廣西防城港市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期1月月考（文）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)集合的交集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：D2.已知，則z的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算和基本概念即可求得z的虛部.【詳解】解：由得，所以虛部為.故選：A.3.已知，則=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合夾角公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，故選：C4.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不行割，則與圓周合體而無所失矣.”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在表達(dá)式中“……”圓代表無限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值，它可以通過方程求得，類比上述過程及方法則的值為（）A. B.4 C. D.2【答案】B【解析】【分析】令可得，再解方程，依據(jù)求解即可.【詳解】令，則，整理，得，解得，或，故選：B5.設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，點(diǎn)N在準(zhǔn)線l上，滿意，，則（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】由拋物線方程可知，焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，設(shè)準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為，畫出圖象，由拋物線定義及可知是正三角形，結(jié)合平行關(guān)系可推斷，利用直角三角形性質(zhì)即可求解.【詳解】由題，，拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為，如圖所示，由題知，由定義可知，因?yàn)?，所以是正三角形，則對，因，所以，所以，故選：C6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入時(shí)，則輸出的P是（）A.3 B.2 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的改變狀況，可得答案．【詳解】當(dāng)時(shí)，滿意進(jìn)行循環(huán)的條件，，，；當(dāng)時(shí)，滿意進(jìn)行循環(huán)的條件，，，，；當(dāng)時(shí)，滿意進(jìn)行循環(huán)的條件，，，，；當(dāng)時(shí)，不滿意進(jìn)行循環(huán)的條件，故輸出的值為3，故選：A7.棱長為2的正方體中，AB，，的中點(diǎn)分別為E，M，N，則下列說法正確的是（）A.三棱錐A1—的體積為6 B.平面⊥平面A1ECC. D.平面∥平面MNE【答案】B【解析】【分析】A.依據(jù)等體積法轉(zhuǎn)換；B.通過證明線面垂直：直線A1C⊥平面，繼而證明面面垂直；C.通過平行的傳遞性進(jìn)行推斷；D.通過平移兩個(gè)面可發(fā)覺不完全重合.【詳解】如圖：A.，A錯(cuò)誤；B.在正方體ABCD—中，因?yàn)?，，所以平面，所以，同理，所以直線A1C⊥平面，因?yàn)橹本€A1C在平面A1EC內(nèi)，所以平面⊥平面，B正確；C.因?yàn)椋?，C錯(cuò)誤；D.將平面MNE平移使ME與重合，N不在平面內(nèi)，D錯(cuò)誤；故選：B8.等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，若，則=（）A.488 B.508 C.511 D.567【答案】C【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)知，，也是等比數(shù)列，計(jì)算出新數(shù)列的公比即可求解.【詳解】依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)知，，成等比，因?yàn)?，所以，則.故選：C9.已知，，且是與的等差中項(xiàng)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知得，運(yùn)用基本不等式求的最小值.【詳解】因?yàn)槭桥c的等差中項(xiàng)，所以，所以，因?yàn)椋?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.故選：A10.四面體ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上，正三角形ABC的面積為，則四面體ABCD的體積最大為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)正三角形的邊長為，求出的值，再利用正弦定理求出球心到平面的距離即得解.【詳解】設(shè)正三角形的邊長為，，所以，由正弦定理為的外接圓的半徑)所以，所以球心到平面的距離，則四面體體積最大為.故選：B11.已知函數(shù)為奇函數(shù)，，且與的圖象的交點(diǎn)為，，，，則（）A.-2m B.2m C.m D.-m【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)與都關(guān)于點(diǎn)中心對稱，從而得到它們的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)中心對稱，再依據(jù)對稱性即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以關(guān)于點(diǎn)中心對稱，又的圖象也關(guān)于點(diǎn)中心對稱，所以兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)對稱，由對稱性知，每一組對稱點(diǎn)，所以.故選：.12.雙曲線左右頂點(diǎn)分別為，曲線上的一點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，若直線的斜率為，直線的斜率為，則當(dāng)取到最小值時(shí)，雙曲線離心率為（）A. B.2 C.3 D.6【答案】B【解析】【分析】由題意利用均值定理可得，再利用雙曲線的幾何性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)，則，，所以，將曲線方程代入得，又由均值定理得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以離心率，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)為，若，,則公差______.【答案】3【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】由題，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，，因?yàn)?，所以，解得，故答案為?.14.雅言傳承文明，經(jīng)典浸潤人生，南寧市某校每年舉辦“品經(jīng)誦典浴書香，提雅增韻享閱讀”中華經(jīng)典誦讀大賽，競賽內(nèi)容有三類：“誦讀中國”、“詩教中國”、“筆墨中國”．已知高一、高二、高三報(bào)名人數(shù)分別為：100人、150人和250人．現(xiàn)采納分層抽樣的方法，從三個(gè)年級中抽取25人組成校代表隊(duì)參與市級競賽，則應(yīng)當(dāng)從高一年級學(xué)生中抽取的人數(shù)為______．【答案】5【解析】【分析】依據(jù)分層抽樣的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】依據(jù)題意可得：高一、高二、高三報(bào)名人數(shù)之比為，故從高一年級學(xué)生中抽取的人數(shù)為.故答案為：5.15.已知函數(shù)對隨意x都成立，，且，將f（x）的圖象向左平移個(gè)單位長度，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則=______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，，得到，進(jìn)而求出，得出，再依據(jù)題意進(jìn)行平移以及關(guān)于原點(diǎn)對稱，即可得到.【詳解】依題意，，所以，，，則，則，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，即，因?yàn)?，則，閱歷證符合題意.故答案為：16.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)和，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】先求導(dǎo)，再令，令，對判別式分兩種狀況探討得解.【詳解】因?yàn)?，所以，令，則時(shí)，，判別式當(dāng)時(shí).，此時(shí)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，不合題意：當(dāng)時(shí)，設(shè)此時(shí)對應(yīng)方程的兩個(gè)正根為、，則，則，所以當(dāng)，符合題意.故答案為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.記的面積為S，其內(nèi)角的對邊分別為，，，已知，．（1）求；（2）求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）留意到，利用余弦定理邊化角結(jié)合面積公式運(yùn)算整理；（2）利用余弦定理整理可得，再結(jié)合求得，運(yùn)用面積公式即可得結(jié)果.【小問1詳解】∵，則，∴，又∵，∴.【小問2詳解】∵，即，∴，又∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，∴，則面積，故面積的最大值.18.為協(xié)作創(chuàng)建文明城市，某市交警支隊(duì)全面啟動路口秩序綜合治理，重點(diǎn)整治機(jī)動車不禮讓行人的行為．經(jīng)過一段時(shí)間的治理，從市交警隊(duì)數(shù)據(jù)庫中調(diào)取了10個(gè)路口的車輛違章數(shù)據(jù)，依據(jù)這10個(gè)路口的違章車次的數(shù)量繪制如下的頻率分布直方圖，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中凡違章車次超過30次的路口設(shè)為“重點(diǎn)關(guān)注路口”．（1）依據(jù)直方圖估計(jì)這10個(gè)路口的違章車次的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）現(xiàn)從“重點(diǎn)關(guān)注路口”中隨機(jī)抽取兩個(gè)路口支配交警去執(zhí)勤，求抽出來路口中有且僅有一個(gè)違章車次在的概率．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義即可求解；（2）依據(jù)頻率分布直方圖可計(jì)算得到違章車次在和的路口數(shù)，采納列舉法可得全部基本領(lǐng)件和滿意題意的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)，利用古典概型概率公式可計(jì)算得到結(jié)果．【小問1詳解】依據(jù)頻率分布直方圖可估計(jì)平均數(shù)為：．依據(jù)頻率分布直方圖可估計(jì)中位數(shù)為：【小問2詳解】由頻率分布直方圖可知：違章車次在的路口有個(gè)，記為；違章車次在的路口有個(gè)，記為；從“重點(diǎn)關(guān)注路口”中隨機(jī)抽取兩個(gè)路口，則有，，，，，，，，，，，，，，，共種狀況；其中有且僅有一個(gè)違章車次在的狀況有，，，，，，，，共種狀況；所以所求概率．19.如圖四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，平面平面，，，，．（1）證明：平面；（2）若在線段上，且，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意結(jié)合余弦定理可求得，由勾股定理可證，結(jié)合線面垂直的判定定理可證；（2）依據(jù)題意結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，利用錐體的體積公式運(yùn)算求解.【小問1詳解】∵四邊形為等腰梯形，且，∴，又∵，則，即，∴，則，即，又∵，，平面，∴平面.【小問2詳解】∵，平面平面，平面平面，平面，∴平面，由題意可得：為等腰直角三角形，則，又∵，∴三棱錐的體積.20.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若函數(shù)與直線在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，點(diǎn)斜式求切線方程即可；（2）構(gòu)造新函數(shù)，在指定區(qū)間上求最大值，最小值即可解決.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，所以切線方程為，即.【小問2詳解】由題知，函數(shù)與直線在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，令，所以，因?yàn)?，所以令，得，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上有最大值，因?yàn)?，又，所以，所以在上有最小值，所以在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的條件是，解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍為21.已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓的下頂點(diǎn)，且的面積為4.（1）求橢圓C的方程：（2）圓，點(diǎn)A，B分別是橢圓C和圓上位于y軸右側(cè)的動點(diǎn)，且直線PB的斜率是直線PA的斜率的2倍，求證：直線AB恒過定點(diǎn)【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由離心率和焦點(diǎn)三角形面積求得，，即可求解；（2）設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，聯(lián)立直線與橢圓方程求得點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線與圓方程求得點(diǎn)坐標(biāo)，利用斜率公式求得，得到直線的點(diǎn)斜式方程，整理后即可證明.【小問1詳解】由題意可得，又因?yàn)椋裕詸E圓C的方程為.【小問2詳解】證明：設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，因?yàn)闉?，則直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，，得，因?yàn)辄c(diǎn)A，B分別是橢圓C和圓上位于y軸右側(cè)的動點(diǎn)，所以，，所以，代入直線的方程可得，所以為，聯(lián)立直線與圓方程，，得，所以，代入直線的方程可得，所以為，所以，所以直線的方程為，整理可得，所以直線恒過定點(diǎn).（二）選考題：共10分．請考生在第22、23兩題中任選一題作答．假如多做，則按所做的第一題計(jì)分．【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22.在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）若l與C有公共點(diǎn)，求m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）綻開方程為，依據(jù)，，代入即可求解；（2）聯(lián)立與C的方程可得，轉(zhuǎn)化交點(diǎn)問題為方程有解問題，依據(jù)范圍求得范圍，即可求解.【小問1詳解】因直線的極坐標(biāo)方程為：，所以，又因?yàn)?，，所以直線