專題15等差數(shù)列及其前n項和

目錄

【題型一】等差數(shù)列概念及公式..................................................................2

【題型二】首項公差列方程型....................................................................3

【題型三】“高斯技巧”1：等差中項型...........................................................4

【題型四】“高斯技巧”2：奇數(shù)項和型...........................................................5

【題型五】“高斯技巧”3：首尾和...............................................................6

【題型六】比值型1：首項公差不定方程..........................................................6

【題型七】比值型2:雙數(shù)等差中項型............................................................8

【題型八】比值型3：雙數(shù)列下標不一致型.........................................................9

【題型九】比值型4：整數(shù)型....................................................................10

【題型十】前n,2n,3n項和應用...............................................................12

【題型十一】數(shù)列實際應用題...................................................................13

培優(yōu)第一階——基礎過關練.....................................................................14

培優(yōu)第二階——能力提升練......................................................................17

培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練.....................................................................19

綜述

L等差數(shù)列有關公式：

(1)通項公式：斯="1+("—l)d；(2)前"項和公式：S,產(chǎn)

2.等差數(shù)列常用結論：

若｛斯｝為等差數(shù)列，公差為d,前〃項和為S”則有：

(1)下標意識：若0+4=機+”，則知+&=4,"+。,,,特別地，若p+q=2A,則出+““=2次；

(2)隔項等差:數(shù)列,,?*+?,,必+2〃”…伏，mWN*)是公差為的_的等差數(shù)列；

(3)分段等差：數(shù)列S”，Sl,「Sn,52",…是公差為過的等差數(shù)列；

(4)數(shù)歹岬｝是公差為，的等差數(shù)列，其通項公式)=%+(0—*

3..等差數(shù)列與函數(shù)關系：

(1)經(jīng)整理為=力+(G—d),則數(shù)列｛〃“｝是等差數(shù)列o通項如為一次函數(shù)：即斯=加+%3、〃為常數(shù))；

(2)經(jīng)整理數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列US”為無常數(shù)項的二次函數(shù)：即S,=A/+B?4、B為常

數(shù)).

，看熱點題型歸納

【題型一】等差數(shù)列概念及公式

【典例分析】

已知數(shù)列｛《J,｛b?｝,匕｝均為等差數(shù)列，且=1,a2+h2+c2=3,則為)21+%2i+。2以=()

A.4037B.4039C.4041D.4048

【答案】C

【分析】根據(jù)｛4+2+&｝為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式可求得結果.

【詳解】｛4｝,也｝，匕｝為等差數(shù)列，.??｛?！?2+。,,｝為等差數(shù)列，

，｛a“+6"+c'”｝的首項為4+仿+J=1，公差"=(6+62+。2)-(4+自+。)=2,

/.叼⑼+^2021+0021=1+2020x2=4041.

故選：C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

等差數(shù)列有關公式：

(1)通項公式：斯=4|+公-1)”；

(2)前〃項和公式：S,尸必+若a=幽抖

【變式訓練】

1.若等差數(shù)列｛《,｝的公差為d，b?=can(c為常數(shù)且CKO)，則()

A.數(shù)列｛"｝是公差為d的等差數(shù)列

B.數(shù)列也J是公差為〃的等差數(shù)列

C.數(shù)列也J是首項為c的等差數(shù)列

D.數(shù)列也｝不是等差數(shù)列

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，計算由其結果即可判斷出答案.

【詳解】由題意可知2+i=ca,l+i-can=c(an+l-an)=cd,

所以數(shù)列｛〃,｝是以cd為公差的等差數(shù)列，

故選:B.

2.在等差數(shù)列｛?！埃?，若公差為d,%、,為數(shù)列的任意兩項，則當相羊〃時，下列結論：

①4”+%=（加+”）“；②=（"?一〃）"；③d=%~~—；?am=an+（m-n\d.

n-m

其中必定成立的有（）.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式依次討論即可得答案.

【詳解】解：由等差數(shù)列通項公式得4=?1+（加一1）4,4,=4+（〃-1"，相片“

所以4“+q,=勿[+（加+〃-2）4,am-a?^（m-n]d,d=%-%,a,“=%+（m-〃）d.

n-m

故②③④成立，①不成立.

故選：c

【題型二】首項公差列方程型

【典例分析】

在等差數(shù)列｛4"｝中，”|+能+”7=15,“2+45+4=21,則“4+%+”10的值為（）

A.33B.30C.27D.24

【答案】A

【分析】用基本量4,d表示題干條件，求出4/，即得解.

【詳解】因為數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，

[a.+a,+cu-\5（34+94=15[a,=-1

所以即J°,，解得]c，所以4+%+即＞=36+184=33.故選：A

[%+%+為=21[3〃]+12"=21[a=2

【提分秘籍】

基本規(guī)律

等差數(shù)列基礎思維：可■以設首項ai與公差d為變量，列出關于首項a,與公差d的方程進行求解

【變式訓練】

1.已知｛4｝是等差數(shù)列，q+“3+%=105,為+4+4=99,則公差"為（）

A.6B.-6C.-2D.2

【答案】C

【分析】設｛4｝的首項為叫，把己知的兩式相減即得解.

【詳解】解：設%的首項為％,根據(jù)題意得"'J8，

（"[q+d+q+3d+4+5d=99

兩式相減得d=-2.故選：C

2.等差數(shù)歹滿足/+。4=4,%+6=8,貝iJ%]+%2=（）

A.10B.12C.14D.16

【答案】B

【分析】由己知，利用等差數(shù)列的通項公式，可得關于首項與公差的方程組，求出首項與公差，可得答案.

(2a,+5(7=431

【詳解】由小+%=4,%+。8=8可得L,。，解得",=：，"=彳％+《2=2q+21</,

[24+134=8142

31

代入=可得.%+42=12故選：B.

3.在等差數(shù)列｛〃〃｝中，〃/+〃2+。3=21,a2a3=70,若。〃=61,則〃=()

A.18B.19C.20D.21

【答案】C

【分析】利用等差數(shù)列的下標和性質(zhì)求得〃2=7,進而得到〃3=10,求得公差，再求得首項，得到通項公式,

然后解得.

【詳解】由。什〃2+。3=3%=21,得出=7,々243=70,.,.43=10,?,?公差1=1。-7=3,

=a2-d=4,

〃〃=4+3(〃-1)=61,解得〃=20,故選：C.

【題型三】“高斯技巧”1:等差中項型

【典例分析】

等差數(shù)列｛凡｝中，若4+4+&+%)+&=120,則3a9-%=()

A.42B.45C.48D.51

【答案】C

【分析】結合等差數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.

【詳解】依題意｛《,｝是等差數(shù)列，

a4+4+/+4。+%2=5/=120,6二24,

3a9-q?=%+2a9-=a9+a7+an-aAi=2as=48.

故選：c

【提分秘籍】

基本規(guī)律

高斯技巧：即借助高斯1+2+3+4+5+...+100的計算方法。它體現(xiàn)了一下幾方面的等差數(shù)列思想

1.倒序求和思想。

2.等差中項思想

3.下標和思想：：若p+q=m+〃，則ao+aLam+a”

【變式訓練】

L在等差數(shù)列｛q｝中，/+《2=32,則％+%+4的值是()

A.24B.32C.48D.96

【答案】C

【分析】利用等差中項的性質(zhì)求得%=16,再由％+%+火=3%即可得結果.

【詳解】由題設，4+〃12=2%=32,則%=16,

所以+%=3%=48.故選：C

2.等差數(shù)列｛an｝中，的+ci4+的+%+47=450,求。2+。8=()

A.45B.75C.180D.300

【答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)：若加+〃=。+4,則4+%=%+%,運算求解.

【詳解】???｛a"｝為等差數(shù)列,則%+4+%+4+%=5%=450,即％=90

4+4=2%=180故選:C.

3.等差數(shù)列｛即｝中，a/+3?s+a/5—120,則2a9—a/o的值是（）

A.20B.22C.24D.8

【答案】C

【分而根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可求.

【詳解】因為“/+348+田5=5。8=120,所以圓=24,所以249—4/0=4/0+48—4/0="8=24.

故選：C.

【題型四】“高斯技巧”2：奇數(shù)項和型

【典例分析】

在等差數(shù)列｛q｝中，已知前21項和521=63,則%+4+/++%＞的值為（）

A.7B.9C.21D.42

【答案】C

【解析】利用等差數(shù)列的前為項和公式可得《+%=6,即可得知=3,再利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.

【詳解】設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則SOL?也；%）=63,

所以4+%=6,即2為=6,所以?！?3,

所以外+05+/++“20=（。2+“20）+（45+47）+（4+44）+4|

=2q[4-2。][+2〃U+41=7?！?7x3=21,

故選：C

【提分秘籍】

基本規(guī)律

利用“高斯技巧”，可得等差數(shù)列奇數(shù)項和公式：s2n+1=（2n+l）a?

【變式訓練】

1.等差數(shù)列｛4｝的前”項和為5"，若幾=1°，則％+卬=（）

45

A.1B.-C.-D.4

33

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式計算

【詳解】因為,=15（4；佝）=15（。；卬）=]0,所以為+勺二3.

故選：B

2.已知等差數(shù)列｛叫，其前〃項和為S",%+%+牝=9,則邑=（）

A.3B.7C.21D.42

【答案】C

【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得=3,而由求和公式可得S,=7%,代入可得答案.

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得為+%=2%,又為+%+%=9,

所以3q=9=4=3,而邑=7（4+%）=^^=7%=21故選:C.

22

3.設等差數(shù)列｛叫的前“項和為5",若生+%=1。，則Sg=（）

A.22.5B.45C.67.5D.90

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式進行求解.

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：4+%=/+%=1。，則Sg=色號叱=45.

故選：B

【題型五】“高斯技巧”3：首尾和

【典例分析】

已知一個有限項的等差數(shù)列｛“〃｝,前4項的和是40,最后4項的和是80,所有項的和是210,則此數(shù)列的

項數(shù)為（）

A.12B.14

C.16D.18

【答案】B

【分析】根據(jù)條件可得4/+42+田+〃4=40,劭+卬？/+2+。〃3=80,倒序相加可得4/+4〃=30,再代

入等差數(shù)列求和公式即可得解.

【詳解】由題意知。/+C12+田+Cl4=40?

an+ani+an2+〃〃3=80,兩式相力口得〃/+an=30.

又因為=△"；%）=拳=210,所以〃=14.故選：B

【變式訓練】

1.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為且％+。8="，510=Pm＞則2=（）

A.3B.5C.6D.10

【答案】B

【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前”項和公式，由題中條件，即可得出結果.

【詳解】因為數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，

由0,+4="?，S|o=p%可得，%==5（。3+“8）=5%=0，一則P=5.

故選：B.

2.等差數(shù)列｛%｝中，4+/+為=-24,/+49+/。=78,則此數(shù)列的前20項和等于（）

A.160B.180C.200D.220

【答案】B

【解析】把已知的兩式相加得到4+%。=18,再求$2。得解.

【詳解】由題得（6+〃20）+（%+。19）+（。3+《8）=一24+78=54,

所以3（4+%））=54」4+%）=18.

20

所以520=彳3+/0）=10'18=180.故選：B

3.等差數(shù)列｛初｝的前〃項和為M若川=1,呢./+即+而+尸27,且S/n=45,則加=（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】B

【彳血】根據(jù)等差中項可得，根=9,再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得結果.

【詳解】由4/九/+46+4/〃+/=27,得3am=27,am=9,

又S〃?=必"1=型土豆=也=5機=45,

222

所以加=9.故選:B.

【題型六】比值型1:首項公差不定方程

【典例分析】

設S,為等差數(shù)列｛4｝的前“項和，若色■=],則務=.

湖北省襄陽市第一中學2019-2020學年高二下學期5月月考數(shù)學試題

【答案】■22

【分析】先設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,根據(jù)題意，得出首項和公差直接的關系，再由求和公式，即可求出

結果.

【詳解】設等差數(shù)列｛。,,｝的公差為d,

a3a,+3d3,

因為上=彳，所以七7=7，即4=-9d,

a24a,+a4

?8x7

…SR丁"8a.+28d-72d+28d

所以-L=----乙——=—!---------22

1S4,4x3，4q+6d=石■.故答案為:

444aH-a1-364+6415

12

【提分秘籍】

基本規(guī)律

利用通項或前n項和公式，轉(zhuǎn)化出關于首項和公差的比值關系（不定方程），代入即可化簡求比值

【變式訓練】

1.已知等差數(shù)列｛《,｝的前八項和為S,,,若a尸0,$2=4,則詈=（）

857

A.1B.-C.-D.-

939

【答案】B

【分析】由4*0,邑=%可得q=2d,將%,S3都用，表示出來，即可得出答案.

【詳解】因為為等差數(shù)列，所以邑=4，則24+d=q+3d,所以q=2d,所以

由a,+6d8d8

W=3q+3d=^=》微選:B

2.設等差數(shù)列血｝的前〃項和為S”.若邑=25「則0=（）

a4

謂

A-3B-1cD-7

【答案】A

【分析】利用等差數(shù)列的前加項和公式，直接化簡，即可求解.

得7(q+%)=2X"(4+4J

【詳解】由57=25”,,即7a4=224,所以

22

故選：A

S,15S

3.已知等差數(shù)列｛%｝前〃項和為S",且寸=￡,則于等于（)

A-IB-33D-2

【答案】D

4。1+6d1.So

【分析】山題設及等差數(shù)列前〃項和公式可得表而7=鼻，求4，"的數(shù)量關系，進而求”即可.

OCZ|十ZtijClJJ|6

【詳解】設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

S,4a,+6d15\86+28d3,,,

由題設，學\"力=「，可得4=彳〃，二?故選:D.

oci｝+28c/323監(jiān)16q+12U41U

【題型七】比值型2：雙數(shù)等差中項型

【典例分析】

,、/、S,,2〃a,

設等差數(shù)列｛4｝，出｝的前〃項和分別是S“，若寧=7斤則廣（)

17「11「22、12

A.—B.—C.—D.—

20201717

【答案】B

【分析】利用/=襲求解.

。61\\

【詳解】解：因為等差數(shù)列｛叫，也｝的前"項和分別是s“Z，

ll(q+%)

所以?=萬玄-一—一2；1L=—2=2—吟.故選:B

%4+如1電+%)1133+7

22

【提分秘籍】

基本規(guī)律

雙等差數(shù)列：

等差數(shù)列｛4｝和｛"｝的前〃項和分別為S“才=4,貝，丁說

【變式訓練】

.S2〃-3ci

I?設等差數(shù)列｛4｝與圾｝的前〃項和分別為s”和r“，并且聲=1二不對于一切〃eN+都成立，則方（=（）

37八1-19

A.—B.—C.—D.—

715341

【答案】D

CL

【分析】利用等差數(shù)列的前〃項和的性質(zhì)可求,的值.

恁s2x11-319

【詳解】r力n而百=正故迄°

?、，、3n-1,a.

2.等差數(shù)列｛4｝、也｝的前"項和為九T.,且彳"=五百，則肅n=（）

131「29「29656

A.—B.—C.—D.—

27232341

【答案】D

【分析】利用等差數(shù)列性質(zhì)片=盧?得解

%l2n-\

【詳解】等差數(shù)列｛4｝、｛〃｝的前”項和為5“，

由性質(zhì)腎=2得

‘2"-1"10,20T’19

又冬=

_生1^=3X19-1=56

7],2〃+3'幾2x19+341"X"?

3.設S“，刀,分別是等差數(shù)列｛叫，間的前〃項和，若%=2用，則〉

79

A.2B.3C.4D.6

【答案】A

9（q+%）

【詳解】試題分析：由%=24,得詈=2,所以斗/2\=g=2,故選A.

打工,9（%+%）4

2

考點：1、等差數(shù)列的性質(zhì)；2、等差數(shù)列的前.〃項和公式.

【題型八】比值型3：雙數(shù)列下標不一致型

【典例分析】

S“=2"+1%

設等差數(shù)列｛“"｝與等差數(shù)列｛""｝的前〃項和分別為S",九若對于任意的正整數(shù)〃都有13/7-1,則%

（）

A.史B.衛(wèi)C.衛(wèi)D.史

52504846

【答案】B

【分析】先設S“=（2〃+l）〃r,Ttl=（3n-l）nr,由4=以-扁，4=G-4直接計算？?即可.

【詳解】設S“=（2〃+l）〃,7；,=（3?-l）m,ro.則4=$8-57=13a-105，=31/,

,431

4=7；-7；=234f-184f=50f,所以j=否.故選：B.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

任一等差數(shù)列的前n項和，可以有函數(shù)關系：

Sn=1n2+（al—§n,數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列uSn為無常數(shù)項的二次函數(shù)：即Sn=An2+Bn（A、B為常

數(shù)）。

所以，等差數(shù)列｛""｝和色"｝的前”項和分別為S”和7”，可以利用等差數(shù)列前n項和為一元二次型（既

約型）

【變式訓練】

,、,、A,2〃+1"+歷

1.已知兩個等差數(shù)列｛《,｝和也｝的前"項和分別為A”和8“，且?=一二，則[=()

fi--i口5十

26

D.

57

【答案】D

【分5】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)與前〃項公式化簡即可求解.

b2+々瓦+比=2Bq=29+4=26

【詳解】由%+4+a7|(…/無=三礪丁彳故選：口

2.已知均為等差數(shù)列的｛%｝與｛么｝的前"項和分別為S“，T?,且率=必并，則詈譽的值為()

/〃〃十1々十4()

【答案】A

【分析】設S,=也(2〃+3),7；=也(〃+1),由氏=$5-54，4="-〈，即可求解結果.

,a.+%2asa.S2〃+3

【詳解】因為7^廣=泰=”，又因為hn=—yr

瓦+%2b6b6Tnn+1

所以可設S“=kn(2n+3),Tn=An(n+l),

則氏=S5-S』=65k-44k=21k,4=7；-4=42Z-30k=12A

a.21a】+47

所以廣=不，即六管=7?故選：A

a12b2+bl04

3.設等差數(shù)列｛(｝,他,｝的前〃項和分別是集?，若^=「77,則優(yōu)=()

322

A.1B.一一C.—D.2

417

【答案】A

【分析】先由題設條件求得S”與7；的表達式，再求得%與外的表達式，即可求得結果.

【詳解】由題設可令5〃=2癡2,4=/1〃(3〃+7),人工0,

又當幾.2時，an=Sn-Sn_x=2(2n-l)2,bn=Tn-Tn_x=2(3H+2)2,

.?.4=22/1,4=222,，強=1.故選:A.

【題型九】比值型4：整數(shù)型

【典例分析】

已知兩個等差數(shù)列｛4｝和低｝的前〃項和分別為S.和7"，且自='詈，則使得去為整數(shù)的正整數(shù)”的值

為.

【答案】2、4、14

【分析】利用等差數(shù)列前”項和公式求得*的表達式，結合*為整數(shù)求得正整數(shù)”的值.

b?bn

(2"T)(q+%T)

【詳解】由題意可得衿=“0]、/丁"：=’：”一?：“=?，

(2"-1)佃+邑1)(2〃-1血b?

2

冏4=52“J3(2〃7)+393〃+1815

b?T2n_x(2n-l)+3n+l'〃+1，

由于今為整數(shù)，則〃+1為15的正約數(shù)，則〃+1的可能取值有3、5、15,

因此，正整數(shù)”的可能取值有2、4、14.

故答案為：2、4、14

【提分秘籍】

基本規(guī)律

一般比值正數(shù)型，主要以分離常數(shù)為處理技巧。

【變式訓練】

L已知等差數(shù)列｛4｝和等差數(shù)列也｝的前"項和分別為S“，7；且（”+l）S.=（7〃+23）7；,則使會為整數(shù)的正

n

整數(shù)〃的個數(shù)是（）

A.2B.6C.4D.5

【答案】C

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列前"項和公式化簡?，進而求得符合題意的正整數(shù)〃的個數(shù).

b,.

/\7/?+23

【詳解】依題意（〃+l）S“=（7〃+23）&y=-j-,

q=2《，_4+色,一_2'）

bn2b."+%i1+%⑶]）

7（2〃-l）+2314”+167/7+87]8

（2n—1）+12nnn

所以小為整數(shù)的正整數(shù)”為L2,4,8,共4個.故選：c

2.已知兩個等差數(shù)列｛4｝和低｝的前"項和分別為4和紇，且去=a萼，*=_____F為整數(shù)的正整

di〃十J%Dn

數(shù)〃的取值集合為.

【答案】9｛2,3,5,11｝

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)與前”項和公式可得?=*,然后利用整數(shù)知識可得”的取值.

B2rLi

A7〃+45

【詳解】?士=u

Bnn+3

,a5_2as（4+%匕=&=7x9+45_1089

.仄=西=屹+亦1瓦=9+3=五=

%近1=&=皆心=1±1=3=7+上，它為整數(shù)，

b?芻旦%-（2n-l）+32〃+2〃+1〃+1'匕〃危型’

2rl—1

即〃+1=1（舍去）或〃+1=3或〃+1=4或〃+1=6或〃+1=12,從而〃=2,3,5,11,

集合為{2,3,5,11}

故今為整數(shù)的正整數(shù)〃的取值集合為｛2,35,11｝.

故答案為：9;｛2,3,5,11｝.

3.已知等差數(shù)列｛%｝和色｝的前”項和分別為S“和7”，且苔=一則使得/為整數(shù)的正整數(shù)4的個數(shù)

是()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】由等差數(shù)列的求和公式，得到q=盤號，4=鼻，求得魯=6+與，即可求解.

2k2k-\"人K

【詳解】因為所以4=M，同理可得仇=箝，

22K-12K-1

ak_$2，-1_6（2"1）+38=6?16

則

4一1一（21）+1-k

當％=1,2,4,8,16時，詈為整數(shù),即滿足條件的K的個數(shù)為5.

故選：C.

【題型十】前n,2n,3n項和應用

【典例分析】

在等差數(shù)列｛4｝中，前”項和為$“，且率=3,則率=()

45

A.-B,一C.2D.3

33

【答案】C

【分析】山名=3,設S4=r(rfO),可得$8=3,,山等差數(shù)列的性質(zhì)可知邑、s8-s4,$-$8成等差數(shù)列,

從而可得20-S,)=-",化簡可得結果

【詳解】設$=(片0),可得以=美，

由等差數(shù)列的前1項和的性質(zhì)可知邑、Ss-S4＞兀-S3成等差數(shù)列，

則2(S8—SJ=S4+(S「S8),解得L=3(S「SJ=&,

因此，率=*2.故選：c.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

等差數(shù)列前n項和有“分段等差”性質(zhì)：

數(shù)列*，S2,-Sn,S3.-S2”，…是公差為過的等差數(shù)列

【變式訓練】

1.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為5.，若S,=2,S2“=6,則邑“=（）

A.8B.12C.14D.20

【答案】D

【分析】依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)去求54?的值

【詳解】等差數(shù)列｛4｝的前"項和為S?,S“=2,52?-S?=6-2=4

則S“，S2?-S?,Sin-S2n,$3”構成首項為2,公差為2的等差數(shù)列

貝IJS4n=Sn+（S2?-S?）+（SM-S2?）+（S4?-S3?）=2+4+6+8=20

故選：D

2.已知等差數(shù)列｛4｝的前”項和為S“，若&=9,56=63,則%+6+%等于（）

A.63B.71C.99D.117

【答案】C

【分析】由等差數(shù)列的前”項和性質(zhì)，求出Sg,進而得到％+%+%.

【詳解】由等差數(shù)列｛《,｝的前”項和性質(zhì)，

得：S，S6-S3,Sg-56也成等差數(shù)列,

Bp2（56-S3）=53+59-56,

又因邑=9,$6=63,則解得Sg=162,

因此%+/+a）=59-S6=162-63=99.

故選：C.

3.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“且q=d=9,若邑"-邑”=$2“-邑+729,則〃的值為（）

A.8B.9C.16D.18

［答案］B

【1"涼】結合等差數(shù)列前〃項和的知識化簡已知條件，從而求得正確答案.

【詳解】依題意，等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,且q=d=9,

若S3,「S2“=S2,—S,+729，

4”+|+%，，+2++為，，=凡“+凡+2++/，，+729，

4，，+1+6，，+2++%，-（%+，+4+2++4，，）=729，

x9=729,〃=9.故選：B

【題型十一】數(shù)列實際應用題

【典例分析】

北宋科學家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)隙積術，是研究某種物品按一定規(guī)律堆積起來求其總數(shù)問題.南宋數(shù)

學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，發(fā)展了隙積術的成果，對高階等差數(shù)列求和問題提

出了一些新的垛積公式.高階等差數(shù)列的前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次成等差數(shù)列.現(xiàn)

有二階等差數(shù)列：2,3,5,8,12,17,23…則該數(shù)列的第41項為（）

A.782B.822C.780D.820

【答案】B

【分析】利用等差數(shù)列的通項公式和累加法求通項可求解.

【詳解】設該數(shù)列為｛q｝,

由題可知，數(shù)列｛。m-4｝是以生=1為首項」為公差的等差數(shù)列，

所以%-a.=l+(〃T)xl=",

所以(4-4)+(q_4)++(a“+i=1+2++n.

〃5+1)〃("+1)?2

所以a.+i-4，所以4+1

2

所以%=^—+2=822,故選:B.

【變式訓練】

1.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題:從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷

雨、立夏、小滿、芒種，這十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為33

尺，前九個節(jié)氣日影長之和為108尺，則谷雨日影長為()

A.5.5B.8C.12D.16

【答案】D

【分析】由題意可得4+4+%=3339=108,解方程組求出從而可求得答案

【詳解】解：等差數(shù)列的公差為d,由題意可得

〃1+%+%=33；4++341d=112,解得4=8

59=108d=\

所以=8+〃-I="+7,

所以谷雨日影長為4=9+7=16,

故選：D

2.中國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：今有米二百四十石，令甲，乙，丙、丁，戊五人遞差

分之，要將甲、乙二人數(shù)與丙、丁，戊三人數(shù)同.問：各該若干？其大意是：現(xiàn)有大米二百四十石，甲，乙，

丙，丁，戊五人分得的重量依次成等差數(shù)列，要使甲，乙兩人所得大米重量與丙，丁，戊三人所得大米重

量相等，問每個人各分得多少大米？在這個問題中，丁分得大米重量為()

A.32石B.40石C.48石D.56石

【答案】B

【分析】由等差數(shù)列設甲，乙，丙，丁，戊所得大米重量%,a-d,a,a+d,a+2d,根據(jù)已知條

件列方程求參數(shù)“、d,即可求丁分得大米重量.

【詳解】設甲，乙，丙，丁，戊所得大米分別為a-27,a-d,a,a+d,a+2d,

二依題意，a—2d+a—d=a+a+d+a+2d,EPa=-6d,

5l.a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=240,解得。=48,

綜上，可得d=-8,

二丁分得大米重量為a+d=40(石)，故選：B.

M分階培優(yōu)練

培優(yōu)第一階——基礎過關練

1.己知伍"是等差數(shù)列，且2%=為+3,則%=()

A.1B.3C.5D.7

【答案】B

【分病】結合等差數(shù)列通項公式即可解決.

【詳解】設等差數(shù)列的公差為d，由2%=%+3得，2(q+7")=4+8d+3,

則4+6d=3=%.故選：B.

2.設等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為%若%=1,%+%=8,則59=()

A.60B.62C.63D.81

［答案］C

【分析】利用等差數(shù)列的通項公式和前“項和公式直接求解.

【詳解】設等差數(shù)列的公差為乙

a1+d=1q+d=1

10+53,解得

由題可得即

q+2d+q+3d=8d=2

所以數(shù)列｛4｝的通項公式為=-1+2(n-1)=2〃-3,

所以Sg=9(”佝)=63.故選:c.

3.己知數(shù)列｛a,,｝與也｝均為等差數(shù)列，且。3+d=4,火+4=8,則為+以=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因為名+以=4,%+d=8,

所以內(nèi)+05+a5+d=12,

即為+。5+4+4=12,

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知%+%+4+4=2%+24=12,

所以4+4=6.故選:B.

4.設等差數(shù)列｛《,｝的前〃項和為S“，若%+%=-1。，&=-42,則品,=()

A.-12B.10C.12D.20

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計算得到公差〃=4,?,=-17,再利用等差數(shù)列求和公式進