Page1四川省南充市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考（理）試題一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則A. B. C. D.【1題答案】【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得A，解指數(shù)不等式求得B，再依據(jù)兩個(gè)集合的交集的定義求得.【詳解】因?yàn)榧?，，所以，故選D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)集合的運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)潔題目.2.已知復(fù)數(shù)滿意，則在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【2題答案】【答案】B【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義推斷.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)滿意，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：B3.某學(xué)校共有教職工120人，對(duì)他們進(jìn)行年齡結(jié)構(gòu)和受教化程度的調(diào)查，其結(jié)果如下表：本科探討生合計(jì)35歲以下40307035-50歲27134050歲以上8210現(xiàn)從該校教職工中任取1人，則下列結(jié)論正確的是（）A.該教職工具有本科學(xué)歷的概率低于60％B.該教職工具有探討生學(xué)歷的概率超過(guò)50％C.該教職工的年齡在50歲以上的概率超過(guò)10％D.該教職工的年齡在35歲及以上且具有探討生學(xué)歷的概率超過(guò)10％【3題答案】【答案】D【解析】【分析】依據(jù)表中數(shù)據(jù)，用頻率代替概率求解.【詳解】A.該教職工具有本科學(xué)歷的概率，故錯(cuò)誤；B.該教職工具有探討生學(xué)歷的概率，故錯(cuò)誤；C.該教職工的年齡在50歲以上的概率，故錯(cuò)誤；D.該教職工的年齡在35歲及以上且具有探討生學(xué)歷的概率，故正確.【點(diǎn)睛】本題主要考查概率的求法，還考查了分析求解問(wèn)題的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【4題答案】【答案】A【解析】【分析】先由函數(shù)的奇偶性解除部分選項(xiàng)，再利用函數(shù)的單調(diào)性推斷.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以是偶函?shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故解除BC，當(dāng)時(shí)，，在上遞增，解除D，故選：A5.“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，講的是關(guān)于整除的問(wèn)題（如7被3除余1：1被2除余1）.現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題：將1到100這100個(gè)正整數(shù)中能被2除余1且被3除余1的數(shù)按從小到大的依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列各項(xiàng)的和為（）A.736 B.816 C.833 D.29800【5題答案】【答案】C【解析】【分析】依據(jù)給定信息確定出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由最大數(shù)不超過(guò)100，確定出項(xiàng)數(shù)即可作答.【詳解】被2除余1且被3除余1的整數(shù)即被6除余1，這些整數(shù)由小到大依次排成一列構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)為，由得，而，即，于是得符合條件的數(shù)列有17項(xiàng)，這17項(xiàng)和為，所以數(shù)列各項(xiàng)的和為833.故選：C6.綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是（）A.189 B.63 C.42 D.21【6題答案】【答案】D【解析】【分析】由二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式可令的冪指數(shù)為零，從而求得，代入得到常數(shù)項(xiàng).【詳解】綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令，解得：，常數(shù)項(xiàng)為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)式定理求解綻開(kāi)式的指定項(xiàng)的問(wèn)題，關(guān)鍵是嫻熟駕馭二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式的形式.7.某程序框圖如圖所示，若，則輸出的（）A. B.C. D.【7題答案】【答案】C【解析】【分析】依據(jù)程序框圖執(zhí)行算法，可知輸出的為，結(jié)合裂項(xiàng)求和法可求得結(jié)果.【詳解】依據(jù)算法框圖執(zhí)行程序如下：第次循環(huán)，不成立，，；第次循環(huán)，不成立，，；第次循環(huán)，不成立，，；以此類推，執(zhí)行最終一次循環(huán)，，；成立，跳出循環(huán)體，輸出.故選：C.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式：（1）；（2）；（3）；（4）.8.已知實(shí)數(shù)，滿意，，則下列正確的結(jié)論是（）A. B.C. D.【8題答案】【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性推斷，的關(guān)系，利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)推斷，的關(guān)系，從而得到結(jié)果.【詳解】，，故.故選：B.9.已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，若兩條切線相互垂直，則橢圓的離心率為A. B. C. D.【9題答案】【答案】D【解析】【分析】由題意畫(huà)出圖形，可得，兩邊平方后結(jié)合隱含條件得答案．【詳解】如圖，由題意可得，，則2b2＝c2，即2（a2﹣c2）＝c2，則2a2＝3c2，∴，即e．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)潔性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．10.已知是相互垂直的單位向量，與共面的向量滿意則的模為（）A. B. C. D.【10題答案】【答案】D【解析】【分析】依據(jù)是相互垂直的單位向量，利用坐標(biāo)法以及數(shù)量積的坐標(biāo)表示，建立方程進(jìn)行求解即可.【詳解】是相互垂直的單位向量，不妨設(shè)，，設(shè)，由可得，即，則的模為.故選：D11.已知球是正四面體的外接球，為線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面與球形成的截面面積的最小值為，則正四面體的體積為（）A. B.C. D.【11題答案】【答案】D【解析】【分析】設(shè)外接球的半徑為，截面面積最小時(shí)截面圓的半徑為，，外接圓的圓心為，易知平面時(shí)，截面面積最小，求得截面圓的半徑，然后在，利用勾股定理求得四面體的邊長(zhǎng)即可.【詳解】如圖所示：易知平面時(shí)，截面面積最小.設(shè)外接球的半徑為，截面面積最小時(shí)截面圓的半徑為，，外接圓的圓心為，則，，所以.由，解得，則，解得.又正四面體的高為，所以正四面體的體積，故選：D.12.已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線與該雙曲線的左右兩支分別相交于點(diǎn)，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【12題答案】【答案】A【解析】【分析】依據(jù)對(duì)稱性可得到,得到,將其設(shè)為關(guān)于的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值即可得出取值范圍.詳解】由得,,,則左焦點(diǎn),右焦點(diǎn),如圖：因?yàn)殡p曲線與過(guò)原點(diǎn)的直線都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以,又依據(jù)雙曲線的定義,所以,設(shè)所以,設(shè),,所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,,當(dāng)時(shí)，所以的取值范圍為則的取值范圍是,故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用雙曲線、直線的對(duì)稱性找到，同時(shí)結(jié)合導(dǎo)數(shù)的計(jì)算.二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知p：，q：，若p是q的必要不充分條件，則a的取值范圍是___________.【13題答案】【答案】【解析】【分析】利用p是q的必要不充分條件,轉(zhuǎn)化為集合與集合之間的關(guān)系求解即可.【詳解】由已知得命題為，由是q必要不充分條件可知，且，設(shè)集合，集合，則集合是集合的真子集，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿意題意則a的取值范圍是，故答案為：.14.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到一個(gè)偶函數(shù)圖象，則________．【14題答案】【答案】【解析】【分析】依據(jù)平移后關(guān)于軸對(duì)稱可知關(guān)于對(duì)稱，進(jìn)而利用特別值構(gòu)造方程，從而求得結(jié)果.【詳解】向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到偶函數(shù)圖象，即關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于對(duì)稱即：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱軸求解參數(shù)值的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)平移后的對(duì)稱軸得到原函數(shù)的對(duì)稱軸，進(jìn)而利用特別值的方式來(lái)進(jìn)行求解.15.“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中宣部主管，以深化學(xué)習(xí)宣揚(yáng)習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員、面對(duì)全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái)，現(xiàn)日益成為老百姓了解國(guó)家動(dòng)態(tài)、緊跟時(shí)代脈搏的熱門APP，該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”“視聽(tīng)學(xué)習(xí)”兩個(gè)學(xué)習(xí)板塊和“每日答題”“每周答題”“專項(xiàng)答題”“挑戰(zhàn)答題”四個(gè)答題板塊，某人在學(xué)習(xí)過(guò)程中，“閱讀文章”與“視聽(tīng)學(xué)習(xí)”兩高校習(xí)板塊之間最多間隔一個(gè)答題板塊的學(xué)習(xí)方法有______種．【15題答案】【答案】432【解析】【分析】分成“閱讀文章”與“視聽(tīng)學(xué)習(xí)”兩高校習(xí)板塊之間無(wú)間隔和間隔一個(gè)答題板塊兩種狀況探討即可.【詳解】若“閱讀文章”與“視聽(tīng)學(xué)習(xí)”相鄰，則有種可能；若“閱讀文章”與“視聽(tīng)學(xué)習(xí)”相隔一個(gè)答題板塊，則有種可能，故共有種可能.故答案為：432.16.函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿意，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)隨意的，都有，則m的取值范圍是_______【16題答案】【答案】【解析】【分析】首先依據(jù)已知條件依次得到在旁邊的區(qū)間，、對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，然后按其規(guī)律畫(huà)出函數(shù)的圖像，再依據(jù)不等式恒成立的意義與函數(shù)圖像即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，由此作出圖象如圖所示，由圖知當(dāng)時(shí)，令，整理得：，解得：或，要使對(duì)隨意的，都有，必有，所以m的取值范圍是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的解析式，函數(shù)的圖象，不等式恒成立問(wèn)題，考查分類探討，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22?23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.17.南充某校高三年級(jí)從文科班和理科班的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名同學(xué)參與學(xué)校舉辦的“平安伴我行”平安學(xué)問(wèn)競(jìng)賽，將他們的競(jìng)賽成果分為6組：?????，得到如圖所示的頻率分布直方圖.優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)文科生30理科生55合計(jì)100（1）求a的值；（2）在抽取的100名學(xué)生中，規(guī)定：競(jìng)賽成果不低于80分為“優(yōu)秀”，競(jìng)賽成果低于80分為“非優(yōu)秀”，請(qǐng)將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并推斷是否有95%的把握認(rèn)為“競(jìng)賽成果是否優(yōu)秀與文理科別有關(guān)”？參考公式及數(shù)據(jù)：，.附表：0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635【17~18題答案】【答案】（1）（2）列聯(lián)表答案見(jiàn)解析，沒(méi)有95%的把握認(rèn)為“競(jìng)賽成果是否優(yōu)秀與文理科別有關(guān)”【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，列出方程，即可求解；（2）抽取的100名學(xué)生中，求得“優(yōu)秀”的人數(shù)，“非優(yōu)秀”的人數(shù)，得到列聯(lián)表，利用公式求得的觀測(cè)值，結(jié)合附表，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得，解得.【小問(wèn)2詳解】解：抽取的100名學(xué)生中，“優(yōu)秀”的人數(shù)為人，“非優(yōu)秀”的人數(shù)為人可得列聯(lián)表如下表：優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)文科生153045理科生104555合計(jì)2575100所以，因此，沒(méi)有95%把握認(rèn)為“競(jìng)賽成果是否優(yōu)秀與文理科別有關(guān)”.18.已知函數(shù)只能同時(shí)滿意以下三個(gè)條件中的兩個(gè).①函數(shù)的最大值是2；②函數(shù)的圖象可由函數(shù)左右平移得到；③函數(shù)的對(duì)稱中心與的對(duì)稱軸之間的最短距離是.（1）寫(xiě)出這兩個(gè)條件序號(hào)（不必說(shuō)明理由）并求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，滿意，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，且，求的值.【18題答案】【答案】（1）①③，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）【解析】【分析】（1）可得函數(shù)只能同時(shí)滿意①③，結(jié)合最值可求，結(jié)合周期可求，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求；（2）由可求，然后結(jié)合直角三角形性質(zhì)及正弦定理可求.【詳解】（1）由①得，由②得，由③知，則，所以函數(shù)只能同時(shí)滿意①③，故，由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），，，，，即，設(shè)線段的中點(diǎn)為，，，，即，，由正弦定理可得.19.如圖，在三棱臺(tái)中，平面，，，，.（1）求的長(zhǎng)；（2）求二面角的正弦值.【19題答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）連接，先證得平面，得，然后由已知得平面，平面，∴，在直角梯形中，可求得；（2）以A為原點(diǎn)，，，方向?yàn)閤軸?y軸?z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，然后求得二面角的兩個(gè)面的的法向量，由法向量的余弦值得二面角的正弦值．【詳解】解：（1）如圖，連接.平面，平面，則，又，，∴平面，而平面，故.又，，可得平面，平面，∴，故（2）如圖，以A為原點(diǎn)，，，方向?yàn)閤軸?y軸?z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，為平面的一個(gè)法向量.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，取，得，則，∴.故所求二面角的正弦值為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查線面垂直的判定，考查空間向量法求二面角．求二面角的常用方法是空間向量法，即建立空間直角坐標(biāo)系，求出二面角兩個(gè)面的法向量，由法向量的夾角與二面角相等或互補(bǔ)求解．20.已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，且過(guò)點(diǎn)的直線被拋物線所截得的弦長(zhǎng)為8．（1）求直線的方程；（2）當(dāng)直線的斜率大于零時(shí)，求過(guò)點(diǎn)且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程．【20題答案】【答案】（1）或；（2）或．【解析】【分析】（1）由題意得，，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和拋物線的定義求出弦長(zhǎng)，結(jié)合已知弦長(zhǎng)可求得結(jié)果；（2）設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，依據(jù)幾何方法求出圓的半徑，依據(jù)直線與圓相切列式解得圓心坐標(biāo)和半徑，可得圓的方程.【詳解】（1）由題意得，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為，此時(shí)，不滿意，舍去；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為由得設(shè)，則，且由拋物線定義得即，解得因此l的方程為或.（2）由（1）取直線的方程為，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)，所以的垂直平分線方程為，即設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，該圓的圓心到直線的距離為，則，則該圓的半徑為，因?yàn)樵搱A與準(zhǔn)線相切，所以，解得或,當(dāng)圓心為時(shí)，半徑為，當(dāng)圓心為時(shí)，半徑為，因此所求圓的方程為或．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（1）問(wèn)，利用韋達(dá)定理和拋物線的定義求出拋物線的弦長(zhǎng)是關(guān)鍵；第（2）問(wèn)，依據(jù)幾何方法求出圓的半徑，利用直線與圓相切列式是解題關(guān)鍵.21.已知函數(shù)，（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，．（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)隨意的恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【21題答案】【答案】（1）在定義域上單調(diào)遞增；（2）．【解析】【分析】（1）先求得，利用導(dǎo)數(shù)可得恒成立，故可得的單調(diào)區(qū)間.（2）對(duì)隨意的恒成立等價(jià)于對(duì)隨意恒成立，就和結(jié)合的單調(diào)性分類探討可得對(duì)隨意恒成立，參變分別后再次利用導(dǎo)數(shù)可求的取值范圍.【詳解】解：（1）因，所以.令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．所以，又因?yàn)?，，所以，在定義域上單調(diào)遞增.（2）由得，即，所以，即對(duì)隨意恒成立，設(shè)，則所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若，