高考數(shù)學(xué)數(shù)列難題訓(xùn)練50題含答案

一、單選題

1.已知數(shù)列｛。九｝滿足=1,(m—l)7a7n-i——0(m2/mE/V*),且即九=

sin竽(neN*),則數(shù)列｛瓦｝的前18項和為()

A.-3B.-54C.-3V3D.-54V3

2.已知數(shù)列｛5｝滿足：ai=2,a、n+i=：(、腐+2a“)(nCN*).記數(shù)列｛a"的前般項和

為Sn，則()

A.12<S10<14B.14<S10<16C.16<S10<18D.18<

S10<20

3.定義函數(shù)F(x)=匕，胃，，:jj,，胃，若函數(shù)/(x)=x2-2x+1,g(x)=/-

ax+b,且對任意的XER,都有F(x)=F(4—x)成立，函數(shù)y=F(x)的圖象與

y=m自左向右有四個交點4、B、C、。，則\BC\-m的范圍為()

A.(0,務(wù)B.(0,|)C.(0,1)D.(1|)

4.已知數(shù)列｛多｝的前n項和%=3x2"-3,等比數(shù)列｛%｝滿足“=an-bn+1(ne4*),

若對于任意的實數(shù)aC[-1,1],不等式bn<2"?&血2一am一名)恒成立，則實數(shù)m的

取值范圍為()

1111

A.(-00,一/"],+8)B.(-00,-2)u(2，+00)

C.(—oo,-3]U[3,+8)D.(—oo,—3)U(3,+8)

5.已知定義在(0,+8)上的函數(shù)/(%),滿足(1)/(%)>0；(2)/(x)</(%)<2/(%)

(其中/'(X)是/(%)是導(dǎo)函數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù))，則然的范圍為().

或,|)B.(^2,1)C,(e,2e)D.(e,e3)

6.已知各項均不為。的等差數(shù)列｛an｝滿足a3-^7_+ail=o,數(shù)列｛bn｝為等比數(shù)列，且

bi=ai,則biebi3=()

A.25B.16C.8D.4

7.已知｛即｝為非常數(shù)數(shù)列且即。0,即=〃，an+1=an+sin(2an)+A(/z,AG

R,n€N*）,下列命題正確的是（）

A.對任意的；I,〃，數(shù)列｛g｝為單調(diào)遞增數(shù)列；

B.對任意的正數(shù)￡,存在A,〃，n0（沏CN*）,當(dāng)n>沏時，|即-1|<

￡;

C.存在4,〃，使得數(shù)列｛an｝的周期為2;

D.存在A,林，使得|冊+a“+2-2為+11>2.

8.已知a>0,b>0,且百為3a與3b的等比中項，則的最大值為（）

4Q+9/J

A1o101n1

A-242526U-27

9.已知函數(shù)/（%）=/+版的圖象在點4（1,/（l））處的切線l與直線3x-y+2=0平行,

若數(shù)列｛忐｝的前71項和為%，則52021的值為（）

A2021R2020c2019D2018

2022202120202019

10.普林斯頓大學(xué)的康威教授發(fā)現(xiàn)了一類有趣的數(shù)列并命名為“外觀數(shù)列”，該數(shù)列的后

一項由前一項的外觀產(chǎn)生.以1為首項的“外觀數(shù)列”記作4,其中a為1,11,21,

1211,111221,即第一項為1,外觀上看是1個1,因此第二項為11；第二項外觀

上看是2個1,因此第三項為21；第三項外觀上看是1個2,1個1,因此第四項為1211,...,

按照相同的規(guī)則可得為其它項，例如必為3,13,1113,3113,132113,…若4的

第n項記作an,A）的第n項記作bn,其中i,je[2,9],若cn=\an-bn\,

則｛%｝的前n項和為（）

A.2n\i-7|B.n（i+;）C.n\i-j\D.1|i-j\

二、填空題

11.已知數(shù)列｛凝｝滿足的=3,a2=6,且冊+2=an+i-冊（n為正整數(shù)），則CI308=_

Qn+11

12.計?算：Hm~n=_______?

…3n+n2n

13.求值：10g23?10g57?10g3540g74=

111

14.已知數(shù)列｛an｝中，ai=2,a-a.1-2n=0（n>2,nGN）.設(shè)bn=----1--------1------

nnan+lan+2an+3

+...+上，若對任意的正整數(shù)n,當(dāng)1]時，不等式t2-2mt+1>悅恒成立，

a2n6

則實數(shù)t的取值范圍是.

2

15.已知數(shù)列｛即｝的前n項和Sn=n,nCN*,則％=；ax-a2+

CI3-CI4+...+a2017-^2018=-

16.若數(shù)列｛5｝的前n項和Sn=2n+1,則此數(shù)列的通項公式為

Qn=?

17.有一種病毒在人群中傳播，使人群成為三種類型：沒感染病毒但可能會感染病毒的

S型；感染病毒尚未康復(fù)的/型；感染病毒后康復(fù)的R型(所有康復(fù)者都對病毒免

疫).根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)：每隔一周，S型人群中有95%仍為S型，5%成為/型；/型

人群中有65%仍為I型，35%成為R型；R型人群都仍為R型.若人口數(shù)為A的

人群在病毒爆發(fā)前全部是S型，記病毒爆發(fā)n周后的S型人數(shù)為Sn,I型人數(shù)為ln,

則Sn=；In—.(用A和n表示，其中neN*)

18.請舉出一個各項均為正數(shù)且公差不為0的等差數(shù)列｛an｝,使得它的前n項和Sn滿足：

數(shù)列｛店｝也是等差數(shù)列，則即=.

2

19.己知函數(shù)f(x)=xcos等,數(shù)列｛an｝中，an=f(n)+f(n+1)(neN*),則數(shù)列｛an｝

的前100項之和Sioo=.

20.某項測試有10道必答題，甲和乙參加該測試，用數(shù)列｛&J和｛\｝記錄他們的

成績.若第k題甲答對，貝I]ak=k，若第k題甲答錯，則ak=—k；若第k題乙

kr

答對，則瓦=2-1，若第k題乙答錯，則bk=-2-.已知b1+b2+-+bw=

767,+a2b2-I—+。10瓦0=9217,則即+a2+,,,+ciio=-

21.已知數(shù)列｛冊｝的首項的=3,且an+1-an=2n,neN：則數(shù)列｛a4｝的

通項公式an=.

22.用印表示不超過x的最大整數(shù)，例如[3]=3,[1.2]=1,[-1.3]=一2.已

11

知數(shù)列｛即｝滿足為=1,an+1=碎+0n,貝ij[叼+]+g+i■1-----

___1___1=

a2020+1'

23.已知數(shù)列｛g｝的各項均為正，S”為其前n項和，滿足Sn=2an-2，數(shù)列｛%｝

為等差數(shù)列，且電=2,b10=10,則數(shù)列｛即+垢｝的前n項和

Tn=.

c

24.已知數(shù)列｛an｝的前n項和Sn=2an-2n+i,若不等式(-1)nX<4,對VnGN*恒

dn+l

成立，則實數(shù)大的取值范圍.

25.已知等差數(shù)列｛g｝的前n項和為S”，且53=15,a7+a9=34,數(shù)列

｛^―｝的前n項和為Tn,且對于任意的nCN*,7“<父抖，則實數(shù)t的取

anan+lnt

值范圍為.

26.已知以區(qū)間(0,2)上的整數(shù)為分子，以2為分母的數(shù)組成集合力,其所有元素

的和為?i;以區(qū)間(0,22)上的整數(shù)為分子，以22為分母組成不屬于集合4的數(shù)

組成集合人2，其所有元素的和為?2；……依此類推以區(qū)間(0,2n)上的整數(shù)為分子,

以2n為分母組成不屬于4,A2…4-1的數(shù)組成集合An,其所有元素的和為

O-n>若數(shù)列｛冊｝前n項和為Sn,則S2020-52019=.

27.分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué).分形的外表結(jié)構(gòu)極為復(fù)

雜，但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的.一個數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方

程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng).下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1,

線段AB的長度為a,在線段AB上取兩個點C,。，使得AC=DB=iAB,

以CD為一邊在線段AB的上方做一個正六邊形，然后去掉線段CD,得到圖2中的

圖形；對圖2中的最上方的線段EF作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，

我們就得到了以下一系列圖形：

記第n個圖形(圖1為第1個圖形)中的所有線段長的和為Sn,則

(1)S3-;

(2)如果對VnGN*,Sn<2019恒成立，那么線段AB的長度a的取值范圍

是.

已知。=數(shù)列｛心｝滿足點+成=.若對

28.(10,t),+12(an+1+l)(an-1)+1,n6N*

任意正實數(shù)人，總存在由WD和相鄰兩項的，ctk+i，使得依+1+4必=0成立，則實數(shù)t的

最小值為

29.已知函數(shù)y=asinx+cosx,x6［0,^］,其最小值為a,則實數(shù)a的取值范

圍是____________

30.若不等式|白一Mi+ax^o在％的定義域內(nèi)恒成立，則a?的取值范圍

是.

三、解答題

31.已知｛2｝是公差不為零的等差數(shù)列,a產(chǎn)1,且ai,g,ag成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛a,J的通項；

(2)設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,令勾=專，求數(shù)列｛bn｝的前n項和Tn.

32.已知在遞增數(shù)列｛冊｝中，%,a2為函數(shù)f(x)=/—11%+24的兩個零點，數(shù)列

｛an+1-a"是公差為2的等差數(shù)列?

(1)求數(shù)列｛aj的通項公式；

⑵設(shè)數(shù)列|｛a的前幾項和為的，證明：Sn<l

an4

33.設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列?n｝的前n項和為％,滿足45n-1=W+2冊.

(1)求數(shù)列｛演｝的通項公式；

111

(O')乘11-…-I----------

al?2a2a3為％+1

34.設(shè)數(shù)列｛即｝的前n項和S",=l,an+1=ASn+l(ne/V*,A-1),且

a1(2a2,a3+3為等差數(shù)列｛bn］的前三項.

(1)求數(shù)列｛g｝，｛%｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛a*bn｝的前n項和.

2

35.已知正項數(shù)列⑶｝的前n項和為Sn,點(a，“Sn)(nGN*)都在函數(shù)f(x)=1x+1x-^

的圖象上.

(1)求數(shù)列｛沏｝的通項公式；

(2)若bn=an?3n,求數(shù)列｛bn｝的前n項和Tn.

36.已知數(shù)列｛an｝滿足的=1,an+1=2an,數(shù)列｛“｝滿足名=3,b2=6,

且｛bn-an］為等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛時｝和｛bn］的通項公式；

(2)求數(shù)列｛aJ的前n項和Tn.

37.已知三個正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列，實數(shù)x,y分別為a與匕和匕與c的等差中項.證明:

(1)a4-c>2b；

(2)x-+y-=2,

38.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為Sn,且S5=4s2,a2n=2an-1.

(1)求數(shù)列5｝的通項公式；

(2)設(shè)%=2(即：1)即'求數(shù)列｛匕｝的前幾項和〃?

39.已知數(shù)列｛即｝滿足an+1=劣，且的=2,數(shù)列｛%｝滿足bn+1-bn=

anbn,且瓦=2,(nGW*).

(1)求證：數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列，并求通項an；

⑵解關(guān)于n的不等式：2系<b/

40.已知數(shù)列｛aj為單調(diào)遞增數(shù)列，即=1，其前n項和為Sn,且滿足2Sn=磋一

2Sn_1+l(n>2,ne/V+).

(1)求數(shù)列｛aj的通項公式;

n

(2)若數(shù)列bn=—^—，其前n項和為了"，若心>福成立，求的最小

值.

41.在①Sn=|(Zn—3,其中右為數(shù)列｛a"的前n項和；②的=1,an-an+1=anan+1

這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答.

問題：已知數(shù)列滿足—.

(1)求數(shù)列｛冊)的通項公式；

(2)是否存在正整數(shù)m,使得am+am+i為數(shù)列｛&J中的項？若存在，求出m；若不

存在，說明理由.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

42.已知銳角AABC的外接圓半徑為1,內(nèi)角B,C的對邊分別為a,b,c,

AABC的面積為S且V3a2=4S+V3(c2—b2)-

⑴求C；

(2)求如的取值范圍.

a

43.對于無窮數(shù)列｛an｝與｛bn｝，記A=｛x\x=a,nCN*｝,B=｛x\x=bn

n€N*｝,若同時滿足條件：@(an｝,｛bn｝均單調(diào)遞增；②4nB=0且4uB=

N*,則稱｛an｝與｛bn｝是無窮互補數(shù)列.

(1)若斯=2n-l,bn=4n-2，判斷｛%｝與｛bn｝是否為無窮互補數(shù)列，

并說明理由；

(2)若an=2n且｛an｝與｛bn｝是無窮互補數(shù)列，求數(shù)列｛bn｝的前16項的和;

(3)若｛an｝與｛%｝是無窮互補數(shù)列，｛an｝為等差數(shù)列且由6=36,求｛an｝

與｛bn｝得通項公式.

44.已知數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,且滿足S-M-4n,數(shù)列｛悅｝中，bi=翁^對任意

n

正整數(shù)n>2,bn+1+bn=(1).

(1)求數(shù)列｛即｝的通項公式；

(2)是否存在實數(shù)中使得數(shù)列｛3必、+四是等比數(shù)列？若存在，請求出實數(shù)以及公

比q的值，若不存在，請說明理由；

(3)求證:：-歷+乎+…+匕.〈吉?

45.已知=1,對任意正整數(shù)m,n中，①am+an=am+n；②的=1,

a2=2,an+1-an=an-an-1；(n>2,neN*)；③設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項

和為%，Sn=Wa(neN*)，從這三個條件中任選一個，補在下面問題中，并作

n

答：在數(shù)列｛即｝中，▲,若bn=2an,求數(shù)列｛%｝的前n項和Tn.

46.已知二次函數(shù)/(%)=ax2+bx+b,cWR)滿足：①對任意實數(shù)x,都有

f(x)>%;②當(dāng)xW(0,2)時，有/(x)<|(x4-I)2成立.

(1)求證：/(I)=1；

(2)若/(-I)=0,求函數(shù)/(%)的解析式；

(3)在(2)的條件下，若對任意的實數(shù)xe[0,+8),有/(x)-mx>|恒成

立，求實數(shù)機的取值范圍.

47.設(shè)｛an｝和｛%｝是兩個等差數(shù)列，記g=max｛bi-anb2-azn,…，bn-am｝(n=l,2,

3,…)，其中max｛xi,X2,…，Xs｝表示xi,X2,…，Xs這s個數(shù)中最大的數(shù).(13分)

(1)若an=Il,bn=2n-1,求Cl,C2,C3的值，并證明｛/｝是等差數(shù)列；

(2)證明：或者對任意正數(shù)M,存在正整數(shù)m,當(dāng)nNm時，答>M；或者存在正

整數(shù)m,使得Cm,Cm+I,Cm+2,…是等差數(shù)列.

48.已知函數(shù)/(%)=-1|,g(%)=|%+3|一—1|.

6

5

4

3

2

1

1O

-1

(1)在直角坐標(biāo)系中回出y=/(%)和y=g(x)的圖象；

(2)若/(%)+a3g(%)恒成立，求Q的取值范圍.

49.已知數(shù)列｛冊｝的前n項和為Sn,?i=3,若數(shù)列｛S九+1｝是公比為4的等

比數(shù)列.

(1)求Sn,并求數(shù)列｛an｝的通項公式冊；

n

(2)設(shè)bn=n^4+Aan,nWN*,若數(shù)列｛g｝是遞增數(shù)列，求實數(shù)A的范

50.已知正項數(shù)列｛Qn｝滿足，。1=2,且堵+i-冊+1冊+即+1=2忌+2斯.

(1)求｛an｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列也｝滿足匕=合5€")，記也｝的前項和為〃，若斯7n+n+(-1)”?

Aan-1>0對任意nG/V*恒成立，求實數(shù)；I的取值范圍.

答案解析部分

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】A

10.【答案】C

11.【答案】6

12.【答案】3

13.【答案】2

14.【答案】(-oo,-2)U(2,+oo)

15.【答案】1；-2018

16.【答案】｛/喘戰(zhàn)

17.【答案】0.95A；。-95”-0.65”月

6

18.【答案】2n-1(答案不唯一，滿足d=2ai00即可)

19.【答案】10200

20.【答案】39

21.【答案】n2—n+3

22.【答案】0

23.［答案］2"+2+n2+n-4

2

24?【答案】(-；,1)

25.【答案】(0,162)

26.【答案】22°18

27.【答案】(1)4a

⑵（0,萼

28.【答案】11

29.【答案】（—8,1］

30.【答案】a3e［0,挈

31?【答案】（1）解：由題設(shè)知公差群0,由ai=l,a”a3,a9成等比數(shù)列得：

二0］?09，

即（l+2d）2=1?（l+8d）,解得d=l或d=0（舍去），故｛1｝的通項an=l+（n-1）xl=n

（2）解：???Sn=^^，

?也=?^15=4哈一急），

：.Tn=4［（1-1）+（|-1）+-+-^）］=曲1一擊）=罌

2

32.【答案】（1）解：函數(shù)/（%）=x-llx4-24的零點為3,8,而數(shù)列｛an｝遞增,則%=3,

@2=8,。2—=5,

因此數(shù)列｛冊+1-a九｝是以5為首項，2為公差的等差數(shù)列，則冊+1-瑪=2幾+3,

當(dāng)71之2時，Qn=a1+（做—。1）+（。3-。2）+…+（。九—。九一1）=3+5+7+…+（2九+

1）

=3+（當(dāng)+1）?n=九（兀.!_2）,而%=3也滿足上式，

所以數(shù)列｛a九｝的通項公式是a九=n（n+2）.

⑵證明：由⑴得1尋用1斗11（?急1），

因此Sn=*［（l…+（/_磊）+?！保?/p>

1111?11111

=2（1+2-雨-訴）=廠2（帝+吊〉而而l+限

所以為<京

33.【答案】（1）解：當(dāng)幾=1時，由4szi—1二成+2即得4al—1=域+2的，%=1.

當(dāng)九>2時，由4Sn—1=成+2a九得4s71T-1=a器】4-2an_1,

兩式相減可得4an=CL^+2（1n—W-i—2tzn-i,

化簡得（Q〃+un-i）（cin-dn-i_2）=0,

由條件得+an-i>0，故的=%-1+2（n>2）,

得數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，

從而數(shù)列｛an｝的通項公式為即=2n-l.

(2)解：由(1)得%=2九一1,

11111

所以a九%+1-(2n—l)(2n+l)-2^2n—l2九+1),

111111111I

得近+砒+…+=2(1_4)+2(4—5)+…+2(2^―^TI)

111111

=2(1一4+歹廣+而=1一市巨)

11

=2(1-2?rn:)

n

=2n+l*

34.【答案】(1)解：解法1：???an+i=A5"+l(?i￡N*),

/.an=25九一1+l(n>2)

-a=za:,B|Jan+i=(A+1)M，(九之2),2+1H0,

又臼=1,敢=as1+1=4+1,

,數(shù)列｛&J為以1為首項，公比為A+1的等比數(shù)列，

,,%=(入+1)2，

A4(A+l)=l+(A+l)2+3,整理得公_二/.-1=0，得4=1

dn=2"-1，人九二1+3(71-1)=3n—2

解法2：Vai=l,an+1=ASn+l(n6/V*),

,?Q，2=as1+1=a+L。3=as2+1=A(I+a+1)+1=乃+2A+1,

A4(A+1)=1+"+24+1+3,整理得z：-2z-l=0，得2=1

/.an+1=Sn+l(n6N*),

Aan=Sn_I4-l(n>2)

??Q九+1—Q九=Cln,即Q〃+i=2dn(7232),

又Qi=1,。2=2

，數(shù)列為以1為首項，公比為2的等比數(shù)列，

n-1

Aan=2,

=

bn=1+3(九一1)3九一2

n

(2)解:anbn=(3n-2)-2

，12n_1

..Tn=l-l+4-2+7-2+???+(3n-2)-2?

123n-1

：.2Tn=l-2+4-2+7-2+???+(3n-5)-2+(3n-2)-2n②

①一②得=1.1+3-21+3-22+???+3-271T-(3n-2)-2n

2,(1—2"

=1+3——%一5一--(3n-2)?2”

1-z

n

整理得：Tn=(3n-5)-2+5

35?【答案】(1)解：由題可得Sn=/冊2+/冊—竽

當(dāng)n>2時,Sn_i=/冊t?④an-i~學(xué)

2a—a2a

所以an=^an+2n5n-l~^n-l

所以與2-2an-an_x2-2an_i=0

所以(an+an-i)(an-an-1-2)=0

因為an>0

所以an一an-1=2

2

當(dāng)n=l時，Si=/ai2+%—學(xué)，所以的-2O1-15=0

因為ai>0,所以ai=5

所以數(shù)列｛加｝是以5為首項，2為公差的等差數(shù)列.

所以an=5+2(n-1)=2n+3

n

(2)解：由(1)可得bn=(2n+3)-3

23n

Tn=5x3+7x34-9x3+-+(2n+3)-3

234n+1

3Tn=5x3+7x3+9x3+???+(2n+3)-3

所以-2%=5x3+2x32+2x33+2x34+…+2x3"-(2n+3)?3n+1

=15+2x9。二;1)-(2n+3)-3n+1

=6-(2n+2)?3田

n+1

所以Tn=(n+1)-3-3

36.【答案】(1)由題意知數(shù)列也丸｝是首項由=1,公比q=2的等比數(shù)列，所以

廝=2-1?

因為b1—di=2>￡>2—a2=4，

所以數(shù)列｛原一即｝的公差d=2,

所以bn—un—(玩—即)+(7i—l)d=2+2(n—1)=2Tl,

所以勾=2九+2nT.

(2)Tn=+b2+b3+???+%

=(2+4+6+…+2九)+(1+2+4+…+2"-1)

_(2+2n)n1x(1-2n)

=2+1^2

=n(n+1)+2n—1.

37.【答案】(1)解：由已知，得房=這，且Q>0,h>0,c>0,所以b=疝，

因為^所以a+c32〃F=2b

(2)解：因為％=竽，y=竽，

nrriaic_2a,2c_2a(b+c)+2c(a+b)

加以土+y=由+萬元=—"(a+bXb+c)一

_2(ab+2ac+bc)_2(ab+2ac+bc)_

ab+Qc+/+bcab^2ac-\-bc

38?【答案】(1)解：由題意，設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,則

[5al+10d=4(2%+d)解彳=2

+(2M—l)d=2[%+(71—l)d]—1’〔d=1

/.數(shù)列｛。九｝的通項公式為an=2+n-l=n4-l.

11111

(2)解：由(1)知，*=2(而_1)-=2n(計1)=2華一市)?

故Tn=瓦+電+…+bn

11111111

=2(1-2)+2(2-3)+，"+2(n-^+T)

111111

=2(1-2+2-3+"，+H-^+T)

11

=2(1-^+1)

n

=2(n+l)?

39.【答案】(1)證明：由冊+i=烏多，且劭=2知，a>0

Uj2-r￡n

故有/―一2=4得，所以數(shù)列心｝是等差數(shù)列

an+lQ九乙

由于/=>=>所以表皂,即時號

(2)解：由“+1-b=即加得，=冊+1=生必，由累乘法得，bn=n(n+1)

則不等式2言<bn可化為2n<n(n+1),即嗎/>1

令Cn=WN*，則C”>1?

當(dāng)n=1時，Ci=1,不符合；

當(dāng)幾=2時，c2=|>1?符合；

當(dāng)n=3時，c3=|>1>符合；

當(dāng)兀=4時，c4=1>1?符合；

當(dāng)幾=5時，C5=1|vl,不符合；

而當(dāng)力>M*h5+1)(九+2)i+1)_(九+1)(2-九)0u

rnj^n>5,neN時，cn+1-cn----------------------環(huán)一^n+i<

故當(dāng)n>5,nEN*不符合；

綜上所述，nG{2,3,4}

40.【答案】(1)解：由2sn=^-2Sn_i+l知：2Sn_i=謚_1-2szi_2+1，(n>3)，

兩式相減得：2an=W-W.i-2%1T

即2(an+0nt)=(an-an_i)(an+an_i)，又?jǐn)?shù)列{a九}為單調(diào)遞增數(shù)列,即=1

**?CLn+Q〃-1>0，

Aan—an_i=2(n>3),

又當(dāng)九=2時，2(%+a2)=連-20i+1,即廄一2a2—3=0,解得與=3或

@2=一1(舍)，

符合an-an_i=2,：.{an}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，

an=1+(n—1)x2=2n-1

1111

(2)解：bn=(2n_i)(2n+i)=2~2n+I^，

..1/1,11,,11、_1/1、

??^n-2(T-3+3-5+'"+2n=T_2n+T>>-Z^T-Zn+T^，

又「Tn〉得，即-2n+1)>'T9,解得k>9,

又n€N+,所以n的最小值為10

41.【答案】⑴解：如果選擇條件①：令n=l,a1=|a1-3.所以為=6,

則由于5"=|即一3,當(dāng)nN2時，

S九_]=9Qn-1—3兩式相減得：CLn—方冊-1，則可—3，

數(shù)列｛%J是首項為6,公比為3的等比數(shù)列，

n

則數(shù)列｛冊｝的通項公式為即=6x3「T=2x3;

如果選擇條件②：

/11

■:@1=1，CLH0，貝由CLQ〃+l—^n^n+19IaZ—1'

nnun+l"幾

所以號｝是首項/=1,公差為1的等差數(shù)列，

1

所以力=14-(n—1)x1=n,

所以即=

m

(2)解：對于條件①，假設(shè)存在正整數(shù)m,使得出n+am+1=a^kGN*),則2x3+

2x3m+1=2x3fc,

所以8x3m=3上,此等式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，

所以不存在正整數(shù)m滿足題意；

對于條件②，

假設(shè)存在正整數(shù)m,使得即,+am+1=ak(keN*),

則上+=77=上化簡得病+(1-2k)m—k=0,

TilTillxK

解得_2k-l+Jl+4k2,

m-2

因為2k<+4肥<2k+l，所以2k-*<2k,

m無正整數(shù)解，故不存在這樣的m滿足題意.

綜上，對于條件①，通項公式為an=2x3”,不存在正整數(shù)m滿足題意；

對于條件②，通項公式為即=，不存在正整數(shù)m滿足題意.

42.【答案】(1)解：由V3a2=4S+V3(c2-b2)

得：V3(a24-62—c2)=4s

2V3afecosC=4x2absinC即：75cosc=sinC

VcosCH0,/.tanC=V3

又???Ce(0,yr)

(2)解：vAABC的外接圓半徑為1

就.不=2,即c=2sinC=V3

v..a_b_c

sin?lsinBsinC'

:.a=2sinA,b=2sinB

.bc___「x2sinB/3sinBV5sin(，一4)

aa2sin4—sin4-sinA

同名cosA+msiiVl)_3V3

-sin-2tan42

又因為AABC是銳角三角形

f

o<<7rjo<AV7l_

_2

2即

)2"

o(

<<7r-o<-AVTr-

2x32

njAJ

"6<A<2

“..taAn、"門*，口0一<^14<—V3，八°</麗3產(chǎn)丁3/3’

-^<—<2V3

2a

43.【答案】(1)解：因為4c4，4CB,所以4CAUB,從而與｛0｝不

是無窮互補數(shù)列

(2)解：因為a4=16，所以hi6=16+4=20.數(shù)列｛?。那?6項的和為(1+

2+…+20)-(2+22+23+24)=

—1+X—20X20-(25-2)=180

乙

(3)設(shè)｛冊｝的公差為d,d€N*,貝ijQi6=%+15d=36.

由的=36—15d31,得d=1或2.

若d=1,則即=21,冊=九+20,與“｛an｝與｛bn｝是無窮互補數(shù)列”矛盾；

若d=2,則%=6,an=2n+4,bn=鼠?藍(lán)>5.

n,n

綜上，an=2n+4,=Lc~^c.

nnk2n-5,n>5

44.【答案】(1)解：當(dāng)n=l時，ai=Si=-3,

22

當(dāng)n^2時，an=Sn-Sn-i=n-4n-(n-1)+4(n-1),

即an=2n-5,

n=l也適合，所以an=2n-5.

(2)解：法一:

假設(shè)存在實數(shù)由使數(shù)列｛印?也十四｝是等比數(shù)列，且公比為q.

n

因為對任意正整數(shù)n>2,fcn+1+bn=(1)，因=3；需=，

可令n=2,3,得b2=聶，b3=-?

301UO

因為｛3呱+酎是等比數(shù)列，所以8+竽,=(〃―今.—苧)，解得g=-

nnn

3bn-jl-3bn-^—36+1

從而n=-3(n>2)

3f-T3f_T3f_iT

所以存在實數(shù)--公比為q=-3.

nn

法二：因為對任意正整數(shù)n>2,bn+1+bn=(1).所以3bn=-3-3”-"加1+1，

設(shè)3%#|1=-3(3nIbn-l+H),則-%l=l,

13nhn-1

所以存在〃=一J，且公比q=F~~S=一3?

43%一1-4

(3)解：因為a2=-1,a3=l,所以瓦=3算j=一/，3bl—,=—1，

所以3%=-1.(-3廣1,即%=(-l)n(④)，

于是bi+b2+…+bn=(-1)-1+^(1)°+(-1)2-1++…+(T)n,+―,

當(dāng)是奇數(shù)時：b]+b2+.?.+bn=,關(guān)于遞增,

得一/Wbi+b2+...+bnV—蕓.

當(dāng)是偶數(shù)時：bl+b2+...+bn=，關(guān)于遞增，

得g<bl+b2+...+bn<.

11

綜上，--7Wbi+b2+...+bnVG.

4o

45.【答案】解：選擇條件①，am+an=am+n,

令？n=1,可得a1+即=an+i，即an+1一0n=1,

???｛?n｝是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，Aan=1+(n-1)x1=n；

選擇條件②，冊+i-即=即一斯-1，

可得an+1+an_]=2an,則｛冊｝是首項為1,公差為a2-ar=2-1=1的等

差數(shù)列，

.%an=14-(n-1)x1=n；

選擇條件③，Sn=裳3(nCN*)，

71=1時，Qi=Si=l,

2

時，an-Sn—Sb】、學(xué)9，滿足-=1，

：?an=n；

所以任選一個條件都可得到an=n(_nGN*),

n

bn=2-n,

23n

Tn=2xl+2x2+2x34-……+2xn，

27^=22x1+23x2+24x3+……+2nx(n-1)+2n+1xn,

-T=2+22+23+……+2n-2"+ixn=2(：一譽_n+i,

n1—22xn

n+1

：.Tn=(n-1)-24-2.

46.【答案】(1)證明：由題意知，當(dāng)xe(0,2)時，x</(x)<|(x+l)2成立，

令x=1,則有1</(x)<1,

所以/(I)=1；

(2)解：由(1)知，/(I)=a+b+c=l,

又/(-I)=a-b+c=0,所以a+c=4，b=，

由/(x)>x,即ax2—^x+^—a>0在R上恒成立，

所以a>0,且/=1-4a(1-a)<0,即(4a-l)2<0，所以a=/，

所以c=/，

111

2

=-X+-X+-

所以f(x)424

(3)解：在(2)的條件下，/(%)-mx>可化為1x2+-mx>0

即對任意的實數(shù)%6[0,4-oo),%2+%—mx>0恒成立，

當(dāng)x=0時，^%2+^x-mx=0,符合題意，此時meR；

當(dāng)x>0時，i%24-—mx>0即對任意的實數(shù)xG[0,+oo),-%4--m>0,

11_-1

即m在％€[0，+8)上恒成立,所以m42,

綜上所述，m6(—oo,i].

47.【答案】(1)解：ai=l,a2=2,a3=3,bi=l,b2=3,b3=5,

當(dāng)n=l時,ci=max{bi-ai}=max{0}=0,

當(dāng)n=2時，C2=max{bi-2ai,bz-2a2)=max{-1,-1}=-1,

當(dāng)n=3時，C3=max{bi-3ai,b2-3a2,b3-3a3}=max{-2,-3,-4}=-2,

下面證明：對Vn￡N*,且叱2,都有Cn二bi-nai,

當(dāng)n￡N*,且2<k<n時，

則(bk-nak)-(bi-nai),

=[(2k-1)-nk]-1+n,

=(2k-2)-n(k-1),

=(k-1)(2-n),由k-l>0,且2-n0O,

則(bk-nak)-(bi-nai)<0,則bi-naiNbk-nak,

因此，對Vn￡N*,n>2,cn=bi-nai=l-n,

Cn+I-Cn=一1，

，C2-Cl=-1,

.*.Cn+i-Cn=-1對Vn￡N*均成立，

.??數(shù)列{.}是等差數(shù)列；

(2)證明：設(shè)數(shù)列{an}和{bn}的公差分別為dI,d2,下面考慮的Cn取值，

由bi-ain,b2-a2n,bn-ann,

考慮其中任意bi-am(i￡N*,_ftl<i<n),

則bi-ain=[bi+(i-1)di]-[ai+(i-1)d2]xn,

=(bi-am)+(i-1)(d2-dixn),

下面分5=0,di>0,5VO三種情況進(jìn)行討論，

①若di=O,則bi-&n=(bi-am)+(i-1)ch,

當(dāng)若d2<0,