高中數(shù)學(xué)選修2-1第三章空間向量（A卷）試卷

一、選擇題（共17題；共68分）

1.下列命題中正確的有（）

①分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)向量不能轉(zhuǎn)化為共面向量.

②空間中，首尾相接的若干個(gè)向量構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量.

③因?yàn)橄蛄坑砷L度和方向兩個(gè)屬性構(gòu)成，一般地說，向量不能比較大小.

A.0個(gè)

B.1個(gè)

C.2個(gè)

D.3個(gè)

【答案】C

【考點(diǎn)】空間向量的概念

【解析】在空間任何兩個(gè)向量都是共面的，所以①不正確.在②中它們的和應(yīng)為零向量，所以②正確，

③是正確的.

———1一1一

2.已知點(diǎn)M在平面A8C內(nèi)，并且對空間任意一點(diǎn)。，=.式?一，+—。3+—。。,則*的值為（）

33

A.3

B.0

1

C.—

D.1

【答案】C

【考點(diǎn)】空間向量中的共線與共面問題

———1—1—11」?故

【解析】；OM=10口+—。3+_。。,且〃、小8、C四點(diǎn)共面，.??x+=+==l,

33333

選c.

3.已知點(diǎn)4在基底｛a,b,c｝下的坐標(biāo)為（8,6,4）,其中a=i+/,b=j+k,c—k+i,則點(diǎn)A在基底｛/,/,k｝

下的坐標(biāo)為（）

A.(12,14,10)

B.(10,12,14)

C.(14,10,12)

D.（4,2,3）

【答案】A

【考點(diǎn)】空間向量基本定理

第1頁共16頁

【由軍析］8a+6b+4c=8(，+j)+6(/+k)+4(k+i)=12，+14j+10k

???點(diǎn)4在｛，，/,k｝下的坐標(biāo)為(12,14,10).

4.已知。=(1,2,—y),b=(x91,2),且(a+2b)ll(2。一b),則(

1

A.x=-,y=l

r

O

1

B.x=一,y=-4

1

C.x=2,y=——

4

D.x=l,y=—1

【答案】B

【考點(diǎn)】空間向量坐標(biāo)運(yùn)算

【解析】。+2b=(l+2x,4,4—y)f2a—b=(2—x,3,—2y—2),(a+2b)II(2a—b),

5.若a=(x,2,0),b=(3,2—x,x2),且a與b的夾角為鈍角，則x的取值范圍是()

A.x<—4

B.—4<x<0

C.0<x<4

D.x>4

【答案】A

【考點(diǎn)】空間向量坐標(biāo)運(yùn)算

a-b

【解析】依題意得cos〈a,b〉=——<0,/.ab<0,即3x+2(2—x)<0,解得x<—4.

ab

6.如下圖，已知空間四邊形每條邊和對角線長都等于。，點(diǎn)E、F、G分別是AB、AD,DC的中點(diǎn)，則下列

向量的數(shù)量積等于。2的是()

A

C

第2頁共16頁

IBAAC

B2而五

C2FGAC

D-2EFCB

【答案】c

【考點(diǎn)】數(shù)量積的概念，數(shù)量積運(yùn)算律

____________________________1

【解析】2BAAC=~a2'故A錯(cuò)；2皿DB=F故B錯(cuò)；［EFCB—』故D

錯(cuò)，只有C正確.

7.已知向量。山滿足條件：|a|=2,|b|=,且。與2b—?；ハ啻怪?，則〈a,b〉=()

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

【答案】B

【考點(diǎn)】數(shù)量積的概念，數(shù)量積的應(yīng)用

【解析】:a?L(2b-a);.a?(2b—a)=2|a||b|cos〈。,b)—a2=2x2xcos〈a,b〉—22=0,

cos〈a,b〉=〈a,b)=45°.

8.已知直線/i的方向向量。=(2,4,x),直線a的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a_Lb,則x+y的

值是()

A.-3或1

B.3或一1

C.-3

D.1

【答案】A

【考點(diǎn)】直線方向向量的求法

［解析］舊=，2，+4~二=6,x=±4,又a_Lb,

a?b=2x2+4y+2x=0,

1

y=—l——x,.,.當(dāng)x=4時(shí)，y=—3,當(dāng)x=-4時(shí)，y=l,

x+y=l或一3.故選A.

第3頁共16頁

9.在如下圖所示的坐標(biāo)系中，A8CD—4B1GD1為正方體，給出下列結(jié)論:

①直線DDi的一個(gè)方向向量為(0,0,1).②直線BG的一個(gè)方向向量為(0,1,1).

③平面ABB14的一個(gè)法向量為(0,1,0).④平面&CD的一個(gè)法向量為(1,1,1).

其中正確的個(gè)數(shù)為()

A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)

【答案】C

【考點(diǎn)】直線方向向量的求法，平面法向量的求法

【解析】AA-=(°，0，1)；BQUADI,=(0,1,1),直線ADJ?平面A8B14,⑺

=(0,1,0)；G點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1,1),與平面&CD不垂直，，④錯(cuò).

10.在棱長為2的正方體A8CD-48iCiDi中，。是底面A8C。的中心，E,F分別是CQ,AD的中點(diǎn)，那么

異面直線。E和FDi所成角的余弦值等于()

5

B.叵

5

4

c.—

5

D.—

【答案】B

【考點(diǎn)】空間向量求線線角

第4頁共16頁

【解析】以。為原點(diǎn)，分別以DC,DDi所在直線為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系，

則。(1,1,0),E(0,2,1),F(l,0,0),Di(0,0,2).故=(一1，1.1),FJ).=(一1，0,2),

==叵，故。后與尸。所成角的余弦值是

cos<OE.FDX>-。七_(dá)31

'"H皿舟#5

5

11.平面a的斜線/與它在這個(gè)平面上射影/，的方向向量分別為。=(1,0,1),6=(0,1,1),則斜線/與平

面a所成的角為()

A.300

B.45°

C.60°

D.90°

【答案】C

【考點(diǎn)】空間向量求線線角

ab1

【解析】/與a所成的角為a與b所成的角(或其補(bǔ)角)，【?cos(a,b>\a\-\b\2

〈a,b)=60°.

12.如下圖，在直三棱柱ABC—AiBiG中，NACB=90°,2AC=44=8C=2.若二面角BLDC-Q的大小為

60°,則A。的長為()

A.g

B市

C.2

D①

2

第5頁共16頁

【答案】A

【考點(diǎn)】空間向量求二面角，空間向量求距離

【解析】如下圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB,CG所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則C(0,0,0),4(1,0,0),Bi(0,2,2),Ci(0,0,2)

X

設(shè)AD=o,則D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0,a),C^)=(l，。，。)，2,2),

IJUCR,=0,[2y+2z=0

設(shè)平面BiCD的一個(gè)法向量為m=(x,y,z).則'___*=<,,令z=-l,

IinCD=01x+az=0

得m=(a,1,-1),又平面GDC的一個(gè)法向量為n=(0,1,0),

W-7711L

則由COS60'=------,得j=一，即a=.h,故AD=

小⑶2k

13.已知a=(l,5,—2),b=(m,2,m+2),若cr_Lb,則m的值為()

A.O

B.6

C.-6

D.±6

【答案】B

【考點(diǎn)】空間向量坐標(biāo)運(yùn)算

【解析】<a>Lb,二lxm+5x2—2(m+2)=0,解得m=6.

14.平行六面體ABCD—481GD1中，向量一15、_1/1_工為兩兩的夾角均為60。，且

AB\=L\AD\^2:\AA:=3：則元等于()

A.5

B.6

C.4

D.8

【答案】A

第6頁共16頁

【考點(diǎn)】數(shù)量積的概念，數(shù)量積的應(yīng)用

【解析】設(shè)彳方=。，.五）=6，.工^]=c,則，*]=a+b+c,

.j-2=a2+62+c2+2ac+2b-c+2ca=l2+22+32+2xlx3cos60°+2x2x3cos600+2xlx2cos60°=25,因止匕

西尸.

15.已知平面a的一個(gè)法向量。=（一2,-2,1）,點(diǎn)4一1,3,0）在。內(nèi)，則P（—2,1,4）到a的距離為（）

A.10

B.3

【答案】D

【考點(diǎn)】空間向量求距離

IP4-/1I10

【解析】設(shè)點(diǎn)P到a的距離為h,則h=“1=—.

\n\3

16.二面角的棱上有4B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知A8

=4,4c=6,BD=8,CD=2后,則該二面角的大小為（）

A.1500

B.45°

C.60°

D.120°

【答案】C

【考點(diǎn)】空間向量求二面角

【解析】由條件，知Dxi=o,同冊=0,ct>=CA+Ai+Bt>

??.|CD|2=|C2|2+|Z5|2+|55|2+2CAAB+2ABBD+2CABD

=62+42+82+2x6x8cos<CA,BD>=（2所？

..[,,

?1.cos<CA,BDAD>=120°，，二面角的大小為6?！?故選c.

2

17.如下圖，在45。的二面角a—/—6的棱上有兩點(diǎn)A、B,點(diǎn)C、。分別在a、6內(nèi)，且ACLA8,

NA8O=45。，AC=BD=AB=L則CD的長度（）

第7頁共16頁

【答案】B

【考點(diǎn)】數(shù)量積運(yùn)算律，數(shù)量積的應(yīng)用，空間向量求距離

【解析】由戲+冊cos<.正，^)>=cos45?=-.

2=2+

ic2)ici+赤Bb-+20xi+戲冊+口冊)

=3+2(0+lxlxcos135°+lxlxcos1200)=2-正,

??I劭戶也一萬

二、解答題(共5題；共32分)

18.已知空間中三點(diǎn)4一2,0,2),8(-1,1,2),C(一3,0,4),設(shè)。=萬^b=JC

(1).則向量a與向量b的夾角的余弦值()

AM

;

一

R、而

D._____

10

D.叵

10

【答案】C

【考點(diǎn)】空間向量求線線角

第8頁共16頁

【解析】/a=(l,1,0),6=(-1,0,2),

ab=(l,1,0)-(-1,0,2)=—1,

又mi=jF+F+o：=w，|"=正1)?+0”=后

即向量a與向量b的夾角的余弦值為一如”.

10

⑵.若ka+b與ka—2b互相垂直，則實(shí)數(shù)k的值()

A.k=2

5

B.k=——

C.k=2或k=——

,

5

D.k=3或k=——

n

【答案】c

【考點(diǎn)】空間向量坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算律,數(shù)量積的應(yīng)用

【解析】法一：ka+b=(k—1,k,2).ka—25=伙+2,k,—4),且ka+b與ka—2b互相垂直,

(k—1,k,2)?(k+2,k,-4)=(k—l)(k+2)+N—8=0,

■■

.“=2或女=一一，.,.當(dāng)ka+b與ka—2b互相垂直時(shí)，實(shí)數(shù)k的值為2或一一.

7O

法二：由(2)知|a|=,|b|=,ab=—1,

2222

(ka+b)(ka—2b)=ka—ka-b—2b=2k+k—10=0f

■

得k=2或k=——.

19.如下圖所示，在直三棱柱A8C—4B1Q中，底面是等腰直角三角形，N473=90。,

第9頁共16頁

4）Hi

B

側(cè)棱A4=2,CA=2,。是CG的中點(diǎn)，試問E點(diǎn)滿足土石為（）時(shí)，點(diǎn)4到平面AED的距離為

4B3

A.1

B.1

1

C.—

4

D正

【答案】A

【考點(diǎn)】空間向量求距離

【解析】以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB,CG所在直線為x軸，y軸和z軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)

0,1),8(0,2,0),設(shè)瓦^=入瓦tyAG(0,1),則E(2兒2(1一川,

2A).

又7^2>=(-2,0,1),.衣=(2仇一1),2(1一川，2A),

第10頁共16頁

I〃-zLD=0.-2x+二=0.

設(shè)n=(x,y,z)為平面AED的法向量，則____

11-AE-0.2A<Z-1)+2y(l-Z)+2/tz=0s

取口，則尸匕4z=2,即〃=Q.1-3A

1—Z1-z

由于“」/廣川_2#.?41

出丁u-----------------'r-------,??<1_q;又AW(O,1),解得A==.

同35+(--)22

1-z

所以，E點(diǎn)滿足四&為2時(shí)，4到平面AE。的距離為2近

4B23

20.如下圖所示，在正方體A8CD-4B1GD1中，E是棱DDi的中點(diǎn).

⑴.直線8E和平面AB8/1所成的角的正弦值為()

1

A.—

7

B.—

3

1

C.一

:在

1

【答案】B

【考點(diǎn)】空間向量求線面角

【解析】設(shè)正方體的棱長為1,如下圖所示，以,工方，，力，，口］為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系.

第11頁共16頁

依題意，得8（1,。，。），E（。，1，-）-4。，0,。），。（。，1,0）,

所以*=（—1,1,2），.力=（0，1，0）.

工

在正方體ABCD-481GD1中，因?yàn)锳。JL平面ABBiAi,所以彳力是平面ABB遇i的一個(gè)法向量，設(shè)直線BE

與平面A8B1A1所成的角為。，則

感.彷J_22

sini?==3.即直線BE與平面AB8遇1所成的角的正弦值為二.

?麗力?r133

C\F

（2）.在棱GD1上的點(diǎn)F,當(dāng)一—為（）時(shí)使81FII平面4BE.

CQi

1

A.—

2

1

B.—

3

1

c.—

4

D史

5

【答案】A

【考點(diǎn)】直線方向向量與平面法向量證證明位置關(guān)系

【解析】依題意，得4（0,0,1）,反?]=（一1，0,1）,反方=（一1,1,E）.

工

第12頁共16頁

-x+z=0：

設(shè)n=(x,y,z)是平面4BE得一個(gè)法向量，則由n?瓦11=0,力反去'=。，得,1

“-x+V+-Z=0.

所以x=z,y=P取z=2,得n=(2,1,2).設(shè)F是棱GD1上的點(diǎn)，則F(t,1,l)(O<r<l).

又8i(l,0,1),所以瓦方=“一1,1,0),而81F評面48E,于是&FII平面48代方方?。=0小一1,

…會(huì)點(diǎn).這說明在棱…M一時(shí)，研

2G42

平面48E.故選A.

21.如下圖，在四棱錐P—A8CD中，PD_L底面ABCD,底面A8CD為正方形，PD=DC,E、F分別是A8、PB

的中點(diǎn).

⑴.在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G(),使GF_L平面PCB.

A.PD的中點(diǎn)

Q.AD的中點(diǎn)

C.PA的中點(diǎn)

D.無法確定

【答案】B

【考點(diǎn)】直線方向向量與平面法向量證證明位置關(guān)系

【解析】以“、DC、DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如下圖),

第13頁共16頁

aaaa

設(shè)AD=a,則。(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、E(a,~,0)、F(~，~，-)>P(0,0,

a).

,aaa

⑴設(shè)G(x,0,z),則GW平面PAD.聲后=%一三，--,z--

工工工

_aaaaa

FGCB=(x~^,—3,Zf)?(a，0,0)=a(x--)=0,-.x=--.

__aaaa/a

戶"d=(xf,---Z--H0，-a,a)=r_+a(z--)=0,

工工工21

z=0.

a

二.G點(diǎn)坐標(biāo)為（不，0,0）,即G點(diǎn)為AD的中點(diǎn).

⑵.DB與平面DEF所成角的正弦值為（）

【答案】B

【考點(diǎn)】空間向量求線面角

【解析】設(shè)平面。EF的法向量為"=（x,y,z）.

\DF=o（乂

flysz）-（-5-s-）=os

由_.得，｛

|〃°E=°（芭工二）.（,g0）=0

即取x=l,則y=—2,z=l,n=(l,—2,1).

a八

av+—1,=0.

)?

第14頁共16頁

ayf2

＜方力,

cos