必修二第六章第1節(jié)《平面向量的概念》解答題(16)

一、解答題(本大題共30小題，共360.0分)

1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知4(一1,-2),8(2,3),C(-2,-l).

(1)求以線段48、4C為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；

(2)若存在y軸上一點(diǎn)P滿足8C1AP,求coszBPC.

2.如圖所示，。為正方形A3CD對角線的交點(diǎn)，四邊形OAED,OCF8都是正方形，根據(jù)圖中所

標(biāo)出的向量回答下列問題.

DC

(1)分別寫出與同，而相等的向量；

(2)寫出與而共線的向量；

(3)寫出與而模相等的向量

3.已知向量a-,b~＞的夾角為603且a-=(1,0).

(1)若|b-|=2,求b一的坐標(biāo)；

(2)若(a-+IT)1(a--tT),Ae/?,求|a-+AtT|的最小值.

4.已知非零向量五，方滿足|五|=1,(a-K)-(a+K)=|,且丘■另=3

(1)求向量五，方的夾角；

(2)求|百一石

5.已知單位向量最后的夾角60。，向量方=瓦*+弓石=或一t瓦,t&R.

⑴若W〃方,求r的值;

(2)若t=2,求向量區(qū)方的夾角.

6.在△力BC中，滿足：荏1前，M是BC的中點(diǎn).

(1)若|荏|=\AC\，求向量荏+2而與向量2荏+配的夾角的余弦值；

(2)若。是線段AM上任意一點(diǎn)，且|屈|=|而|=/，求萬？?南+元?雨的最小值；

⑶若點(diǎn)尸是NB4C內(nèi)一點(diǎn)，且|而|=2,AP-AC=2,AP-AB=1，求|荏+前+都|的最小

值.

7.已知向量1=(2,2),向量方與向量五的夾角為拳且為方=一2，

(1)求向量石;

(2)若7=(1,0)且了J_T=(C842?)?2]),其中A、C是AABC的內(nèi)角，若三角形的三

內(nèi)角A、B、C依次成等差數(shù)列，試求了+下的取值范圍.

8.已知平面向量E，\a\=2,|K|=1，且充與石的夾角為最(1)求方.加

(2)求怔+2同；

(3)若五+2另與2五+41(46/？)垂直，求4的值

(1)AB+CD;

(2)AB-CD.

10.已知I詞=4,|b|=3,(2a-3b)-(2a+b)=61.

(1)求五與方的夾角0;

(2)求怔+3.

11.已知向量左=(一1,-1),瓦=(0,1).

(1)若向量(fTT+J^/C^+fN),求實數(shù)f的值；

(2)若向量T=(x,y)滿足爆=-yM+(l-4)瓦求一|的值.

12.已知向量五=(2,m),b=(m-1,6).

(1)若方〃丸求實數(shù)，力的值；(2)若|五+3|=|五一求實數(shù)，〃的值.

13.如圖所7K,已知在矩形A3CZ)中，=4V5,卜用=8.設(shè)

AB=a,BC=b,BD=c>^-a-b-c

14.已知近?[?=(),M是BC的中點(diǎn).

(1)若忸研=|前I，求向量荏+2前與2荏+配的夾角的余弦值；

(2)若O是線段AM上任意一點(diǎn)，且|而|=|而|=或，求成.南+歷.西的最小值；

(3)若尸是NB4C內(nèi)一點(diǎn)，且前|=2,AP-AC=2<APAB=4,求府+2前+硒的最小

值.

15.設(shè)可，夙是兩個不共線的非零向量.

(1)若五=4及+4與與石=江+4瓦共線，求實數(shù)2的值；

(2)若荏=2否+k/，酢=五+3孩，而=2宙一心則當(dāng)太為何值時，A,B,D三點(diǎn)共線.

16.⑴已知|引=3,|9|=4,la-2bl=3，求三+石的模；

(2)點(diǎn)C在線段4B所在直線上且*=?若就=兄而，求;I的值。

Co5

17.已知丘=(4,3),b=(-1,2).m=a-Xb<n=2a+b>按下列條件求實數(shù)4的值.

(l)mln；

(2)m//n；

(3)|m|=|n|.

18.已知向量五，方滿足同=1,|K|=V2.(a-b)la.

(1)求向量五與石的夾角及向量方在向量方上的投影向量；

(2)求|2五一石|的值;

(3)若向量不=31+53，d=ma-3b，c//d，求加的值.

19.平面內(nèi)給定三個向量之=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1)-

⑴求13a+b—2c；

(2)求滿足；=mb+nV的實數(shù)m和n；

(3)若G+k”)1(2b_之)，求實數(shù)上

T

已知向量;,瑞足：|a|=1,

20.b=6,Q?(b—Q)=2.(1)求向量1與％的夾角;

(2)求忸一斗

21.如圖，四邊形A8C。中，已知而=2豆乙

(I)用南，亦表示萬？；

(H)若荏=2甌，前=a屁，當(dāng)A，P，C三點(diǎn)共線時,求實數(shù)4的值.

22.已知向量沆=(cosa,sina),n=(—1,2).

(1)若記〃元，求sina-2cosa

''''sma+cosa的值;

(2)若|萬一元|=VXa€e，兀)，求tana的值.

23.已知|町=l,\b\=V2.

(1)若口〃石，求五.求

(2)若向量方與石的夾角是60:求|五十方「

(3)若0—方)_L。求向量。與方的夾角.

24.己知°與石的模均為2,且|m五+同=B|方-m4其中m>0.

(1)用機(jī)表示q.g；(2)求內(nèi)書的最小值及此時￡與g的夾角.

25.平面向量a=(3,-4),b=(2,x)，c=(2,y),已知ale.

(1)求向量］和向量"；

(2)求族與J夾角和口+q.

26.在AABC中，CA=CB=2,記不=演，b=CB＞且%五+1|=方-小|(k為正實數(shù)),

(1)求證：(a+b)1(a-K);

(2)將五與石的數(shù)量積表示為關(guān)于k的函數(shù)/'(A);

(3)求函數(shù)f(k)的最小值及此時角c的大小.

27.已知向量蒼、B滿足|弓|=131=1,，且+b|=百|(zhì)日—kb|,(fc>0)

(1)求方?至關(guān)于k的解析式/(k)并求出/(k)的最小值.

(2)若有〃方且方向相同，試求&的值.

28.在△ABC中，角4SC所對的邊分別為a,瓦c,向量沆=(a,b),77(cos/l,cosB),

n1

-p=(2x/2sin^-^-,2sin.4),若沆〃記，|p\=3.

(1)求角48,C的值；

(2)若％E[0,^],求函數(shù)f(%)=sin/lsinx4-cosBcosx的最大值與最小值.

29.已知非零向量覆了滿足2W—b=b-31且b=5|a|,求聯(lián)與》的夾角.

30.已知|刈=3,|石|=4，且方與方的夾角為120

⑴求為小的值；（2）求|五++的值；（3）若（2五一石）J.（五+卜方），求實數(shù)4的值.

【答案與解析】

1.答案：解:⑴由題意荏=(3,5)，AC=(-1,1))

\AB+AC\=|(2,6)|=V22+62=2可，

\AB-AC\=|(4,4)|=V42+42=4&;

所以所求對角線長為2VTU和4魚；

(2)設(shè)P(O,y),由BC1AP,得正?而=0，

所以(—2—2,—1—3)"(l,y+2)=0,

所以—4—4(y+2)=0,解得：y——3.

即P(0,-3),

則麗=(2,6)，PC=(-2,2)，

所以COSNBPC=昌=-二籃有=-.

|PB||PC|2V1OX2V25

解析：本題考查了向量的模，向量的數(shù)量積和平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題.

(1)由題意得所求對角線長為|AB+AC|和|荏-AC\，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得出結(jié)果；

⑵由BC1AP,則數(shù)量積為零求出y=—3,得P(0,—3),求出麗，PC，即可求得cos/BPC.

2.答案：解：(1)由正方形的性質(zhì)可知：JO=BF，JO=AE

(2)與正共線的向量是田，而，屁

(3)因為忸同=1,所以與前模相等的向量而，而，屁，同，前，前，麗.

解析：本題主要考查了相等向量，共線向量，向量的模的概念，正方形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

(1)由方向相同且模相等的向量為相等向量求解；

(2)由方向相同或相反的向量為共線向量得出答案；

(3)由向量的模的概念以及正方形的性質(zhì)求解.

3.答案：解：(1)設(shè)b-=(x,y)，

■?-|b"I=2,

???+y2=2,

?,?%2+y2=4,

又??,aT,b"*的夾角為60°,

abx1

??.cos如，紡=麗=5=于

AX=1.

解之得：y=+V3,

b~*=(1，遮)或I?-=(1,—>/3).

(2)???(a-+b-)1(a--tT),Ae/?,

???《+1)T)?①一。=0,

??,a-2=歐2,

4

Alb"I=la"1=1,

|a~+ab->I={(aT+2b~*)?—Jaf?+2aafb_*+b」'=VA2+A4-1=+；)+1

當(dāng)”一泄，X+XbfI有最小值今

解析：本題主要考查了向量垂直，向量的模，向量的夾角的坐標(biāo)運(yùn)算，涉及二次函數(shù)求最值，屬于

中檔題.

(1)設(shè)9=(x,y)，結(jié)合條件可得/+f=4,cos(a.b)==f=p從而可得求得的坐標(biāo)；

(2)根據(jù)條件可得|凰=|初=1,從而可得?五+，方|=Jq+y+q,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求

得最值.

4.答案：解：(1)：同=1且@一方)-0+畫=，

:.五2—石2=3,故|3|=茬

■.■a-b=~.

2

\a\\b\cos9=解得：cosd=—

N2

故向量亂石的夾角的余弦為立，

2

.??向量五，石的夾角為45°;

(2)"\a-b\2

2——

=a-2a-b+b

=1+]—2|3||6|cos0

=H-i-2xi=i,

222

[一

??|Q-Hbl|=于&

解析：本題考查向量的數(shù)量積公式，考查向量夾角的計算，比較基礎(chǔ).

(1)先求出|司=多再利用向量的數(shù)量積公式，即可求向量落石的夾角；

(2)先求I五一方再求I五-1I的值.

5.答案：解：⑴根據(jù)題意，向量；=3+屆工=扇一扇，

//b>設(shè)。=46

)

則有(ei+02=k傘2—tej=-kter+ke2,

則有｛:17cI解可得t=-l；

(2)根據(jù)題意，設(shè)向量五，石的夾角為仇

若￡=2,則，=居一2^-

所以b=傘2-2eJ=e2—4?卜2kos60°+4e1=5-2=3，

所以忖=V3,

又Q=+a，則同=(q+e2)=e14-e2+2|et|?|e2|cos60°=1+1+1=3,

所以同=灰,

又之?%=&+動?(A-2動=二_2eJ-同國cos60。=1-2=一|，

所以COS。=用q=?2=

同.bV3xV32

又由0〈。＜兀，所以"拳

故向量;1的夾角為拳

解析：本題考查向量平行的判斷以及向量夾角的求法，屬于基礎(chǔ)題.

⑴由向量平行得值+扇）=k（居一后）=一上以+kg，有｛;二｝'，解得f的值；

（2）若t=2,則；=g_23，求得W=V3,p|=V3,口.方=（瓦?+6.（石一2瓦）

由向量的夾角公式cos8=矗求得夾角.

6.答案：解：（1）設(shè)向量費(fèi)+2旅與向量2亞+前的夾角為。

4_(AB+2^)(2AB+AC)

C°S"=\AB+2AC\-\2AB+AC\"

令|荏|=\AC\=a,

則cos。=生里=i

AJLUV5aV5a5

(2)VIABI=II=V2,IAMI=1.

設(shè)|3X|=x,貝iJ|兩|=l-x,而赤+元=2兩,

所以

I-1

OAOS+WOA=()A(Oi^OC)=2(H-OM=2\OA\■|Ol7|cos7T=2x2-2x=2(x--)--

當(dāng)且僅當(dāng)x=9時，用.（話+云）的最小值是一3

(3)設(shè)乙C4P=a所以-a,

■.■AP-AC=2>AP-AB=1>\AP\=2>

.?.2函|cosa=2,二函|=熹，

2|而|cos?-戊)=1=|畫=肅

222

???|通+而+而產(chǎn)=通+前+而+2福?而+2?而+2通?通

11sin2a+cos2asin2a+cos2a

+4+4+2=

cos2a4sin2acos2a4sin2a

sin2a+cos2a49

cos2a4sin2a+善l+A4

當(dāng)且僅當(dāng)鬻=言息’即tana=^；j，|荏+旅+和lmm=(

解析：本題考查向量的夾角，向量的數(shù)量積，向量的模，考查運(yùn)算化簡的能力，屬于中檔題.

(1)向量荏+2萬與向量2荏+前的夾角為仇則cos。=第第需縹，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算

求解即可；

(2)設(shè)|次|=%,貝lj|麗|=1—x，則有函?(話+元)=20A-0M=2\OA\-\OM\COSTT=-2x2-

2x=2(x-1)2-i,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值;

(3)設(shè)N&4P=a所以MAP=T-a,則有2|AB|cos(^-a)=1=>\AB\=化簡

I南+正+都|=汕警+空生衿+10=等+安+竺，利用基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)

11cosza4smzacos2a4smza4

121^=當(dāng)時，函+刀+存/=4

7.答案：解：(1)設(shè)b=(x,y),貝！)2x+2y=—2①

又@=l：晨=1=J%?+y2②

|a|cos"-

聯(lián)立解得修：/或《：嘴，

.??3=(-1,0)或3=(0,-1).

(2)由三角形的三內(nèi)角A、B、C依次成等差數(shù)列，

??,B_L/,且/=(1,0),

b=(0,—1)-

.*.64-c=(cosA,2cos21-1)={cosA,cosC),

-|K+c|2=cos2A+cos2C=1+-{cos2A+cos2C)

=1+5kos2A+co?(T—271)]

=l-gsin(24-?,

No

?.?0<A<學(xué)，

J

五,c4冗,77r

V——<2A——<—,

666

|<sin(2A—^)<1,

三MIb+c|V

解析：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，等差中項概念，三角恒等變換，三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，屬

于中檔題.

(1)設(shè)出向量石=(”)，由向量方與向量蒼的夾角為牛及五7=-2得到關(guān)于小y的二元方程組，求解

后可得向量石的坐標(biāo)；

(2)由三角形的三內(nèi)角A、B、C依次成等差數(shù)列求出角B,再根據(jù)確定&運(yùn)用向量加法的坐標(biāo)

運(yùn)算求出方+陽代入模的公式后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡，最后根據(jù)角的范圍確定模的

范圍.

8.答案：解：(1)五不=|初|B|cos〈五>=2xlx|=l.

(2)|五+2方產(chǎn)=0+2石產(chǎn)

=a2+4b+4a-b=4+4+4=12)

\a+2b\=-/12=2V3-

(3)若五+21與2五+41(4￡R)垂直，

則0+2萬)<2百+2石)=0)

^l2a2+2Ab2+4a-b+Aa-b=0，

8+2A+4+A=0BP12+3A=0,

**?A=-4.

解析：本題考查了向量數(shù)量積、模的運(yùn)算，向量垂直的充要條件，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

(1)直接根據(jù)平面向量數(shù)量積計算公式求解；

(2)先求出|1+2對2=(五+23)2,再開方即可得|五+2旬；

(3)根據(jù)向量垂直的充要條件得0+2石)?(2五+，石)=0-展開即得到關(guān)于；I的方程，解方程即可的

答案.

9.答案：解：(1)如圖(1)利用向量加法的三角形法則可得圖(1)中的同；

(2)如圖(2)利用向量減法的三角形法則可得圖(2)中的麗.

⑴

解析：本題考查向量幾何表示的加法和減法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，利用平行四邊形法則和三角形法則

即可.

(1)將圖中的向量而進(jìn)行平移使起點(diǎn)C和向量南的B點(diǎn)重合，再連接A。即可.

(2)將圖中的向量而進(jìn)行平移使起點(diǎn)C和向量荏的4點(diǎn)重合，再連接OB即可.

10.答案：解：⑴因為(21-3?-(2丘+方)=61,所以4片一4日不一3石2=61，

因為同=4,同=3,所以4'42-4乂4*33。-3*32=61,解得cos0=-%

又。€[0°,180°],所以。=120°；

⑵由題意B+=a2+2a,-b+b=16+2x4x3cosl20°+9=13，

所以|五+=V13.

解析：本題考查平面向量的數(shù)量積與平面向量的模及夾角的計算，是中檔題.

(1)代入條件直接計算即可.

(2)將忖+同兩邊平方代入數(shù)據(jù)計算即可.

11.答案：解:(1)a=(-1,-1)(p=(0,1)>

tG+°—(—t,1—t)?及+t/?=(-1,t—1)?

???(出+田〃(/+冏，

A-t(t-l)-(-1)(1-0=0,

解得t=l或"-1.

(2)vc=-ya+(1-%)瓦

???(")=(y,y+1一％)，

解得

|c|=yjx24-y2=y/2-

解析：本題考查了向量的模、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量共線的充要條件，是基礎(chǔ)題.

(1)先得出1日+0江+七瓦的坐標(biāo)，由平面向量共線的充要條件可得/的值；

(2)由蕓=_丫左+(1-％)瓦則(居y)=(y,y+l—x),聯(lián)立方程可得1、y的值，可得|中的值.

12.答案：解：(1)因為五〃石，I=(2,m),I=(胃一1,6).所以2x6=m(>n—l),

解得?n=4或—3;

(2)a+b=(m+1,m+6)，a—b=(3—m,m—6)，

又因為|五+B|=|a—b|

所以(m+l)2+(m+6)2=(3-m)2+(m-6)2,

1

化簡得:32m=8,解得m

4

解析：本題主要考查兩個向量共線的性質(zhì)，向量的模，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

(1)由題意利用兩個向量共線的性質(zhì)，求出實數(shù)小的值.

(2)由向量的?？傻藐P(guān)于m的方程，由此求得實數(shù)m的取值范圍.

13.答案：解：延長直線AB,使得直線A8上一點(diǎn)8'滿足AB=8夕，同理，延長直線A。，使得直線

AQ上一點(diǎn)。滿足4D=DD',

如圖所示，

則12=晶~a-b-c=a-(b+c^=a-BD'=BB'-BD'=D'B'，

則匕-口=J(2x4V3)2+(2x8)2=8位.

D'B'

解析：本題主要考查了向量的線性運(yùn)算與向量的模，屬于基礎(chǔ)題.

延長直線AB,使得直線AB上一點(diǎn)B'滿足=同理，延長直線AD,

使得直線AQ上一點(diǎn)。滿足4。=CD',根據(jù)向量的加法，減法的定義作圖再求解.

14.答案：解：(1)設(shè)向量荏+2彳?與向量2四+前的夾角為。

A_(AB+2AC)(2AB+AC)

cost/—,—.—>,,―—,

\AB+2AC\\2AB+AC\

令|4B|=|AC|=a>

lilil2a2+2a24

則“son=后扃=<

(2)v|AB|=11?|=V2,|AM|=1

設(shè)|"|=尤，貝iJ|兩|=l-x，而而+萬？=2兩

I-1

所以?H?(初+OC)=2OA-OM=2\OA\\OM\cosir=2x2-2x=2(x--)--

當(dāng)且僅當(dāng)x=:時方.(OB+而)的最小值是一：

(3)設(shè)4c4P=a所以NB4P=1-a,

?-?AP-AC=2,AP-AB=4^|喬|=2

???2\AC\cosa=2II=—

cosa

2|AB|cos(^-a)=4|A8|=

1111,1

,>>>—.......2■?■，->2.....>2".,一一>?■■>■,,?if”,一.'一■->,>

/.\AB+2AC+AP\2=AB+4ZC+4P+4AB-AC4AC-AP+2AB-AP

44_416

+8+8+4+20+20

sin2acos2asin2acos2asin22a

當(dāng)且僅當(dāng)sin22a=1時，|通+2而+9『＜36.

故|荏+2m+AP\的最小值為6；

解析：本題考查向量的模、向量的夾角、向量的數(shù)量積以及二倍角公式，屬于較難的題;

(1)向量南+2》與向量2荏+前的夾角為仇則cos0=簪騫鏢縹，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算

求解即可;

(2)設(shè)|市|=x則|麗|=1-X,則有就■(OB+0C)=20A0M=2\OA\-\OM\cosn=-2x2-

2x=2(x-1)2-p根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值；

(3)設(shè)NC4P=a所以NB4P=?-a,化簡|荏+2AC+AP]2=.,,+20=+20,

、'2''sinzacoszasinz2a

sin22a=1時即可其最小值;

15.答案：解：(1);區(qū)方共線，二存在實數(shù)億使得方=k區(qū)

即福1+4e2=fc(ex+Ae2),

???A百+4司=/c百+kA弓

,：瓦,瓦是是不共線的非零向量，

?,.解得4=±2,

(2)???C8=可+3前，CD=2瓦—瓦,

:,BD=CD-CB=(2—ej)—同+3ej)=冤—4名，

若4,B,。三點(diǎn)共線，則一定存在唯一實數(shù)人使荏=4前.

即2部+々石=2(瓦一4瓦)，

???(入—2)瓦>=(k+4A)ej,

???可，石是不共線的非零向量，

???4—2=k+44=0,解得入=2,k=—4A=-8.

???當(dāng)上=一8時，A,B,D三點(diǎn)共線.

解析：(1)直接利用向量共線的條件列等式求解即可，

(2)利用向量共線的充要條件，列出方程組求解即可.

本題考查向量共線的充要條件的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題目.

16.答案:解:⑴由|五一21|=3,得|五一2石『=9，

則五2—4胃?B+4,=9，

|五|=3,|石|=4，

.%9—4a-d+4x16=9>解得五?b=16?

則|NB|=J(五+獷=Ja2+2a-b+b2=V32+2x16+42=V57'

(2)假設(shè)4c=8,則CB=5,

①當(dāng)點(diǎn)C在AB線段上時，AB=AC+CB=8+5=13,所以/1=*；

AC.B

ABC

②當(dāng)點(diǎn)C在AB延長線上時，AB=AC-CB=8-5=3,所以；l=*

綜上所述，4的值為融吟

解析：本題考查向量的數(shù)量積，向量的模，共線向量的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

⑴由|五-2石|=3，得|五一25『=9，解得益彳，再由|五+B|=J(8+K)2展開即可得解;

(2)對點(diǎn)C在AB線段上，點(diǎn)C在A8延長線上兩種情況分類討論，即可得解.

17.答案：解：由于五=(4,3),K=(-1,2),

則布=五一；13=(4+4,3-24)，

n=2a+b=(7,8)，

(1)由記1落則沅?元=0,

即為7(4+4)+8(3—22)=0,

解得，

(2)由沆〃元，則7(3-2Q=8(4+4),

解得，A=-1;

⑶由|沆|=|n|,

可得J(4+4)2+(3-24)2="2+82,

解得，a=

5

解析：本題考查向量垂直及共線的坐標(biāo)表示，以及向量的模的公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

(1)分別求出向量記，元的坐標(biāo)，再由向量垂直即為數(shù)量積為0,得出關(guān)于；I的方程，解之即可；

(2)利用向量平行的性質(zhì)，即可得出關(guān)于2的方程，解之即可；

(3)利用向量模的公式即可解方程求出實數(shù)4的值.

18.答案：解：(1)設(shè)向量五與石的夾角為。，

因為(為一為1方，所以0—方)?五=0=>%?蒼=片=1，

所以cos。=橘粉=號，又8€[0,兀],9],

方在五上的投影向量為同cos。五=方，

(2)|2a—b\=J4a2—4a-b+b-V4—4+2-y/2'

(3)因為不〃之，所以力=2鼠所以3五+5方=40日一33)，

因為日與方不共線，

所以已="解得

15=-3A5

解析：本題主要考查向量的數(shù)量積，投影向量，平行向量，向量垂直等基本概念，難度一般，屬于

中檔題。

(1)由(五一石),日求出兩向量的夾角，再由投影向量的計算公式可得；

(2)利用公式片=同2可求得向量的模；

(3)利用向量共線定理得到方程組，求解即可.

19.答案：解：⑴根據(jù)題意，向量五=(3,2)3=(一1,2)1=(4,1).

則3為+另一2m=(0,6)，

故|31+另-2列=6;

(2)若方=m6+nc>

HP(3,2)=m(-l,2)+n(4,l),

則有｛行黑解可得［

故m=￡n=|；

(3)根據(jù)題意,a+kc=(3+4/c,2+/c),2b-a=(-5,2).

若位+k?)1(2b-a).

則m+k2)-(2另一砂

=(-5)(3+4fc)+2(2+k)=0,

解可得上=一^，

io

11

故k18

解析：本題考查平面向量數(shù)量積的計算，涉及向量的坐標(biāo)和向量模的計算，屬于基礎(chǔ)題.

(1)根據(jù)題意，求出3五+方一2表的坐標(biāo)，由向量模的計算公式計算可得答案；

(2)根據(jù)題意，由向量的坐標(biāo)計算公式可得若往=+n3必有《二黑求出小〃的值，

即可得答案；

(3)根據(jù)題意，求出了+k不與23-五的坐標(biāo)，由向量數(shù)量積的計算公式求出上的值，即可得答案.

20.答案：解：(1)設(shè)向量々與。的夾角為。，

??a-b=\a\-\b|cos0=6cos0>

.-.a-(b-a)=a-b--a

=6cos0—1=2,

得cos。=

??,06[0,TT],

(2')"\2a-b\2=4a2-4a-b+b2

=4-12+36=28,

/.\2a-b\=2yH.

解析：本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算及向量的夾角，同時考查向量的模的計算，屬于基礎(chǔ)題.

(1)由不?(石一初=五彳一五2=6COS0—1=2，即可求解。；；

?)

(2)將向量的模兩邊平方，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算即可求解.

21.答案：解：(I)-/^AD=2SC.

:屈二與詬,

2

，，“，-1?，，■，＞1，，■，

WljDC=DA-i-AB+BC-AD^-AB-^-AD=AB--AD.

22

(11)AC=AB+BC=AB+^AD.,

AP=AD+DP,

?.?荏=2而，DP=ADE，

.-.AP=AD+ADE=AD+A(AE-AD)=(1一/l)而+4荏=(1-4)而+|；l而,

若A,P,C三點(diǎn)共線時，

則"=g,得i_4=：xg=3

2

得3-34=九得4=三.

4

解析：（I）利用向量三角形法則進(jìn)行分解即可.

（H）用而，而表示正和荏，利用三點(diǎn)關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系進(jìn)行求解即可，

本題主要考查向量基本定理以及三點(diǎn)共線的應(yīng)用，結(jié)合向量分解定理以及向量平行的關(guān)系是解決本

題的關(guān)鍵，是中檔題.

22.答案:解:(l)m=(cosa,sina),n=(-1,2),

//n^2cosa=-sina,■■tana=-2.

sina—2CO?Qtann—2—4

—.=-'=—^―=4；

?sinn+cosctanc+1-1

(2)由|$—n|=V2,

得(cosa+l)2+(sina—2)2=2,

???2sina—cosa=2,

2sino—co?a=2

聯(lián)立又ae（］兀）,

sura+cosn=1

sina=-

解得j51.

Icosa=—

[5

sina3

tana=-----=--

CO?Q

解析：本題考查三角函數(shù)的化筒求值，考查平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題.

⑴由已知結(jié)合向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求得taw,然后化弦為切求解黑粉的值;

(2)ltl|m—n|=V2?得2sina—cosa=2,聯(lián)立平方關(guān)系可得sbia,cosa的值，則答案可求.

23.答案:W：121=1,|&|=V2-

(1)若往〃方，則百花的夾角為0或九，

所以方-b=\a\?\b\?cosO=1xV2x1=V2,或

7??b=|K|?|“?CO87T=1X>/2X(-1)=-\；

(2)向量五與9的夾角是60°,則五-K=|a|-\b\-cos60°=lxV2x|=^y

貝11弓+9|=Ja2+b2+2a-b=Jl+2+&=J3+或；

(3)若(Z-,則0-B).五=0，

所以片一大五=0，即方?蒞=1.

所以同.同.cos(b,a)=V2x1xcos(b,a)=1,

解得cos(瓦可=爭

所以向量為與石的夾角為：.

4

解析：本題考查向量的夾角，向量的模，向量的數(shù)量積，屬基礎(chǔ)題.

(1)由題意方范的夾角為0或兀，利用向量的數(shù)量積公式計算；

⑵由題意利用向量的數(shù)量積公式可得五7=￥，則及+3|=］片+片+2蒼?百求解即可；

⑶由題意可得(五一3)?五=0,即有方?弓=1，利用向量的數(shù)量積公式解得cos(瓦團(tuán)=今可得向量

日與方的夾角為:.

4

24.答案：解：(1)因為五與B的模均為2,\ma+b\=V3|a—mK|，

所以〃JTT~+b+2///a?b=3^2+3m2b2—6ma-bf

即87n五?b=8+8m2，

vm>0

-a?b=m+—m.

(2)a-b=m+^>2,當(dāng)且僅當(dāng)m=1時，

a11最小值為2,

設(shè)有與石的夾角為。，96[0,7T],

此時方?石=|a||h|cos0=2,

?

??COS0=2

由。G[0,71],

0=-.

A3

解析：本題考查向量的數(shù)量積與向量的模的計算，考查計算能力，是基礎(chǔ)題.

(1)通過加2+石|=百|(zhì)百一館風(fēng)，兩邊同時平方，利用不與方的模均為2,即可求出五.3;

(2)結(jié)合(1)利用基本不等式，求工.石的最小值，通過數(shù)量積公式直接求出五與B的夾角.

25.答案：解：(1)因為方〃至，所以3x—2x(―4)=0,得工=一*

所以石=(2,-§,

又因為五所以云々=6-4y=0,得y=|，

所以笠=(2,|);

(2)因為cos仍,寸=布=需=0,

又(工他母，所以年無)=90。，

因為五+3=(5,—g),

所以|日+囚=心+(一聿2=卷

解析：本題主要考查的是向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量共線與垂直問題，屬于基礎(chǔ)題.

(1)結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示及垂直的坐標(biāo)關(guān)系求解即可；

(2)結(jié)合向量夾角公式求百與e夾角，先求出五+加=(5,-弓)，再求模即可.

26.答案：解:(1)證明:因為|五|=|b|.

所以(五+b')-(a-b')=a2

=\a\2-\b\2=4-4=0,

所以(五+B)1(a-K).

(2)因為％五+石|=V3\a-kb\<

則|k五+3|2=3|a-/ch|2,

即Ua2+2ka-b+b2=3(a2-2ka-b+k2b2)'

8ka-b=(3-fc2)a2+(3fc2-1)：

=4(3-k2)+4(3/c2-l)=8+8/c2,

所以/(k)=^b=k+Xk>0).

(3)/(k)=a-b=k+^.

顯然當(dāng)且僅當(dāng)k=1時，f(k)的最小值為2,

此時cosC=

|研網(wǎng)42

V0<C<7T,=p

又CA=CB,所以△ABC為等邊三角形,

所以4=全

解析：本題考查向量的應(yīng)用，向量的數(shù)量積以及對勾函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題.

(1)利用已知條件，結(jié)合向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化證明：(a+K)l(a-K);

(2)通過向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，化簡向量的模關(guān)系，即可將力與方的數(shù)量積表示為關(guān)于％的函數(shù)/(k)；

(3)利用對勾函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)f(k)的最小值及此時角A的大小.

27.答案:解:(1),?,|a|=|6|=1>且五+b|=遍|有一&b|,(k>0)

兩邊同時平方可得：

fc2|a|2+2fca-K+|K|2=3(|a|2-2ka-b+k2\b\2')>

?