專題復(fù)習(xí)一閱讀理解問題

題型概述

閱讀理解型問題一般都是先提供一個(gè)解題思路，或介紹一種解題方法，或展示一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)

論的推導(dǎo)過程等文字或圖表材料，然后要求大家自主探索，理解其內(nèi)容，思想方法，把握

本質(zhì)，解答試題中提出的問題，對于這類題求解步驟是''閱讀一分析一理解一創(chuàng)新應(yīng)用”，

其關(guān)鍵的是理解材料的作用和用意，一般是啟發(fā)你如何解決問題或?yàn)榱私鉀Q問題為你提供

工具及素材，因此這種試題是考查大家隨機(jī)應(yīng)變能力和知識的遷移能力。

題型例析

類型1:新定義運(yùn)算型

對于這種新定義型問題解答需要深刻理解新定義運(yùn)算法則和運(yùn)算過程，將新定義運(yùn)算轉(zhuǎn)化

為熟悉的加減乘除等運(yùn)算。

【例題工(2015?湖北省武漢市，第15題3分)定義運(yùn)算“*”，規(guī)定/y=a?+6y,其中

a、6為常數(shù)，且1*2=5,2*1=6,則2*3=

10

a+2Z?=5fa=1

<<

【解析】由題意知，［4a+b=6,所以W=2,所以xXy=x?+2y,所以2X3=22+2X3=10.

新定義翻譯：新定義的實(shí)質(zhì)是解二元一次方程組，從而確定常數(shù)值，最后轉(zhuǎn)化為求代數(shù)式的

值.本題以新定義的形式出現(xiàn)，使簡單問題新穎化，能很好的考查同學(xué)們的閱讀理解能力.

【變式練習(xí)】

(2015?甘肅天水，第10題，4分)定義運(yùn)算：a?b=a(1-b).下面給出了關(guān)于這種運(yùn)算的

幾種結(jié)論：?2?(-2)=6,(2)a?b=b?a,③若a+b=0,貝(a?a)+(b?b)=2ab,④若a?b=0,

則或b=l,其中結(jié)論正確的序號是()

A.①④B.①③C.②③④D.①②④

考點(diǎn)：整式的混合運(yùn)算；有理數(shù)的混合運(yùn)算.

專題：新定義.

分析：各項(xiàng)利用題中的新定義計(jì)算得到結(jié)果，即可做出判斷.

解答：解：根據(jù)題意得：2?(-2)=2X(1+2)=6,選項(xiàng)①正確；

a?b=a(1-b)=a-ab,b?a=b(1-a)=b-ab,不一定相等，選項(xiàng)②錯(cuò)誤；

(a?a)+(b?b)=a(1-a)+b(1-b)=a+b-a-b2#2ab,選項(xiàng)③錯(cuò)誤；

若a?b=a(1-b)=0,貝Ua=0或b=l,選項(xiàng)④正確，

故選A

點(diǎn)評：此題考查了整式的混合運(yùn)算，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題

的關(guān)鍵.

類型2：學(xué)習(xí)應(yīng)用型

解決此類問題時(shí)要注意以下兩點(diǎn)：一要理解閱讀材料中解題方法及其存在的規(guī)律性；二是

熟練把握相關(guān)的知識。

【例題工(2015?江蘇南昌，第24題12分)我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三

角形”.例如圖1,圖2,圖3中，加；助是△/回的中線，ZaL龍，垂足為尸.像△/回這樣

的三角形均為“中垂三角形”.設(shè)BC-a，AC=b，AB=c*

特例探索

(1)如圖1,當(dāng)/A3E=45°,:2也時(shí)，；

如圖2,當(dāng)/A3E=30。，(：=4時(shí)，a=，b二；

cc

ABABAB

圖1圖2圖3

歸納證明

2122

(2)請你觀察⑴中的計(jì)算結(jié)果,,猜想〃，〃，c三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利

用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式；

拓展應(yīng)用

⑶如圖4,在.DABCD中，點(diǎn)、E,F,G分別是AD,BC,繆的中點(diǎn)，BELEG,A氏2表，AB=3_

求4分的長.

BpC

答案：解析：（1）如圖1,連接哥;則廝是△力8c的中位線，

-AB廠

:.E耳2=V2）

跳M5°,力虹0V.△力帆是等腰直角三角形，

'：EF//AB，二△詼也是等腰直角三角形，

：.AP^BP=2,E六F"\,:.AE=BRW

:.a=b=2V5.

如圖2,連接俄則所是△被7的中位線.C

VZABE=2,0o,AELBF,AB=4,y\

：.A/^2,B占2M,A、\尸

//>邪；

?：EF=2,:?P斤73,p六L\/

?a=2yfi3b=2&

,,,?

（2）a2+Z?2=5c2

如圖3,連接陽設(shè)/小0,阱〃.，貝I］。？=A32=機(jī)2+/

:.P斤2BK2n,小2仍2加,

AB

圖3

-

A)T

A七7-12=m2+?—1n2TBr12=n2?+1—m2

?44

,?，

22222

,??b=AC=4AE，=4m+n

a=BC2=4B尸2=4〃2+加2

.a2+Z?2=5(m2+n2)=5c2

(3)

P

如上圖，延長%,6。交于點(diǎn)Q,延長曲刃交于點(diǎn)A延長蜴龍分別交做PQ千點(diǎn)、M,N,連

接第

:四邊形是平行四邊形，.園AB=CD,

'：E,G是分別是AD,。的中點(diǎn)，/.XEDG9△QCG"；.CQ=DE=a,DG=AM=1.5,：.

B后4.5.

CDCQ3V5

----~---------~-----

,:BPBQ.BP3指，...於父是解的中點(diǎn)；

'：AD=FQ,.?.四邊形題0是平行四邊形，，//〃闈

:區(qū)尸分別是/〃，6c的中點(diǎn)，州.?.四邊形？LW是平行四邊形，；.。1=毋；

由AFIIPQ舄?.

OF_BF_a0A_BA_3_10A_OF

QNBQ3'\/^3PNBP93,PNQN,：.P^QN,是國的中點(diǎn)；

???△即是“中垂三角形”，.??*=5%2_5產(chǎn)=5?(3㈣292=144,

Pe=4

,,pe=12(;^=|

【變式練習(xí)】

(2015?四川成都，第25題4分)如果關(guān)于x的一元二次方程ax'+bx+cF有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且

其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程的說法,

正確的是②③(寫出所有正確說法的序號)

①方程x2-x-2=0是倍根方程.

②若(x-2)(mx+n)=0是倍根方程，則4m々Smn+nJO；

2

③若點(diǎn)(p,q)在反比例函數(shù)y二一的圖象上，則關(guān)于x的方程px2+3x+q=0的倍根方程；

X

④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相異兩點(diǎn)s),N(4-t,s)都在拋物線y=ax2+bx+c

上，則方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根為°.

4

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)圖象上

點(diǎn)的坐標(biāo)特征..

專題：新定義.

分析：①解方程X2-X-2=0得：Xk2,X2=-1,得到方程X2-X-2=0不是倍根方程，故①

nnn

錯(cuò)誤；②由(x-2)(mx+n)=0是倍根方程，且xi=2,x=---，得到一=-L或一=-4,

2mmm

.?.ni+n=O于是得至!j4m2+5mn+nJ(4m+l)(m+n)=0,故②正確；③由點(diǎn)(p,q)在反比例函數(shù)

212

y二一的圖象上，得到pq=2,解方程px'Bx+qR得：xi=-—,x2=-—,故.??③正確；④由

xpp

方程ax,bx+c=O是倍根方程，得到XI=2X2,由相異兩點(diǎn)M(1+t,s),N(4-t,s)都在拋

物線y=ax2+bx+c上，/.

得到拋物線的對稱軸x=2上至土上二L』，于是求出x1=2,故④錯(cuò)誤.

2223

解答：①解方程x2-x-2=0得：xi=2,X2--1,

???方程X2-X-2=0不是倍根方程，故①錯(cuò)誤；

②;(x-2)(mx+n)=0是倍根方程，且xi=2,X2----,

m

m+n=0,4m+n=0,

4m2+5mn+n2=(4m+n)(m+n)=0,故②正確;

③??,點(diǎn)(p,q)在反比例函數(shù)y二的圖象上，

??pq=2,

12

解方程px2+3x+q=0得：xi=-—,X2二-一，

PP

/.X2=2XI,故③正確；

④二?方程ax2+bx+c=0是倍根方程，

**?設(shè)Xi—2x2,

???相異兩點(diǎn)M(1+t,s),N(4-t,s)都在拋物線y=ax，bx+c上,

...拋物線的對稱軸x=MjL2=l+t+4-t=5,

222

??Xi+x2=5，

??Xi+2xi—5,

.-.=-,故④錯(cuò)誤.

X13

故答案為：②③.

點(diǎn)評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，反比例函數(shù)圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次

函數(shù)圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確的理解“倍根方程”的定義是解題的關(guān)鍵.

類型3：新概念閱讀型

首先要先讀懂題中情形，從而根據(jù)相關(guān)的知識解決問題，再靈活運(yùn)用所學(xué)過的有關(guān)知識點(diǎn)

進(jìn)行點(diǎn)撥解題。

【例題】(2015?南寧，第12題3分)對于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a、b,我們規(guī)定符號論x{a,

Max[x—x)=2x+1

6}表示a、6中的較大值，如：%x{2,4}=4,按照這個(gè)規(guī)定，方程’x的解為

().

(A)1-V2⑻2-V2(C)1+&或1-痣(D)1+也或T

考點(diǎn)：解分式方程..

專題：新定義.

分析：根據(jù)X與-X的大小關(guān)系，取X與-X中的最大值化簡所求方程，求出解即可.

2x+l

解答：當(dāng)x<-X,即x<0時(shí)，所求方程變形得：-尸x,

去分母得：x+2,x+l=Q,即牛-1；

2x+l

當(dāng)x>-x,即x>0時(shí)，所求方程變形得：三x,即V-2產(chǎn)1,

解得：下1+7^下1-正（舍去），

經(jīng)檢驗(yàn)尸-1與下1+我都為分式方程的解.

故選D.

點(diǎn)評：此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為

整式方程求解.解分式方程一定注意要驗(yàn)根.

【變式練習(xí)】

（2015?浙江嘉興，第24題14分）類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的

凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”.

（1）概念理解

如圖1,在四邊形40中，添加一個(gè)條件使得四邊形465是“等鄰邊四邊形”.請寫出你

添加的一個(gè)條件.

（2）問題探究

①小紅猜想：對角線互相平分的“等鄰邊四邊形”是菱形.她的猜想正確嗎？請說明理由。

②如圖2,小紅畫了一個(gè)以△A5G其中N/6e90°,AB=2,BOX,并將以△力勿沿

N/8C的平分線跖'方向平移得到△/'B'C,連結(jié).小紅要是平移后的四邊形

ABCA'是"等鄰邊四邊形”，應(yīng)平移多少距離（即線段如'的長）？

（3）應(yīng)用拓展

如圖3,“等鄰邊四邊形”/以力中，AB=AD,ZBAD^ZBCD==90°,AC,即為對角線,

/信由8.試探究8C,CD,劭的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2

（第24題）圖3

考點(diǎn)：四邊形綜合題..

分析：(1)由“等鄰邊四邊形”的定義易得出結(jié)論；

(2)①先利用平行四邊形的判定定理得平行四邊形，再利用“等鄰邊四邊形”定義得鄰邊

相等，得出結(jié)論；

②由平移的性質(zhì)易得畫=AA',A'B'//AB,A'B'=AB=2,B'C=801,A'C=4＞而,

再利用“等鄰邊四邊形”定義分類討論，由勾股定理得出結(jié)論；

(3)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△/母絲由全等性質(zhì)得//阱/BA戶/DAC,AF^AC,

FB=CD,利用相似三角形判定得△/"△/初，由相似的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和得/或佇90°,

利用勾股定理，等量代換得出結(jié)論.

解答：解：(1)/斤6c或6俏切或磬=”或/氏四(任寫一個(gè)即可)；

(2)①正確，理由為：［來'源&#:中教限網(wǎng)］

V四邊形的對角線互相平分，.?.這個(gè)四邊形是平行四邊形，

:四邊形是“等鄰邊四邊形”，，這個(gè)四邊形有一組鄰邊相等，

這個(gè)“等鄰邊四邊形”是菱形；

@'：ZABC=90°,AB=2,BOX,

：.AC=45,

:將應(yīng)△/以；平移得到△/'B'C,

：.BB'=AA',A'B'//AB,A'B'二AB=2,B'C=B(=\,A'C=AO煙,

(/)如圖1,當(dāng)四'=/6時(shí)，BB'=AA'=AB=2-,

(//)如圖2,當(dāng)A4'="C時(shí)，BB'=AA'=A'C=巡；

(IH)當(dāng)/C=BC=立時(shí)，

如圖3,延長CB'交AB于點(diǎn)、D,則CB'LAB,

'：BB'平分/ABC,

：.AABB'=ZAB(=45°,

/.ZBB'氏'ZABB'=45°,

：.B'D=B,

設(shè)6,D=BD=x,

則CD=x+1,BB'=42x,

■:在RtABC，中，加+(CD)J(B。)2

.*./+(x+l)J(V5)2,

解得：Xi=l,X2=-2(不合題意，舍去)，

：.BB'=V2A-V2,

(IV)當(dāng)BC'=4廬2時(shí)，如圖4,

與(III)方法一同理可得：加+9D)2=(BC)2,

設(shè)夕D=BD=x,

貝ij/+(矛+1)=22,

-i+V？-LV?

解得：荀―一2一,XX-2一(不合題意，舍去)，

'.BB'=V2^=2；

(3)BC,CD,M的數(shù)量關(guān)系為：切=2的，如圖5,

:AB=AD,

...將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△/冊連接CF,

:.叢ABF^叢ADC,

：.AABF^AADC,/BA戶NDAC,AF^AC,FB=CD,

ACAD

:./BAD=/CAF,AF=AB^1,

:.AACFsAABD,

CFAC

.-.BD=AB=V2,：.^-42BD,

'：ZBAD^ZADaZBCD^ZAB(=360o,

：.ZABC+ZADC-360°-(ZBAIAZBCD')=360°-90°=270

ZABC+ZAB/^2.7Q°,

：.ZCBF=90°,

：.B^+F^-Cfi=2=2立

；.%+5=2初.

點(diǎn)評：本題主要考查了對新定義的理解，菱形的判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)等，理

解新定義，分類討論是解答此題的關(guān)鍵.

類型4：糾錯(cuò)補(bǔ)全型

對解題過程的閱讀，一定要帶有批判型的眼光去審查每一步，并且一定要克服自己的思維

定勢，應(yīng)把問題想的更寬更深些，這樣存在的問題才能被挖掘出來。

【例題】(2015?四川涼山州第24題8分)閱讀理解

材料一：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫梯形，其中平行的兩邊叫梯形的底邊,

不平行的兩邊叫梯形的底邊，不平行的兩邊叫梯形的腰，連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫梯形的

中位線.梯形的中位線具有以下性質(zhì)：

梯形的中位線平行于兩底和，并且等于兩底和的一半.

如圖(1)：在梯形ABCD中:AD〃BC

VE,F是AB、CD的中點(diǎn)

；.EF〃AD〃BC

EF=(AD+BC)

材料二：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊

如圖(2)：在△ABC中：

是AB的中點(diǎn),EF〃BC

；.F是AC的中點(diǎn)

請你運(yùn)用所學(xué)知識，結(jié)合上述材料，解答下列問題.

如圖(3)在梯形ABCD中，AD/7BC,AC_LBD于0,E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，ZDBC=30

(1)求證：EF=AC；

(2)若0D=3jW0C=5,求MN的長.

考點(diǎn)：四邊形綜合題?.

分析：(1)由直角三角形中30°的銳角所對的直角邊是斜邊的一半，可得0A=AD,0C=BC,

即可證明；

(2)直角三角形中30。的銳角所對的直角邊是斜邊的一半，得出0A=3,利用平行線得出

0N=MN,再根據(jù)AN=AC=4,得出0N=4-3=l,進(jìn)而得出MN的值.

解答：(1)證明：：AD〃BC,

.?.ZAD0=ZDBC=30°,

.,.在RtZkAOD和RtZiBOC中，OA=AD,OC=BC,

.?.AC=OA+OC=(AD+BC),

VEF=(AD+BC),

.?.AC=EF；

(2)解：VAD/7BC,

/.ZAD0=ZDBC=30°,

...在RtAAOD和RtABOC中，OA=AD,OC=BC,

V00=373.0C=5,

.\0A=3,

VAD/7EF,

.\ZAD0=Z0MN=30o,

.?.ON=MN,

:AN=AC=(OA+OC)=4,

/.ON=AN-0A=4-3=1,

.?.MN=2ON=2,

點(diǎn)評：此題主要考查四邊形的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)和直角三角形中

30°的銳角所對的直角邊是斜邊的一半進(jìn)行分析.

【變式練習(xí)】

（2015?永州,第27題10分）問題探究：

（-）新知學(xué)習(xí)：

圓內(nèi)接四邊形的判斷定理：如果四邊形對角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形內(nèi)接于圓（即如果四邊形

EFGH的對角互補(bǔ)，那么四邊形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)E、F、G、H都在同個(gè)圓上）.

（二）問題解決：

已知。。的半徑為2,AB,CD是。。的直徑.P是定上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作AB,CD的垂

線，垂足分別為N,M.

（1）若直徑ABLCD,對于前上任意一點(diǎn)P（不與B、C重合）（如圖一），證明四邊形PMON

內(nèi)接于圓，并求此圓直徑的長；

（2）若直徑ABLCD,在點(diǎn)P（不與B、C重合）從B運(yùn)動到C的過程匯總，證明MN的長為

定值，并求其定值；

（3）若直徑AB與CD相交成120°角.

①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到前的中點(diǎn)R時(shí)（如圖二），求MN的長；

②當(dāng)點(diǎn)P（不與B、C重合）從B運(yùn)動到C的過程中（如圖三），證明MN的長為定值.

（4）試問當(dāng)直徑AB與CD相交成多少度角時(shí)，MN的長取最大值,并寫出其最大值.

圖一圖二國三

考點(diǎn)：圓的閱讀解題.

專題：探究型.

分析：(1)如圖一，易證NPM0+/PN0=180°,從而可得四邊形PMON內(nèi)接于圓，直徑0P=2；

(2)如圖一，易證四邊形PMON是矩形，則有MN=0P=2,問題得以解決；

(3)①如圖二，根據(jù)等弧所對的圓心角相等可得/C0Pi=/B0Pi=60°,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的

對角互補(bǔ)可得NMPiN=60°.根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PM=PN從而得到APiMN是等邊三角

形，則有MN=PM然后在Rt^PM)運(yùn)用三角函數(shù)就可解決問題；②設(shè)四邊形PMON的外接圓

為。0',連接N0,并延長，交。0,于點(diǎn)Q,連接QM,如圖三，根據(jù)圓周角定理可得

ZQMN=90°,ZMQN=ZMPN=60°,在RtZiQMN中運(yùn)用三角函數(shù)可得：MN=QN?sinNMQN,從而

可得MN=OP?sin/MQN,由此即可解決問題；

(4)由(3)②中已得結(jié)論MN=OP?sin/MQN可知，當(dāng)NMQN=90°時(shí)，MN最大，問題得以解

決.

解答：(1)如圖一，

VPM±OC,PNXOB,

AZPM0=ZPN0=90°,

.\ZPM0+ZPN0=180°,

...四邊形PMON內(nèi)接于圓，直徑0P=2；

(2)如圖一，

VABX0C,即/B0C=90°,

ZB0C=ZPM0=ZPN0=90°,

.??四邊形PMON是矩形，

.\MN=0P=2,

；.MN的長為定值，該定值為2；

(3)①如圖二，

：Pi是黃的中點(diǎn)，ZB0C=120°

.?.ZC0Pi=ZB0Pi=60°,ZMPiN=60°.

：PiM_LOC,PiN±OB,

.1.PiM=PiN,

...△PiMN是等邊三角形,

.\MN=PiM.

PiM=OPi?sinZM0Pi=2Xsin60°=y/s，

;.MN=J5；

②設(shè)四邊形PMON的外接圓為。O',連接NO,并延長,

交。0,于點(diǎn)Q,連接QM,如圖三，

則有NQMN=90°,ZMQN=ZMPN=60°,

在Rt/XQMN中，sinZMQN=M

QN

，MN=QN?sin/MQN,

/.MN=OP?sinZMQN=2Xsin60°=2X坐=E，

MN是定值.

(4)由(3)②得MN=OP?sin/MQN=2sin/MQN.

當(dāng)直徑AB與CD相交成90°角時(shí)，ZMQN=180°-90°=90°MN取得最大值2.

圖二

c

圖一

點(diǎn)評：本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的判定定理、圓周角定理、在同圓中弧與圓心角的關(guān)系、

矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、角平分線的性質(zhì)等知識，推出

MN=OP*sinZMQN是解決本題的關(guān)鍵.

跟蹤檢測：

1.（2015?永州,第10題3分）定義[x]為不超過x的最大整數(shù)，如[3.6]=3,[0.6]=0,[-

3.6]=-4.對于任意實(shí)數(shù)x,下列式子中錯(cuò)誤的是（）

A.[x]=x（x為整數(shù)）B.OWx-[x]<1

C.[x+y]W[x]+[y]D.[n+x]=n+[x]（n為整數(shù)）

2.（2015?四川遂寧第21題9分）閱讀下列材料，并用相關(guān)的思想方法解決問題.

111x-1111

計(jì)算：(1----------)(1--)x(1).

2342345234523+4

令』+l+L=t,則

234

原式=(1-t)(t+—)-(1-t--)t

55

114

=t+——t2"——t——t+t2

555

1

5

問題:

（1）計(jì)算

(1-----——…--------)X(—+—+—+—…+-------■+--------)-(1----—

23420142345201420152345

--------)X(—+—+-----+―1—)；

201420152342014

(2)解方程(X2+5X+1)(X2+5X+7)=7.

3.（2015?黑龍江綏化，第26題分）自學(xué)下面材料后，解答問題。

^^〉0；型把〈0

分母中含有未知數(shù)的不等式叫分式不等式。如：x+1x-1等。那么如何求出它

們的解集呢？

根據(jù)我們學(xué)過的有理數(shù)除法法則可知：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)。其字母表達(dá)式為:

aa

(1)若a>0,A>0,則6>0；若a<0,b<0,則人>0；

aa

(2)若a>0,b<Q,則；若a<0,6>0,則人<0。

aa>0-a<0

b>0[b<0

反之:（1）若萬>0則

a

(2)若6<0,則或

x-2

>0

根據(jù)上述規(guī)律，求不等式X+1的解集。

4.（2015?山東日照，第21題12分）閱讀資料:

如圖1,在平面之間坐標(biāo)系xOy中，A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(xi,yD,B(x2,y2),由勾

222

股定理得AB=|X2-X1|+|y2-yj,所以A,B兩點(diǎn)間的距離為

22

AB=VX1+(y2-yi)

我們知道，圓可以看成到圓心距離等于半徑的點(diǎn)的集合，如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xoy中，

A(x,y)為圓上任意一點(diǎn)，則A到原點(diǎn)的距離的平方為0A2=|x-0「+|y-0「，當(dāng)。0的半

徑為r時(shí),。。的方程可寫為：x2+y2=r2.

問題拓展：如果圓心坐標(biāo)為P(a,b),半徑為r,那么。P的方程可以寫為.

綜合應(yīng)用：

如圖3,OP與x軸相切于原點(diǎn)0,P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6),A是。P上一點(diǎn)，連接0A,使tan

ZP0A=,作PDL0A,垂足為D,延長PD交x軸于點(diǎn)B,連接AB.

①證明AB是。P的切點(diǎn)；

②是否存在到四點(diǎn)0,P,A,B距離都相等的點(diǎn)Q?若存在，求Q點(diǎn)坐標(biāo)，并寫出以Q為圓

心，以0Q為半徑的。。的方程；若不存在，說明理由.

5.(2015?浙江寧波，第25題12分)如圖1,點(diǎn)戶為/嫵W的平分線上一點(diǎn)，以戶為頂點(diǎn)

的角的兩邊分別與射線OM,(W交于A,6兩點(diǎn)，如果//期繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)始終滿足

OAOB=OP-,我們就把//陽叫做/腦加的智慧角.

(1)如圖2,已知/掰好90°,點(diǎn)戶為/掰卯的平分線上一點(diǎn)，以點(diǎn)戶為頂點(diǎn)的角的兩邊分

別與射線黑加交于48兩點(diǎn)，且/加分=135°.求證：//陽是/加W的智慧角；

(2)如圖1,已知/幽好口(0°<?<90°),OP=2,若//如是/加亞的智慧角，連結(jié)48

用含0的式子分別表示//期的度數(shù)和△/利的面積；

3

y=—(x〉0)

(3)如圖3,C是函數(shù)％圖象上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線切分別交了軸和丁

軸于點(diǎn)46兩點(diǎn)，且滿足6俏2俏，請求出///的智慧角///的頂點(diǎn)戶的坐標(biāo).

6.(2015?湘潭，第24題8分)閱讀材料：用配方法求最值.

己知x,y為非負(fù)實(shí)數(shù)，

,…2行(4)2+(石)2-24心(?-石)2M

，x+y22揚(yáng)，當(dāng)且僅當(dāng)“x=y”時(shí)，等號成立.

示例：當(dāng)x>0時(shí)，求y=x++4的最小值.

解：y=(x+2)+4)2Jx,+4=6,當(dāng)x=，即x=l時(shí)，y的最小值為6.

xVx

(1)嘗試：當(dāng)X>0時(shí)，求y=X+X+1的最小值.

X

(2)問題解決：隨著人們生活水平的快速提高，小轎車已成為越來越多家庭的交通工具，

假設(shè)某種小轎車的購車費(fèi)用為10萬元，每年應(yīng)繳保險(xiǎn)費(fèi)等各類費(fèi)用共計(jì)0.4萬元，n年的

2,

保養(yǎng)、維護(hù)費(fèi)用總和為凡上萬元.問這種小轎車使用多少年報(bào)廢最合算（即：使用多少年

10

的年平均費(fèi)用最少，年平均費(fèi)用「所有晏'之和）?最少年平均費(fèi)用為多少萬元？

年數(shù)n

7.（2014?福建漳州，第24題12分）讀材料：如圖1,在AAOB中，Z0=90°,OA=OB,點(diǎn)

P在AB邊上，PE±OA于點(diǎn)E,PF±OB于點(diǎn)F,則PE+PF=OA.（此結(jié)論不必證明，可直接應(yīng)用）

圖1圖2

（1）【理解與應(yīng)用】

如圖2,正方形ABCD的邊長為2,對角線AC,BD相交于點(diǎn)0,點(diǎn)P在AB邊上，PELOA于點(diǎn)

E,PFLOB于點(diǎn)F,貝UPE+PF的值為證.

（2）【類比與推理】

如圖3,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)0,AB=4,AD=3,點(diǎn)P在AB邊上，PE〃OB交

AC于點(diǎn)E,PF〃OA交BD于點(diǎn)F,求PE+PF的值;

（3）【拓展與延伸】

如圖4,。。的半徑為4,A,B,C,D是。。上的四點(diǎn)，過點(diǎn)C,D的切線CH,DG相交于點(diǎn)M,

點(diǎn)P在弦AB上，PE〃BC交AC于點(diǎn)E,PF〃AD于點(diǎn)F,當(dāng)/ADG=NBCH=30°時(shí)，PE+PF是否

為定值？若是，請求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由.

跟蹤檢測參考答案：

1.（2015?永州，第10題3分）定義[x]為不超過x的最大整數(shù)，如[3.6]=3,[0.6]=0,[-

3.6]=-4.對于任意實(shí)數(shù)x,下列式子中錯(cuò)誤的是（）

A.[x]=x（x為整數(shù)）B.OWx-[x]<l

C.[x+y]W[x]+[y]D.[n+x]=n+[x]（n為整數(shù)）

考點(diǎn)：一元一次不等式組的應(yīng)用.

專題：新定義.

分析：根據(jù)“定義[x]為不超過X的最大整數(shù)”進(jìn)行計(jì)算.

解答：A、：以]為不超過x的最大整數(shù)，

...當(dāng)x是整數(shù)時(shí)，[x]=x,成立；

B、：[x]為不超過x的最大整數(shù)，

；.0Wx-[x]<1,成立；

C、例如，[-5.4-3.23=[-8.6]=-9,[-5.4]+[-3,2]=-6+（-4）=-10,

：-9>-10,

/.[-5.4-3.2]>[-5.4]+[-3.2],

[x+y]W[x]+[y]不成立，

D、[n+x]=n+[x]（n為整數(shù)），成立；

故選：C.

點(diǎn)評：本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是理解新定義.新定義解題是

近幾年中考?？嫉念}型.

2.（2015?四川遂寧第21題9分）閱讀下列材料，并用相關(guān)的思想方法解決問題.

，111、，1111、，1111111

23423452345234

111

令A(yù)一+—+—=t,則

234

原式=（1-t）（t+—）-（1-t--）t

55

"5

問題:

(1)計(jì)算

,1111.111111、1111

23420142345201420152345

--_——----)x(_+_+_…+—_——)；

201420152342014

(2)解方程(X2+5X+1)(X2+5X+7)=7.

考點(diǎn)：換元法解一元二次方程；有理數(shù)的混合運(yùn)算.

專題：換元法.

分析：(1)設(shè),+上+^+—-_i=t,則原式=(1-t)X(t+---)-(1-t----

234201420152015

xt,進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)設(shè)x?+5x+l=t,則原方程化為：t(t+6)=7,求出t的值，再解一元二次方程即可.

解答：解：(1)設(shè)工+[+,??+1=t,

2342014

則原式二(i-t)X(t+---)-(1-1----)Xt

20152015

=t+—-12--L_t-t+t2+—^t=o；

201520152016

(2)設(shè)x2+5x+l=t,

則原方程化為：t(t+6)=7,

t2+6t-7=0,

解得：-7或1,

當(dāng)t=l時(shí)，X2+5X+1=1,

X2+5X=0,

x(x+5)=0,

x=0,x+5=0,

xi=0,X2=-5；

當(dāng)t=-7時(shí)，X2+5X+1=-7,

X2+5X+8=0,

b2-4ac=52-4XlX8<0,

此時(shí)方程無解；

即原方程的解為：xi=0,x2=-5.

點(diǎn)評：本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算和解高次方程的應(yīng)用，能正確換元是解此題的關(guān)鍵,

題目比較典型.

3.（2015?黑龍江綏化，第26題分）自學(xué)下面材料后，解答問題。

分母中含有未知數(shù)的不等式叫分式不等式。如：x+1x-1等。那么如何求出它

們的解集呢？

根據(jù)我們學(xué)過的有理數(shù)除法法則可知：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)。其字母表達(dá)式為:

aa

(1)若a>0,b>0,則6>0；若a<0,b<0,則少>0；

aa

(2)若a>0,b<Q,則6<0；若a<0,b>0,則萬<0。

aa>0-a<0

反之:（1）若萬>0則b>0[b<0

a

(2)若石<0,則或

x-2

>0

根據(jù)上述規(guī)律，求不等式X+1的解集。

考點(diǎn)：一元一次不等式組的應(yīng)用..

專題：閱讀型.

分析：根據(jù)兩數(shù)相除，異號得負(fù)解答;

先根據(jù)同號得正把不等式轉(zhuǎn)化成不等式組，然后根據(jù)一元一次不等式組的解法求解即可.

fa〉0fa<0

<<

解答：解：⑵若<0,則〔b<0或（b>0；

'a>0ra<0

故答案為:b<0或b>0

'x-2>02<0

<或L+i<o

由上述規(guī)律可知，不等式轉(zhuǎn)化為Ix+l>0

所以，矛>2或才<-1.

點(diǎn)評：本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，讀懂題目信息，理解不等式轉(zhuǎn)化為不等式組的

方法是解題的關(guān)鍵.

4.(2015?山東日照，第21題12分)閱讀資料：

如圖1,在平面之間坐標(biāo)系xOy中，A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(xi,yj,B(x2,y2),由勾

223

股定理得AB=|X2-X1|+|y2-yj,所以A,B兩點(diǎn)間的距離為

-

AB=V(X2-xi)+(y2yi).

我們知道，圓可以看成到圓心距離等于半徑的點(diǎn)的集合，如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xoy中，

A(x,y)為圓上任意一點(diǎn)，則A到原點(diǎn)的距離的平方為OA2=|x-O|，|y-o「，當(dāng)。。的半

徑為r時(shí),。。的方程可寫為：x2+y2=r2.

問題拓展：如果圓心坐標(biāo)為P(a,b),半徑為r,那么。P的方程可以寫為(x-a)?+(y

-b)2-r2.

綜合應(yīng)用：

如圖3,OP與*軸相切于原點(diǎn)0,P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6),A是。P上一點(diǎn)，連接0A,使tan

ZP0A=,作PDL0A,垂足為D,延長PD交x軸于點(diǎn)B,連接AB.

①證明AB是。P的切點(diǎn)；

②是否存在到四點(diǎn)0,P,A,B距離都相等的點(diǎn)Q?若存在，求Q點(diǎn)坐標(biāo)，并寫出以Q為圓

考點(diǎn)：圓的綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中

線；勾股定理；切線的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義.

專題：閱讀型.

分析：問題拓展：設(shè)A(X,y)為。P上任意一點(diǎn)，則有AP=r,根據(jù)閱讀材料中的兩點(diǎn)之間

距離公式即可求出。P的方程；

綜合應(yīng)用：①由PO=PA,PD_LOA可得N0PD=NAPD,從而可證到APOB0zXPAB,則有NP0B=

ZPAB.由。P與x軸相切于原點(diǎn)。可得/P0B=90°,即可得到NPAB=90°,由此可得AB是

OP的切線；

②當(dāng)點(diǎn)Q在線段BP中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得

0P

QO=QP=BQ=AQ.易證/OBP=NPOA,則有tan/OBP=OB^.由P點(diǎn)坐標(biāo)可求出OP、0B.過點(diǎn)Q

作QHLOB于H,易證△BHQs/^BOP,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出QH、BH,進(jìn)而求出OH,

就可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后運(yùn)用問題拓展中的結(jié)論就可解決問題.

解答：問題拓展：設(shè)A(x,y)為。P上任意一點(diǎn)，

VP(a,b),半徑為r,

AP2=(x-a)2+(y-b)2=r2.

故答案為(x-a)2+(y-b)2=r2；

綜合應(yīng)用：

①：PO=PA,PD±OA,

ZOPD=ZAPD.

在和APAB中，

'PO=PA

<ZOPB=ZAPB

TB=PB,

.,.△POB^APAB,

.\ZPOB=ZPAB.

OP與x軸相切于原點(diǎn)0,

AZP0B=90°,

/.ZPAB=90°,

；.AB是。P的切線；

②存在到四點(diǎn)0,P,A,B距離都相等的點(diǎn)Q.

當(dāng)點(diǎn)Q在線段BP中點(diǎn)時(shí)，

VZP0B=ZPAB=90°,

/.QO=QP=BQ=AQ.

此時(shí)點(diǎn)Q到四點(diǎn)0,P,A,B距離都相等.

VZP0B=90°,OAXPB,

.'.Z0BP=90°-ZDOB=ZPOA,

OP

tanZ0BP=0B=tanZPOA二.

???P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6),

.\0P=6,0B=0P=8.

過點(diǎn)Q作QH_LOB于H,如圖3,

則有NQHB=NP0B=90°,

???QH〃PO,

.,.△BHQ^ABOP,

QHBHBQ

.\OP=OB=BP=,

.\QH=0P=3,BH=0B=4,

A0H=8-4=4,

???點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4,3),

.-.OQ=7OH2+QH2=5,

以Q為圓心，以0Q為半徑的。0的方程為(x-4)2+(y-3)=25.

點(diǎn)評：本題是一道閱讀題，以考查閱讀理解能力為主，在解決問題的過程中，用到了全等三

角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、切線的判定

與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角函數(shù)的定義等知識，有一定的綜合

性.

5.（2015?浙江寧波，第25題12分）如圖1,點(diǎn)尸為/加亞的平分線上一點(diǎn)，以尸為頂點(diǎn)

的角的兩邊分別與射線0M,如交于A,6兩點(diǎn)，如果//力繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)始終滿足

OAOB=OP2,我們就把//陽叫做/掰卯的智慧角.

(1)如圖2,已知/例那90°,點(diǎn)戶為NWV的平分線上一點(diǎn)，以點(diǎn)戶為頂點(diǎn)的角的兩邊分

別與射線黑加交于48兩點(diǎn)，且/加分=135°.求證：//如是/加W的智慧角;

(2)如圖1,已知/幽好口(0°<?<90°),〃片2,若//期是/JW的智慧角，連結(jié)四,

用含0的式子分別表示//期的度數(shù)和△力利的面積;

3

y=—(x>0)

(3)如圖3,C是函數(shù)％圖象上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線切分別交了軸和丁

軸于點(diǎn)46兩點(diǎn)，且滿足6俏2俏，請求出///的智慧角///的頂點(diǎn)戶的坐標(biāo).

【考點(diǎn)】新定義和閱讀理解型問題；單動點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)問題；相似三角形的判定和性質(zhì)；銳角三

角函數(shù)定義；反比例函數(shù)的性質(zhì)；曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；分類思想的應(yīng)用.

【分析】(1)通過證明MOPsAPOB,即可得到°尸=0408,從而證得//期是/〃皿

的智慧角.

=-OBAH=-OBOAsina=-OP2sina

,S4AOB

(2)根據(jù)222得出結(jié)果.

(3)分點(diǎn)8在>軸的正半軸，點(diǎn)6在y軸的負(fù)半軸兩種情況討論.

【答案】解：(1)證明：掰好90°,點(diǎn)?為/就加的平分線上一點(diǎn),

ZAOP=ZBOP=L/MON=45°

2

ZAOP+ZOAP+ZAPO=180°,ZOAP+ZAPO=135°.

?_-ZAPB=135°,ZAPO+ZOPB=135°.ZOAP=ZOPB

OAOP

AAOPsAPOB...OP~OB,即OP2^OAOB

：.//期是/加亞的智慧角.

(2)如是/胱W的智慧角，

M

OA

答圖1

OAOP

...OP?=OA-OB,即麗一麗.

:點(diǎn)戶為/距川的平分線上一點(diǎn)，

ZAOP=ZBOP=-a

：.2.

\AOP^\POB

NOAP=ZOPB

ZAPB=ZOPB+ZOPA=ZOAP+ZOPA=180°--tz

2.

如答圖1,過點(diǎn)/作/吐出于點(diǎn)〃，

111

S=-OBAH=-OBOAsina=-OP^sina

...MOB222

...Qp=2,；.SgoB=2sina

（3）設(shè)點(diǎn),（d°）,則仍=3.如答圖，過