計(jì)算機(jī)圖形學(xué)主要知識(shí)點(diǎn)歸納

第一章

計(jì)算機(jī)圖形學(xué)是:研究怎么利用計(jì)算機(jī)來顯示、生成和處理圖形的

原理、方法和技術(shù)的一門學(xué)科。

計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的研究對(duì)象是圖形。構(gòu)成圖形的要素有兩類：一類是

幾何要素（刻畫圖形狀的點(diǎn)、線、面、體），另一類是非幾何要素（反映

物體表面屬性或材質(zhì)的明暗、灰度、色彩）…

計(jì)算機(jī)表示圖和形常有兩種方法：點(diǎn)陣法和參數(shù)法。

數(shù)字圖像處理

圖形圖像處理相關(guān)學(xué)科間的關(guān)系

軟件的標(biāo)準(zhǔn)：SGI等公司開發(fā)的OpenGL,微軟開發(fā)的Direct

X,Adobe的Postscript等。

計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與制造（CAD/CAM）

計(jì)算機(jī)圖形系統(tǒng)可以定義為計(jì)算機(jī)硬件、圖形輸入輸出設(shè)備、計(jì)

算機(jī)系統(tǒng)軟件和圖形軟件的集合。

交互式計(jì)算機(jī)圖形系統(tǒng)應(yīng)具有計(jì)算、存儲(chǔ)、對(duì)話、輸入和輸出等

五方面的功能。

真實(shí)感圖形的生成一般須經(jīng)歷場(chǎng)景造型、取景變換、視域裁剪、

消除隱藏面及可見面光亮度計(jì)算等步驟。

虛擬現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)又稱虛擬現(xiàn)實(shí)環(huán)境，是指由計(jì)算機(jī)生成的一個(gè)實(shí)時(shí)三

維空間。用戶可以在其“自由地”運(yùn)動(dòng)，隨意觀察周圍的景物，并可通

過一些特殊的設(shè)備與虛擬物體進(jìn)行交互操作。

科學(xué)計(jì)算可視化是指運(yùn)用計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和圖像處理技術(shù)，將科學(xué)計(jì)

算過程及計(jì)算結(jié)果的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為圖形及圖像在屏幕上顯示出來并進(jìn)行

交互處理的理論、方法和技術(shù)。

第二章

鼠標(biāo)器是用來產(chǎn)生相對(duì)位置。鼠標(biāo)器按鍵數(shù)分為兩種：MS型鼠標(biāo)

（雙按鍵鼠標(biāo)）和PC型鼠標(biāo)（三按鍵鼠標(biāo)）。

觸摸屏也叫觸摸板，分為：光學(xué)的紅外線式觸摸屏、電子的電阻式

觸摸屏和電容式觸摸屏、聲音的聲波式觸摸屏。

數(shù)據(jù)手套是由一系列檢測(cè)手和手指運(yùn)動(dòng)的傳感器的構(gòu)成。來自手

套的輸入可以用來

給虛擬場(chǎng)景的對(duì)象定位或操縱該場(chǎng)景。

顯示設(shè)備的另一個(gè)重要組成部分的是顯示控制器。它是控制顯示

器件和圖形處理、轉(zhuǎn)換、信號(hào)傳輸?shù)挠布糠郑饕瓿蒀RT的同步控

制、刷新存儲(chǔ)器的尋址、光標(biāo)控制以及圖形處理等功能。

陰極射線管CRT由電子槍、偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)及熒光屏3個(gè)基本部分組

成。電子槍的主要功能是產(chǎn)生一個(gè)沿管軸（Z軸）方向前進(jìn)的高速的細(xì)電

子束（轟擊熒光屏）。

光柵的枕形失真是由于同樣的偏轉(zhuǎn)角增量所造成的偏轉(zhuǎn)距離增量

的最大。

熒光粉的余輝特性是指這樣一種性質(zhì)：電子束轟擊熒光粉時(shí)，熒光

粉的分子受激而發(fā)光，當(dāng)電子束的轟擊停止后，熒光粉的光亮并非立即

消失，而是按指數(shù)規(guī)律衰減，這種特性叫余輝特性。余輝時(shí)間定義為，從

電子束停止轟擊到發(fā)光亮度下降到初始值的1%所經(jīng)歷的時(shí)間。

CRT圖形顯示器分為：隨機(jī)掃描的圖形顯示器，直視存儲(chǔ)管圖形顯示

器，光柵掃描的圖形顯示器。

目前常用的PC圖形顯示子系統(tǒng)主要由3個(gè)部件組成：幀緩沖存儲(chǔ)

器、顯示控制器和一個(gè)ROMBIOS芯片。

分辨率分為屏幕分辨率、顯示分辨率和圖形存儲(chǔ)分辨率。3種分辨

率的概念既有區(qū)別又有聯(lián)系，對(duì)圖形的顯示都會(huì)產(chǎn)生一定的影響。在三

者之間，屏幕分辨率決定了所能顯示的最高分辨率；但顯示分辨率和存

儲(chǔ)分辨率對(duì)所能顯示的圖形分辨率也有控制作用。如果存儲(chǔ)分辨率小

于屏幕分辨率，盡管顯示分辨率可以提供最高的屏幕分辨率，屏幕上也

不能顯示出應(yīng)有的顯示模式。存儲(chǔ)分辨率還必須大于顯示分辨率，否則

不能夠顯示出應(yīng)有的顯示模式。

第三章

圖形輸入設(shè)備的邏輯分類：定位設(shè)備、筆劃設(shè)備、數(shù)值設(shè)備、選擇

設(shè)備、拾取設(shè)備、字符串設(shè)備。

引力域、橡皮筋技術(shù)、草擬技術(shù)

第四章

按所構(gòu)造的圖形對(duì)象可分為規(guī)則對(duì)象和不規(guī)則對(duì)象。

規(guī)則對(duì)象是指能用歐式幾何進(jìn)行描述的形體。其造型又稱為幾何

造型。

一個(gè)完整的幾何模型應(yīng)包括物體的各部分幾何形狀及其在空間的

位置（即幾何信息）和各部分之間的連接關(guān)系（即拓?fù)湫畔ⅲ?/p>

不規(guī)則對(duì)象的造型系統(tǒng)，大多采用過程式模擬，即用一個(gè)簡(jiǎn)單的模

型以及少量的易于調(diào)節(jié)的參數(shù)來表示一大類對(duì)象，不斷改變參數(shù)，遞歸

調(diào)用這一模型就能一步一步地產(chǎn)生數(shù)據(jù)量很大的對(duì)象，這一技術(shù)也被稱

為數(shù)據(jù)放大技術(shù)。

不規(guī)則對(duì)象造型方法主要有：基于分?jǐn)?shù)維理論的隨機(jī)模型、基于文

法的模型、粒子系統(tǒng)模型和非剛性物體模型等等。

一般在二維圖形系統(tǒng)將基本圖形元素稱為圖素或圖元，而在三維圖

形系統(tǒng)稱為體素。

圖素是指可以用一定的幾何參數(shù)和屬性參數(shù)描述的最基本的圖形

輸出元素，包括點(diǎn)、線、圓、圓弧、橢圓、二次曲線等。體素是三維空

間可以用有限個(gè)尺寸參數(shù)定位和定形的最基本的單元體。段是指具有

邏輯意義的有限個(gè)圖素（或體素）及其附加屬性的集合。

幾何信息一般指形體在歐式空間的位置和大?。欢?fù)湫畔t是形

體各分量（點(diǎn)、

線、面）的數(shù)目及其相互間的連接關(guān)系。

拓?fù)涞葍r(jià)即一個(gè)圖形作彈性運(yùn)動(dòng)可使之與另一個(gè)圖形重合。

坐標(biāo)系分為：建模坐標(biāo)系（又稱造型坐標(biāo)系，用來定義基本圖素或圖

段，對(duì)于定義的每一個(gè)形體和圖素都有各自的子坐標(biāo)原點(diǎn)和長(zhǎng)度單位。

又可看做是局部坐標(biāo)系）、用戶坐標(biāo)系（也稱為世界坐標(biāo)系，用于定義用

戶整圖或最高層圖形結(jié)構(gòu)）、觀察坐標(biāo)系（主要用途，一是用于指定裁剪

空間，確定形體的哪一部分要顯示輸出；二是通過定義觀察（投影）平面,

把三維形體的用戶坐標(biāo)變換成規(guī)格化的設(shè)備坐標(biāo)。）、規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)

系（用來定義視圖區(qū)）、設(shè)備坐標(biāo)系（是圖形輸入輸出設(shè)備的坐標(biāo)系）。

所謂二維流形指的是對(duì)于實(shí)體表面上的任意一點(diǎn)，都可以找到一個(gè)

圍繞著它的任意小的領(lǐng)域，該領(lǐng)域與平面上的一個(gè)圓盤式拓?fù)涞葍r(jià)的。

實(shí)體的定義：對(duì)于一個(gè)占據(jù)有限空間的正則形體，如果其表面是二

維流形，則該正則形體為實(shí)體。

實(shí)體模型的表示大致分為邊界表示、構(gòu)造實(shí)體幾何表示、空間分

割表示。

分形幾何表示的物體具有無限的自相似性的基本特征。

形狀語法通常將一組產(chǎn)生式規(guī)則應(yīng)用到初始物體，從而增加與原形

狀協(xié)調(diào)的細(xì)節(jié)層次。

給定一組產(chǎn)生式規(guī)則，形狀設(shè)計(jì)者可以在從給定初始物體到最終物

體結(jié)構(gòu)的每一次變換應(yīng)用不同的規(guī)則。

第五章

圖形的掃描轉(zhuǎn)換定義為在光柵顯示器等數(shù)字設(shè)備上確定一個(gè)最佳

逼近與圖形的像素集的過程。逼近過程的本質(zhì)可以認(rèn)為是連續(xù)量向離

散量的轉(zhuǎn)換。

數(shù)值微分算法

點(diǎn)Bresenham算法

改進(jìn)的Bresenham算法

點(diǎn)Bresenham畫圓

橢圓的點(diǎn)Bresenham算法

從多邊形頂點(diǎn)表示到點(diǎn)陣表示的轉(zhuǎn)換，這種轉(zhuǎn)換就成為掃描轉(zhuǎn)換多

邊形或多邊形的填充，即從多邊形的頂點(diǎn)出發(fā)，求出位于其內(nèi)部的各個(gè)

像素，并將其顏色值寫入幀緩存的相應(yīng)單元。

X—掃描線算法填充多邊形的基本思想是按掃描線順序，計(jì)算掃描

線與多邊形的相交區(qū)間，再用要求的顏色顯示這些區(qū)間的像素，即完成

填充工作。

邊緣填充算法的基本思想是按任意順序處理多邊形的每一條邊。

在處理每一條邊時(shí)，首先求出該邊與掃描線得交點(diǎn)，然后將每一條掃描

線上交點(diǎn)右方的所有像素取補(bǔ)。多邊形的所有處理完畢之后，填充即完

成。

柵欄填充算法的基本思想同樣是按照任意順序處理多邊形的每一

條邊，但是在處理每條邊與掃描線的交點(diǎn)時(shí)，將交點(diǎn)與柵欄之間的像素

取補(bǔ)。

區(qū)域填充是指從區(qū)域的一個(gè)點(diǎn)（種子）開始，由內(nèi)向外將填充色擴(kuò)展

到整個(gè)區(qū)域內(nèi)的過程。

對(duì)區(qū)域進(jìn)行內(nèi)一外測(cè)試通常用奇一偶規(guī)則和非零環(huán)繞數(shù)規(guī)則。

奇一偶規(guī)則的測(cè)試方法是:從任意位置，假定為P點(diǎn)，做一條射線，

若與該射線相交的多邊形邊的數(shù)目為奇數(shù)，則P點(diǎn)是多邊形內(nèi)部點(diǎn)，否

則是多邊形的外部點(diǎn)。

另一個(gè)進(jìn)行內(nèi)-外測(cè)試的方法是非零環(huán)繞數(shù)規(guī)則。首先按逆時(shí)針方

向?qū)Χ噙呅蔚捻旤c(diǎn)進(jìn)行排序，使多邊形的邊變?yōu)槭噶?，然后將環(huán)繞數(shù)初

始化為零,再?gòu)娜我馕恢茫俣?/p>

為P點(diǎn)，作一條射線，該射線不與任何多邊形頂點(diǎn)相交。當(dāng)從P點(diǎn)

沿射線方向移動(dòng)時(shí)，對(duì)在每個(gè)方向上穿過射線的邊計(jì)數(shù)，每當(dāng)多邊形的

邊從右到左穿過射線時(shí)，環(huán)繞數(shù)加1,從左到右時(shí)，環(huán)繞數(shù)減lo處理完

多邊形的所有相關(guān)邊之后,若環(huán)繞數(shù)為零，則P為內(nèi)部點(diǎn)，否則,P為外部

點(diǎn)。

用離散量表示連續(xù)量引起的失真就叫走樣。

用于減少或消除這種效果的技術(shù)叫做反走樣。

反走樣方法：在高于顯示分辨率的較高分辨率下用點(diǎn)取樣方法計(jì)算,

然后對(duì)幾個(gè)像素的屬性進(jìn)行平均得到較低分辨率下的像素屬性。這種

技術(shù)稱為過取樣，或后濾波。

反走樣的另一種方法是根據(jù)圖形對(duì)象在每個(gè)像素點(diǎn)上的覆蓋率來

確定像素點(diǎn)的亮度，這種計(jì)算覆蓋率的反走樣技術(shù)稱為區(qū)域取樣，或前

濾波。

第六章

規(guī)范化齊次坐標(biāo)表示就是h=l的齊次坐標(biāo)表示。

二維變換矩陣

[x'y'l]=[xyl]*T（2D）=[xy1]*

可把T（2D）分為4個(gè)子矩陣：

Tl=是對(duì)圖形進(jìn)行比例、轉(zhuǎn)移、對(duì)稱、錯(cuò)切等變換。

T2=[lm]是對(duì)圖形進(jìn)行平移變換。

T3=是對(duì)圖形作投影變換。

T4=[s]是對(duì)圖形作整體比例變換。

平移變換

比例變換

旋轉(zhuǎn)變換

對(duì)稱變換

二維圖形幾何變換的計(jì)算

相對(duì)任一參考點(diǎn)的二維幾何變換

相對(duì)任意方向的二維幾何變換

坐標(biāo)系之間的變換

直接對(duì)幀緩存的像素點(diǎn)進(jìn)行操作的變換一般稱為光柵變換。

變換的性質(zhì)：（1）直線的點(diǎn)不變性，即原直線點(diǎn)變換后仍是直線的

點(diǎn)。（2）平行直線不變性，即平行直線作相同變換后仍平行。⑶相交不

變性，兩條直線相交，交點(diǎn)變換后仍是交點(diǎn)。（4）僅包含旋轉(zhuǎn)、平移和反

射的仿射變換維持角度和長(zhǎng)度的不變性。（5）比例變化可改變圖形的大

小和形狀。（6）錯(cuò)切變化引起圖形角度關(guān)系的改變，甚至導(dǎo)致圖形發(fā)生

畸變。

在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)，將在用戶坐標(biāo)系需要進(jìn)行觀察和處理的一個(gè)坐標(biāo)

區(qū)稱為窗口；將窗口映射到顯示設(shè)備上的坐標(biāo)區(qū)域稱為視區(qū)。因此，窗

口是在用戶坐標(biāo)系定義的，而視區(qū)是在設(shè)備坐標(biāo)系（屏幕坐標(biāo)系）定義

的。窗口定義了要顯示什么，而視區(qū)定義在何處顯示。

將窗口到視區(qū)的變換稱為觀察變換。

所謂觀察坐標(biāo)系是依據(jù)窗口的方向和形狀在用戶坐標(biāo)系定義的直

角坐標(biāo)系。

應(yīng)

程

到

，

?

形

端

用

坐

H上

P161變焦距效果（窗口變、視區(qū)不變）

P162整體放縮效果（窗口不變、視區(qū)變）

編碼裁剪算法

梁友東-Barsky算法

逐邊裁剪算法，其基本思想是將多邊形邊界作為一個(gè)整體，每次用

窗口的一條邊界對(duì)要裁剪的多邊形進(jìn)行裁剪，體現(xiàn)分而治之的思想。

雙邊裁剪算法，不能裁剪凹多邊形。

第七章

三維齊次坐標(biāo)變換矩陣

正投影（投影線與投影面垂直）

平面幾何投

.影，

「平行投影透視投影

1LJI.

,I、I,I、，I、:一

，正投影斜投影］1r一點(diǎn)透視］二視三點(diǎn)透視

J■JI.JIJI

」三視圖」斜等測(cè),

I■」I/

」主視圖］|_［斜二測(cè)’

I-IJ

」側(cè)視圖,

I/

|_［俯視圖

IJ

J正軸測(cè),

\___/

J正等測(cè),

_［正二測(cè),

X.J

」正三測(cè),

S.____________>

三維幾何變換矩陣

P'=［x'y'z,1］=P*T(3D)=Exyz1］*

可將T(3D)分為4個(gè)子矩陣:

Tl=作用是對(duì)點(diǎn)進(jìn)行比例、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、錯(cuò)切變換。T2=[l

mn]作用是對(duì)點(diǎn)進(jìn)行平移變換。

T3=作用是進(jìn)行透視投影變換。

T4=[s]作用是產(chǎn)生整體比例變換。

平移變換

比例變換

旋轉(zhuǎn)變換

對(duì)稱變換

錯(cuò)切變換

相對(duì)任一參考點(diǎn)的三維變換

繞任意軸的三維旋轉(zhuǎn)變換

平行投影還變具有較好的性質(zhì)：能精確地反映物體的實(shí)際尺寸，即

不具有透視縮小性。另外平行線經(jīng)過平行投影變換后仍保持平行。

三視圖

主視圖

俯視圖

側(cè)視圖

正軸測(cè)圖的投影變換矩陣

斜投影圖，即斜軸測(cè)圖，是將三維形體向一個(gè)單一的投影面做平行

投影。但投影方向不垂直于投影面所得到的平面圖形。

透視投影的特性：透視縮小效應(yīng)，即三維形體透視投影的大小與形

體到投影心的距離成反比。

對(duì)于透視投影，一束平行于投影面的投影可保持平行。而不平行于

投影面的平行線的投影會(huì)聚集到一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做滅點(diǎn)。

坐標(biāo)軸方向的平行線在投影面上形成的滅點(diǎn)又稱為主滅點(diǎn)。主滅

點(diǎn)最多有三個(gè)。

一點(diǎn)透視有一個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與坐標(biāo)軸正交，與另外兩個(gè)坐標(biāo)

軸平行。

二點(diǎn)透視有兩個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與兩個(gè)坐標(biāo)軸相交，與另一個(gè)坐

標(biāo)軸平行。

三點(diǎn)透視有三個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與三個(gè)坐標(biāo)軸都相交。

一點(diǎn)透視（變換）

二點(diǎn)透視（變換）

觀察空間：將觀察窗口沿投影方向作平移運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生的三維形體。

三維觀察流程如下：

應(yīng)用

到

形

的用

戶

標(biāo)

坐

用戶坐標(biāo)

1T

用戶坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系間的變

I觀察坐標(biāo)

規(guī)范化投影變換

蛔唧化投影坐標(biāo)

三維裁剪

規(guī)范化投影坐標(biāo)

1r

正投影

規(guī)范化二維坐標(biāo)

1r

二維變換輸出

設(shè)備坐標(biāo)

在圖形設(shè)備上輸出

在觀察坐標(biāo)系對(duì)三維形體實(shí)施平行投影，其變換等同于先實(shí)施將平

行投影的觀察空間變換為平行投影的規(guī)范化觀察空間的變換，即平行投

影的規(guī)范化投影變換，再進(jìn)行正投影。

第八章

曲線曲面的表示要求：惟一性、幾何不變性、易于定界、統(tǒng)一性、

易于實(shí)現(xiàn)光滑連接、幾何直觀。

曲面曲線的表示

樣條曲線是指由多項(xiàng)式曲線段連接而形成的曲線，在每一段的邊界

處滿足特定的連續(xù)條件。

樣條曲面則可以用兩組正交樣條曲線來描述，有不同的樣條描述方

法，每種方法都是一種帶有特定邊界條件的特殊多項(xiàng)式表達(dá)類型。

當(dāng)用一組型值點(diǎn)來指定曲線曲面的形狀時(shí)，形狀完全通過給定的型

值點(diǎn)列，用該方法得到曲線曲面稱為曲線曲面的擬合。而當(dāng)用一組控制

點(diǎn)來指定曲線曲面的形狀時(shí)，求出的形狀不必通過控制點(diǎn)列，該方法稱

為曲線曲面的逼近。另外，求給定型值點(diǎn)之間曲線上的點(diǎn)稱為曲線的差

值。

一般將連接有一定次序控制點(diǎn)的直線序列稱為控制多邊形或特征

多邊形。

P218

參數(shù)曲線段Pi=Pi(t)te[tiO,til]

參數(shù)連續(xù)性：0階參數(shù)連續(xù)性，記作cO連續(xù)性，是指曲線的幾何位置

連接，即第一個(gè)曲線段在til處的x.y,z值與第二個(gè)曲線段在t(i+l)0

處的x,y,z值相等。：Pi(til)=P(t(i+l)0)

(i+D

1階參數(shù)連續(xù)性，記作C1連續(xù)性，指代表兩個(gè)相鄰曲線段的方程在

相交點(diǎn)處有相同的一階導(dǎo)數(shù)(切線)：Pi(til)=P(i+l)(t(i+l)O)且

P4(til)=P,(i+1)(t(i+l)O)2階參數(shù)連續(xù)性，記作c2連續(xù)性，支

兩個(gè)相鄰曲線段的方程在相交點(diǎn)處具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)。對(duì)于

c2連續(xù)性，交點(diǎn)處的切向量變換率相等，即切線從一個(gè)曲線段平滑地變

化到另一個(gè)曲線段。

幾何連續(xù)性：曲線段相連的另一個(gè)連續(xù)性條件，與參數(shù)連續(xù)性不同

的是，它只需要曲線段在相交處的參數(shù)導(dǎo)數(shù)成比例即可。

0階幾何連續(xù)性，記作GO連續(xù)性，與0階參數(shù)連續(xù)性的定義相同，滿

足:Pi(til)=P(i+1)(t(i+l)0)

1階幾何連續(xù)性，記作G1連續(xù)性，指一階導(dǎo)數(shù)在相鄰段的交點(diǎn)處成

比例，則相鄰曲線段在交點(diǎn)處切向量的大小不一定相等。

2階幾何連續(xù)性，記作G2連續(xù)性，指相鄰曲線段在相交處其一階和

二階導(dǎo)數(shù)均稱比例。G2連續(xù)性下，兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處的曲率相等。

C=Ms*G其,G是包含樣條形式的幾何約束性條件(邊界條件)在

內(nèi)的(n+1)*3階矩陣，它包含了控制點(diǎn)的坐標(biāo)值和其他已被指定的幾何

約束性。Ms是(n+l)*(n+l)階矩陣，也稱為基矩陣，它將幾何約束值轉(zhuǎn)

化成為多項(xiàng)式系數(shù)且提供了樣條曲線的特征，刻劃了一個(gè)樣條表示。

樣條參數(shù)多項(xiàng)式曲線的矩陣:P(t)=T*Ms*G其,T和Ms確定了

一組新的基函數(shù)，或稱為混合函數(shù)。

三次多項(xiàng)式方程是能表示曲線段的端點(diǎn)通過特定點(diǎn)且在連續(xù)處保

持位置和斜率的連續(xù)性的最低階次的方程。

Bezier曲線段以參數(shù)方程表示：

P(t)=EPkBENk,n(t)te[0,1]

其，BENk,n(t)=

一次Bezier曲線n=l時(shí)，有兩個(gè)控制點(diǎn)P0和Pl,Bezier多項(xiàng)式

是一次多項(xiàng)式：P(t)=(l-t)PO+tPlte[0,1]

二次Bezier曲線n=2時(shí)，有3個(gè)控制點(diǎn)P0、Pl和P2,Bezier多

項(xiàng)式是二次多項(xiàng)式：

P(t)=(P2-2Pl+P0)t2+2(Pl-P0)t+P0te[0,1]

則二次Bezier曲線為拋物線，其矩陣形式為

P(t)=[t2t1]*

三次Bezier曲線

主要看要TO)、(8-11).(8-12).(8-13)(8-14)

Bezier曲線的性質(zhì)：

(1)端點(diǎn)、

(2)一階導(dǎo)數(shù)

(3)二階導(dǎo)數(shù)

(4)對(duì)稱性

(5)凸包性

(6)幾何不變性

(7)變差減少性

(8)控制頂點(diǎn)變化對(duì)曲線形狀的影響

B樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式為P(t)=EPkBk,m(t)

其,Pk(k=O,l,…n)為n+1個(gè)控制點(diǎn)，又稱為deBoor點(diǎn)。由控制

點(diǎn)順序連成的折線稱為B樣條控制多邊形，簡(jiǎn)稱控制多邊形。m是2到

控制點(diǎn)個(gè)數(shù)n+1之間的任一整數(shù)(m=l時(shí)由如下Bk,m(t)定義，“曲

線”正好是控制點(diǎn)本身)。參數(shù)t的選取取決于B樣條節(jié)點(diǎn)矢量的選

取。Bk,m(t)是B樣條基函數(shù)，由Cox-deBoor遞歸公式可定義為

(8-19)

M是曲線的階數(shù)，(mT)為B樣條曲線的次數(shù)，曲線在連接點(diǎn)處具有

(m-2)階連續(xù)。tk是節(jié)點(diǎn)值,T=(tO,tl,…tn+m)構(gòu)成m-1次B樣條

函數(shù)的節(jié)點(diǎn)矢量，其節(jié)點(diǎn)是非減序列，所生成的B樣條曲線定義在從節(jié)

點(diǎn)值tm-1到節(jié)點(diǎn)值tm+1的區(qū)間上，而每個(gè)基函數(shù)定義在t的取值范

圍內(nèi)的tk到tk+m子區(qū)間上。P231

節(jié)點(diǎn)矢量分為三種：均勻的、開放均勻的和非均勻的。

均勻周期性B樣條曲線的推導(dǎo)

曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)值：P(start)=l/2(P0+Pl),P(end