專題03手拉手模型基本模型：例題精講例1.（基本模型）問題情境：在自習(xí)課上，小雪拿來了如下一道題目（原問題）和合作學(xué)習(xí)小組的同學(xué)們交流，如圖①，△ACB和△∠CDE均為等腰三角形．CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE．點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，連接BE．求證：∠CDE=∠BCE+∠CBE．問題發(fā)現(xiàn)：小華說：我做過一道類似的題目：如圖②，△ACB和△CDE均為等邊三角形，其他條件不變，求∠AEB的度數(shù)．（1）請聰明的你完成小雪的題目要求并直接寫出小華的題目要求．拓展研究：（2）如圖③，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，CF為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請求∠AEB的度數(shù)及線段CF、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．例2．（培優(yōu)綜合）（1）如圖1，和都是等邊三角形，且，，三點(diǎn)在一條直線上，連接，相交于點(diǎn)，求證：．（2）如圖2，在中，若，分別以，和為邊在外部作等邊，等邊，等邊，連接、、恰交于點(diǎn)．①求證：；②如圖2，在（2）的條件下，試猜想，，與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式訓(xùn)練1】現(xiàn)有一塊含30°角的直角三角板AOB，點(diǎn)N在其斜邊AB上，點(diǎn)M在其最短直角邊OA所在直線上．以MN為邊作如圖所示的等邊△MNP．（1）如圖1，當(dāng)M在線段OA上時(shí)，證明：AM﹣AN＝AP；（2）如圖2當(dāng)M在射線OA上時(shí)，試探究AM、AN、AP三者之間的數(shù)量關(guān)系并給出證明．【變式訓(xùn)練2】如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一點(diǎn)，且DE＝CE，連接BD，CD．（1）判斷與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，若將△DCE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？并證明；（3）如圖3，將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變，求BD與AC夾角的度數(shù)．【變式訓(xùn)練3】在ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B，C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）（請直接寫出你的結(jié)論）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上：①如果∠BAC＝90°，則∠BCE＝°；②如果∠BAC＝100°，則∠BCE＝°；（2）設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請畫出圖形，并直接寫出你的結(jié)論．【變式訓(xùn)練4】如圖1，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°．點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，連接BD，過點(diǎn)A作AE⊥BD交BD的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F．（1）求證：∠EAD＝∠CBD；（2）求證：BF＝2AE；（3）如圖2，將△BCF沿BC翻折得到△BCG，連接AG，請猜想并證明線段AG和AB的數(shù)量關(guān)系．課后訓(xùn)練1．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點(diǎn)D為三角形右側(cè)外一點(diǎn)．且∠BDC＝45°．連接AD，若△ACD的面積為，則線段CD的長度為___．2．如圖1，在中，，，點(diǎn)D、E分別在邊AB，上，，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．(1)觀察猜想：圖中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；(2)探究證明：把繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸：把繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請直接寫出面積的最大值．3．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，和均為等邊三角形，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接，容易發(fā)現(xiàn)：①的度數(shù)為；②線段、之間的數(shù)量關(guān)系為；【類比探究】（2）如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接，試判斷的度數(shù)以及線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【問題解決】（3）如圖3，，，，，則的值為．4．已知在中，，過點(diǎn)B引一條射線，D是上一點(diǎn)【問題解決】(1)如圖1，若，射線在內(nèi)部，，求證：，小明同學(xué)展示的做法是：在上取一點(diǎn)E使得，通過已知的條件，從而求得的度數(shù)，請你幫助小明寫出證明過程；【類比探究】(2)如圖2，已知．①當(dāng)射線在內(nèi)，求的度數(shù)②當(dāng)射線在下方，如圖3所示，請問的度數(shù)會變化嗎?若不變，請說明理由，若改變，請求出的度數(shù)；5．（1）如圖1，△ABC與△CDE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并證明：線段AE、BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)A，E，D在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，請判斷∠ADB的度數(shù)及線段CM，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．6．已知△ABC，分別以AB、AC為邊作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，連接DC與BE，G、F分別是DC與BE的中點(diǎn)．(1)如圖1，若∠DAB＝60°，則∠AFG＝；(2)如圖2，若∠DAB＝90°，則∠AFG＝；(3)如圖3，若∠DAB＝，試探究∠AFG與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．7．△ACB和△DCE是共頂點(diǎn)C的兩個(gè)大小不一樣的等邊三角形．(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接AE，BE．①求證：△ACD≌△BCE；②求∠AEB的度數(shù)．(2)類比探究：如圖2，點(diǎn)B、D、E在同一直線上，連接AE，AD，BE，CM為△DCE中DE邊上的高，請求∠ADB的度數(shù)及線段DB，AD，DM之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)拓展延伸：如圖3，若設(shè)AD（或其延長線）與BE的所夾銳角為α，則你認(rèn)為α為多少度，并證明．8．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等腰直角三角形，，連接，，點(diǎn)、、在同一條直線上，則的度數(shù)為__________，線段、之間的數(shù)量關(guān)系__________；（2）拓展探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，連接，，點(diǎn)、、不在一條直線上，請判斷線段、之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．（3）解決問題：如圖3，和均為等腰三角形，，則直線和的夾角為__________．（請用含的式子表示）9．已知，在中，，，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)．（1）觀察猜想如圖①，若點(diǎn)E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，則線段DE與DF的數(shù)量關(guān)系是______________；線段DE與DF的位置關(guān)系是______________．（2）類比探究如圖②，若點(diǎn)E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立，若成立，請證明：若不成立，請說明理由；（3）解決問題如圖③，若點(diǎn)E、F分別為AB、CA延長線的點(diǎn)，且，請直接寫出的面積．10．如圖，在等邊三角形右側(cè)作射線，點(diǎn)A關(guān)于射線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D，連接交于點(diǎn)E，連接．（1）用含的式子表示；（2）求的度數(shù)；（3）試探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．專題03手拉手模型基本模型：例題精講例1.（基本模型）問題情境：在自習(xí)課上，小雪拿來了如下一道題目（原問題）和合作學(xué)習(xí)小組的同學(xué)們交流，如圖①，△ACB和△∠CDE均為等腰三角形．CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE．點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，連接BE．求證：∠CDE=∠BCE+∠CBE．問題發(fā)現(xiàn)：小華說：我做過一道類似的題目：如圖②，△ACB和△CDE均為等邊三角形，其他條件不變，求∠AEB的度數(shù)．（1）請聰明的你完成小雪的題目要求并直接寫出小華的題目要求．拓展研究：（2）如圖③，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，CF為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請求∠AEB的度數(shù)及線段CF、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．答案:（1）證明見解析；∠AEB=；（2）∠AEB=；；理由見解析．【詳解】（1）小雪的題目：證明：在和中，又,；小華的題目：解：在和中，為等邊三角形又點(diǎn)A、D、E在同一條直線上（2）∠AEB=；；理由如下：△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，,即在和中，,點(diǎn)A、D、E在同一直線上．例2．（培優(yōu)綜合）（1）如圖1，和都是等邊三角形，且，，三點(diǎn)在一條直線上，連接，相交于點(diǎn)，求證：．（2）如圖2，在中，若，分別以，和為邊在外部作等邊，等邊，等邊，連接、、恰交于點(diǎn)．①求證：；②如圖2，在（2）的條件下，試猜想，，與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．答案:（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②，理由詳見解析【詳解】（1）證明：∵和都是等邊三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ABC+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴（SAS），∴BE=AD；（2）①證明：∵和是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，∴（SAS），∴AD=BE，同理：（SAS），∴AD=CF，即AD=BE=CF；②解：結(jié)論：PB+PC+PD=BE，理由：如圖2，AD與BC的交點(diǎn)記作點(diǎn)Q，則∠AQC=∠BQP，由①知，，∴∠CAD=∠CBE，在中，∠CAD+∠AQC=180°-∠ACB=120°，∴∠CBE+∠BQP=120°，在中，∠APB=180°-（∠CBE+∠BQP）=60°，∴∠DPE=60°，同理：∠APC=60°，∠CPD=120°，在PE上取一點(diǎn)M，使PM=PC，∴是等邊三角形，∴，∠PCM=∠CMP=60°，∴∠CME=120°=∠CPD，∵是等邊三角形，∴CD=CE，∠DCE=60°=∠PCM，∴∠PCD=∠MCE，∴（SAS），∴PD=ME，∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD．【變式訓(xùn)練1】現(xiàn)有一塊含30°角的直角三角板AOB，點(diǎn)N在其斜邊AB上，點(diǎn)M在其最短直角邊OA所在直線上．以MN為邊作如圖所示的等邊△MNP．（1）如圖1，當(dāng)M在線段OA上時(shí)，證明：AM﹣AN＝AP；（2）如圖2當(dāng)M在射線OA上時(shí)，試探究AM、AN、AP三者之間的數(shù)量關(guān)系并給出證明．答案:（1）見解析；（2）AM+AN=AP，理由見解析【詳解】證：（1）由題意可知，∠BAO=60°，如圖所示，在AB上取點(diǎn)C，使得AC=AM，則△ACM為等邊三角形，MC=MA，∠CMA=60°，∵△NMP為等邊三角形，∴MN=MP，∠NMP=60°，∴∠CMA=∠NMP，∴∠CMA-∠NMA=∠NMP-∠NMA，∴∠CMN=∠AMP，在△CMN和△AMP中，∴△CMN≌△AMP(SAS)，∴CN=AP，∴CN+AN=AP+AN=AC，∵AC=AM，∴AP+AN=AM，∴AM-AN=AP；（2）AM+AN=AP，理由如下：如圖所示，在射線AO上取點(diǎn)D，使得AN=AD，∵∠BAO=60°，∴△AND為等邊三角形，ND=NA，∠DNA=60°，∵△NMP為等邊三角形，∴NM=NP，∠MNP=60°，∴∠DNA=∠MNP，∴∠DNA+∠ANM=∠MNP+∠ANM，∴∠DNM=∠ANP，在△DNM和△ANP中，∴△DNM≌△ANP(SAS)，∴AP=DM，∵AN=AD，DA+AM=DM，∴AN+AM=AP．【變式訓(xùn)練2】如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一點(diǎn)，且DE＝CE，連接BD，CD．（1）判斷與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，若將△DCE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？并證明；（3）如圖3，將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變，求BD與AC夾角的度數(shù)．答案:（1），；（2），；（3）．【詳解】解：（1）與的位置關(guān)系是：，數(shù)量關(guān)系是．理由如下：如圖1，延長交于點(diǎn)．于，．，，，，，．，．AE⊥BC∴，，．（2）與的位置關(guān)系是：，數(shù)量關(guān)系是．如圖，線段AC與線段BD交于點(diǎn)F，線段AE與線段BD交于點(diǎn)G，，，即．，，，，．AE⊥BC∴，又∵，．（3）如圖，線段AC與線段BD交于點(diǎn)F，和是等邊三角形，，，，，，，在和中，，∴，，與的夾角度數(shù)為．【變式訓(xùn)練3】在ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B，C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）（請直接寫出你的結(jié)論）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上：①如果∠BAC＝90°，則∠BCE＝°；②如果∠BAC＝100°，則∠BCE＝°；（2）設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請畫出圖形，并直接寫出你的結(jié)論．答案:（1）①90；②80；（2）①α+β＝180°，理由見解析；②圖見解析，α+β＝180°或α＝β【詳解】解：（1）①∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABC＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，故答案為：90；②∵∠BAC＝100°，AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACB＝40°，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝40°，∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝40°+40°＝80°，故答案為：80．（2）①α+β＝180°，理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB＝β，∴∠B+∠ACB＝β，∵α+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°．②如圖1：當(dāng)點(diǎn)D在射線BC上時(shí)，α+β＝180°，連接CE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°，即：∠BCE+∠BAC＝180°，∴α+β＝180°，如圖2：當(dāng)點(diǎn)D在射線BC的反向延長線上時(shí)，α＝β．連接BE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE，∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠BCE+∠ABC＝180°，∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE．∴α＝β；綜上所述：點(diǎn)D在直線BC上移動，α+β＝180°或α＝β．【變式訓(xùn)練4】如圖1，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°．點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，連接BD，過點(diǎn)A作AE⊥BD交BD的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F．（1）求證：∠EAD＝∠CBD；（2）求證：BF＝2AE；（3）如圖2，將△BCF沿BC翻折得到△BCG，連接AG，請猜想并證明線段AG和AB的數(shù)量關(guān)系．答案:（1）見解析；（2）見解析；（3）：AG＝AB，理由見解析【詳解】（1）證明：∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，∵∠ADE＝∠BDC，∴∠EAD+∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CBD+∠BDC＝90°，∴∠EAD＝∠CBD；（2）證明：如圖1，連接CE，在BF上截取BP＝AE，連接CP，∵∠EAD＝∠CBD，AC＝BC，∴△AEC≌△BPC（SAS），∴CE＝CP，∠ACE＝∠BCP，∴∠ACE+∠DCP＝∠BCP+∠DCP，∴∠ECP＝∠DCB＝90°，∵CE＝CP，CF⊥BD，∴∠CEP＝∠CPF＝∠PCF＝45°，∴CF＝PF，∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AD＝CD，∵∠AED＝∠CFD＝90°，∠ADE＝∠CDF，∴△AED≌△CFD（AAS），∴AE＝CF，∴AE＝PF，∴BF＝BP+PF＝2AE；（3）結(jié)論：AG＝AB，證明如下：如圖2，取BG的中點(diǎn)H，連接CE，CH，AH，∴BH＝＝＝AE，∵∠HBC＝∠PBC＝∠EAC，∴∠EAC+∠CAB＝∠HBC+∠CBA，∴∠EAB＝∠HBA，∵AB＝BA，∴△AEB≌△BHA（SAS），∴∠BHA＝∠AEB＝90°，∴AH⊥BG，∵BH＝HG，∴AG＝AB．課后訓(xùn)練1．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點(diǎn)D為三角形右側(cè)外一點(diǎn)．且∠BDC＝45°．連接AD，若△ACD的面積為，則線段CD的長度為___．答案:【詳解】解：過點(diǎn)B作BE⊥BD，交DC的延長線于點(diǎn)E，連接AE，如圖所示：∵∠ABC＝90°，∴，∴，∵∠BDC＝45°，∠EBD＝90°，∴△EBD是等腰直角三角形，∴∠BDC=∠BED=45°，BE=BD，∵AB＝BC，∴△BCD≌△BAE（SAS），∴∠BDC=∠BEA=45°，AE=CD，∴，∵，∴，∴；故答案為．2．如圖1，在中，，，點(diǎn)D、E分別在邊AB，上，，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．(1)觀察猜想：圖中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；(2)探究證明：把繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸：把繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請直接寫出面積的最大值．答案:(1)，(2)是等腰直角三角形(3)【詳解】（1）點(diǎn)，是，的中點(diǎn)，，，點(diǎn)，是，的中點(diǎn)，∴，，∴，，，，∵，，∵，，，，，，故答案為：，；（2）是等腰直角三角形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)知，，∵，，，，，利用三角形的中位線得，，，，是等腰三角形，同（1）的方法得，，，同（1）的方法得，，，，，，，，是等腰直角三角形；（3）由（2）知，是等腰直角三角形，，最大時(shí)，面積最大，點(diǎn)在的延長線上，，，．3．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，和均為等邊三角形，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接，容易發(fā)現(xiàn)：①的度數(shù)為；②線段、之間的數(shù)量關(guān)系為；【類比探究】（2）如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接，試判斷的度數(shù)以及線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【問題解決】（3）如圖3，，，，，則的值為．答案:（1）①；②；（2），，見解析；（3）8【詳解】解：（1）∵和均為等邊三角形，∴，∴，即，在和中，，∴（），∴，∴，故答案為：；（2），理由如下：∵，和均為等腰直角三角形，∴，，，即，在和中，，∴（），∴，∴，∵，∴；（3）如圖3，過點(diǎn)C作，交的延長線于F，過點(diǎn)B作于E，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴（），∴，設(shè)，則，，∴∴，∴，，∴，∴在中，．故答案為：．4．已知在中，，過點(diǎn)B引一條射線，D是上一點(diǎn)【問題解決】(1)如圖1，若，射線在內(nèi)部，，求證：，小明同學(xué)展示的做法是：在上取一點(diǎn)E使得，通過已知的條件，從而求得的度數(shù)，請你幫助小明寫出證明過程；【類比探究】(2)如圖2，已知．①當(dāng)射線在內(nèi)，求的度數(shù)②當(dāng)射線在下方，如圖3所示，請問的度數(shù)會變化嗎?若不變，請說明理由，若改變，請求出的度數(shù)；答案:(1)見解析(2)①②；的度數(shù)會變化，理由見解析【詳解】（1）證明：如圖1，在上取一點(diǎn)E，使，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，即，∵在和中，∴，∴，∴；（2）證明：①在上取一點(diǎn)E，，如圖所示：∵，，∴，，∴，∴，∵在和中，∴，∴，∴；②的度數(shù)會變化，理由如下：在延長線上取一點(diǎn)E，使得，如圖所示：同理①的方法可證：，∴，∴．5．（1）如圖1，△ABC與△CDE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并證明：線段AE、BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)A，E，D在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，請判斷∠ADB的度數(shù)及線段CM，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．答案:（1）AE=BD，AE⊥BD，證明見解析．（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD．證明見解析【詳解】解：（1）如圖1中，延長AE交BD于點(diǎn)H，AH交BC于點(diǎn)O，∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠CBD=90°．∴∠AHB=90°，∴AE⊥BD．故答案為AE=BD，AE⊥BD；（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD，理由如下：如圖2中，∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠AEC=180°-∠CED=135°，由（2）可知：△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∠BDC=∠AEC=135°，∴∠ADB=∠BDC-∠CDE=135°-45°=90°；在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高，∴CM=DM=ME，∴DE=2CM，∴AD=DE+AE=2CM+BD．6．已知△ABC，分別以AB、AC為邊作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，連接DC與BE，G、F分別是DC與BE的中點(diǎn)．(1)如圖1，若∠DAB＝60°，則∠AFG＝；(2)如圖2，若∠DAB＝90°，則∠AFG＝；(3)如圖3，若∠DAB＝，試探究∠AFG與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．答案:(1)60°；(2)45°；(3)（180°﹣），證明見解析解析：（1）連接AG．∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE．在△ADC和△ABE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴DC＝BE，∠ADC＝∠ABE．∵G、F分別是DC與BE的中點(diǎn)，∴DGDC，BFBE，∴DG＝BF．在△ADG和△ABF中，，∴△ADG≌△ABF（SAS），∴AG＝AF，∠DAG＝∠BAF，∴∠AGF＝∠AFG，∠DAG﹣∠BAG＝∠BAF﹣∠BAG，∴∠DAB＝∠GAF．∵∠DAB＝60°，∴∠GAF＝60°．

∵∠GAF+∠AFG+∠AGF＝180°，∴∠AFG＝60°；故答案為60°，（2）連接AG，如圖2，∵∠DAB＝90°，∠DAB＝∠GAF，（已證）∴∠GAF＝90°，∵AG＝AF，∴∠AFG×（180°﹣90°）＝45°；故答案為45°，（3）連接AG，如圖3，∵∠DAB＝α，∠DAB＝∠GAF，（已證）∴∠GAF＝α，∵AG＝AF，∴∠AFG（180°﹣α）．7．△ACB和△DCE是共頂點(diǎn)C的兩個(gè)大小不一樣的等邊三角形．(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接AE，BE．①求證：△ACD≌△BCE；②求∠AEB的度數(shù)．(2)類比探究：如圖2，點(diǎn)B、D、E在同一直線上，連接AE，AD，BE，CM為△DCE中DE邊上的高，請求∠ADB的度數(shù)及線段DB，AD，DM之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)拓展延伸：如圖3，若設(shè)AD（或其延長線）與BE的所夾銳角為α，則你認(rèn)為α為多少度，并證明．答案:(1)①見解析；②∠AEB=60°；(2)∠ADB=60°，2DM+BD=AD，理由見解析；(3)α=60°，證明見解析解析：（1）①證明：∵△ACB和△DCE是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=60°-∠DCB=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）；②∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC=180°-∠CDE=120°，又∵∠CED=60°，∴∠AEB=60°；（2）解：∠ADB=60°，2DM+BD=AD，理由如下；∵AC=BC，CD=CE，∠ACD=60°+∠DCB=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CDA=∠CED=60°；∵∠ADB+∠CDA=∠DCE+∠CED，∴∠ADB=60°；又∵CM⊥BE，且△CDE為等邊三角形，∴DE=2DM，∴2DM+BD=BE=AD；（3）解：α=60°，理由如下：同理可證△ACD≌△BCE，∴∠BEC=∠ADC，∴∠CDF+∠CEF=180°，∴∠ECD+∠DFE=180°，而α+∠DFE=180°，∴α=∠ECD=60°．8．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等腰直角三角形，，連接，，點(diǎn)、、在同一條直線上，則的度數(shù)為__________，線段、之間的數(shù)量關(guān)系__________；（2）拓展探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，連接，，點(diǎn)、、不在一條直線上，請判斷線段、之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．（3）解決問題：如圖3，和均為等腰三角形，，則直線和的夾角為__________．（請用含的式子表示）答案:（1）90°，AD=BE；（2）AD=BE，AD