第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)綜合測試第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．(2023·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考期中)下列對應(yīng)是集合到集合的函數(shù)的是(

)A．，B．，，C．，D．，【答案】A【解析】對于A選項，滿足函數(shù)的定義，A選項正確；對于B選項，集合A中取，在集合B中沒有對應(yīng)元素，故B選項錯誤；對于C選項，集合A中取，在集合B中沒有對應(yīng)元素，故C選項錯誤；對于D選項，集合A中當(dāng)時，在集合B中都有兩個元素與x對應(yīng)，不滿足函數(shù)的定義，故D選項錯誤.故選：A．2．(2023·高一單元測試)函數(shù)的定義域為(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，解得且，故的定義域為.故選：D.3．(2023·高一課時練習(xí))已知是上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則(

)A．4 B． C．7 D．【答案】A【解析】當(dāng)時，，因為是上的奇函數(shù)，所以，所以.故選：A.4．(2023·高一課時練習(xí))已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法錯誤的是(

)

A．是函數(shù)的增區(qū)間 B．是函數(shù)的減區(qū)間C．函數(shù)在上是增函數(shù) D．函數(shù)在上是減函數(shù)【答案】C【解析】根據(jù)函數(shù)圖像可知函數(shù)在上遞增，在上遞減，故A，B正確；函數(shù)在上也單調(diào)遞增，但區(qū)間和不是連續(xù)區(qū)間，并且由圖象可知，因此不能說函數(shù)在上是增函數(shù)，C錯誤；由于函數(shù)在時有定義，由圖象可知，則為函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間，故函數(shù)在上是減函數(shù)，D正確，故選：C5．(2023·高一課時練習(xí))設(shè)函數(shù)，在區(qū)間上都是增函數(shù)，則在區(qū)間上，下列說法中：①是增函數(shù)；

②是增函數(shù)；③是增函數(shù)；

④是增函數(shù)．所有正確說法的個數(shù)是(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】因為函數(shù)，在區(qū)間上都是增函數(shù)，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，故①正確；對于②：令，，，顯然、在上單調(diào)遞增，當(dāng)時在上單調(diào)遞減，故②錯誤；對于③、④：令，，，顯然、在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，故③錯誤；則在上單調(diào)遞減，故④錯誤；故選：A6．(2023·高一單元測試)冪函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增，且，則的值(

)A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷【答案】A【解析】冪函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增，∴，解得m＝2，∴，∴在R上為奇函數(shù)，由，得，∵在R上為單調(diào)增函數(shù)，∴，∴恒成立．故選：A．7．(2023·陜西西安·高一長安一中?？计谀?已知正實數(shù)滿足則的最大值是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，因為，所以，即：，所以，解得：，又因為，為正實數(shù)，所以，所以的最大值為.故選：C.8．(2023·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末)設(shè)函數(shù)若存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍為(

)A． B．C． D．【答案】B【解析】由，函數(shù)開口向上且對稱軸為，且最小值為，當(dāng)，則在定義域上遞減，則，此時，若，即時，最小值為；若，即時，無最小值；當(dāng)，則在定義域上為常數(shù)，而，故最小值為；當(dāng)，則在定義域上遞增，且值域為，故無最小值.綜上，.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．(2023·廣東深圳·高一深圳外國語學(xué)校?？计谥?如圖1是某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的圖象.(收支差額＝車票收入-支出費用).由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員為扭虧為盈，分別提出了將圖1變?yōu)閳D2與圖3的兩種建議.下列關(guān)于兩種建議說法中正確的是(

)

A．圖2的建議是：支出不變，只提高票價B．圖2的建議是：只減少支出，票價不變C．圖3的建議是：減少支出，同時提高票價D．圖3的建議是：支出不變，只提高票價【答案】BD【解析】對于AB，由圖2可知，兩直線平行即票價不變，直線向上平移說明當(dāng)乘客量為時，收入是但是支出的變少了，即說明了此建議是減少支出而保持票價不變，A錯，B對；對于CD，由圖3可知，當(dāng)乘客量為時，支出不變，但是直線的傾斜角變大，即相同的乘客量時收入變大，即票價提高了，即說明了此建議是提高票價而保持成本不變，C錯，D對.故選：BD．10．(2023·高一單元測試)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的函數(shù)是(

)A． B．C． D．【答案】BD【解析】A選項，因為定義域為R，且，故為偶函數(shù)，A錯誤；B選項，定義域為，且，故為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，B正確；C選項，定義域為R，且，故為偶函數(shù)，C錯誤；D選項，定義域為R，且，故為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，D正確.故選：BD11．(2023·福建泉州·高一?？计谥?德國數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其名命名的函數(shù)，稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)有(

)A．函數(shù)的值域為 B．C． D．，都有【答案】ABD【解析】對于A，因為函數(shù)，所以的值城為，故A正確；對于B，因為，所以，故B正確；對于C，，，所以，，C錯誤；對于D，由題意，函數(shù)定義域為，且，所以，為偶函數(shù)，若是有理數(shù)，則也是有理數(shù)；若是無理數(shù)，則也是無理數(shù)；所以，根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，任取一個不為零的有理數(shù)，對恒成立，故，所以，都有，D正確.故選：ABD.12．(2023·廣東肇慶·高一廣東肇慶中學(xué)?？计谥?(多選)已知連續(xù)函數(shù)滿足：①，則有，②當(dāng)時，，③，則以下說法中正確的是()A．B．C．在上的最大值是10D．不等式的解集為【答案】ACD【解析】因為，則有，令，則，則，故A正確；令，則，令代，則，即，即，故B錯誤；設(shè)且，則，由，令，則，即，令，，則，即，因為時，，又，故，所以，所以，即在上單調(diào)遞減，又，所以，，又，所以，故在上的最大值為，故C正確；由，即，即，即，又因為，即，所以，即，故，即，解得，即原不等式的解集為，故D正確；故選：ACD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．(2023·廣東肇慶·高一廣東肇慶中學(xué)?？计谥?已知冪函數(shù)的圖象過點和，則實數(shù)m＝______.【答案】2【解析】由題意，設(shè)，因為冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，解得，所以.又冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以.故答案為：.14．(2023·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考期中)已知函數(shù)滿足，且在上為單調(diào)減函數(shù)，請你寫出符合上述條件的一個函數(shù)_______．【答案】(答案不唯一)【解析】由題意，函數(shù)滿足，可考慮冪函數(shù)，又因為在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，所以符合上述條件的一個函數(shù)為.故答案為：(答案不唯一)15．(2023·高一單元測試)己知函數(shù)滿足對任意，且，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【解析】因為對任意，且，都有成立，所以在上單調(diào)遞減.所以，解得.故答案為:.16．(2023·高一單元測試)函數(shù)的定義域為A，若且時總有，則稱為單函數(shù)．例如，函數(shù)是單函數(shù)．下列說法中：①函數(shù)是單函數(shù)；②函數(shù)是單函數(shù)；③若函數(shù)為單函數(shù)，且，則；④若函數(shù)是A上的單函數(shù)，則是A上的單調(diào)函數(shù)．其中所有正確說法的序號是__________．【答案】②③【解析】對于①，若函數(shù)是單函數(shù)，則由得,解得或，不滿足單函數(shù)的定義，故①錯誤；對于②，若函數(shù)是單函數(shù)，則由得，解得，滿足單函數(shù)的定義，故②正確；對于③，若函數(shù)為單函數(shù)，且時總有，其逆否命題為且，則，故③正確；對于④，對于，滿足函數(shù)是上的單函數(shù)，但在上不是單調(diào)函數(shù)，故④錯誤.故答案為:②③.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．(10分)(2023·廣東肇慶·高一廣東肇慶中學(xué)?？计谥?已知.(1)若不等式對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若，解不等式.【解析】(1)變形得到對一切實數(shù)x恒成立，當(dāng)時，，不對一切實數(shù)x恒成立，舍去；當(dāng)時，則需，解得，綜上，實數(shù)a的取值范圍是；(2)，即，因為，所以，因為，所以當(dāng)時，，解集為，當(dāng)時，，解集為，當(dāng)時，，解集為，綜上：當(dāng)時，的解集為，當(dāng)時，的解集為，當(dāng)時，的解集為.18．(12分)(2023·高一課時練習(xí))己知函數(shù)．(1)若函數(shù)的單減區(qū)間是，求實數(shù)a的值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上是單減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)依題意，，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，的對稱軸方程為，開口向上，所以的單減區(qū)間是，因為函數(shù)的單減區(qū)間是，所以.(2)依題意，，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，的對稱軸方程為，開口向上，所以的單減區(qū)間是，因為函數(shù)在區(qū)間上是單減函數(shù)，所以，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為.19．(12分)(2023·高一課時練習(xí))若函數(shù)對任意，恒有成立，且．(1)求證：是奇函數(shù)；(2)求的值；(3)若時，，試求在上的最大值和最小值．【解析】(1)定義域為，令，得，再令，得，所以，故是奇函數(shù)；(2)因為，故令得，即，又是奇函數(shù)，所以，令得，令得故；(3)不妨設(shè)，中，令得，，因為，又時，，所以，即，所以在R上單調(diào)遞減，故．20．(12分)(2023·廣東深圳·高一翠園中學(xué)校考期中)已知函數(shù)．(1)求與與；(2)由(1)中求得結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)與有什么關(guān)系？并證明你的發(fā)現(xiàn)；(3)求．【解析】(1)∵，∴，＝，，＝.(2)由(1)發(fā)現(xiàn).證明如下：＝++.(3).由(2)知，，…，∴原式.21．(12分)(2023·高一課時練習(xí))已知為奇函數(shù)．(1)求a，b的值；(2)試判斷的單調(diào)性；(3)試求的值域．【解析】(1)因為的定義域為，所以，則，又因為，所以，所以，所以,經(jīng)檢驗符合題意(2)由(1)知：．任取且，則，，所以所以在上是增函數(shù)．(3)由(2)知：在上是增