3.1.2橢圓的簡潔幾何性質(zhì)第1課時(shí)橢圓的簡潔幾何性質(zhì)課后·訓(xùn)練提升基礎(chǔ)鞏固1.下面的橢圓中,與橢圓x29+yA.y29+x24C.y236+x225答案:A解析:橢圓y29+2.已知橢圓x2a2+y2b2A.a2=2b2 B.3a2=4b2C.a=2b D.3a=4b答案:B解析:由題意可得e=ca=12,c23.(多選題)已知橢圓C:x2m+y29A.橢圓C的長軸長為6 B.橢圓C的短軸長為2C.橢圓C的焦距為22 D.橢圓C的離心率為2答案:ABD解析:因?yàn)闄E圓C:x2m+y29=1的焦點(diǎn)在y軸上,所以a2=9,b2=m,又因?yàn)?a=3×2b,故a2=9b2,即9=9m,故m=1,由a2=9得a=3,橢圓C的長軸長為2a=6,故A正確;由b2=m=1得b=1,橢圓C的短軸長為2b=2,故B正確;因?yàn)閏2=a2-b2=8,所以c=22,橢圓C的焦距為2c=424.(多選題)已知曲線C1:x225+y29=1與曲線C2:xA.兩條曲線都是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B.焦距相等C.有相同的焦點(diǎn)D.離心率相等答案:ABC解析:可知兩個(gè)方程均表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,故A正確;曲線C1的焦距為225-9=8,曲線C2的焦距為2(25-k)-(9-k)=8,故B,C正確;曲線C5.設(shè)線段AB是橢圓的長軸,點(diǎn)C在橢圓上,且∠CBA=45°,若|AB|=4,|BC|=2,則橢圓的焦距等于()A.433 B.263 C.答案:C解析:不妨設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),A為長軸的左端點(diǎn),B為長軸的右端點(diǎn),因?yàn)椤螩BA=45°,|AB|=4,|BC|=2,所以2a=4,且C(1,1),于是14+1b6.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F2的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),若△A.22 B.2-3C.5-2 D.6答案:D解析:設(shè)|AF1|=x(x>0),則|AB|=x,|BF1|=2x,于是x+x+2x=4a,解得x=(4-22)a,于是|AF2|=2a-(4-22)a=(22-2)a,由勾股定理得[(4-22)a]2+[(22-2)a]2=(2c)2,整理得e2=c2a2=9-62,所以7.已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長軸在x軸上,離心率為32,且G上一點(diǎn)到G的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12,則橢圓G的方程為.答案:x236解析:設(shè)橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b∴a=6,c=33,∴b2=a2-c2=36-27=9,∴橢圓8.橢圓x24+y2m=1的離心率為答案:3或16解析:由題意可得m>0.當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),有4-m2=12,解得m=3,符合題意;當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),有m-4m=19.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,過原點(diǎn)的直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),連接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=答案:5解析:設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1,坐標(biāo)原點(diǎn)為O,在△ABF中,由余弦定理可解得|BF|=8,所以△ABF為直角三角形,又斜邊AB的中點(diǎn)為O,所以|OF|=c=5,連接AF1,因?yàn)锳,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以|BF|=|AF1|=8,所以2a=14,a=7,所以離心率e=5710.已知橢圓C:x2a2+y2b2(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)A為橢圓C的上頂點(diǎn),點(diǎn)B在橢圓上且位于第一象限,且∠AFB=90°,求△AFB的面積.解:(1)依題意c=1,ca則a=2,b=a2-故橢圓C的方程為x22+y2=(2)設(shè)點(diǎn)B(x0,y0),因?yàn)辄c(diǎn)B在橢圓上,所以x022+設(shè)直線FA,FB的斜率分別為kFA,kFB.因?yàn)椤螦FB=90°,所以kFA·kFB=-1,則y0x0-由①②消去y0,得3x02-4x0解得x0=0(舍去),或x0=43代入方程②得y0=13,所以B4所以|BF|=23,又|AF|=2所以△AFB的面積S=12×|AF|×|BF|=1實(shí)力提升1.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)是圓x2+y2A.(-3,0) B.(-4,0) C.(-10,0) D.(-5,0)答案:D解析:圓x2+y2-6x+8=0的圓心為(3,0),則橢圓中半焦距c=3,又2b=8,所以b=4,于是a=b2+c2=2.如圖所示,把橢圓x225+y216=1的長軸AB分成8等份,過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1,P2,…,P7七個(gè)點(diǎn),F是橢圓的左焦點(diǎn),則|P1F|+|P2F|+…A.35 B.30 C.25 D.20答案:A解析:設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F'(圖略),由橢圓的對(duì)稱性,知|P1F|=|P7F'|,|P2F|=|P6F'|,|P3F|=|P5F'|,所以原式=(|P7F|+|P7F'|)+(|P6F|+|P6F'|)+(|P5F|+|P5F'|)+|P4F|=7a=35.3.已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的方程為x24a+y2A.越扁 B.越接近于圓C.先接近于圓后越扁 D.先越扁后接近于圓答案:B解析:依題意有4a>0,a2-1>0,4a>a2-1,解得1<a<5+2,橢圓的離心率e=4a-a2+14a=124+1a-a,令f4.(多選題)如圖所示,某探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球,在月球旁邊一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行,之后衛(wèi)星在P點(diǎn)其次次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行,最終衛(wèi)星在P點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行.若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長,則下列式子正確的是()A.a1+c1=a2+c2 B.a1-c1=a2-c2C.c1a2>a1c2 D.c答案:BC解析:由題意知,a1>a2>0,c1>c2>0,故A錯(cuò)誤.對(duì)于軌道Ⅰ有|PF|=a1-c1;對(duì)于軌道Ⅱ有|PF|=a2-c2,∴a1-c1=a2-c2,∴B正確.∵a1-c1=a2-c2,a1>a2,∴a1-c1a1<a2-c即c1a2>c2a1,∴C正確,D錯(cuò)誤.5.已知F1(-c,0),F2(c,0)分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),若橢圓上存在一點(diǎn)A.33,5C.33,3答案:B解析:設(shè)P(x0,y0),則x02a2+y02∵PF1·PF2=c2,∴(-c-x0,-y0)·(c-x0,-y0)=c2,即∴x02+b21-x02a2=2c2,整理得∵0≤x02≤a2,∴0≤a2c2(3c2-a2)≤a2,解得33≤6.設(shè)A,B是橢圓C:x23+y2m=1長軸的兩個(gè)端點(diǎn),若橢圓C上存在點(diǎn)M滿意∠A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,3]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,3]∪[4,+∞)答案:A解析:設(shè)橢圓C的長軸長為2a(a>0),短軸長為2b(b>0).當(dāng)0<m<3時(shí),焦點(diǎn)在x軸上,要使橢圓C上存在點(diǎn)M滿意∠AMB=120°,需ab≥tan60°=3,即3m≥3,得0<m≤1.又0<m<3,所以0<m≤1;當(dāng)m>3時(shí),焦點(diǎn)在y軸上,要使橢圓C上存在點(diǎn)M滿意∠AMB=120°,需ab≥tan60°=3,即m3≥3,得m≥9.又m>3,所以m≥9,故7.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,P是橢圓上一點(diǎn),若|PF1|=答案:1解析:由橢圓的定義,知|PF1|+|PF2|=2a,又因?yàn)閨PF1|=2|PF2|,所以|PF2|=23a,因?yàn)閍-c≤|PF2|,所以a-c≤2a3,即a3≤c,所以8.已知橢圓x2a2+y2b2=1(