4.1一元二次函數(shù)2345探究一

一元二次函數(shù)的圖像例2.:若函數(shù)y=x2+2(2a-1)x+2在區(qū)間(-∞,7]上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.{-3} B.(-3,+∞)C.(-∞,-3] D.[-3,+∞)解析:由函數(shù)y=x2+2(2a-1)x+2在區(qū)間(-∞,7]上單調(diào)遞減,結(jié)合圖象(圖略)知-(2a-1)≥7,所以a≤-3.答案:C探究二

一元二次函數(shù)的單調(diào)性【變式訓(xùn)練2】

已知函數(shù)y=x2+(a+1)x+1在區(qū)間[-1,1]上為單調(diào)函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是

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答案:(-∞,-3]∪[1,+∞)探究三

一元二次函數(shù)的最值【例3】已知函數(shù)y=f(x)=x2-4x-4.若x∈[3,4],求函數(shù)f(x)的最值.分析:先配方→結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象和已知求解解:y=x2-4x-4=(x-2)2-8的圖象開口向上,對稱軸為直線x=2,所以當(dāng)x∈[3,4]時,函數(shù)y=x2-4x-4單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=3時,f(x)取得最小值9-12-4=-7,當(dāng)x=4時,f(x)取得最大值16-16-4=-4.1.本例中將“x∈[3,4]”改為“x∈[-3,4]”,其他條件不變,求函數(shù)y=f(x)的最值.解:y=x2-4x-4=(x-2)2-8在區(qū)間[-3,2]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞增,所以f(x)的最小值為-8.又因為x=-3時,y=17,x=4時,y=-4,所以f(x)的最大值為17.解法1:y>0對?x∈[1,+∞)恒成立,等價于x2+2x+a>0對?x∈[1,+∞)恒成立.設(shè)g(x)=x2+2x+a,x∈[1,+∞),則問題轉(zhuǎn)化為g(x)>0在x∈[1,+∞)上恒成立,又g(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,從而g(x)min=3+a.于是當(dāng)且僅當(dāng)g(x)min=3+a>0,即a>-3時,g(x)>0對x∈[1,+∞)恒成立,故實數(shù)a的取值范圍是(-3,+∞).解法2:y>0對?x∈[1,+∞)恒成立,等價于x2+2x+a>0對?x∈[1,+∞)恒成立,即a>-x2-2x對x≥1恒成立.令μ=-x2-2x=-(x+1)2+1,其在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=1時,μ取得最大值,μmax=-3.因此a>-3.故實數(shù)a的取值范圍是(-3,+∞).求一元二次函數(shù)y=f(x)=ax2+bx+c(a>0)在區(qū)間[m,n]上的最值的類型忽視對參數(shù)的討論致誤【典例】已知一元二次函數(shù)y=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上有最大值3,

求實數(shù)a的值.錯解：由題意,可知該函數(shù)的圖象為開口向下的拋物線,對稱軸為x=a,所以x=a時,y取最大值,ymax=a2-a+1=3,解得a=2或a=-1.綜上所述,a=2或a=-1.正解:由題意,可知該函數(shù)的圖象的對稱軸為直線x=a,(1)當(dāng)a≤0時,在區(qū)間[0,1]上函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小,則函數(shù)在x=0處取得最大值,即ymax=1-a=3,得a=-2,滿足a≤0,所以a=-2符合條件;(2)當(dāng)0<a<1時,在區(qū)間[0,a]上函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大,在區(qū)間[a,1]上函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小,則函數(shù)在x=a處取得最大值,即ymax=a2-a+1=3,解得a=2或a=-1,又0<a<1,所以a=-1或a=2都不符合條件;(3)當(dāng)a≥1時,在區(qū)間[0,1]上函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大,則函數(shù)在x=1處取得最大值,即ymax=-1+2a+1-a=3,解得a=3滿足a≥1,所以a=3符合條件.綜上所述,a=-2或a=3.總結(jié)：

這是定區(qū)間,動對稱軸問題,需對它們的關(guān)系進(jìn)行討論,分對稱軸在區(qū)間的左、中、右三種情形討論,確定實數(shù)a的值.【變式】

已知一元二次函數(shù)y=f(x)=ax2+bx(a,b為常數(shù),且a≠0)，滿足:其圖象的對稱軸為直線x=1,且方程y=2x有兩個相等的實數(shù)根.求:(1)函數(shù)y=f(x)的解析式;(2)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,t]上的最大值.解:(1)∵方程y=2x有兩個相等的實數(shù)根,即ax2+(b-2)x=0(a≠0)有兩個相等的實數(shù)根,∴Δ=(b-2)2=0,解得b=2.又已知直線x=1是函數(shù)圖象的對稱軸,∴函數(shù)的解析式為y=-x2+2x.(2)∵函數(shù)y=-x2+2x的圖象的對稱軸為直線x=1,又x∈[0,t],∴當(dāng)t≤1時,在區(qū)間[0,t]上函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大,∴函數(shù)在x=t處取得最大值,即ymax=-t2+2t;