2.3平面向量的基本定理及坐標表示2.3.1平面向量基本定理必備知識·自主學習導思(1)如果e1,e2是兩個不共線的確定向量,那么與e1,e2在同一平面內(nèi)的任意向量a能否用e1,e2表示?根據(jù)是什么?(2)兩個非零向量夾角θ的取值范圍是什么?當非零向量a與b共線時,它們的夾角是多少?1.平面向量基本定理(1)定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個_______向量,那么對于這一平面內(nèi)的_____向量a,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2,使a=__________.(2)基底:_______的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.不共線任意λ1e1+λ2e2不共線【思考】定理中的“不共線”能否去掉?提示:不能,兩個共線向量不能表示平面內(nèi)的任意向量,不能做基底.2.向量的夾角定義:已知兩個非零向量a和b,作=a,=b,則∠AOB=θ叫做向量a與b的夾角(如圖所示).(1)范圍:向量a與b的夾角的范圍是_______________.(2)當_______時,a與b同向;當_________時,a與b反向.(3)如果a與b的夾角是_____,我們說a與b垂直,記作a⊥b.0°≤θ≤180°θ=0°θ=180°90°【思考】(1)平面內(nèi)的任意兩個向量都可以平移至公共起點,它們存在夾角嗎?提示:存在.(2)求兩向量夾角的解題步驟是怎樣的?提示:一作二證三算.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)一個平面內(nèi)只有一對不共線的向量可作為該平面內(nèi)所有向量的基底. (

)(2)若ae1+be2=ce1+de2(a,b,c,d∈R),則a=c,b=d. (

)(3)基底向量可以是零向量. (

)提示:(1)×.根據(jù)基底的概念可知,平面內(nèi)不共線的向量都可以作為該平面內(nèi)向量的基底.(2)×.當e1與e2共線時,結論不一定成立.(3)×.基底向量是不共線的,一定是非零向量.提示:(1)×.根據(jù)基底的概念可知,平面內(nèi)不共線的向量都可以作為該平面內(nèi)向量的基底.(2)×.當e1與e2共線時,結論不一定成立.(3)×.基底向量是不共線的,一定是非零向量.2.(教材二次開發(fā):例題改編)在△ABC中,=c,=b,若點D滿足以b與c作為基底,則=(

)

【解析】選C.因為所以3.若向量a與b的夾角為60°,則向量-a與-b的夾角是 (

)A.60° B.120° C.30° D.150°【解析】選A.平移向量a,b使它們有公共起點O,如圖所示,

則由對頂角相等可得向量-a與-b的夾角也是60°.關鍵能力·合作學習類型一平面向量基本定理的理解(數(shù)學抽象、直觀想象)【題組訓練】1.(2020·濟南高一檢測)如果e1,e2是平面α內(nèi)兩個不共線的向量,那么下列說法中不正確的是 (

)①a=λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量;②對于平面α內(nèi)任意向量a,使a=λe1+μe2成立的實數(shù)對(λ,μ)有無窮多個;關鍵能力·合作學習類型一平面向量基本定理的理解(數(shù)學抽象、直觀想象)【題組訓練】1.(2020·濟南高一檢測)如果e1,e2是平面α內(nèi)兩個不共線的向量,那么下列說法中不正確的是 (

)①a=λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量;②對于平面α內(nèi)任意向量a,使a=λe1+μe2成立的實數(shù)對(λ,μ)有無窮多個;③若向量λ1e1+μ1e2與λ2e1+μ2e2共線,則④若存在實數(shù)λ,μ,使得λe1+μe2=0則λ=μ=0.A.①② B.②③ C.③④ D.①④2.設O是平行四邊形ABCD兩對角線的交點,給出下列向量組:

其中可作為這個平行四邊形所在平面的一組基底的是 (

)

A.①② B.①③ C.①④ D.③④3.設a,b不共線,c=2a-b,d=3a-2b,試判斷c,d能否作為基底.【解析】1.選B.由平面向量的基本定理可知,①④是正確的.對于②,由平面向量的基本定理可知,若平面的基底確定,那么同一平面內(nèi)任意一個向量在此基底下的實數(shù)對是唯一的.對于③,當λ1=λ2=0或μ1=μ2=0時,結論不成立.2.選B.①不共線;②則共線;③不共線;④則共線.由平面內(nèi)向量基底的概念知,只有不共線的兩個向量才能構成一組基底,故①③滿足題意.3.假設存在唯一實數(shù)λ,使c=λd,則2a-b=λ(3a-2b),即(2-3λ)a+(2λ-1)b=0.由a,b不共線得,所以這樣的λ是不存在的,從而c,d不共線,所以c,d能作為基底.【解題策略】對平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理告訴我們,在平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量的和,且這樣的分解是唯一的,同一個非零向量在不同的基底下的分解式是不同的,而零向量的分解式是唯一的,即0=λ1e1+λ2e2,且λ1=λ2=0.(2)對于固定的e1,e2(向量e1與e2不共線)而言,平面內(nèi)任一確定的向量的分解是唯一的,但平面內(nèi)的基底卻不唯一,只要平面內(nèi)的兩個向量不共線,就可以作為基底,它有無數(shù)組.【補償訓練】已知平面向量e1,e2是一組基底,實數(shù)x,y滿足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,則x-y=________.

【解析】因為平面向量e1,e2是一組基底,所以向量e1,e2不共線,所以解得x-y=3.答案:3類型二向量的夾角(直觀想象、數(shù)學運算)【題組訓練】1.已知則的夾角為________.

2.若a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,則a與a+b的夾角為________.

3.在△ABC中,AB=,BC=1,AC=2,D是AC的中點.求:(1)與夾角的大小.(2)與夾角的大小.【解析】1.由已知得,顯然可見共線,且是反向共線,故的夾角為180°.答案:180°2.由向量運算的幾何意義知a+b,a-b是以a,b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線.如圖,因為|a|=|b|=|a-b|,所以∠BOA=60°.又因為=a+b,且在菱形OACB中,對角線OC平分∠BOA,所以a與a+b的夾角是30°.答案:30°3.(1)如圖所示,在△ABC中,AB=,BC=1,AC=2,所以AB2+BC2=()2+1=22=AC2,所以△ABC為直角三角形.因為tanA=,所以A=30°.又因為D為AC的中點,所以∠ABD=∠A=30°,=.在△ABD中,∠BDA=180°-∠A-∠ABD=180°-30°-30°=120°,所以與的夾角為120°.(2)因為=,所以與的夾角也為120°.【解題策略】求兩向量的夾角,若無圖形,需作出圖形,明確要求的角;當兩向量起點不同時,可采用平移或作延長線的方法使兩個向量的起點相同,找到向量的夾角,再結合平面幾何知識求解.【補償訓練】1.在△ABC中,∠C=90°,BC=AB,則的夾角是 (

)

A.30° B.60° C.120° D.150°【解析】選C.如圖,作向量則∠BAD是的夾角,在△ABC中,因為∠C=90°,BC=AB,所以∠ABC=60°,所以∠BAD=120°.2.在等邊△ABC中,向量與向量的夾角為________,E為BC中點,則向量與的夾角為________.

【解析】因為△ABC為等邊三角形,所以∠ABC=60°.如圖所示延長邊AB至點D,使AB=BD,所以=.所以∠DBC為向量與的夾角,且∠DBC=120°.因為E為BC中點,所以AE⊥BC.所以與的夾角為90°.答案:120°

90°3.已知|a|=|b|=2,且a與b的夾角為60°,則a+b與a的夾角是多少?a-b與a的夾角又是多少?【解析】如圖所示,作且∠AOB=60°.以為鄰邊作平行四邊形OACB,則=a+b,=a-b.因為|a|=|b|=2,所以平行四邊形OACB是菱形,又∠AOB=60°,所以的夾角為30°,

的夾角為60°.即a+b與a的夾角是30°,a-b與a的夾角是60°.類型三用基底表示向量(直觀想象、數(shù)學運算)角度1線性運算法

【典例】若D點在三角形ABC的邊BC上,且=4=r+s,則3r+s的值為

(

)

【思路導引】利用三角形或平行四邊形法則.【解析】選C.如圖,因為=4=r+s,所以所以r=,s=-,所以3r+s=.【變式探究】已知在△ABC中,P是BN上的一點.若則實數(shù)m的值為 (

)【解析】選C.設則

所以解得

角度2向量方程組法

【典例】已知e1,e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量,a=3e1-2e2,b=-2e1+e2,c=7e1-4e2,試用向量a和b表示c.【思路導引】利用向量方程組法,設c=xa+yb,用待定系數(shù)法求出x,y.【解析】因為a,b不共線,所以可設c=xa+yb,則xa+yb=x(3e1-2e2)+y(-2e1+e2)=(3x-2y)e1+(-2x+y)e2=7e1-4e2.又因為e1,e2不共線,所以解得所以c=a-2b.【解題策略】平面向量基本定理的作用及注意點(1)根據(jù)平面向量基本定理,任何一組基底都可以表示任意向量.用基底表示向量,實質(zhì)上主要是利用三角形法則或平行四邊形法則,進行向量的加減法運算.(2)解題時要注意適當選擇向量所在的三角形或平行四邊形,利用已知向量表示未知向量,或找到已知向量與未知向量的關系,用方程的觀點求出未知向量.【題組訓練】1.(2020·焦作高一檢測)設向量e1與e2不共線,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,則實數(shù)x,y的值分別為 (

)A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4【解析】選D.因為向量e1與e2不共線,所以解得

2.設e1,e2是平面內(nèi)一組基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,則向量e1+e2可以表示為以a,b為基向量的線性組合,即e1+e2=________.

【解析】設e1+e2=ma+nb(m,n∈R),因為a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.因為e1與e2不共線,所以所以所以e1+e2=答案:

3.在平行四邊形ABCD中,M為DC的中點,N為BC的中點,設

(1)以b,d為基底表示.(2)以m,n為基底表示.【解析】如圖所示【拓展延伸】平面向量基本定理的推廣定理平面內(nèi)任意三個不共線的向量中,任何一個向量都可表示為其余兩個向量的線性組合且形式唯一.【拓展訓練】如圖,已知E,F分別是矩形ABCD的邊BC,CD的中點,EF與AC交于點G,若=a,=b,用a,b表示= (

)【解析】選D.易知設則由平行四邊形法則可得由于E,G,F三點共線,則2λ+2λ=1,即λ=,從而從而【補償訓練】如圖,在△AOB中,=a,=b,設=2,=3,而OM與BN相交于點P,試用a,b表示向量.【解析】

因為共線,令則又設1.已知e1,e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底,那么下面四組向量中不能作為一組基底的是 (

)

A.e1,e1+e2 B.e1-2e2,e2-2e1C.e1-2e2,4e2-2e1 D.2e1+e2,e1+e2

【解析】選C.因為4e2-2e1=-2(e1-2e2),從而e1-2e2與4e2-2e1共線,故C選項符合題意.課堂檢測·素養(yǎng)達標2.(教材二次開發(fā):復習參考題改編)如圖,在矩形ABCD中,若=5e1,=3e2,則= (

)A.(5e1+3e2) B.(5e1-3e2)C.(3e2-5e1) D.(5e2-3e1)【解析】選A.3.(2020·濟寧高一檢測)如圖,M、N是△ABC的一邊BC上的兩個三等分點,若則=________.

【解析】由題意知,所以答案:

4.在等腰Rt△ABC中,AB⊥AC,則的夾角是________.

【解析】作線段AB的延長線AD,則∠DBC是的夾角,∠DBC=180°-∠ABC=180°-45°=135°.答案:135°Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingin