二分（s）,且“0）二0,（初始條件為零）則

.df⑺卜s尸（s）

dt

3.積分定理

若/"⑺］"(s),且初始條件為零,則

山加)力］J/⑶

JS

4.平移定理

若/木方)］二戶(s)］則

力］*(s+a)

5.初值定理

若￡"(方)］二分(s),則

/(O+)=lim/⑺=lims?尸(s)

0sfoo

6.終值定理

若/"("]=Rs),則有

f(00)=lim/Q)=lims?尸(s)

oos-0

7.延遲定理

若若f(Z)]二上s),對任一正實數(shù)8則有

L[f(t-a)]=ff(t-a)e~stdt=e~asF(s)

JO

2.1.3拉氏反變換

定義：

/U）〃T/（S）］,將象函數(shù)變換成原函數(shù)S:

復(fù)

As）：象函數(shù)（s域、復(fù)數(shù)域）

以??.原函數(shù)（實域、時間域）

2.2系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型就是描述系統(tǒng)的輸出、輸入與系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)

與參數(shù)之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

工程上常用的數(shù)學(xué)模型有：

-微分方程

傳遞函數(shù)

■狀態(tài)方程

建立數(shù)學(xué)模型的方法有：

■理論分析（解析法）

」試驗的方法獲取

111

2.21線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)

1.線性系統(tǒng)

(1)定義：

系鰥微分方程的規(guī)范化形式如下:

*只〃)⑺十%一1町一1)⑺+…+⑺+旬X。⑺

=b(/)+b(力H-----vbx(t)+bx(0

mim-1i1i0i

nm

或￡。產(chǎn)，)⑺=2>H')?)

j=Oi=Q

若系數(shù)電,瓦是常數(shù)，則方程是線性定常的，相應(yīng)

的系統(tǒng)也稱為線性定常系統(tǒng)，若系數(shù)是時間的函數(shù)，

則該方程為線性時變的，相應(yīng)的系統(tǒng)也稱為線性時變

系統(tǒng)。

(2)線性系統(tǒng)性質(zhì)

線性系統(tǒng)的一個最重要的特性就是滿足疊加原理。

Xzl（O-A系統(tǒng)AX01（r）

Xz2（t）--A系統(tǒng)---AX。2（1）

1（%）+〃2%02（%）

A系統(tǒng)

a2xi2（t）

2.非線性系統(tǒng)

工程上常見的非線性特性如下:

可飽和非線性

死區(qū)非線性

-間隙非線性

摩擦非線性

3.非線性系統(tǒng)的線性化

司具有本質(zhì)非線性特性的系統(tǒng)：忽略非線性因素或用

非線性理論去處理。

,非本質(zhì)非線性特性的系統(tǒng)：切線法，或稱微小偏差

法處理。

2.2.2機(jī)械/電氣系統(tǒng)微分方程

1.機(jī)械系統(tǒng)

任何機(jī)械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型都可以應(yīng)用牛頓定律來建立。都可以

使用質(zhì)量、彈性和且尼三個要素來描述。y⑺一銃刀工件

*⑺二￡/⑺、廠止聞二/⑺

1）機(jī)械平移系統(tǒng)臺》

mx+ex+kx=f

F：外力；x：位移；m：質(zhì)量；c：粘性阻力系數(shù)；A：彈簧剛度

2）機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)

J0^Bj3+kj3=T

7：扭轉(zhuǎn)力；e:轉(zhuǎn)角；/：轉(zhuǎn)動慣量；與：回轉(zhuǎn)粘性阻力系數(shù)；kj：

扭轉(zhuǎn)彈簧剛度

例1寫出下圖機(jī)械系統(tǒng)的微分方程

/(t)：外力；j(t):位移；k：彈簧剛度；c：粘性阻力系數(shù)；m：質(zhì)量

解:工于=ma

f(0-ky(t)-cj(/)=my\f)

m,y\t)+cy(t)+6⑺=f⑺

慣性力+阻尼力+彈簧力二外力

2.電氣系統(tǒng)

電阻、電感和電容器是電路中的三個基本元件。通常利用基爾

霍夫定律來建立電氣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

基爾霍夫電流定律：Z&)=0

基爾霍夫電壓定律：Z石=Z應(yīng)

歐姆定律：UR~?RR

電感定律：UL=^~T

dt

電容定律：1/=」idt

C

例2寫出下圖電氣系統(tǒng)的微分方程

L?

O?_TYYW

%⑺

*1

打⑺c氏2

.cTdi(t)

解:n(t)=，1凡+4-+u⑺(1)

at

⑵

rdt

1

M⑺二［(…)力(3)

IL

3.列寫系統(tǒng)微分方程的步驟:

⑴分析系統(tǒng)工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關(guān)系，確定系統(tǒng)的輸出量

與輸入量；

⑵從系統(tǒng)的輸入端開始，依據(jù)物理學(xué)定律，依次列寫組成系統(tǒng)各元

件的動力學(xué)方程，其中要考慮相鄰兩元件間的負(fù)載效應(yīng)；

⑶將各方程式中的中間變量消去，求出描述輸入量和輸出量之間

關(guān)系的微分方程，并將與輸入有關(guān)的各項放在方程右邊，與輸出

有關(guān)的各項放在方程左邊，各階導(dǎo)數(shù)項按降幕排列，即得系統(tǒng)

微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式；

⑷在列寫元件的微分方程或求出系統(tǒng)的微分方程時，對非線性項應(yīng)

加以線性化。

2.3傳遞函數(shù)

2.3.1傳遞函數(shù)的定義

線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為：當(dāng)全部初始條件

為零時，輸出量X0(t)的拉氏變換〃(s)與輸入量X](t)的

拉氏變換蒞(S)之比叫做系統(tǒng)的傳遞函數(shù)負(fù)S)。表示

為：

Xfs)

G(s)=

XG)

Xj(s)—aG(s)—?Xo(s)

2.3.2傳遞函數(shù)的求法

L解析法

(1)根據(jù)定義求取

設(shè)線性定常系統(tǒng)輸入為巷(方)，輸出為演(方)，描述系統(tǒng)的微分

方程的一般形式為：

m

?)+???+%無。⑺+a0xo(t)=bm*)⑺+…+瓦/⑺+%.⑺

式中，Gm；%,與均為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)所決定的定常數(shù)(力，

爐0、1、2、3…)o

如果變量及其各階導(dǎo)數(shù)初值為零(初始條件為零)，取等式兩邊

拉氏變換后得：

anxsmml

(qs"+n-vs~+'-+a\+〃o)X。(s)=(bms+bm_ls-+???+仇s+b)Xi(s)

根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，即得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)為：

C⑸———x。⑸

?、薦Xj(s)

(2)傳遞函數(shù)的零、極點

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)是以復(fù)變數(shù)s作為自變量的函數(shù).經(jīng)因子分解后,

G(s)可以寫成如下一般形式：

G(s)=/(sZi)(sZ2>(sZm)l為常數(shù)

當(dāng)s=z.(j=l，2,…,m)時,均能使G(s)=O,故稱為G(s)的零

點。J

當(dāng)3=2,.(i=l,2,…，n)時，均能使G(s)的分母為0,G(s)取極

值，limG(s)=oo(i=l,2,…，n),s—pt,稱p(i=l,2,…，n)為

G(s)的極點.

2.實驗法

例試寫出具有下述微分方程式的傳遞函數(shù)。

5*+2儀+九2尸6射7、

解：取拉氏變換并求商得

G(s)=y(s)h6s+7

X(s)5s3+2s2+s+2

2.33傳遞函數(shù)的性質(zhì)

1.傳遞函數(shù)是通過輸入和輸出之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)本身特性的，而

系統(tǒng)本身特性與輸入量無關(guān)；

2.傳遞函數(shù)不表明所描述系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)，不同的物理系統(tǒng)，只要它

們動態(tài)特性相同，就可用同一傳遞函數(shù)來描述。這樣的系統(tǒng)稱為相似

系統(tǒng)；

3.傳遞函數(shù)可以是有量綱的，也可以是無量綱的；

4.傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理分式。傳遞函數(shù)多項式分子中s的階數(shù)/小

于分母中s的階數(shù)n,即HWT?。傳遞函數(shù)分母多項式中s的最高哥數(shù)

代表了系統(tǒng)的階數(shù)，如s的最高哥數(shù)為77則該系統(tǒng)為77階系統(tǒng)。

I1

次典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

1.比例環(huán)節(jié)

微分方程：兒(。二心,⑺

傳遞函數(shù):G(s)=K

齒輪傳動副

例1圖示為齒輪傳動副，Xi、X。分別為輸入、輸出軸的轉(zhuǎn)速，zP

Z2為齒輪齒數(shù)。求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。

解：系統(tǒng)微分方程為：xiz{=xoz2

此方程經(jīng)Laplace變換后得傳遞函數(shù)為：

G(S)=^^=^K

Xj(s)z2

K為齒輪傳動比，也就是齒輪傳動副的放大系數(shù)或增益。

2.慣性環(huán)節(jié)

微分方程：及。+兒=也，

傳遞函數(shù)：G(s)=受呼二KTT

A八3J13-rl..」

式中，/為時間常數(shù)，4為慣性環(huán)節(jié)的增益。

質(zhì)量一阻尼一彈簧環(huán)節(jié)

例2圖示為質(zhì)量一阻尼一彈簧環(huán)節(jié)，求略去質(zhì)量m影響時，系統(tǒng)的傳遞

函數(shù)。

解：系統(tǒng)微分方程為：cx0+優(yōu)=g

此方程經(jīng)Laplace變換后得傳遞函數(shù)為：G(s)=葭=七=；^

A.(5)CS+KIS+1

T為慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。

3.微分環(huán)節(jié)

微分方程：/⑺=Txi(t)

傳遞函數(shù)：G(s)=4m=仆

X，(s)

式聲次微分時間常數(shù)。

4.積分環(huán)節(jié)]

微分方程：“")一"%⑺山

傳遞函數(shù)：G(S)=K9=L

X.(s)Ts

式中網(wǎng)積分時間常數(shù)。

5.振蕩環(huán)節(jié)

微分方程：T2%Q)+2Q1。⑺+4⑺=修⑺

12---------------

傳遞函數(shù)：as)=_%—一3

T2S2+2CTs+1~S2+2^coS+CD2卜2+2如sj”

7nn

式中①〃為無阻尼固有頻率；，為阻尼比。

例3圖示為質(zhì)量一阻尼一彈簧環(huán)節(jié)，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

質(zhì)量一阻尼一彈簧環(huán)節(jié)

2

取拉氏變換得：rnsXo⑸+csX。⑸+kXo(5)=kXj⑸

其傳遞函數(shù)為：G(s)=X°G)=------1-----

Xj(s)ms2+cs+k

八2

寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：G(s)=3〃

/+2卜0術(shù)+0：

兩式比較得:

例4如圖所示為電感L、電阻R與電容C的串、并聯(lián)線路，4為輸入，uo

為輸出，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。

解：電路的動力學(xué)方程為:

ui=LiL+uo

Uo~用汽=《J力

將后兩式代入前一式，得:

G=IR+lc

L

u：—LCvio+"o+U

Rn

—

其傳遞函數(shù)為：G(s)=-=____,_

U/(s)LCs2+s+1

R

或：G。)二加

/+2gs+吟

6.延時環(huán)節(jié)

延時環(huán)節(jié)是輸出滯后輸入時間，但不失真地反映輸入的環(huán)節(jié)。

其微分方程為：

兒（。=玉”一工）

式中，為延遲時間。

傳遞函數(shù):

L[x(0]L[xa-r)]X(s)L

Xj(5)二|X0(S)

G(s)=°=i=i-------e,一

￡區(qū)(川L[xz(0]X,(s)

馬

8種典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)如下:

(1)比例環(huán)節(jié)：G(s)=K

(2)理想微分環(huán)節(jié)：G(s)=Ts

(3)一階微分環(huán)節(jié)：G(s)=Ts+l

(4)二階微分環(huán)節(jié):G(S)=T2S2+2G+I,(0Y4Y1)

G(s)=1

(5)積分環(huán)節(jié)：s

1

G(s)=

(6)慣性環(huán)節(jié)：(Ts+1)

八2

G(s)=CDn

(7)振蕩環(huán)節(jié)：M+2&弟+例2

延遲環(huán)節(jié):G(s)=L

■■

2.5系統(tǒng)的方框圖及其聯(lián)接

2.5.1環(huán)節(jié)的基本聯(lián)系方式

1.串聯(lián)

*⑸G1⑸G2⑸等效為X1(S)?G1⑸G2(S)X。⑸A

G(s)=X。(s)=X。(s)X(s)-G(s)G(s)

凡⑸X(s)XG)12

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是各串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之積:

n

G（S）=HG（S）

i=1

2.并聯(lián)

G(s)=X。(s)一X](s)+(s)_X](s)x2(s)=G(s)+G(5)

Xj(s)—x(s)-x,(s)Xj(s)-12

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是各并聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之和:

n

G(S)=ZG(S)

Z=1

3.反饋聯(lián)接

X.(s)

(1)前向通道傳遞函數(shù)G(s)=

E⑸

如)

⑵反饋回路傳遞函數(shù)H(s)=

X.(s)

⑶開環(huán)傳遞函數(shù)

4(s)

(4)閉環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=4(s)=X0(s)一^)__G(s)

BXj(s)E(s)干5(s).BM1+G(5)H(5)

十小)

___________________________________________________

(5)單位反饋

當(dāng)H(s)=l時，則此閉環(huán)系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)。

G(s)=線⑸.G(s)

+

Xi⑶1TG(s)t-

(6)負(fù)反饋與正反饋

負(fù)反饋：反饋信號減弱輸入信號，使誤差信號減??；

G(s)二.⑸

1+G(s)

正反饋：反饋信號加強(qiáng)輸入信號，使誤差信號增大。

G(s)

G(s)=

1—G(s)

⑺干擾作用下的閉環(huán)系統(tǒng)

1）在輸入量為（S）的作用下可把干擾量Ms）看作為零,系統(tǒng)的輸出為

及（S）,則X(s)=GG)X(s)=GI(S)-G2(S)X.(S)

RRil+G(s)?G(s)H(s)，

12

2)在干擾量Ms)作用下[可把輸入量用.(s)看作為零],系統(tǒng)的輸出為

X"(S),貝I]X(s)=G(s)N(s)=G2G)N(s)

NNl+Gi(s)-G(s)H(s)

3)系統(tǒng)總的輸出量：

X(s)=X(s)+X(s)=.........G2(5)...........[G(5)-Xi(s)+N(s)]

oRN1+G(s)：G(S)H(S)1

12

若Gi(s)G2(s)H(5)?1XN(S)=SN(s)

負(fù)反饋能有效的抑制被反饋回路所包圍的干擾。

2.5.2方框圖的變換與簡化

1,分支點

分支

XiA2

前移G(s)

Xt3(=X2)

Xi「—x2Xi-X2

■

后移G(s)一-G(s)

X3(=X1)1X3(=X1)

G(s)

2.相加點

后移

前移

3.梅遜公式

若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖同時滿足以下兩個條件:

-(1)整個方框圖只有一條前向通道；

(2)各局部反饋回路間存在公共的傳遞函數(shù)方框.

前向通道的傳遞函數(shù)之積

i+E［每一反饋回路的開環(huán)傳遞函數(shù)之積〕

括號內(nèi)每一項的符號是這樣決定的：在相加點處，對反饋信號為

相加時取負(fù)號，對反饋信號為相減時取正號。

4.方框圖的簡化步驟

若方框圖中僅有多個無交叉回路，則按照先里后外的原則，逐個簡

化，直至簡化成一個方框的形式。若方框圖中有交叉的連接，用如下的

方法：

1）若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖同時滿足以下兩個條件，可以運(yùn)用梅遜公

式化簡：

條件1,整個系統(tǒng)方框圖中只有一條前向通道；

條件2,各局部反饋回路間存在公共的傳遞函數(shù)方框。

2）若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖不同時滿足以上兩個條件，則可通過相加

點、分支點的前后移動等法則，將