第01講平面向量的線性運(yùn)算、基本定理及坐標(biāo)表示目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：題型篇 1題型一：重點(diǎn)考查平面向量的概念 1題型二：重點(diǎn)考查向量的加（減）法（含坐標(biāo)表示） 3題型三：重點(diǎn)考查向量的共線定理（含坐標(biāo)表示） 4題型四：重點(diǎn)考查向量三點(diǎn)共線的等價(jià)條件 6題型五：重點(diǎn)考查用基底表示向量 7題型六：重點(diǎn)考查平面向量的基本定理中的參數(shù)定值，最值，范圍 10第二部分：方法篇 11方法一：求向量模的傳統(tǒng)法和坐標(biāo)法 11方法二：求向量模的最值與范圍 11方法三：借助圓解決向量中的最值與范圍問(wèn)題 12第一部分：題型篇題型一：重點(diǎn)考查平面向量的概念典型例題例題1．（2023春·河南南陽(yáng)·高一統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)為正六邊形的中心，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C．與共線 D．例題2．（2023春·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谥校┰O(shè)，都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使得成立的條件是（

）A． B． C． D．且例題3．（多選）（2023春·吉林長(zhǎng)春·高一東北師大附中?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的有（

）A．若，，則B．若，則，，，四點(diǎn)一定是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C．零向量與單位向量平行D．長(zhǎng)度不等且方向相反的兩個(gè)向量不一定是共線向量例題4．（多選）（2023春·高一單元測(cè)試）下列命題中正確的有（）A．平行向量就是共線向量B．相反向量就是方向相反的向量C．與同向，且，則D．兩個(gè)向量平行是這兩個(gè)向量相等的必要不充分條件精練核心考點(diǎn)1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形中，，則相等的向量是（

）A．與 B．與 C．與 D．與2．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第四中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下列敘述中正確的個(gè)數(shù)是（

）①若，則；②若，則或；③若，則；④若，則.A． B． C． D．3．（多選）（2023春·黑龍江雙鴨山·高一雙鴨山一中?？茧A段練習(xí)）關(guān)于向量下列命題中不正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則4．（多選）（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下列敘述正確的為（

）A．有向線段就是向量，向量就是有向線段B．若，則C．所有的單位向量都相等D．與是非零向量，若與同向，則與反向題型二：重點(diǎn)考查向量的加（減）法（含坐標(biāo)表示）典型例題例題1．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高一東北師大附中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，、、分別是的邊、、的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．例題2．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考二模）已知向量，，，若，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8例題3．（多選）（2023春·黑龍江雞西·高一雞西市第四中學(xué)?？计谥校┫铝心芑?jiǎn)為的是（

）A． B．C． D．精練核心考點(diǎn)1．（2023春·江蘇淮安·高一淮陰中學(xué)?？计谥校┮阎沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，，，分別是邊，，的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．2．（2023春·安徽·高一安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在正六邊形中，（

）A． B． C． D．3．（2023春·四川成都·高一成都七中校考期中）已知，，若，則（

）A． B． C． D．題型三：重點(diǎn)考查向量的共線定理（含坐標(biāo)表示）典型例題例題1．（2023春·廣東江門(mén)·高一新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)?？计谥校?，，，且三點(diǎn)共線，則=（

）A．8 B．4 C．2 D．1例題2．（2023春·廣東深圳·高一深圳中學(xué)?？计谥校┮阎瞧矫鎯?nèi)四個(gè)互不相同的點(diǎn)，為不共線向量，，，，則（

）A．，，三點(diǎn)共線 B．，，三點(diǎn)共線 C．，，三點(diǎn)共線 D．，，三點(diǎn)共線例題3．（2023春·浙江杭州·高一杭師大附中?？计谥校┮阎c是兩個(gè)不共線的向量，，若三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)_________．例題4．（2023春·廣東深圳·高一深圳市高級(jí)中學(xué)校考期中）如圖所示，在中，為邊上一點(diǎn)，且，過(guò)的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)（，兩點(diǎn)不重合）.(1)用，表示；(2)若，，求的最小值.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·上海浦東新·高一上海南匯中學(xué)?？计谥校┮阎莾蓚€(gè)不平行的向量，若向量與向量平行，則實(shí)數(shù)t等于（

）A．－ B．－1 C．0 D．－22．（2023春·天津和平·高一耀華中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)，是兩個(gè)不共線向量，若向量與向量共線，則的值等于（

）A． B． C． D．3．（2023春·黑龍江雞西·高一雞西市第四中學(xué)校考期中）設(shè)向量，不共線．若，．若A，B，C三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值．4．（2023春·河南南陽(yáng)·高一統(tǒng)考期中）如圖所示，在中，．(1)用表示；(2)若，證明：三點(diǎn)共線．題型四：重點(diǎn)考查向量三點(diǎn)共線的等價(jià)條件典型例題例題1．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，為線段的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線，于，兩點(diǎn)，，，則的最小值為（

）．A． B． C．3 D．9例題2．（2023春·天津和平·高一耀華中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，過(guò)點(diǎn)的直線交射線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知、、是直線上三個(gè)相異的點(diǎn)，平面內(nèi)的點(diǎn)，若正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為_(kāi)______.例題4．（2023春·上海浦東新·高一上海市洋涇中學(xué)校考期中）已知三點(diǎn)共線于直線，對(duì)直線外任意一點(diǎn)，都有，則的最小值為_(kāi)_______．精練核心考點(diǎn)1．（2023春·四川成都·高一成都市第十八中學(xué)校?？计谥校┮阎c(diǎn)A在線段BC上（不含端點(diǎn)），O是直線BC外一點(diǎn)，且，則的最小值是（

）A． B．C． D．12．（2023春·廣東廣州·高一廣州市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)x＝，y＝，則的值為（

）A．3 B．4C．5 D．63．（2023春·廣東深圳·高一校考期中）過(guò)△的重心的直線分別交線段于點(diǎn)，若，則的最小值為（

）A． B．C． D．4．（2023春·貴州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）點(diǎn)是線段上的任意一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），對(duì)任意點(diǎn)都有，則的最小值為_(kāi)_____.題型五：重點(diǎn)考查用基底表示向量典型例題例題1．（2023春·北京海淀·高一北大附中?？计谥校┮阎橇阆蛄浚还簿€，且，則向量（

）A． B．C． D．例題2．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)為的邊的中點(diǎn)，為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．例題3．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，，，則（

）A． B．C． D．例題4．（多選）（2023春·河南·高一洛陽(yáng)市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，直線交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．精練核心考點(diǎn)1．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)在線段上，且，設(shè)，，則（

）A． B．C． D．2．（2023春·浙江·高一校聯(lián)考期中）在中，D為BC的中點(diǎn)，E為AC邊上的點(diǎn)，且，則（

）A． B．C． D．3．（2023春·浙江·高一校聯(lián)考期中）如圖所示，F(xiàn)為平行四邊形對(duì)角線BD上一點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．4．（多選）（2023春·安徽阜陽(yáng)·高一田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）設(shè)、是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則以下，可作為該平面內(nèi)一組基底的是（

）A．， B．，C．， D．，題型六：重點(diǎn)考查平面向量的基本定理中的參數(shù)定值，最值，范圍典型例題例題1．（2023春·北京海淀·高三北京市八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)、為單位向量，非零向量，，若、的夾角為，則的最大值等于（

）A．1 B． C． D．2例題2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若，則的取值范圍是（

）A．[3，7] B． C． D．例題3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在平面內(nèi)，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例題4．（2023春·安徽六安·高一六安一中?？茧A段練習(xí)）已知，則的最大值是__________.精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足，且與的夾角為，則的最大值為（

）A．2 B．4 C．6 D．82．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知向量，滿足，且，若向量滿足，則的取值范圍為_(kāi)_______.3．（2023春·河南洛陽(yáng)·高一宜陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是兩個(gè)互相垂直的單位向量，而，，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，求的最小值是（

）4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足，，，則的最小值為_(kāi)________第二部分：方法篇方法一：求向量模的傳統(tǒng)法和坐標(biāo)法典型例題例題1．（2023·云南昭通·?？寄M預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)t=（

）A．4 B． C．10 D．16例題2．（2023春·浙江杭州·高一浙江大學(xué)附屬中學(xué)期中）四邊形為矩形，對(duì)角線長(zhǎng)為若則（

）A． B． C． D．例題3．（2023春·安徽六安·高一六安市裕安區(qū)新安中學(xué)?？计谥校┤羝矫嫦蛄颗c的夾角為60°，，，則等于（

）A． B． C．4 D．例題4．（2023春·北京海淀·高一人大附中?？计谥校┮阎瑒t__________；__________．精練核心考點(diǎn)1．（2023春·江蘇南京·高一南京大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量，滿足，，，則_________.2．（2023春·河南·高一洛陽(yáng)市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，，且，則______．3．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考二模）已知向量，，若，則________．方法二：求向量模的最值與范圍典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量為單位向量，且，向量與共線，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是單位向量，.若向量滿足，則||的最大值是________.例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，則的最小值是______.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·甘肅金昌·高一永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎蛄?，為單位向量，且，向量與共線，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2．（2023春·陜西西安·高一高新一中?？茧A段練習(xí)）已知為等邊三角形，，所在平面內(nèi)的點(diǎn)滿足的最小值為_(kāi)___________．3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則的最大值為_(kāi)_______________．4．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若向量，滿足，，求的最大值及最小值.方法三：借助圓解決向量中的最值與范圍問(wèn)題典型例題例題1．（2023·天津南開(kāi)·統(tǒng)考二模）在中，，，為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值為（

）A．4 B．8 C．12 D．16例題2．（2023春·浙江·高一期中）已知向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題3．（2023·上海·高二專題練習(xí)）設(shè)、為圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，且，為直線：上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6例題4．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為_(kāi)___________．精練核心考點(diǎn)1．（2