Page14河北省2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期11月月考試題考生留意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清晰．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、解三角形、平面對量、復(fù)數(shù)、數(shù)列、立體幾何．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合{正奇數(shù)}，，若，則M中的運算“⊕”是（）A．加法B．除法C．乘法D．減法2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第四象限，若，則（）A．B．C．D．3．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，若，則（）A．B．51C．D．4．設(shè)函數(shù)的定義域為，則函數(shù)與的圖象關(guān)于（）A．直線對稱B．直線對稱C．直線對稱D．直線對稱5．已知函數(shù)，則取最大值時，x的一個值為（）A．B．C．D．6．記為數(shù)列的前n項和，“對隨意正整數(shù)n，均有”是“為遞減數(shù)列”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件7．已知點M是所在平面內(nèi)一點，若，則與的面積之比為（）A．B．2C．D．8．已知某四面體的三組對棱的長分別相等，依次為3，4，x，則x的取值范圍是（）A．B．C．D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．若函數(shù)，則（）A．是奇函數(shù)B．是偶函數(shù)C．沒有最小值D．沒有最大值10．給定平面，設(shè)A，B是外隨意兩點，則（）A．在內(nèi)存在直線與直線異面B．在內(nèi)存在直線與直線相交C．在內(nèi)存在直線與直線平行D．存在過直線的平面與垂直11．已知，則下列命題正確的是（）A．若角是第一象限角，則B．若角是其次象限角，則C．若角是第三象限角，則D．若角是第四象限角，則12．如圖，在長方體中，，點P為空間一點，若，，則下列推斷正確的是（）A．線段長度的最小值為號B．當時，三棱錐的體積為定值C．無論取何值，點P與點Q不行能重合D．當時，四棱錐的外接球的表面積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若向量滿意，則____________．14．已知函數(shù)若對隨意恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_____________．15．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，則的最小值為____________．16．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則的取值范圍是___________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）在公差不為0的等差數(shù)列中，成公比為的等比數(shù)列，又數(shù)列滿意．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．18．（本小題滿分12分）如圖，在直棱柱中，與交于點E．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．19．（本小題滿分12分）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A為鈍角，且．（1）探究A與B的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）求的取值范圍．20．（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿意．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求通項公式；（2）證明：數(shù)列中的隨意三項都不成等差數(shù)列；（3）若關(guān)于正整數(shù)n的不等式的解集中有且僅有三個元素，求實數(shù)m的取值范圍．21．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，平面，且四邊形為直角梯形，，，．（Ⅰ）求平面與平面夾角的余弦值；（2）定義兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上隨意一點到另一條直線距離的最小值，利用此定義求異面直線與之間的距離．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）求的圖象在處的切線方程；（2）已知在上的最大值為，探討關(guān)于x的方程在內(nèi)的根個數(shù)，并加以證明．高三數(shù)學(xué)參考答案、提示及評分細則1．C若，則，因此解除ABD，故選C．2．D由題意，得，則，解得（2舍去），所以．故選D．3．B∵，∴，，解得，則．故選B．4．C設(shè)函數(shù)的圖象上隨意一點，則關(guān)于直線的對稱點為．又函數(shù)中，當時，，所以在的圖象上．故函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱．故選C．5．C．當時，等號成立，取，得x的一個值為．故選C．6．A當時，則，∴，則“對隨意正整數(shù)n，均有”是“為遞減數(shù)列”的充分條件；如數(shù)列為，明顯數(shù)列是遞減數(shù)列，但是不肯定小于零，還有可能大于或等于零，所以“對隨意正整數(shù)n，均有”不是“為遞減數(shù)列”的必要條件，因此“對隨意正整數(shù)n，均有”是“為遞減數(shù)列”的充分不必要條件．故選A．7．B如圖，延長交于G，則，因為A，M，G三點共線，所以，即，所以，則，故且，又，故，所以，所以．所以．故選B．8．D如圖所示，設(shè)，四面體可以由和在同一平面的沿著為軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成，前三個圖探討最短：當向趨近時，漸漸削減，，可以構(gòu)成的四面體；當時，構(gòu)成的四面體，不滿意題意；所以滿意題意的四面體第三對棱長大于．后三個圖探討最長：當向趨近時，漸漸增大，，可以構(gòu)成的四面體；當時，構(gòu)成的四面體，不滿意題意；所以滿意題意的四面體第三對棱長小于．綜上，．故選D．9．BD易知的定義域為，且，都有，所以為偶函數(shù)，故B正確，A錯誤；因為，所以，所以沒有最大值，有最小值0，故C錯誤，D正確．故選BD．10．AD因為A，B是外的隨意兩點，所以直線與平面相交或平行．若與平面相交，設(shè)交點為O，則內(nèi)不過交點O的直線與異面，但平面內(nèi)不存在與平行的直線；若與平面平行，則在內(nèi)存在直線b與平行，而在內(nèi)與b相交的直線與異面，但內(nèi)不存在直線與相交，由上知A正確，B、C均錯誤；無論與平面平行還是相交，過A作平面的垂線，則這條垂線與直線所在平面與平面垂直（假如垂線與重合，則過的隨意平面都與垂直），D正確．故選AD．11．BCD設(shè)角的終邊分別為射線，．對于A，如圖1，，此時，所以，故A錯誤；對于B，如圖2，，此時，且，所以，故B正確；對于C，如圖3，，此時，且，所以，故C正確；對于D，如圖4，，即，故D正確．故選BCD．12．ABD由A得點P在平面內(nèi)，故的最小值為點A到平面的距離，利用等積法易求，故A正確；當時，點Q的軌跡為圖中直線，明顯，易得平面，故三棱錐的體積為定值，故B正確；由，則點Q在平面內(nèi)，又點P在平面內(nèi)，且平面平面，故P，Q可能重合，故C錯誤；當時，點Q為的中點，連接，其與的交點為，連接，則，設(shè)四棱錐的外接球的球心為O，則O在上，設(shè)球O的半徑為R，則，解得．故球O的表面積為，故D正確．故選ABD．13．由得，即，結(jié)合，得，所以，即．14．由題意，當時，，只需恒成立，即恒成立，因為時，的最大值為，所以；當時，，只需恒成立，即恒成立，因為時，的最小值為2，所以．故a的取值范圍為．15．，則原等式為，由正弦定理得，，當且僅當時取等號，所以的最小值為．16．由題意可得所以，令，．令，則在上恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即的取值范圍是．17．解：（1）公差d不為0的等差數(shù)列中，成公比為的等比數(shù)列，所以，所以，解得，所以．（2）由（1）可得，當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時，．所以18．（1）證明：分別取線段的中點F，G，連結(jié)，如圖所示．因為點F是線段的中點，，以，所以四邊形是平行四邊形，所以．在中，點F是線段的中點，點E是線段的中點，所以．因為點G是線段的中點，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又，所以．又平面平面，所以平面．（2）解：在直棱柱中，平面，又平面，所以．又平面，所以平面，又平面，所以．不妨設(shè)，以B為坐標原點，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，所以．設(shè)平面的一個法向量，所以即令，解得，所以平面的一個法向量．設(shè)直線與平面成角的大小為，則，即直線與平面所成角的正弦值是．19．解：（1）A與B之間的關(guān)系是，證明如下：因為，由正弦定理，得，所以，即，又因為，所以，于是，所以．（2）由（1）知，，所以，所以，所以．令，則且，所以．當時，取得最大值，最大值為，當或0時，的值為1，所以的取值范圍是．20．（1）證明：由，得，即．又．則有，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以．（2）證明：假設(shè)存在成等差數(shù)列，則，即，整理得，易知上式左側(cè)為偶數(shù)，右側(cè)為奇數(shù)，不行能為奇數(shù)，則上式左側(cè)與右側(cè)不行能相等，故數(shù)列中的隨意三項都不成等差數(shù)列．（3）解：關(guān)于正整數(shù)n的不等式，即，當時，；當時，；當時，；當時，，并且當時，．所以當時，數(shù)列單調(diào)遞減，要使關(guān)于正整數(shù)n的不等式的解集中有且僅有三個元素，則，放實數(shù)m的取值范圍為．21．解：以A為原點，分別以棱所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則各點的坐標為．（1）因為平面，且面，所以D，又，且，所以平面，所以是平面的一個法向量，．因為．設(shè)平面的法向量為，則．即令，解得，所以是平面的一個法向量．從而，所以平面與平面所成夾角的余弦值為．（2）易知，設(shè)Q為直線上一點，且，又，則，所以點Q到直線的距離．因為，所以．所以異面直線與之間的距離為．22．解：（1）因為，所以，，所以