Page182024年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考考試時間：120分鐘滿分：150分一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知函數(shù)，則實數(shù)（）A.4 B.3 C. D.1【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)，利用即可.【詳解】因為，所以，則，故選：B.2.等差數(shù)列的前項和是，且滿意，若存在最大值，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得，再由等差數(shù)列的性質(zhì)對選項一一推斷即可得出答案.【詳解】因為等差數(shù)列存在最大項，故等差數(shù)列的公差，又，即，即，則，故選項A錯誤；，故選項B正確；，故選項C錯誤；而，故選項D錯誤；故選：B.3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B. C. D..【答案】C【解析】【分析】依據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及一元二次不等式進(jìn)行求解.【詳解】由有：，解得或，依據(jù)對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則有：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，故A，B，D錯誤.故選：C.4.若二項式綻開式中存在常數(shù)項，則正整數(shù)n可以是（）A.3 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】首先寫出綻開式的通項公式，令的指數(shù)為，即可求出，從而得到的特征，即可推斷求解.【詳解】二項式綻開式的通項為，令，解得：，又因為且為整數(shù)，所以為的倍數(shù)，所以，故選：.5.雙曲線的左?右焦點是、，點在雙曲線上，若，則（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】對點的位置進(jìn)行分類探討，結(jié)合雙曲線的定義可求得的值.【詳解】在雙曲線中，，，，設(shè)點，易知，若點在雙曲線的右支上，則，，由雙曲線的定義可得，可得，不合乎題意；若點在雙曲線的左支上，則，，由雙曲線的定義可得，可得，合乎題意.綜上所述，.故選：A6.現(xiàn)從2個男生2個女生共4人中隨意選出2人參與巴蜀中學(xué)高三年級的百日誓師大會，已知選出的2人中有一個是男生，則另一個是女生的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列舉法求古典概型概率.【詳解】假設(shè)兩名男生為，，兩名女生為，，從中任選兩人有男生的狀況有：，，，，共5種狀況，其中一男一女的狀況有4種，故所求概率為，故選：C7.如圖，在正三角形的12個點中任取三個點構(gòu)成三角形，能構(gòu)成三角形的數(shù)量為（）A.220 B.200 C.190 D.170【答案】C【解析】【分析】利用間接法，用總數(shù)減去不能構(gòu)成三角形的狀況即可.【詳解】任取三個點有種，其中三點共線的有種，故能構(gòu)成三角形個，故選：C.8.已知函數(shù)的定義域為，對隨意大于的實數(shù)，都滿意，若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推斷出的大小關(guān)系.【詳解】函數(shù)的定義域為，對隨意大于的實數(shù)，都滿意，即，若，則；若，則，令，則在上遞增，所以，即，由得，由得，所以.故選：B二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下述四個結(jié)論正確的是（）A.過點與圓相切的直線方程為B.直線與圓相交充分不必要條件是C.直線表示過點的全部直線D.過點且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是【答案】AB【解析】【分析】A選項設(shè)過點與圓的切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出直線的斜率即可，選項B利用充分不必要條件進(jìn)行推斷即可,選項C利用反例即可驗證，選項D分截距為0，或不為0的狀況探討求出即可.【詳解】對于選項A，設(shè)過點與圓相切的直線方程為：，由題設(shè)得：，即，解得，所以過點與圓相切的直線方程為，故A正確，選項B，若直線與圓相交，則，所以是直線與圓相交的充分不必要條件，故B正確，選項C，點在軸上，但是無論取何值，直線不能表示軸上的直線，故C不正確，選項D，若截距為0時，設(shè)直線方程為，將點代入得：，所以方程為：，若截距不為0時，設(shè)在坐標(biāo)軸上的截距為，則設(shè)直線方程為：，將點代入得：，所以所求方程為：.故選項D不正確，故選：AB.10.函數(shù)，以下說法正確的是（）A.函數(shù)有零點 B.當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點C.函數(shù)有且只有一個零點 D.函數(shù)有且只有兩個零點【答案】BC【解析】【分析】利用導(dǎo)函數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)的最值，依據(jù)零點存在定理求解即可.【詳解】，定義域，所以，令解得，令解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則的圖象如圖所示：故A錯誤；又當(dāng)時，，所以從圖像可得，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點，B正確；恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以函數(shù)有且只有一個零點，C正確，D錯誤；故選：BC11.若，則（）A B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用賦值法令求出推斷A，令，得到兩式，兩式相加、相減即可推斷BC，令推斷D．【詳解】令時，，故A錯誤；時，；時，；所以，，B正確；，C錯誤；令，可得，故，故D正確.故選：BD．12.如圖，在棱長為2的正方體中，是線段的中點，點滿意，，其中，則（）A.存在，使得B.當(dāng)取最小值時，C.當(dāng)時，直線與平面所成角的正弦值為D.當(dāng)時，過三點的平面截正方體得到的截面多邊形面積為【答案】BCD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量空間中的垂直，距離，夾角等問題.【詳解】以D為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，。，，若，則即,因為，明顯，所以不成立，A錯誤；最小時，是的公垂線段，，，，，解得，B正確．當(dāng)，，，，設(shè)平面的法向量為，則取，則，.故直線與平面所成角的正弦值為，C正確當(dāng)時，在取靠近點的三等分點，連接并延長交于點，易得點是靠近點的三等分點，取靠近點的三等分點，如圖所示，過三點的平面截正方體得到的截面多邊形為四邊形，則，且，又因為平面，所以，即，則四邊形為矩形，又，，求得面積為，D正確.故選：BCD【點睛】方法點睛：空間中的動點問題是指在肯定的約束條件下，點的位置發(fā)生改變，在改變過程中找出規(guī)律，將動點問題轉(zhuǎn)化為“定點”問題、將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題、將立體幾何的問題轉(zhuǎn)化為解析幾何的問題等，目的是把問題回來到最本質(zhì)的定義，定理或現(xiàn)有的結(jié)論中去，也可以通過建系用坐標(biāo)法構(gòu)建函數(shù)，或者借助空間向量求得結(jié)果.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知一個圓錐底面積，體積為，則該圓錐側(cè)面積為__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)該圓錐的底面圓半徑為高為依據(jù)面積和體積可求出，繼而算出母線長，即可求出答案【詳解】設(shè)該圓錐的底面圓半徑為高為由底面積為，體積為可得，解得，所以圓錐母線長為，所以該圓錐側(cè)面積為故答案為：14.將8個人分成三組，其中一組由2人組成，另外兩組都由3人組成，則不同的分組方法種數(shù)為______.【答案】280【解析】【分析】組合問題中既有均分又有非均分，先從8個人中選出3人為一組，再從5人中選出3人為一組，留意均分分組中的依次問題，剩余兩人為一組.【詳解】先從8個人中選出3人為一組，再從5人中選出3人為一組，剩余兩人為一組.滿意條件的分組方法種數(shù)為.故答案為：280.15.已知函數(shù)與函數(shù)存在一條過原點的公共切線，則__________.【答案】【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別表示公切線方程，再由公切線過過原點得出.【詳解】設(shè)該公切線過函數(shù)、函數(shù)的切點分別為，.因為，所以該公切線的方程為同理可得，該公切線的方程也可以表示為因為該公切線過原點，所以，解得.故答案為：16.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點，設(shè)P為線段AB的中點，若，則雙曲線的離心率為_____________．【答案】##【解析】【分析】由可得點P，求得,由點差法得,可求得離心率.【詳解】如圖:,由,,可得點P的坐標(biāo)為，則直線OP斜率為,直線AB斜率為，另一方面，設(shè)則,兩式相減得,整理得,即，故．故答案為:四?解答題：本題共6小題，共70.0分.17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，求△ABC的面積S的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)誘導(dǎo)公式以及二倍角公式即可化簡，進(jìn)而可求值域，（2）依據(jù)結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而由余弦定理以及不等式即可求解.【小問1詳解】，∴的值域為．【小問2詳解】，即，由,得∴，即，又，即，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取得．18.一批同型號的螺釘由編號為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的三臺機(jī)器共同生產(chǎn)，各臺機(jī)器生產(chǎn)的螺釘占這批螺釘?shù)陌俜致史謩e為35%，40%，25%，各臺機(jī)器生產(chǎn)的螺釘次品率分別為3%，2%和1%.（1）求從這批螺釘中任取一件是次品的概率；.（2）現(xiàn)從這批螺釘中抽到一顆次品，求該次品來自Ⅱ號機(jī)器生產(chǎn)的概率.【答案】（1）0.021（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)條件概率的計算公式求解即可；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，再依據(jù)條件概率的計算公式求解即可；【小問1詳解】設(shè)A表示“螺釘是次品”，B1表示“螺釘由Ⅰ號機(jī)器生產(chǎn)”，B2表示“螺釘由Ⅱ號機(jī)器生產(chǎn)”，B3表示“螺釘由Ⅲ號機(jī)器生產(chǎn)”，則P（B1）=0.35，P（B2）=0.4，P（B3）=0.25，P（A|B1）=0.03，P（A|B2）=0.02，P（A|B3）=0.01，P（A）=P（AB1）+P（AB2）+P（AB3）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+P（A|B3）P（B3）=0.03×0.35+0.02×0.4+0.01×0.25=0.021，【小問2詳解】由（1），結(jié)合題意可得P（B2|A）===19.已知等差數(shù)列的前項和為.（1）求的通項；（2）設(shè)數(shù)列滿意：的前項和為，求使成立的最大正整數(shù)的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】【分析】（1）利用表示題干條件，求解即可得解；（2）先證明是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式求解，解不等式即可.【小問1詳解】由題意，設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，又，即，解得，故.【小問2詳解】由題意，又，故是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，若，即，即，又，故的最大值為.20.如圖，三棱錐中，點在底面的射影在的高上，是側(cè)棱上一點，截面與底面所成的二面角的大小等于的大小.（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面所成夾角的余弦值.【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理證明；（2）建系，求平面的法向量，利用空間向量處理面面夾角問題.【小問1詳解】連接∵平面，平面，則又∵，，平面∴平面平面，則∴截面與底面所成二面角的平面角為，則∴，即，平面∴平面【小問2詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點，所在的方向為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則有：設(shè)平面的法向量為，則令，則∴同理可得：平面的法向量為∵∴平面與平面所成夾角的余弦值為.21.已知圓的圓心為，點是圓上的動點，點是拋物線的焦點，點在線段上，且滿意.（1）求點的軌跡的方程；（2）不過原點的直線與（1）中軌跡交于兩點，若線段的中點在拋物線上，求直線的斜率的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）依題意，依據(jù)橢圓的定義可得到軌跡為橢圓，再由幾何關(guān)系得到相應(yīng)的參數(shù)值即可得到橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程并且和橢圓聯(lián)立，依據(jù)韋達(dá)定理得到中點坐標(biāo)，將點Q坐標(biāo)代入拋物線方程得到，將此式代入得到，解不等式即可.【小問1詳解】易知點是拋物線的焦點，，依題意，所以點軌跡是一個橢圓，其焦點分別為，長軸長為4，設(shè)該橢圓的方程為，則，，故點的軌跡的方程為.【小問2詳解】易知直線1的斜率存在，設(shè)直線1：，由得：，，即①又，故，將，代，得：，將②代入①，得：，即，即，即，且，即的取值范圍為或.22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，，求的最大值；（2）設(shè)，證明：.【答案】（1）1（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)法探討函數(shù)最小值，分別探討參數(shù)、時，題設(shè)條件是否成馬上可；（2）由（1）可知，當(dāng)，時，可得，即可令，，可得，結(jié)合累加法可得，最終對題設(shè)不等式變形即可證明【小問1詳解】