課標分析

知識與技能：

1、了解由歸納法得出的結論具有不確定性，理解數(shù)學歸納法的原理與本質；

2、掌握數(shù)學歸納法證題的兩個步驟及其簡單應用；

3、培養(yǎng)學生觀察、探究、分析、論證的能力，體會類比的數(shù)學思想.

過程與方法：

1、創(chuàng)設情境，激發(fā)學生學習興趣，讓學生體驗知識的發(fā)生與發(fā)展過程；

2、通過對數(shù)學歸納法的學習、應用，逐步體驗觀察、歸納、猜想、論證的過程，培養(yǎng)學生

嚴謹

的邏輯推理意識，并初步掌握論證方法；

3、通過發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力.

情感、態(tài)度與價值觀：

1、通過對數(shù)學歸納法原理的探究，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W態(tài)度和勇于探索的精神；

2、通過對數(shù)學歸納法原理和本質的討論，培養(yǎng)學生團結協(xié)作的精神；

3、通過質疑與探究，培養(yǎng)學生獨立的人格與敢于創(chuàng)新的精神.

學情分析

高二學生具備一定的抽象思維能力和邏輯推理能力,此前剛學習過合情推理和基本的證

明方法.學生需要在教師的引導下進行再發(fā)現(xiàn)、再認識，所以這對學生的數(shù)學素養(yǎng)，學習能

力提出了較高的要求.本節(jié)課是在學生進行了預習后講解的，所教班級學生基礎比較好，能

力也比較強.

評測練習

1.下面的證明過程有沒有錯？

證明：2+4+6+?一+2〃=〃2+〃(ne.N")

證明：假設“=左時等式成立，即2+4+6+…+2左=公+左，那么當〃=左+1時，

2+4+6H—?+2k+2(左+1)=%~+左+2(%+1)=(左+1)一+攵+1

即〃=k+1時等式也成立.從而原命題成立.

2.證明：2+4+6-I---\-2n=n~+n(〃eN*)

證明：(1)當〃=1時，左邊=2,右邊=1+1=2,左邊=右邊，所以等式成立.

(2)假設〃=女(%21,46"*)時等式成立，即2+4+6+…+2左=二+左，那么當〃=攵+1

時，

2+4+6+…+2女+2(攵+1)=2(1+2+3+…+Z+Z+1)

=2小丁+1"+1)』+1

即〃=k+1時等式也成立.

根據(1)(2)可得，等式對所有的neN*都成立.

觀評記錄

一、教學目標

1、了解由歸納法得出的結論具有不確定性，理解數(shù)學歸納法的原理與本質；

2、掌握數(shù)學歸納法證題的兩個步驟及其簡單應用；

3、培養(yǎng)學生觀察、探究、分析、論證的能力，體會類比的數(shù)學思想.

二、教學重點和難點

重點：借助具體實例了解數(shù)學歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運用它證明一些

與正整數(shù)n(n取無限多個值)有關的數(shù)學命題.

難點：(D學生不易理解數(shù)學歸納法的思想實質，具體表現(xiàn)在不了解第二個步驟的作用，

不易根據歸納假設作出證明；(2)運用數(shù)學歸納法時，在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問

題的遞推關系.

三、教學過程

(-)創(chuàng)設問題情景

師：我們先來探究下面兩個問題：

問題1：在數(shù)列｛q｝中，/=1,。,用=—%—(〃￡N*),計算出，的，4的值并猜

1+4

想數(shù)列｛4｝的通項公式.

生：。2=—，。3=—，。4=一'猜想：=一

2■34n

師：很好.本題是觀察數(shù)列｛4｝的前幾項，歸納出一般的規(guī)律.我們再來探究一個問題：

問題2：法國數(shù)學家費馬觀察到

22'+1=5

22；+1=17

2"+1=257

2展+1=65537

都是質數(shù)，于是他用歸納推理提出猜想：任何形如2'+1（〃eM）的數(shù)都是質數(shù).半個世紀

后，善于計算的歐拉發(fā)現(xiàn)，第5個費馬數(shù)

月=2a+1=4294967297

不是質數(shù)，從而推翻了費馬的猜想.

總結：通過前面兩個例子，使我們進一步認識到用不完全歸納法得出的結論，因為只考

察了部分情況，結論不一定正確.對于不正確的情況，我們只需要舉一個反例即可，但是正

確的情況我們就需要證明.對于問題1,我們會想到從n=5開始一個個往下驗證.一般來說,

與正整數(shù)n有關的命題，當n比較小時可以逐個驗證，但當n較大時，驗證起來會很麻煩.

特別是證明n取所有正整數(shù)都成立的命題時，逐一驗證是不可能的.因此，我們需要另辟蹊

徑，尋求一種方法：通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)都成立.這就是這節(jié)課我

們將要學習的《數(shù)學歸納法》.

【點評】教師通過教材前面學習過的具體例子引入，從學生解決過的最熟悉的問題入手,

雖然前面已經歸納得出該數(shù)列的通項公式，但能否證明對一切正整數(shù)都成立呢？這就在學生

思維上形成認知沖突，自然引起學生的探究欲望，從而很自然地引出了這節(jié)課的課題.

（二）設置問題，引導探究

師：我們先從多米諾骨牌游戲說起.（課件演示）

師：假若有無數(shù)個多米諾骨牌，如何保證能全部倒下？（課件演示）

生：（1）第一塊骨牌倒下；

（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下.

師：上面的同學說得很好.可以看出，條件（2）事實上給出了一個遞推關系：當?shù)冢K倒

下時，相鄰的第4+1塊也倒下.這樣，只要第一塊骨牌倒下，其他所有的骨牌就能夠相繼倒

下.事實上，無論有多少塊骨牌，只要保證（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.

【點評】教師通過生活中的“多米諾骨牌效應”，讓學生繼續(xù)確認從有限能夠遞推到無

窮所需要的兩個充分條件,讓學生親身經歷數(shù)學科學方法的提煉過程,方法來源于數(shù)學實踐,

也服務于生活，并得到了生活的驗證.

師：大家能否類比多米諾骨牌原理，探究出證明與正整數(shù)有關的命題的方法（小組討論

3分鐘）.

（1）（歸納奠基）證明當n取第一個值/%eN*）時命題成立；

（2）（歸納遞推）假設〃=上色之〃°,ZeN*））時命題成立，證明當〃=%+1時命題也成

立.

其中，第一步是命題遞推的基礎，第二步是命題遞推的依據.由〃。時命題成立=%+1

時命題成立=%+2時命題成立n……這樣，只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從

〃。開始的所有正整數(shù)〃都成立.

上述證明方法叫做數(shù)學歸納法.

【點評】教師在這一環(huán)節(jié)中通過類比“多米諾骨牌效應”，提煉出數(shù)學歸納法的兩個條

件，將前面提出的數(shù)學問題進行證明，是否可行，關鍵在于第二步這個命題是否成立，需要

證明它為真，這樣才能保證一直能夠遞推下去.此時，教師恰時恰點的指導至關重要，這樣

才能突破難點，浸潤遞推思想，讓學生真正理解數(shù)學歸納法的本質.

師：現(xiàn)在你能不能利用這種思想（遞推思想）來證明問題1中的猜想呢？

（三）方法嘗試

（學生板書）

例1證明：（1）當”=1時，左邊=1,右邊=1,猜想成立.

（2）假設當“=%時猜想成立，即紇=L則當〃=Z+1時，

k

]_

%I1

k

即〃=%+1時猜想也成立.

師：用數(shù)學歸納法證明數(shù)學命題時，難點和關鍵都在第二步，而這一步主要在于合理運

用歸納假設，即以“n=k時命題成立”為條件，證明“〃=左+1時命題也成立”.這里容易

出現(xiàn)的錯誤是證明中不使用“n=k時命題成立”這個條件，而直接將n=k+l代入命題，便斷

言此命題成立，從而得出原命題成立的結論.

師：我再補充一點：完成第一步、第二步后，必須要下結論，其格式為：根據⑴⑵可知

猜想對任意〃eN*都成立.概括起來就是“兩個步驟，一個結論.”注意：遞推基礎不可少，

歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉.

【點評】教師讓學生試著對問題1中的猜想進行證明，從證明過程中歸納出數(shù)學歸納法

原理的形式化表達，并總結出注意事項，符合學生的認知規(guī)律，并突出了重點，突破了難點.

（四）數(shù)學歸納法的應用

下面請同學們用數(shù)學歸納法證明例2

例2用數(shù)學歸納法證明：I2+22+?.?+n2=/Z（/?+1）（2/,+1）（neN*）

6

本例主要由學生完成，教師適時作必要引導.

例3對于任意正整數(shù)〃，猜想并證明2"與n2的大小關系.

本例要求學生先猜想后證明，意在使學生經歷一次數(shù)學研究與發(fā)現(xiàn)的完整過程，并進一

步熟悉數(shù)學歸納法.教學中可先讓學生思考1分鐘，然后讓學生在黑板上板書解題過程并找

一位同學進行點評,教師做最后的總結.通過這道題，我們可以看出初始值〃。不一定等于1,

其次，用數(shù)學歸納法證明與不等式有關的命題時，一定要有目標意識，再就是比較大小我們

經常采用作差法.

【點評】例1總結出數(shù)學歸納法證明過程中的注意事項后，例2趁熱打鐵，讓學生進一

步強化步驟.例3是一個開放性的題目，對學生的思維提出了更進一步的要求，同時，例1

和例2是證明等式，例3是證明不等式，在證明的過程中，教師結合題目適時地點出了初始

值不一定是1和數(shù)學歸納法證題時的目標意識，通過具體題目點出加深了學生的印象.

四、課堂小結（師生共同完成）

重點：兩個步驟、一個結論；

注意：遞推基礎不可少，

歸納假設要用到，

結論寫明莫忘掉.

數(shù)學歸納法的基本思想：

在可靠的基礎上利用命題本身具有傳遞性，運用“有限”的手段來解決“無限”的問

題.

數(shù)學歸納法的核心：

在驗證命題〃=%正確的基礎上,證明命題具有傳遞性,而第二步實際上是以一次邏輯

的推理代替了無限的驗證過程.所以說數(shù)學歸納法是一種合理、切實可行的科學證題方法,

實現(xiàn)了有限到無限的飛躍.

五、當堂檢測

1.下面的證明過程有沒有錯？

證明：2+4+6H---\-2n-iv+n(〃wN')

證明：假設〃=%時等式成立，即2+4+6+…+2女=二+左，那么當〃=4+1時，

2+4+6+.—+2左+2(%+1)=%2+左+2(左+1)=(左+1)2+左+1

即〃=左+1時等式也成立.從而原命題成立.

生：缺少歸納奠基.

2.證明：2+4+6-I---i-2n=n2+n(〃eN*)

證明：(1)當”=1時，左邊=2,右邊=1+1=2,左邊=右邊，所以等式成立.

⑵假設〃=女色之1,女eN*)時等式成立，即2+4+6+?一+2左=/+左，那么當

〃=A+1時，

2+4+6+…+2A+2(Z+l)=2(l+2+3+―+Z+Z+l)

=2.空”業(yè)W+13+1

即〃=左+1時等式也成立.

根據(1)(2)可得，等式對所有的”eM都成立.

生：沒有用上歸納假設.

【點評】教師選擇學生熟悉的問題作為例題，容易激發(fā)學生的挑戰(zhàn)欲望，讓學生糾錯，

既可以幫助學生熟練運用數(shù)學歸納法來解決問題，又可以檢查學生對數(shù)學歸納法的理解程度,

特別是學生在解決問題的過程中容易出現(xiàn)各種各樣的錯誤，此時教師恰好利用這些錯誤幫助

學生進一步深刻理解數(shù)學歸納法的本質.

六、課后作業(yè)

課本P96頁

習題2.3A組1、2；B組1.

教材分析

《數(shù)學歸納法》是人民教育出版社普通高中課程標準試驗教科書A版選修2-2第二章第

三節(jié)的內容，本節(jié)共兩課時，這是第一課時，主要內容是數(shù)學歸納法的理解及簡單應用.

1、數(shù)學歸納法在教材中的地位和作用

數(shù)學歸納法是證明與正整數(shù)有關的命題的一種重要證明方法,通過對數(shù)學歸納法的學習,

可對中學數(shù)學中的許多重要結論，如：等差、等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式、二項式

定理等進行很好的證明，使很多數(shù)學結論更加嚴密，也為后繼學習打下了良好的基礎.

2、數(shù)學歸納法對思維發(fā)展的地位與作用

人類對問題的研究，結論的發(fā)現(xiàn)認同，思維流程通常是觀察一歸納一猜想一證明.猜想

的結論對不對，證明是尤為關鍵的.運用數(shù)學歸納法解題時，有助于學生對等式的恒等變形，

不等式的放縮，數(shù)、式、形的構造與轉化等知識加強訓練與掌握.對數(shù)學歸納法原理的理解，

蘊含著遞歸與遞推，歸納與推理，特殊到一般，有限到無限等數(shù)學思想和方法，對思維的發(fā)

展起到了完善與推動的作用.

3、教學重點和難點

重點：借助具體實例了解數(shù)學歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運用它證明一些

與正整數(shù)n（n取無限多個值）有關的數(shù)學命題.

難點：（D學生不易理解數(shù)學歸納法的思想實質，具體表現(xiàn)在不了解第二個步驟的作用，

不易根據歸納假設作出證明；（2）運用數(shù)學歸納法時，在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問

題的遞推關系.

4、本節(jié)課可以采取探究式教學方法，也可以采用教師講授式教學方法.

5、例題選取

本節(jié)課采用了課本中的例1,例2作為課后作業(yè)來完成.

教學設計

一、教學目標

1、了解由歸納法得出的結論具有不確定性，理解數(shù)學歸納法的原理與本質；

2、掌握數(shù)學歸納法證題的兩個步驟及其簡單應用；

3、培養(yǎng)學生觀察、探究、分析、論證的能力，體會類比的數(shù)學思想.

二、教學重點和難點

重點：借助具體實例了解數(shù)學歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運用它證明一些

與正整數(shù)n(n取無限多個值)有關的數(shù)學命題.

難點：(D學生不易理解數(shù)學歸納法的思想實質，具體表現(xiàn)在不了解第二個步驟的作用，

不易根據歸納假設作出證明；(2)運用數(shù)學歸納法時，在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問

題的遞推關系.

三、教學過程

(-)創(chuàng)設問題情景

師：我們先來探究下面兩個問題：

問題1：在數(shù)列｛q｝中，/=1,。,用=—%—(〃￡N*),計算出，的，4的值并猜

1+4

想數(shù)列｛叫的通項公式.

生：。2=—，。3=—，。4=一，猜想：=一

2■34n

師：很好.本題是觀察數(shù)列｛4｝的前幾項，歸納出一般的規(guī)律.我們再來探究一個問題：

問題2：法國數(shù)學家費馬觀察到

2,+1=5

2"+1=17

2少+1=257

2"+1=65537

都是質數(shù)，于是他用歸納推理提出猜想：任何形如2*+1(〃eM)的數(shù)都是質數(shù).半個世紀

后，善于計算的歐拉發(fā)現(xiàn)，第5個費馬數(shù)

月=2"+1=4294967297

不是質數(shù)，從而推翻了費馬的猜想.

總結：通過前面兩個例子，使我們進一步認識到用不完全歸納法得出的結論，因為只考

察了部分情況，結論不一定正確.對于不正確的情況，我們只需要舉一個反例即可，但是正

確的情況我們就需要證明.對于問題1,我們會想到從n=5開始一個個往下驗證.一般來說,

與正整數(shù)n有關的命題，當n比較小時可以逐個驗證，但當n較大時，驗證起來會很麻煩.

特別是證明n取所有正整數(shù)都成立的命題時，逐一驗證是不可能的.因此，我們需要另辟蹊

徑，尋求一種方法：通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)都成立.這就是這節(jié)課我

們將要學習的《數(shù)學歸納法》.

（二）設置問題，引導探究

師：我們先從多米諾骨牌游戲說起.（課件演示）

師：假若有無數(shù)個多米諾骨牌，如何保證能全部倒下？（課件演示）

生：（1）第一塊骨牌倒下；

（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下.

師：上面的同學說得很好.可以看出，條件（2）事實上給出了一個遞推關系：當?shù)趉塊倒

下時，相鄰的第4+1塊也倒下.這樣，只要第一塊骨牌倒下，其他所有的骨牌就能夠相繼倒

下.事實上，無論有多少塊骨牌，只要保證（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.

師：大家能否類比多米諾骨牌原理，探究出證明與正整數(shù)有關的命題的方法（小組討論

3分鐘）.

（1）（歸納奠基）證明當n取第一個值/％eN*）時命題成立；

（2）（歸納遞推）假設〃=乂42〃0，&6?7*））時命題成立，證明當〃=左+1時命題也成

立.

其中，第一步是命題遞推的基礎，第二步是命題遞推的依據.由〃。時命題成立=%+1

時命題成立=%+2時命題成立n……這樣，只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從

〃。開始的所有正整數(shù)n都成立.

上述證明方法叫做數(shù)學歸納法.

師：現(xiàn)在你能不能利用這種思想（遞推思想）來證明問題1中的猜想呢？

（三）方法嘗試

（學生板書）

例1證明：（1）當〃=1時，左邊=1,右邊=1,猜想成立.

（2）假設當〃=&時猜想成立，即為=L,則當〃=%+1時，

k

%I1

K1H---

k

即〃=&+1時猜想也成立.

師：用數(shù)學歸納法證明數(shù)學命題時，難點和關鍵都在第二步，而這一步主要在于合理運

用歸納假設，即以“n=k時命題成立”為條件，證明“〃=左+1時命題也成立”.這里容易

出現(xiàn)的錯誤是證明中不使用“n=k時命題成立”這個條件，而直接將n=k+l代入命題，便斷

言此命題成立，從而得出原命題成立的結論.

師：我再補充一點：完成第一步、第二步后，必須要下結論，其格式為：根據⑴⑵可知

猜想對任意〃eN*都成立.概括起來就是“兩個步驟，一個結論.”注意：遞推基礎不可少，

歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉.

（四）數(shù)學歸納法的應用

下面請同學們用數(shù)學歸納法證明例2

例2用數(shù)學歸納法證明：I2+22+■.-+n2=++（ne7V*）

本例主要由學生完成，教師適時作必要引導.

例3對于任意正整數(shù)〃，猜想并證明2"與n2的大小關系.

本例要求學生先猜想后證明，意在使學生經歷一次數(shù)學研究與發(fā)現(xiàn)的完整過程，并進一

步熟悉數(shù)學歸納法.教學中可先讓學生思考1分鐘，然后讓學生在黑板上板書解題過程并找

一位同學進行點評,教師做最后的總結.通過這道題,我們可以看出初始值小不一定等于1,

其次，用數(shù)學歸納法證明與不等式有關的命題時，一定要有目標意識，再就是比較大小我們

經常采用作差法.

四、課堂小結（師生共同完成）

重點：兩個步驟、一個結論；

注意：遞推基礎不可少，

歸納假設要用到，

結論寫明莫忘掉.

數(shù)學歸納法的基本思想：

在可靠的基礎上利用命題本身具有傳遞性，運用“有限”的手段來解決“無限”的問

題.

數(shù)學歸納法的核心：

在驗證命題n=%正確的基礎上,證明命題具有傳遞性,而第二步實際上是以一次邏輯

的推理代替了無限的驗證過程.所以說數(shù)學歸納法是一種合理、切實可行的科學證題方法，

實現(xiàn)了有限到無限的飛躍.

五、當堂檢測

1.下面的證明過程有沒有錯？

證明：2+4+64---\-2n=n2+n(nwN")

證明：假設〃=左時等式成立，即2+4+6+―+24=公+左，那么當〃=左+1時，

2+4+