第12講一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及在各類問題中的運(yùn)用.一.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.也就是說，對于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.二.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用(1)驗(yàn)根．不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗(yàn)兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根；(2)已知方程的一個(gè)根，求方程的另一根及未知系數(shù)；(3)不解方程，可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于x1、x2的對稱式的值．此時(shí)，常常涉及代數(shù)式的一些重要變形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．(4)已知方程的兩根，求作一個(gè)一元二次方程；以兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；（6）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以進(jìn)一步討論根的符號.設(shè)一元二次方程的兩根為、，則①當(dāng)△≥0且時(shí)，兩根同號．當(dāng)△≥0且，時(shí)，兩根同為正數(shù)；當(dāng)△≥0且，時(shí)，兩根同為負(fù)數(shù)．②當(dāng)△＞0且時(shí)，兩根異號．當(dāng)△＞0且，時(shí)，兩根異號且正根的絕對值較大；當(dāng)△＞0且，時(shí)，兩根異號且負(fù)根的絕對值較大．要點(diǎn)：（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗(yàn)證方程的．一些考試中，往往利用這一點(diǎn)設(shè)置陷阱；（2）若有理系數(shù)一元二次方程有一根，則必有一根（，為有理數(shù)）．考點(diǎn)1：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求值例1．若、是一元二次方程的兩根，則的值是（）A． B． C． D．例2．設(shè)方程的兩個(gè)根為，，則的值是（

）A． B． C．2 D．4考點(diǎn)2：通過化簡、變形利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求值例3．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，若，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．例4．已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是（

）A．2016 B．2018 C．2022 D．2024例5．若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為、，則的值為（

）A．7 B．3 C．－5 D．9例6．已知，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則=（

）A． B．2 C． D．4例7．設(shè)，是一元二次方程的兩個(gè)根，那么的值等于（

）A． B． C． D．考點(diǎn)3：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)例8．若關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)，則m的值為（

）A．3或 B． C．3 D．2或例9．若關(guān)于的一元二次方程的兩根互為倒數(shù)，則（

）A．3 B．1 C． D．例10．是方程的兩個(gè)實(shí)根，若恰成立，則的值為（

）A． B．或 C． D．或1考點(diǎn)4：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系分析、判斷命題真假例11．關(guān)于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p為常數(shù)）根的情況下，下列結(jié)論中正確的是（）A．兩個(gè)正根B．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，正根的絕對值比負(fù)根的絕對值大C．兩個(gè)負(fù)根D．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，正根的絕對值比負(fù)根的絕對值小例12．有兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程：，，其中a+c=0，以下列四個(gè)結(jié)論中，①如果，那么方程M和方程N(yùn)有一個(gè)公共根為1；②方程M和方程N(yùn)的兩根符號異號，而且它們的兩根之積必相等；③如果2是方程M的一個(gè)根，那么一定是方程N(yùn)的一個(gè)根；④如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么這個(gè)根必定是．其中錯(cuò)誤的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)考點(diǎn)5：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系比較根的大小例13．設(shè)，是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．若，則（

）A． B． C． D．例14．關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，考點(diǎn)6：解答證明題例15．已知關(guān)于x的方程：．(1)求證：不論a取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，滿足，求a的值．例16．關(guān)于的一元二次方程：(1)若方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；(2)若、是方程的兩根，且．求的值．例17．已知關(guān)于的方程(1)求證：無論取什么實(shí)數(shù)，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；(2)若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足，求的值及相應(yīng)的．例18．閱讀下列材料并完成練習(xí)題：已知一元一次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為和∵∴對比系數(shù)可得：，類比上面的證明方法：(1)如果一元三次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，，______，______，______．(2)已知方程，求值：______．例19．閱讀下列材料：韋達(dá)定理：若一元二次方程的兩根分別為．則，．閱讀下面應(yīng)用韋達(dá)定理的過程：若一元二次方程的兩根分別為．求的值．解：該一元二次方程的判別式，由韋達(dá)定理可得：，，解答下列問題：(1)設(shè)方程的兩根分別為，不解方程，利用韋達(dá)定理求代數(shù)式的值；(2)若關(guān)于x的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根分別為，且，利用韋達(dá)定理求k的值．一、單選題1．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）若是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（

）A．3或 B．或9 C．3或 D．或62．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）已知m、n是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值為（

）A．0 B．－10 C．3 D．103．（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程的兩根分別記為，，若，則的值為（

）A．7 B． C．6 D．4．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，則（

）A．2或6 B．2或8 C．2 D．65．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）已知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值是（

）A．4045 B．4044 C．2022 D．1二、填空題6．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的方程兩根的倒數(shù)和為1，則m的值為___________．7．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）、是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則的值為________．8．（2022·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）若實(shí)數(shù)a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，則的值為_____．9．（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，且，則m=__________．10．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，且＝x12+2x2﹣1，則k的值為_____．三、解答題11．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程(1)求證：無論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求m的值．12．（2020·湖北·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若，求k的值．13．（2019·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根.（1）求的取值范圍.（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為、，且，求的值.一、單選題1．（2023春·八年級單元測試）方程的兩根為，，下列各式正確的是（

）A．， B．，C．， D．，2．（2022秋·九年級課時(shí)練習(xí)）已知x2﹣2x﹣5＝0的兩個(gè)根為x1、x2，則x1+x2的值為（）A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．53．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）若是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值是（）A．4 B．3 C． D．4．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）已知，是一元二次方程的兩根，則的值為（

）A．0 B．2 C．1 D．－15．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）已知、是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（

）A．2 B． C． D．6．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）已知方程的兩根分別為、，則的值為（

）A．1 B． C．2023 D．7．（2023春·浙江杭州·八年級?？计谥校┤絷P(guān)于的一元二次方程（且）與關(guān)于的一元一次方程有一個(gè)公共解，且方程只有一個(gè)解，則（

）A． B． C． D．8．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）若方程有兩個(gè)同號不等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍（

）A． B． C． D．9．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）已知，，若，則下列等式成立的是（

）A． B． C． D．10．（2023春·安徽亳州·九年級專題練習(xí)）若方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根滿足，則實(shí)數(shù)p的所有值之和為（

）A．0 B． C． D．二、填空題11．（2022春·八年級課時(shí)練習(xí)）設(shè)分別是一元二次方程的根，填空：（1）．___________，___________．（2）．___________，___________．（3）．___________，___________．12．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）已知是一元二次方程的兩根，則________．13．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）若α、β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則_____．14．（2023·湖北黃岡·?？级＃┤魧?shí)數(shù)，分別滿足，，且，則的值為______．15．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）若、為的兩根，則的值為______．16．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）若，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值是___________．17．（2023·山東日照·統(tǒng)考二模）關(guān)于的一元二次方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根、且，則m的取值范圍是________；18．（2022秋·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的一元二次方程，當(dāng)時(shí)，相應(yīng)的一元二次方程的兩根分別記為則的值為_________．三、解答題19．（2020·湖北黃石·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x+m﹣2＝0的兩個(gè)實(shí)根．（1）求m的取值范圍；（2）若m滿足2x1+x2＝m+1，求m的值．20．（2022秋·陜西安康·九年級?？茧A段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）若方程兩實(shí)根x1，x2滿足x1+x2+x1x2﹣1＝0，求k的值．21．（2020秋·河南許昌·九年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于的一元二次方程.（1）若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若方程兩實(shí)數(shù)根分別為，，且滿足，求實(shí)數(shù)的值22．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知，是方程的兩根，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．23．（2023·北京海淀·北理工附中校考三模）已知關(guān)于的方程．(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，求正整數(shù)的值．24．（2023秋·貴州六盤水·九年級統(tǒng)考期末）關(guān)于x的一元二次方程：有實(shí)數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)若，是方程的兩根，且，求m的值．25．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程(1)求證：無論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求m的值．26．（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考一模）閱讀下列材料并完成相應(yīng)任務(wù)：對于一元二次方程（），如果方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，那么，；一元二次方程的這種根與系數(shù)的關(guān)系，最早是由法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)（）發(fā)現(xiàn)的，因此，我們把這個(gè)關(guān)系稱為韋達(dá)定理，靈活運(yùn)用這個(gè)定理有時(shí)可以使解題更為簡單．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：(1)材料理解：已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，求的值．小明給出了一部分解題思路：解：∵一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，∴______，∴______，∴請?zhí)羁詹⑦^程補(bǔ)充完整．(2)類比應(yīng)用一元二次方程的一個(gè)根為，則______，另一個(gè)根為______．(3)思維拓展：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和是，則______．27．（2021秋·遼寧大連·九年級大連育文中學(xué)?？茧A段練習(xí)）閱讀下列材料：材料1：若關(guān)于的一元二次方程（）的兩個(gè)根分別為，，則，.材料2：已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，求的值.解：根據(jù)題意可知，實(shí)數(shù)，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根根據(jù)材料1，得，∴，.∴根據(jù)上述材