§8.4多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

一、多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

二、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)內(nèi)容提要第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction一、多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)復(fù)合函數(shù)的的“鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則”，現(xiàn)在把它推廣到多元復(fù)合函數(shù)的情形.回顧一元函數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：

基本思想：將復(fù)雜函數(shù)求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為若干簡(jiǎn)單函數(shù)求導(dǎo)。第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction1.復(fù)合函數(shù)的中間變量為多元函數(shù)的情形

定理8.4.1如果函數(shù)

和

在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且其偏導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算:，

處都存在偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)

在對(duì)應(yīng)點(diǎn)

處具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)

在點(diǎn)此運(yùn)算法則稱為二元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t.二元復(fù)合函數(shù)變量間的依賴如圖8.4.1所示.鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則的函數(shù)變量之間的關(guān)系，可以類比于乘法原理和加法原理，觀察從因變量到自變量的路徑,不同類的路徑用加法,同一路徑的不同段之間用乘法．連線相乘分線相加圖8.4.1例8.4.1設(shè)求和

解:例8.4.2設(shè)求和

解令

，則

，畫出鏈?zhǔn)綀D，于是課堂練習(xí)設(shè)求和解畫出鏈?zhǔn)綀D，于是2.復(fù)合函數(shù)的中間變量為一元函數(shù)的情形設(shè)

構(gòu)成復(fù)合函數(shù)

，其變量間的依賴關(guān)系如圖8.4.2所示.圖8.4.2可導(dǎo)，函數(shù)

在對(duì)應(yīng)點(diǎn)

處具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),

定理8.4.2如果函數(shù)

及

都在點(diǎn)

處則復(fù)合函數(shù)

在點(diǎn)處可導(dǎo)，則其導(dǎo)數(shù)可用下下列公式計(jì)算:導(dǎo)數(shù)

稱為全導(dǎo)數(shù).例8.4.3設(shè)求和

解:設(shè)

求全導(dǎo)數(shù)解:課堂練習(xí)3.其他情形處具有偏導(dǎo)數(shù)，

在對(duì)應(yīng)點(diǎn)

處具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),

定理8.4.3設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

則復(fù)合函數(shù)

在點(diǎn)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，則其偏導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算:，

二元復(fù)合函數(shù)變量間的依賴關(guān)系如圖圖8.4.38.4.3所示.例8.4.4設(shè)求和

解:第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction二、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.由方程確定的一元隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們介紹了利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求由方程所確定的一元隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的的方法.下面根據(jù)多元復(fù)合函數(shù)微分法來(lái)導(dǎo)出由方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的公式．將由方程所確定的隱函數(shù)代入該方程，得恒等式利用多元復(fù)合函數(shù)微分法,上述方程兩端同時(shí)對(duì)求偏導(dǎo)，得若則2.方程所定的二元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)．如果由方程確定了二元隱函數(shù)且連續(xù)及將代入則有恒等式利用多元復(fù)合函數(shù)微分法,上述方程兩端分別對(duì)求偏導(dǎo)，得由于故例8.4.5求由方程所確定的隱函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)和解:設(shè)則有所以例8.4.6求由方程所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)所以解法一利用多元復(fù)合函數(shù)微分法，兩端對(duì)求偏導(dǎo)，得則有解法二則有所以例8.4.7已知隱函數(shù)由方程所確定，求和解:設(shè)則有所以1.多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）會(huì)利用二元復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t求偏導(dǎo)（2）會(huì)