8.6.2直線與平面垂直(二)

必備知識·自主學習1.直線與平面垂直的性質定理(1)定理:垂直于同一個平面的兩條直線_____.(2)符號:a⊥α,b⊥α?a∥b.(3)本質:垂直關系?平行關系,揭示了“平行”與“垂直”之間的內在聯系.導思1.直線與平面垂直有哪些性質?2.直線與平面、平面與平面的距離是怎樣定義的?平行【思考】如果兩條平行線中的一條與一個平面垂直,那么另一條直線與這個平面是什么位置關系?提示:垂直.2.距離(1)直線與平面的距離:直線與平面平行,直線上_________到平面的距離.(2)平面與平面的距離:平面與平面平行,其中一個平面上_________到另一個平面的距離.任意一點任意一點【思考】是不是任意的直線與平面、平面與平面間都有距離?提示:不是,只有當直線與平面平行,平面與平面平行時才涉及距離問題.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)對于直線a和平面α,β,若a⊥α,a⊥β,則α∥β. (

)(2)對于直線a和平面α,β,若a⊥α,α∥β,則a⊥β. (

)(3)對于直線a,b和平面α,若a⊥α,a⊥b,則b∥α. (

)提示:(1)√.垂直于同一條直線的兩個平面平行.(2)√.直線垂直于平行平面中的一個,也垂直于另一個平面.(3)×.直線b可能在平面α內.2.如圖,P為△ABC所在平面α外一點,PB⊥α,PC⊥AC,則△ABC的形狀為 (

)A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定【解析】選B.由PB⊥α,AC?α,得PB⊥AC,又AC⊥PC,PC∩PB=P,所以AC⊥平面PBC,所以AC⊥BC,所以△ABC為直角三角形.【解析】選B.由PB⊥α,AC?α,得PB⊥AC,又AC⊥PC,PC∩PB=P,所以AC⊥平面PBC,所以AC⊥BC,所以△ABC為直角三角形.3.(教材二次開發(fā):練習改編)已知直線a∥b,平面α∥β,a⊥α,則b與β的位置關系是 (

)A.b⊥β B.b∥βC.b?β D.b?β或b∥β【解析】選A.因為a⊥α,a∥b,所以b⊥α.又α∥β,所以b⊥β.關鍵能力·合作學習類型一直線與平面垂直的性質的應用(直觀想象、邏輯推理)【題組訓練】1.在圓柱的一個底面上任取一點(該點不在底面圓周上),過該點作另一個底面的垂線,則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關系是 (

)

A.相交 B.平行C.異面 D.相交或平行2.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,E,F分別是棱AB,PC的中點.若EF⊥平面PCD,求證:PA=AD.【解析】1.選B.因為圓柱的母線垂直于圓柱的底面,所作的垂線也垂直于底面,由線面垂直的性質定理可知,二者平行.2.取PD的中點H,連接HF,AH,因為FH

CD,又因為AE

CD,則AE

HF,所以四邊形AEFH是平行四邊形,所以EF

AH.因為EF⊥平面PCD,所以AH⊥平面PCD,所以AH⊥PD,所以PA=AD.【解題策略】關于線面垂直性質定理的應用(1)在證明與垂直相關的平行問題時,可以考慮線面垂直的性質定理,利用已知的垂直關系構造線面垂直,關鍵是確定與要證明的兩條直線都垂直的平面.(2)注意線面垂直性質定理的推論的應用,利用平行關系轉化為垂直關系,或將垂直關系轉化為平行關系.【解題策略】關于線面垂直性質定理的應用(1)在證明與垂直相關的平行問題時,可以考慮線面垂直的性質定理,利用已知的垂直關系構造線面垂直,關鍵是確定與要證明的兩條直線都垂直的平面.(2)注意線面垂直性質定理的推論的應用,利用平行關系轉化為垂直關系,或將垂直關系轉化為平行關系.【補償訓練】如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,F是AC的中點,E是PC上的點,且EF⊥BC,則=

.

【解析】在三棱錐P-ABC中,因為PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,所以AB⊥平面APC.因為EF?平面PAC,所以EF⊥AB,因為EF⊥BC,BC∩AB=B,所以EF⊥底面ABC,所以PA∥EF,因為F是AC的中點,E是PC上的點,所以E是PC的中點,所以=1.答案:1類型二空間中的距離問題(數學運算、邏輯推理)【典例】如圖,在四棱錐P-ABCD中,CD⊥平面PAD,AD=2PD=4,AB=6,PA=2,∠BAD=60°,點Q在棱AB上(1)證明:PD⊥平面ABCD;(2)若三棱錐P-ADQ的體積為2,求點B到平面PDQ的距離.【思路導引】(1)證明PD與平面ABCD內的兩條相交直線垂直;(2)將所求距離轉化,再轉化為三棱錐的高求值.【解析】(1)因為AD=2PD=4,PA=2,所以PA2=PD2+AD2,即PD⊥AD,因為CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD,且AD∩CD=D.所以PD⊥平面ABCD.(2)因為三棱錐P-ADQ的體積為2,所以S△ADQ·PD=2,所以S△ADQ=3.所以AD·AQ·sin60°=3,所以AQ=3.所以Q為AB中點,即點A到平面PDQ的距離等于點B到平面PDQ的距離.在△ADQ中,由余弦定理可得

所以S△PDQ=×PD×DQ=.由VP-ADQ=VA-PDQ?2=××d,所以.所以點B到平面PDQ的距離為.【解題策略】空間中距離的轉化(1)利用線面、面面平行轉化:利用線面距離、面面距離的定義,轉化為直線或平面上的另一點到平面的距離.(2)利用中點轉化:如果條件中具有中點條件,將一個點到平面的距離,借助中點(等分點),轉化為另一點到平面的距離.(3)通過換底轉化:一是直接換底,以方便求幾何體的高;二是將底面擴展(分割),以方便求底面積和高.【跟蹤訓練】(2020·渭南高一檢測)如圖所示的幾何體中,ABC-A1B1C1為三棱柱,且AA1⊥平面ABC,AA1=AC,四邊形ABCD為平行四邊形,AD=2CD,∠ADC=60°.(1)求證:AC1⊥平面A1B1CD;(2)若CD=2,求C1到平面A1B1CD的距離.【解析】(1)因為ABC-A1B1C1為三棱柱,且AA1⊥平面ABC,AA1=AC,四邊形ABCD為平行四邊形,AD=2CD,∠ADC=60°.所以四邊形AA1C1C是正方形,所以AC1⊥A1C,設CD=a,則AD=2a,,所以CD2+AC2=AD2,所以AC⊥DC,所以AC⊥AB,因為AA1⊥AB,又因為AC∩AA1=A,所以AB⊥平面ACC1A1,所以A1B1⊥AC1,因為A1B1∩A1C=A1,所以AC1⊥平面A1B1CD.(2)因為CD=2,所以AD=4,AC=AA1=,所以AC1=.所以點C1到平面A1B1CD的距離為AC1=.類型三直線與平面垂直關系的綜合應用(直觀想象、邏輯推理)角度1探究性問題

【典例】已知四邊形ABCD為平行四邊形,PA⊥平面ABCD,當平行四邊形ABCD滿足條件

時,有PC⊥BD(填上你認為正確的一個條件即可).

【思路導引】構造條件使BD⊥平面PAC.【解析】連接AC,因為四邊形ABCD為平行四邊形,PA⊥平面ABCD,所以BD⊥PA.當平行四邊形ABCD是菱形時,BD⊥AC,又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,所以PC⊥BD.答案:平行四邊形ABCD是菱形(答案不唯一)【變式探究】將本例的條件變?yōu)?在矩形ABCD中,AB=2,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上存在點Q滿足PQ⊥DQ,試求a的最小值.【解析】假設在BC邊上存在點Q,使得PQ⊥DQ,連接AQ,因為在矩形ABCD中,AB=2,BC=a,PA⊥平面ABCD,所以PA⊥DQ,因為PQ⊥DQ,PA∩PQ=P,所以DQ⊥平面PAQ,所以DQ⊥AQ,所以∠AQD=90°,由題意得△ABQ∽△QCD,設BQ=x,所以x(a-x)=8,即x2-ax+8=0(*),當Δ=a2-32≥0時,(*)方程有解,所以當a≥4時,在BC上存在點Q滿足PQ⊥DQ,故a的最小值為4.角度2綜合性問題

【典例】(2020·本溪高一檢測)如圖,AB為☉O直徑,C為☉O上一點,PA⊥平面ABC,AE⊥PB,AF⊥PC,求證:PB⊥EF.【思路導引】設法證明PB⊥平面AEF,即證明AF⊥PB.【證明】因為PA⊥平面ABC,BC在平面ABC上,所以PA⊥BC.又AB是圓O的直徑,所以AC⊥BC.又AC,PA在平面PAC中交于A,所以BC⊥平面PAC.又AF?平面PAC,所以BC⊥AF.因為AF⊥PC,BC,PC在平面PBC中交于C,所以AF⊥平面PBC.又PB?平面PBC,所以AF⊥PB.又AE⊥PB,AF,AE在平面AEF中交于A,所以PB⊥平面AEF,所以PB⊥EF.【解題策略】關于線面垂直判定、性質的應用(1)分析已知的垂直關系,得出能夠推出的線線、線面垂直,即挖掘已知條件,以方便后續(xù)證明.(2)證明垂直關系時往往需要逆向思維,如要證明直線a垂直于平面α內直線b,可以考慮證明直線b垂直于直線a所在的平面β.(3)掌握線線、線面垂直的相互轉化.【題組訓練】(2020·麗水高一檢測)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=1,PA=AD=2.(1)求證:CD⊥平面PAC;(2)在棱PC上是否存在點H,使得AH⊥平面PCD?若存在,確定點H的位置;若不存在,說明理由.【解析】(1)由題意,可得DC=AC=,所以AC2+DC2=AD2,即AC⊥DC,又因為PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,又因為PA∩AC=A,所以DC⊥平面PAC.(2)過點A作AH⊥PC,垂足為H,由(1)可得CD⊥AH,又PC∩CD=C,所以AH⊥平面PCD,因為在Rt△PAC中,PA=2,AC=,,所以可得PH=PC,即在棱PC上存在點H,且PH=PC,使得AH⊥平面PCD.【補償訓練】(2020·三明高一檢測)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,以下能使A1C⊥BC1的是 (

)A.AB=AC B.AA1=ACC.BB1=AB D.CC1=BC【解析】選B.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,即AB⊥AC,又AA1⊥AB,AA1∩AC=A,所以AB⊥平面AA1C1C,又A1C?平面AA1C1C,所以AB⊥A1C,若AA1=AC,則長方形AA1C1C為正方形,可得A1C⊥AC1,又AB∩AC1=A,所以A1C⊥平面ABC1,又BC1?平面ABC1,所以A1C⊥BC1.1234方法總結易錯提醒核心素養(yǎng)核心知識邏輯推理：線面垂直的的綜合應用中的相互轉化問題線面垂直的判斷方法：（1）基本事實4；（2）線面平行的性質定理；（3）面面平行的性質定理；（4）線面垂直的性質定理；直線與平面垂直（二）（1）注意線面垂直關系應用中的轉化思想（2）注意求直線到面的距離、平行平面間的距離時轉化思想的應用性質定理平行平面間的距離直線到面的距離應用課堂檢測·素養(yǎng)達標1.△ABC所在的平面為α,直線l⊥AB,l⊥AC,直線m⊥BC,m⊥AC,則直線l,m的位置關系是 (

)A.相交 B.異面 C.平行 D.不確定【解析】選C.因為l⊥AB,l⊥AC且AB∩AC=A,所以l⊥平面ABC.同理可證m⊥平面ABC,所以l∥m.2.如圖,AB是☉O的直徑,C是圓周上不同于A,B的任意一點,PA⊥平面ABC,則四面體P-ABC的四個面中,直角三角形的個數有 (

)A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【解析】選A.因為AB是圓O的直徑,所以∠ACB=90°,即BC⊥AC,所以三角形ABC是直角三角形.又因為PA⊥圓O所在平面,所以△PAC,△PAB是直角三角形.因為BC在☉O內,所以PA⊥BC,因此BC垂直于平面PAC中兩條相交直線,所以BC⊥平面PAC,所以△PBC是直角三角形.從而△PAB,△PAC,△ABC,△PBC中,直角三角形的個數是4.3.已知平面α∥平面β,a是直線,則“a⊥α”是“a⊥β”的 (

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選C.根據題意,“a⊥α”,又因為平面α∥平面β,所以“a⊥β”,則“a⊥α”是“a⊥β”的充分條件,反之,若“a⊥β”,又因為平面α∥平面β,所以“a⊥α”,則“a⊥α”是“a⊥β”的必要條件,所以“a⊥α”是“a⊥β”的充要條件.4.(教材二次開發(fā):練習改編)已知PA⊥矩形ABCD所在平面,PA≠AD,M,N分別是AB,PC的中點,則MN垂直于 (

)A.AD B.CD C.PC D.PD【解析】選B.連接AC,取AC的中點為O,連接NO,MO,如圖所示.因為N,O分別為PC,AC的中點,所以NO∥PA,因為PA⊥平面ABCD,所以NO⊥平面ABCD,所以NO⊥CD.又因為M,O分別為AB,AC的中點,所以MO∥BC.因為BC⊥CD,所以MO⊥CD,因為NO∩MO=O,所以CD⊥平面MNO,所以CD⊥MN.5.正三棱錐的底面邊長為2,側面均為直角三角形,則此三棱錐的體積是

.

【解析】如圖,由已知得PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,所以PA⊥平面PBC.又PB⊥PC,PB=PC,BC=2,所以PB=PC=,所以PA=,所以VP-ABC=VA-PBC=PA·S△PBC

答案:

Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應更堅強.勵志名言請您欣賞因為N,O分別為PC,AC的中點,所以NO∥PA,因為PA⊥平面ABCD,所以NO⊥平面ABCD,所以NO⊥CD.又因為M,O分別為AB,AC的中點,所以MO∥BC.因為BC⊥CD,所以MO⊥CD,