第01講等差數(shù)列目錄TOC\o"1-2"\h\u題型一：等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式 1題型二：等差中項(xiàng) 3題型三：等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì) 6題型四：等差數(shù)列的函數(shù)特征 7角度1：等差數(shù)列的單調(diào)性 7角度2：等差數(shù)列中的最大（?。╉?xiàng) 8題型五：等差數(shù)列的前項(xiàng)和 13題型六：等差數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì) 16角度1：等差數(shù)列片段和性質(zhì) 16角度2：兩個(gè)等差數(shù)列前項(xiàng)和比的問題 17題型七：等差數(shù)列的前項(xiàng)和的函數(shù)特性 22角度1：二次函數(shù)法求等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值 22角度2：求等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值 23角度3：根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和最值求參數(shù) 25題型一：等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式典型例題例題1．（2023·湖南衡陽·校考模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則滿足的正整數(shù)的最大值為（

）A．16 B．15 C．12 D．8【答案】B【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，則，解得，所以，．由，得，即，解得1<n<16，所以正整數(shù)n的最大值為15．故選：B．例題2．（2023·北京豐臺(tái)·北京豐臺(tái)二中?？既＃┰O(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，，則__________；__________.【答案】【詳解】設(shè)公差為，由，，所以，即，解得，所以，則，故答案為：；例題3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)且滿足，數(shù)列滿足，且．求的通項(xiàng)公式.【答案】，【詳解】由可得，，因?yàn)?，左右兩邊同除以，得，所以?shù)列是公差為1的等差數(shù)列，，，.精練核心考點(diǎn)1．（2023·福建廈門·廈門外國語學(xué)校校考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，則符合題意的等差數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為________．【答案】（答案不唯一）【詳解】因?yàn)椋?，，所以，，，設(shè)數(shù)列的公差為，則，取，又，可得，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為，故答案為：（答案不唯一）.2．（2023春·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列滿足為數(shù)列的前項(xiàng)和，則_________．【答案】【詳解】由可得，故是公差為2的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故答案為：.3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在數(shù)列中4，，．求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；【答案】證明見解析【詳解】的兩邊同時(shí)除以，得2，∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列題型二：等差中項(xiàng)典型例題例題1．（2023·全國·高三對口高考）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，其公比，且，若，，則（

）A． B．C． D．或【答案】B【詳解】由等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，由基本不等式可得，又公比，故，上式取不到等號，，即.故選：B例題2．（2023春·北京·高二北京八中?？计谥校┰诘炔顢?shù)列中，，則的值為（

）A．50 B．100 C．150 D．200【答案】D【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，又因?yàn)?，所以，故選：D.例題3．（2023·廣西南寧·南寧二中校考模擬預(yù)測）在等差數(shù)列中，若，則__________.【答案】24【詳解】因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，有，所以由，得，，又，所以.故答案為：24精練核心考點(diǎn)1．（2023·遼寧沈陽·高三校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試）已知是公差不為0的等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，若，則下列關(guān)系中一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題設(shè)，故，所以，若的公差為，則，可得，所以，故，A正確，B錯(cuò)誤；而大小，與公差的正負(fù)有關(guān)，大小不確定且，C、D錯(cuò)誤.故選：A2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，，且，，成等差數(shù)列，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．9 D．12【答案】D【詳解】解：因?yàn)椋?，且，，成等差?shù)列，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號；故選：D3．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？计谥校┰诘炔顢?shù)列中，為的前n項(xiàng)和，，，則無法判斷正負(fù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，，可知：，且，，所以，從而，不確定正負(fù)，，故選：B4．（2023·廣西·統(tǒng)考一模）已知，，若，2，依次成等差數(shù)列，則的最小值為______．【答案】【詳解】解：因?yàn)?，，且?，依次成等差數(shù)列，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，故的最小值為，故答案為：題型三：等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)典型例題例題1．（2023·全國·校聯(lián)考二模）等差數(shù)列中，.則前13項(xiàng)和（

）A．133 B．130 C．125 D．120【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，所以，所?故選：B例題2．（2023·全國·高三對口高考）在等差數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，若，則等于（

）A．195 B．200 C．205 D．210【答案】A【詳解】在等差數(shù)列中，因?yàn)?，所以，即所?故選：A.例題3．（2023·四川成都·樹德中學(xué)?？寄M預(yù)測）等差數(shù)列中，，則的前9項(xiàng)和為（

）A． B． C．90 D．180【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所?故選：C.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，都是等差數(shù)列，且則=（

）A．0 B．37 C．100 D．－37【答案】C【詳解】設(shè)，由于，都是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列，且，，∴的公差.

∴，即.故選：C2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如果等差數(shù)列中，，那么（

）A．14 B．12 C．28 D．36【答案】C【詳解】∵，∴，則，又，故.故選:C.3．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，則等于（

）A．7 B．14 C．21 D．7(n-1)【答案】B【詳解】因?yàn)?，所?故選：B題型四：等差數(shù)列的函數(shù)特征角度1：等差數(shù)列的單調(diào)性典型例題例題1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列單調(diào)遞增且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，設(shè)公差為，因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以，所以，則，解得：，故選：C例題2．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列為單增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為單減數(shù)列C．對任意正整數(shù)，都有 D．對任意正整數(shù)，都有【答案】BD【詳解】在等差數(shù)列中，因?yàn)?，，可得，，即且，即且，所以，，且，此時(shí)數(shù)列為遞減數(shù)列，可得對任意正整數(shù)n，都有.故選：BD.例題3．（2023春·山東德州·高二統(tǒng)考期中）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②的數(shù)列的通項(xiàng)公式：___________．①；②單調(diào)遞增．【答案】（符合此種形式即可）【詳解】假設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，首項(xiàng)為，由性質(zhì)①可得：，即，再根據(jù)②可知，公差，顯然（）滿足題意.故答案為：（符合此種形式即可）角度2：等差數(shù)列中的最大（?。╉?xiàng)典型例題例題1．（多選）（2023秋·湖南岳陽·高二統(tǒng)考期末）已知無窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（

）A．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減 B．?dāng)?shù)列沒有最小項(xiàng)C．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減 D．?dāng)?shù)列有最大項(xiàng)【答案】ABD【詳解】解：數(shù)列的前項(xiàng)和為，，由于，故數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，且數(shù)列為無窮等差數(shù)列，故數(shù)列沒有最小項(xiàng)，故A正確、B正確；又，，二次函數(shù)開口向下，對稱軸為，故數(shù)列有最大項(xiàng)，沒有最小項(xiàng)，故D正確，因?yàn)椋瑹o法判斷與的大小，即的取值，故無法判斷數(shù)列的增減性，故C錯(cuò)誤．故選：ABD．例題2．（多選）（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校校考階段練習(xí)）等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，，，則以下正確的是A． B．C．的最大值為 D．使得的最大整數(shù)【答案】BCD【詳解】解：，，，，，數(shù)列的公差，故A錯(cuò)誤；，，故B正確；，當(dāng)時(shí)，取得最大值；，故D正確；故選：BCD．例題3．（2023春·河南南陽·高二校聯(lián)考期中）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足條件，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)的公比為q，由題意得，所以，，所以，．所以．（2）．二次函數(shù)的圖象的對稱軸為，故當(dāng)或11時(shí)，取得最大值，且最大值為．題型四精練核心考點(diǎn)1．（2023·北京海淀·校考三模）已知等差數(shù)列的公差為，數(shù)列滿足，則“”是“為遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以且，則，若，不妨令，則，，，，，，顯然不單調(diào)，故充分性不成立，若為遞減數(shù)列，則不是常數(shù)數(shù)列，所以單調(diào)，若單調(diào)遞減，又在，上單調(diào)遞減，則為遞增數(shù)列，矛盾；所以單調(diào)遞增，則，且，其中當(dāng)，時(shí)也不能滿足為遞減數(shù)列，故必要性成立，故“”是“為遞減數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B2．（2023春·河南洛陽·高二洛寧縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知無窮等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為，若，則不正確的（

）A．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減 B．?dāng)?shù)列沒有最小值C．?dāng)?shù)列{}單調(diào)遞減 D．?dāng)?shù)列{}有最大值【答案】C【詳解】由于公差，所以單調(diào)遞減，故A正確，由于為無窮的遞減等差數(shù)列，所以B正確，由，故為開口向下關(guān)于的二次函數(shù)，且對稱軸為，由于對稱軸與1的關(guān)系不明確，所以無法確定單調(diào)性，但是由于開口向下，故有最大值，故C錯(cuò)誤，D正確，故選：C3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，則“”是“數(shù)列為單增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【詳解】若，故，即，故為單調(diào)遞增數(shù)列，設(shè)公差為，此時(shí)，，令，對稱軸為，當(dāng)時(shí)，此時(shí)對稱軸，此時(shí)先增后減，所以數(shù)列不是單調(diào)數(shù)列，充分性不成立，若數(shù)列為單增數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列公差為，若，不妨設(shè)，此時(shí)，滿足數(shù)列為單增數(shù)列，此時(shí)，，故必要性不成立，故“”是“數(shù)列為單增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.故選：D4．（多選）（2023秋·吉林·高二吉林一中校考期末）已知等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的最大值為C．的最小值為 D．【答案】ACD【詳解】對于A,數(shù)列為等差數(shù)列，，數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，故A正確，對于B,數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，的最大值為，故B錯(cuò)，對于C,由得的最小值為,即，故C正確，對于D,故D正確.故選：ACD5．（多選）（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列中，，則下列命題中為真命題的是（

）A．公差 B．C．是各項(xiàng)中最大的項(xiàng) D．是中最大的值【答案】ABD【詳解】由得：，所以，且各項(xiàng)中最大的項(xiàng)為，故A正確，C錯(cuò)誤；，所以，故B正確；因?yàn)?，等差?shù)列遞減，所以最大，故D正確；故選：ABD6．（多選）（2023春·江西上饒·高二校考階段練習(xí)）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，，則（

）A． B． C．的最大值為30 D．的最大值為15【答案】ACD【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題可得，解得，，，，故A正確；，故B錯(cuò)誤；當(dāng)或4時(shí)，取得最大值為30，故C正確；由于，所以的最大值為，故D正確.故選：ACD.7．（多選）（2023春·江西南昌·高二校考階段練習(xí)）公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．時(shí)，的最小值為C．有最大值 D．時(shí)，的最大值為【答案】ACD【詳解】對于：由可得，故等差數(shù)列的公差，故A正確；對于B：由得，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，且，故時(shí)，的最小值為，故B錯(cuò)誤；對C：由得，，故是關(guān)于的開口向下的二次函數(shù)，其有最大值，沒有最小值，故C正確；對于D：因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)均為正數(shù)，且，，時(shí)，的最大值為，故D正確；故選：ACD．題型五：等差數(shù)列的前項(xiàng)和典型例題例題1．（2023春·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問題：被3除余2的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最小值為（

）A．20 B．25 C． D．40【答案】B【詳解】被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故選：B.例題2．（2023春·北京海淀·高二北理工附中?？计谥校┮阎堑炔顢?shù)列{}的前項(xiàng)和，若僅當(dāng)時(shí)取到最小值，且，則滿足的的最小值為__________.【答案】11【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)取到最小值，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，所?，則，因?yàn)?，所以，解之得?因?yàn)?，所以n的最小值為11.故答案為：11.例題3．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若恒成立，求正整數(shù)的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：由題意，各項(xiàng)均不為零的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足且，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，因?yàn)閿?shù)列中各項(xiàng)均不為零，即.所以數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）解：由（1）知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，可得，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，即不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，.故正整數(shù)的最大值為.精練核心考點(diǎn)1．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，前項(xiàng)和為，且對任意，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)的公差為，由題設(shè)條件可知，且則，因此，，而符號不確定．故選：C．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則______．【答案】【詳解】由①，②，②①得，得，又，則，故．故答案為：3．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，且，則________.【答案】4【詳解】由題意得：，，則等差數(shù)列的公差，則，，解得：或（舍去），故答案為：4.題型六：等差數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)角度1：等差數(shù)列片段和性質(zhì)典型例題例題1．（2023春·河北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（

）A．40 B．45 C．50 D．55【答案】A【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)得：，，成等差數(shù)列，所以，解得.故選：A例題2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)可得，成等差數(shù)列，設(shè)，則，即成等差數(shù)列，故，解得，故即，故，，故故選：D例題3．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______．【答案】32【詳解】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，可得，，，成等差數(shù)列，∴，解得，∴2，6，10，成等差數(shù)列，可得，解得.故答案為：32.角度2：兩個(gè)等差數(shù)列前項(xiàng)和比的問題典型例題例題1．（2023春·遼寧沈陽·高二沈陽二十中?？茧A段練習(xí)）兩個(gè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為和，已知，則______．【答案】【詳解】由題意可知，，所以.故答案為:.例題2．（2023春·遼寧沈陽·高二遼寧省康平縣高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因等差數(shù)列前n項(xiàng)和為關(guān)于n的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，又，則可設(shè)，，則，所以.故選：D例題3．（2023春·江西南昌·高二南昌市鐵路第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，則使得為正偶數(shù)時(shí)，的值是A．1 B．2 C．5 D．3或11【答案】D【詳解】試題分析：在等差數(shù)列中，若，則.因?yàn)閮蓚€(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，所以，為使為正偶數(shù)，則須為或，所以或，選D.題型六精練核心考點(diǎn)1．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（

）A．9 B． C．12 D．【答案】A【詳解】由已知，，，即3，，成等差數(shù)列，所以，所以，故選：A．2．（2023春·河南南陽·高二校聯(lián)考期中）已知等差數(shù)列，若，，則（

）A．30 B．36 C．24 D．48【答案】A【詳解】已知等差數(shù)列，①，②，設(shè)數(shù)列的公差為d，②－①得，則．故選：A.3．（2023春·湖北咸寧·高二鄂南高中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則=（）A．0 B． C． D．【答案】D【詳解】由可得，故數(shù)列為等差數(shù)列，又，故也成等差數(shù)列，即，故選：D4．（2023春·遼寧大連·高二校聯(lián)考期中）設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，，若，則（

）A． B．C． D．3【答案】B【詳解】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式滿足形式，設(shè)，則，故.故選：B.5．（多選）（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】ACD【詳解】由題意可得，則，由于為整數(shù)，則為的正約數(shù)，則的可能取值有、、，因此，正整數(shù)的可能取值有、、.故選：ACD.6．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知，分別是等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和，且，則______．【答案】/【詳解】為等差數(shù)列，故，故.故答案為：7．（2023春·河南鄭州·高二河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┰O(shè)數(shù)列，均為等差數(shù)列，它們的前項(xiàng)和分別為，，若，則__．【答案】【詳解】因?yàn)閿?shù)列，均為等差數(shù)列，所以，則，故答案為：.8．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為，，且，則_________.【答案】【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，故又已知不妨令且解得且故故答案為：.9．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列與均為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為與，若，則________；________．【答案】【詳解】．∵數(shù)列、均為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為、，∴可設(shè)，，則.故答案為：；．題型七：等差數(shù)列的前項(xiàng)和的函數(shù)特性角度1：二次函數(shù)法求等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值典型例題例題1．（2023春·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，滿足，且，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【詳解】設(shè)等差數(shù)列{}的公差為，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，解得，所以，則，這是關(guān)于的二次函數(shù)，開口向上，在處取得最小值，由于，最靠近的正整數(shù)為，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：D．例題2．（多選）（2023春·遼寧沈陽·高二遼寧省康平縣高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)，最小 D．時(shí)，的最小值為7【答案】ABD【詳解】由是遞增的等差數(shù)列，得，選項(xiàng)A正確；由，得，則，所以，選項(xiàng)B正確；由，得當(dāng)時(shí)，有最小值，且最小值為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；又，解得，所以時(shí)，n的最小值為7，選項(xiàng)D正確；故選：ABD.例題3．（2023春·江蘇南京·高二南京市秦淮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：選①，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由題意得，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.選②，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由題意得，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.選③，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由題意得，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）解：由，，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為．角度2：求等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值典型例題例題1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列中，若其前項(xiàng)和為，則的最大值為（

）A．15 B．750 C． D．【答案】C【詳解】由，可得，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為25，公差的等差數(shù)列，且為單調(diào)遞減數(shù)列，其通項(xiàng)公式為．當(dāng)且時(shí)，S最大，解得且，則，即數(shù)列{a}的前15項(xiàng)均為非負(fù)值，第16項(xiàng)開始為負(fù)值，故S15最大，.故選：C．例題2．（2023春·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）等差數(shù)列中，，公差，則使前項(xiàng)和取得最大值的正整數(shù)的值是______，使前項(xiàng)和的正整數(shù)的最大值是______.【答案】6或712【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以，所以，所以，?dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，，所以，使前項(xiàng)和取得最大值的正整數(shù)的值是6或7.又，且，所以，所以使前項(xiàng)和的正整數(shù)的最大值是12.故答案為：6或7；12.例題3．（2023春·廣東韶關(guān)·高二?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的最大值及取得最大值時(shí)的值.【答案】(1)(2)當(dāng)或，取最大值，最大值為30【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，，所以，解得，所以；?）方法一：因?yàn)?，，所以?dāng)或時(shí)取得最大值，最大值為30.方法二：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)取得最大值，又所以最大值為30.角度3：根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和最值求參數(shù)典型例題例題1．（2023春·浙江·高二杭州市蕭山區(qū)第五高級中學(xué)校聯(lián)考期中）等差數(shù)列的公差不為0，其前和滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】等差數(shù)列的公差不為0，其前n和滿足，因此是的最大值，顯然，從而，即，，，．故選：C．例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，對任意，有．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)棰?，則②①－②可得，故為等差數(shù)列．（2）若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，則有,得則，，故的取值范圍為．例題3．（2023春·浙江杭州·高二浙江大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，，則的取值范圍為___________.【答案】【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，由于，所以，且，即，則，由得，故，即的取值范圍為.故答案為：.題型七精練核心考點(diǎn)1．（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足：對恒成立，且，其前n項(xiàng)和有最大值，則使得的最大的n的值是（

）A．10 B．12 C．15 D．17【答案】C【詳解】由數(shù)列滿足對恒成立可知，數(shù)列為等差數(shù)列；設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，若前n項(xiàng)和有最大值，則可知，因此，又，所以，可得，所以，即；所以，使得的最大的n的值是.故選：C2．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，則取得最小值時(shí)n的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【詳解】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，又，所以則等差數(shù)列中滿足，，且，數(shù)列為遞增數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，n的值為.故選