PAGEPAGE6第三章函數(shù)3.1函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1.2函數(shù)的單調(diào)性考點1函數(shù)單調(diào)性的定義1.(2024·山東棲霞二中高一月考)下列命題正確的是()。A.定義在(a,b)上的函數(shù)f(x),若存在x1,x2∈(a,b),當(dāng)x1<x2時,有f(x1)<f(x2),那么f(x)在(a,b)上為增函數(shù)B.定義在(a,b)上的函數(shù)f(x),若有無窮多對x1,x2∈(a,b),當(dāng)x1<x2時,有f(x1)<f(x2),那么f(x)在(a,b)上為增函數(shù)C.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I1上為減函數(shù),在區(qū)間I2上也為減函數(shù),那么f(x)在區(qū)間I1∪I2上肯定是減函數(shù)D.若函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的增函數(shù),且f(x1)<f(x2)(x1,x2∈I),則x1<x2答案：D解析：A項中,并不是對隨意x1,x2都成立,故A錯;B項中,雖然有無窮多對,但也不能代表“全部”“隨意”,故B錯;C項中,以f(x)=1x為例,雖然在(-∞,0)及(0,+∞)上均為減函數(shù),但在整個定義域上卻不具有單調(diào)性,故C錯。故選D2.若函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù),則下列關(guān)系式肯定成立的是()。A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a2)答案：D解析：因為f(x)是R上的減函數(shù),且a2+1>a2,所以f(a2+1)<f(a2)。故選D。3.假如函數(shù)f(x)在[a,b]上是增函數(shù),對于隨意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),則下列結(jié)論中不肯定正確的是()。A.f(B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0C.f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)D.f(x1)≠f(x2)答案：C解析：由函數(shù)單調(diào)性的定義可知,若函數(shù)y=f(x)在給定的區(qū)間上是增函數(shù),則x1-x2與f(x1)-f(x2)同號,由此可知,選項A,B,D中結(jié)論正確;對于C,若x1>x2,則f(x1)>f(x2),故C中結(jié)論不肯定正確。4.(2024·陜西榆林一中高一月考)如圖3-1-2-1所示的兩圖分別為函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖像,則函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間分別為。

圖3-1-2-1答案：[1,4]和(4,6],[-1,0]和[1,2]解析：由題圖①可知,在區(qū)間[1,4]和區(qū)間(4,6]內(nèi),函數(shù)y=f(x)是增函數(shù),由題圖②可知,在區(qū)間[-1,0]和[1,2]內(nèi),y=g(x)是增函數(shù)。故y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,4]和(4,6],函數(shù)y=g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[-1,0]和[1,2]。【易錯點撥】函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增(減)函數(shù),并不能說f(x)在A∪B上是增(減)函數(shù)?？键c2函數(shù)的平均變更率5.在求平均變更率中,自變量的增量Δx滿意()。A.Δx>0B.Δx<0C.Δx=0D.Δx≠0答案：D解析：由分數(shù)的意義,可知自變量x的增量Δx可以是正數(shù)、負數(shù),但不行以是0,故選D。6.已知函數(shù)y=f(x),下列說法錯誤的是()。A.Δy=f(x2)-f(x1)叫函數(shù)值的變更量B.ΔyΔx=f(x2)-fC.函數(shù)在f(x)的平均變更率可表示為ΔyΔD.函數(shù)在f(x)=3x的平均變更率小于零答案：D解析：f(x)=3x的平均變更率為ΔyΔx=3x2-7.如圖3-1-2-2,函數(shù)y=f(x)在A,B兩點間的平均變更率是()。圖3-1-2-2A.1B.-1C.2D.-2答案：B解析：依題意可知Δy=yB-yA=1-3=-2,Δx=xB-xA=3-1=2,所以函數(shù)y=f(x)在A,B兩點間的平均變更率為ΔyΔx=-28.巍巍泰山為我國的五岳之首,有“天下第一山”之美譽,登泰山在當(dāng)?shù)赜小熬o十八,慢十八,不緊不慢又十八”的俗語來形容爬十八盤的感受。如圖3-1-2-3是一段登山路途圖,同樣是登山,但是從A處到B處會感覺比較輕松,而從B處到C處會感覺比較吃力。想想看,為什么?你能用數(shù)學(xué)語言來量化BC段線段的陡峭程度嗎?圖3-1-2-3答案：解:山路從A到B高度的平均變更率為hAB=ΔyΔx=10-050-0=15,山路從B到C高度的平均變更率為hBC=ΔyΔx=20-1070-50=12,∴hBC>hAB,∴山路從考點3函數(shù)單調(diào)性的判定及證明9.(2024·北京海淀區(qū)高一聯(lián)考)如圖3-1-2-4所示的是定義在區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)y=f(x)的圖像,則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說法錯誤的是()。圖3-1-2-4A.函數(shù)在區(qū)間[-5,-3]上單調(diào)遞增B.函數(shù)在區(qū)間[1,4]上單調(diào)遞增C.函數(shù)在區(qū)間[-3,1]∪[4,5]上單調(diào)遞減D.函數(shù)在區(qū)間[-5,5]上沒有單調(diào)性答案：C解析：若一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或兩個以上的單調(diào)區(qū)間,不能干脆用“∪”連接。故選C。10.在區(qū)間(0,+∞)上不是增函數(shù)的函數(shù)是()。A.y=3x-2 B.y=3x2-1C.y=2x2+3x D.y=2x答案：D11.(2024·沈陽二中高一月考)完成下列題目。(1)證明:函數(shù)f(x)=x2-1x在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù)答案：任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=x12-1x1-x22+1x2=(x∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1+x2+1x∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴函數(shù)f(x)=x2-1x在區(qū)間(0,+∞)(2)證明:函數(shù)f(x)=x3+x在R上是增函數(shù)。答案：設(shè)x1,x2是R上的隨意兩個實數(shù),且x1<x2,則f(x2)-f(x1)=(x23+x2)-(x13=(x2-x1)(x22+x2x1+x12)+(x2=(x2-x1)(x22+x2x1+=(x2-x1)x2∵x2+x122+34∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),∴函數(shù)f(x)=x3+x在R上是增函數(shù)。12.(2024·煙臺高一期中)已知函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間[a,b]上都有意義,且在此區(qū)間上①f(x)為增函數(shù),f(x)>0;②g(x)為減函數(shù),g(x)<0。試推斷函數(shù)f(x)g(x)在[a,b]上的單調(diào)性,并給出證明。答案：解:函數(shù)f(x)g(x)在[a,b]上單調(diào)遞減。證明如下:設(shè)x1,x2是[a,b]上隨意兩個不相等的實數(shù),且a≤x1<x2≤b,則0<f(x1)<f(x2),g(x2)<g(x1)<0,所以f(x1)g(x1)-f(x2)g(x2)=f(x1)g(x1)-f(x1)g(x2)+f(x1)g(x2)-f(x2)g(x2)=f(x1)[g(x1)-g(x2)]+[f(x1)-f(x2)]g(x2)。又f(x1)[g(x1)-g(x2)]>0,[f(x1)-f(x2)]g(x2)>0,所以f(x1)g(x1)-f(x2)g(x2)>0,即f(x1)g(x1)>f(x2)g(x2),所以函數(shù)f(x)g(x)在[a,b]上為減函數(shù)。13.(2024·北京永定路中學(xué)高一期中)探討f(x)=x+9x(x>0)的單調(diào)性,答案：解:f(x)=x+9x在(0,3)上為減函數(shù),在[3,+∞)上為增函數(shù)。證明如下:任取x1,x2∈(0,+∞)且令x2>x1則f(x2)-f(x1)=x2+9x2-x1+9x1=(x2-x1)+9(x1-x2)x1x2=(x2-x1)1-9x1x2當(dāng)x1,x2∈(0,3)時,有x1x2-9<0,f(x2)-f(x1)當(dāng)x1,x2∈[3,+∞)時,有x1x2-9>0,f(x2)-f(x1)綜上所述,f(x)=x+9x在(0,3)上為減函數(shù),在[3,+∞)考點4函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用14.若y=(2k-1)x+b是R上的減函數(shù),則有()。A.k>12 B.k>-C.k<12 D.k<-答案：C解析：若y=(2k-1)x+b是R上的減函數(shù),則必有2k-1<0,解得k<1215.(2024·西安高一檢測)函數(shù)y=x+2x-1(A.有最小值12,無最大值 B.有最大值12C.有最小值12,有最大值2 D.無最大值,答案：A解析：f(x)=x+2x-1的定義域為12,+∞,在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,∴f(x)16.(2024·武漢二中期中)已知函數(shù)f(x)=x2+6,x∈[1,2],xA.10,6 B.10,8C.8,6 D.以上都不對答案：A解析：作出分段函數(shù)f(x)=x2+6,x∈[1,2],x+7,x∈[-1,1)的圖像(圖略),由圖像可知f(x17.(2024·杭州余杭高一期末)已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),對隨意實數(shù)a,b,若a+b>0,則有()。A.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)C.f(a)-f(b)>f(-a)-f(-b)D.f(a)-f(b)<f(-a)-f(-b)答案：A解析：∵a+b>0,∴a>-b,b>-a,∴f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),∴f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)。故選A。18.(2024·鄭州模擬)假如函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上是減函數(shù),那么實數(shù)a的取值范圍是。

答案：a≤-3解析：依題意知1-a≥4,得a≤-3。19.已知函數(shù)f(x)=2x2-kx-4在區(qū)間[-2,4]上具有單調(diào)性,則k的取值范圍是()。A.[-8,16]B.(-∞,-8]∪[16,+∞)C.(-∞,-8)∪(16,+∞)D.[16,+∞)答案：B解析：∵f(x)=2x2-kx-4,∴對稱軸為x=k4,則滿意k4≥4或k4≤-2,即k≥16或k≤-8,20.(2024·山東曹縣第一中學(xué)高一月考)已知f(x)是定義在[-2,1]上的增函數(shù),若f(t-1)<f(1-3t),求t的取值范圍。答案：解:∵函數(shù)f(x)是定義在[-2,1]上的增函數(shù),且f(t-1)<f(1-3t),∴-2≤t-即0≤t<12。故t的取值范圍為0≤t<121.已知函數(shù)f(x)對隨意x,y∈R,總有f(x)+f(y)=f(x+y),且當(dāng)x>0時,f(x)<0,f(1)=-23(1)求證:f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù);答案：證明:設(shè)x1和x2是隨意的兩個實數(shù),且x1<x2,則Δx=x2-x1>0。∵當(dāng)x>0時,f(x)<0,∴f(x2-x1)<0,又∵x2=(x2-x1)+x1,∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1),∴f(x2)-f(x1)=f(x