坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系

坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系

直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系oqrz單位圓

柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系qq

ofxy單位圓

直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系

f標(biāo)量場的等值面 標(biāo)量場的等值線(面)等值面:

標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空間形成的曲面。等值面方程：常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個空間；標(biāo)量場的等值面互不相交。

等值面的特點(diǎn)：意義:

形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。場的直觀表示法 矢量場的矢量線

意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分布狀態(tài)。矢量線方程（利用矢量dr和矢量A平行得）：概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場的方向。矢量線oM

矢量線的疏密決定了場量的大小標(biāo)量場的方向?qū)?shù)和梯度意義：方向性導(dǎo)數(shù)表示場沿某方向的空間變化率。概念：

——

的方向余弦。

一個標(biāo)量函數(shù)

(x，y，z)，若函數(shù)

在點(diǎn)P

可微，則

在點(diǎn)P

沿任意方向

的方向?qū)?shù)為

式中,,分別是任一方向與x,y,z軸的夾角MPu(M)u(P)

——

u(M)沿方向增加；

——

u(M)沿方向減??；

——

u(M)沿方向無變化。

M0M方向?qū)?shù)的概念

特點(diǎn)：方向性導(dǎo)數(shù)既與點(diǎn)M0有關(guān)，也與方向有關(guān)。問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？因有：即當(dāng)，最大下頁上頁返回設(shè)可知標(biāo)量u沿l的方向?qū)?shù)就是矢量g在l上的投影，g在固定點(diǎn)處是一個固定矢量，l和g方向一致時則定義g為標(biāo)量場的梯度方向?qū)?shù)：

梯度的表達(dá)式：圓柱面坐標(biāo)系

球面坐標(biāo)系直角面坐標(biāo)系

標(biāo)量場的梯度（或）意義：描述標(biāo)量場在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向概念：，其中

取得最大值的方向——哈密頓算子式中標(biāo)量場的梯度是矢量場，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。標(biāo)量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)：梯度運(yùn)算的基本公式：標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）例：電位場的梯度電位場的梯度電位場的梯度與過該點(diǎn)的等位線垂直；數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；指向電位增加的方向。下頁上頁返回

例

設(shè)一標(biāo)量函數(shù)

(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空間標(biāo)量場。試求：

(1)該函數(shù)

在點(diǎn)P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量；

(2)求該函數(shù)

沿單位矢量el=

excos60

＋eycos45

＋ezcos60

方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。

解

(1)由梯度計算公式，可求得P