2023七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第3章一次方程與方程組3.5三元一次方程組及其解法教案（新版）滬科版主備人備課成員教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是三元一次方程組及其解法。學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，已經(jīng)掌握了二元一次方程組的解法，能夠解簡(jiǎn)單的線性方程。本節(jié)課的內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)有密切聯(lián)系，學(xué)生需要將已學(xué)的二元一次方程組的知識(shí)拓展到三元一次方程組。

具體的教學(xué)內(nèi)容包括：

1.引入三元一次方程組的概念，讓學(xué)生了解三元一次方程組的構(gòu)成和特點(diǎn)。

2.講解三元一次方程組的解法，包括代入法、加減法和消元法等，并讓學(xué)生通過(guò)練習(xí)題來(lái)鞏固解法。

3.講解三元一次方程組的應(yīng)用，讓學(xué)生能夠?qū)⒗碚撝R(shí)運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中，解決實(shí)際問(wèn)題。

4.通過(guò)例題和練習(xí)題，讓學(xué)生掌握解三元一次方程組的方法，并能夠靈活運(yùn)用。

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)聯(lián)系緊密，學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課的過(guò)程中，需要將已學(xué)的二元一次方程組的知識(shí)拓展到三元一次方程組，通過(guò)學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容，學(xué)生能夠掌握三元一次方程組的解法，并能夠應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)主要體現(xiàn)在邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和問(wèn)題解決三個(gè)方面。

首先，通過(guò)學(xué)習(xí)三元一次方程組及其解法，學(xué)生能夠邏輯推理出方程組的解法步驟，理解并能夠運(yùn)用代入法、加減法和消元法等解法技巧。這有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和邏輯思考的能力。

其次，學(xué)生能夠通過(guò)實(shí)際問(wèn)題，建立三元一次方程組模型，并將問(wèn)題解決。這需要學(xué)生能夠?qū)F(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用所學(xué)的方程組知識(shí)進(jìn)行解答。這樣的過(guò)程能夠培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中的能力，提高他們的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

最后，學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，需要運(yùn)用問(wèn)題解決策略，如分析問(wèn)題、制定解題計(jì)劃、選擇合適的解法等。通過(guò)這個(gè)過(guò)程，學(xué)生能夠提高自己的問(wèn)題解決能力，同時(shí)也培養(yǎng)了他們的創(chuàng)新思維和團(tuán)隊(duì)合作精神。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：

（1）三元一次方程組的概念：本節(jié)課的核心內(nèi)容是讓學(xué)生理解并掌握三元一次方程組的概念，能夠識(shí)別并寫出三元一次方程組。

舉例：如方程組：\(\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{cases}\)，其中\(zhòng)(a_1,b_1,c_1,...,a_3,b_3,c_3\)為系數(shù)，\(d_1,d_2,d_3\)為常數(shù)。

（2）三元一次方程組的解法：本節(jié)課的重點(diǎn)是讓學(xué)生掌握三元一次方程組的解法，包括代入法、加減法和消元法等，并能夠靈活運(yùn)用。

舉例：如使用代入法解三元一次方程組，先從方程組中選出一個(gè)變量，將其表示為其他變量的函數(shù)，然后代入到其他方程中，從而得到一個(gè)二元一次方程組，進(jìn)而求解。

（3）三元一次方程組的應(yīng)用：讓學(xué)生能夠?qū)⒗碚撝R(shí)運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中，解決實(shí)際問(wèn)題。

舉例：如給出一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，要求學(xué)生建立三元一次方程組，并求解該方程組，得出問(wèn)題的解答。

2.教學(xué)難點(diǎn)：

（1）三元一次方程組的解法：學(xué)生已經(jīng)習(xí)慣了二元一次方程組的解法，對(duì)于三元一次方程組的解法可能會(huì)感到困惑，不知道如何運(yùn)用代入法、加減法和消元法等解法技巧。

舉例：學(xué)生在解二元一次方程組時(shí)，只需要運(yùn)用消元法或代入法即可求解，但在解三元一次方程組時(shí)，需要靈活運(yùn)用這兩種方法，可能會(huì)導(dǎo)致學(xué)生感到困惑。

（2）三元一次方程組的應(yīng)用：將理論知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中，解決實(shí)際問(wèn)題。

舉例：學(xué)生在理論上可能已經(jīng)掌握了三元一次方程組的解法，但在實(shí)際問(wèn)題中，如何正確地建立方程組，并選擇合適的解法進(jìn)行求解，可能會(huì)成為學(xué)生的難點(diǎn)。

（3）三元一次方程組的解的存在性及唯一性：學(xué)生可能對(duì)于三元一次方程組是否有解，以及解是否唯一感到困惑。

舉例：學(xué)生可能會(huì)認(rèn)為，既然方程組中有三個(gè)未知數(shù)，那么一定有解，但實(shí)際上，并不是所有的三元一次方程組都有解，解也不一定唯一。

四、教學(xué)策略

針對(duì)本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，教師可以采取以下教學(xué)策略：

1.通過(guò)具體例題，讓學(xué)生掌握三元一次方程組的概念，并能夠識(shí)別和寫出三元一次方程組。

2.通過(guò)分步驟的講解和練習(xí)，讓學(xué)生掌握三元一次方程組的解法，并能夠靈活運(yùn)用。

3.通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的解決，讓學(xué)生將理論知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中，提高他們的數(shù)學(xué)建模能力。

4.通過(guò)講解和練習(xí)，讓學(xué)生理解三元一次方程組的解的存在性及唯一性，提高他們的邏輯推理能力。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)方法與手段為了提高本節(jié)課的教學(xué)效果，教師可以采取以下教學(xué)方法與手段：

1.講授法：在課堂上，教師可以運(yùn)用講授法，清晰地講解三元一次方程組的概念、解法和實(shí)際應(yīng)用。通過(guò)講解實(shí)例，讓學(xué)生理解和掌握三元一次方程組及其解法。

2.案例分析法：教師可以結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生運(yùn)用三元一次方程組的知識(shí)進(jìn)行分析和解答。通過(guò)案例分析，讓學(xué)生學(xué)會(huì)將理論知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中，提高解決問(wèn)題的能力。

3.小組討論法：教師可以組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，讓學(xué)生在討論中分享自己的思路和解題方法，互相學(xué)習(xí)和借鑒。通過(guò)小組討論，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神和溝通能力。

4.教學(xué)軟件輔助：教師可以利用教學(xué)軟件，如多媒體課件、在線教學(xué)平臺(tái)等，展示三元一次方程組的解法過(guò)程，讓學(xué)生更直觀地理解和掌握解題方法。同時(shí)，教學(xué)軟件可以幫助教師及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，進(jìn)行有針對(duì)性的教學(xué)輔導(dǎo)。

5.練習(xí)與反饋：教師應(yīng)設(shè)計(jì)適量的練習(xí)題，讓學(xué)生在課后進(jìn)行鞏固練習(xí)。通過(guò)練習(xí)，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)三元一次方程組的掌握程度，并及時(shí)給予反饋，幫助學(xué)生解決問(wèn)題。

6.創(chuàng)新教學(xué)法：教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新性思考，如設(shè)計(jì)一道關(guān)于三元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，讓學(xué)生獨(dú)立解決。這樣既能鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，又能提高他們解決實(shí)際問(wèn)題的能力。教學(xué)實(shí)施過(guò)程1.課前自主探索

教師活動(dòng)：

-發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：教師通過(guò)在線平臺(tái)或班級(jí)微信群，發(fā)布預(yù)習(xí)資料，如PPT、視頻、文檔等，明確預(yù)習(xí)目標(biāo)和要求。

-設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問(wèn)題：圍繞三元一次方程組的概念、解法和應(yīng)用，設(shè)計(jì)一系列具有啟發(fā)性和探究性的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生自主思考。

-監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：利用平臺(tái)功能或?qū)W生反饋，監(jiān)控學(xué)生的預(yù)習(xí)進(jìn)度，確保預(yù)習(xí)效果。

學(xué)生活動(dòng)：

-自主閱讀預(yù)習(xí)資料：學(xué)生按照預(yù)習(xí)要求，自主閱讀預(yù)習(xí)資料，理解三元一次方程組的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。

-思考預(yù)習(xí)問(wèn)題：學(xué)生針對(duì)預(yù)習(xí)問(wèn)題，進(jìn)行獨(dú)立思考，記錄自己的理解和疑問(wèn)。

-提交預(yù)習(xí)成果：學(xué)生將預(yù)習(xí)成果（如筆記、思維導(dǎo)圖、問(wèn)題等）提交至平臺(tái)或老師處。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：教師引導(dǎo)學(xué)生自主思考，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力。

-信息技術(shù)手段：利用在線平臺(tái)、微信群等，實(shí)現(xiàn)預(yù)習(xí)資源的共享和監(jiān)控。

作用與目的：

-幫助學(xué)生提前了解本節(jié)課的主題，為課堂學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

-培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和獨(dú)立思考能力。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動(dòng)：

-導(dǎo)入新課：教師通過(guò)講述一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，引出三元一次方程組的概念，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

-講解知識(shí)點(diǎn)：教師詳細(xì)講解三元一次方程組的概念、解法和應(yīng)用，結(jié)合實(shí)例幫助學(xué)生理解。

-組織課堂活動(dòng)：教師設(shè)計(jì)小組討論、角色扮演、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握解三元一次方程組的技能。

-解答疑問(wèn)：教師針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的疑問(wèn)，進(jìn)行及時(shí)解答和指導(dǎo)。

學(xué)生活動(dòng)：

-聽(tīng)講并思考：學(xué)生認(rèn)真聽(tīng)講，積極思考老師提出的問(wèn)題。

-參與課堂活動(dòng)：學(xué)生積極參與小組討論、角色扮演、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，體驗(yàn)解三元一次方程組的過(guò)程。

-提問(wèn)與討論：學(xué)生針對(duì)不懂的問(wèn)題或新的想法，勇敢提問(wèn)并參與討論。

教學(xué)方法/手段/資源：

-講授法：教師通過(guò)詳細(xì)講解，幫助學(xué)生理解三元一次方程組的概念和解法。

-實(shí)踐活動(dòng)法：教師設(shè)計(jì)實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握解三元一次方程組的技能。

-合作學(xué)習(xí)法：通過(guò)小組討論等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力。

作用與目的：

-幫助學(xué)生深入理解三元一次方程組的概念和解法，掌握解題技能。

-通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和解決問(wèn)題的能力。

-通過(guò)合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動(dòng)：

-布置作業(yè)：教師根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容，布置適量的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

-提供拓展資源：教師提供與三元一次方程組相關(guān)的拓展資源，如書籍、網(wǎng)站、視頻等，供學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

-反饋?zhàn)鳂I(yè)情況：教師及時(shí)批改作業(yè)，給予學(xué)生反饋和指導(dǎo)。

學(xué)生活動(dòng)：

-完成作業(yè)：學(xué)生認(rèn)真完成老師布置的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

-拓展學(xué)習(xí)：學(xué)生利用老師提供的拓展資源，進(jìn)行進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和思考。

-反思總結(jié)：學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程和成果進(jìn)行反思和總結(jié)，提出改進(jìn)建議。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：教師引導(dǎo)學(xué)生自主完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)。

-反思總結(jié)法：教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程和成果進(jìn)行反思和總結(jié)。

作用與目的：

-鞏固學(xué)生在課堂上學(xué)到的三元一次方程組的知識(shí)點(diǎn)和技能。

-通過(guò)拓展學(xué)習(xí)，拓寬學(xué)生的知識(shí)視野和思維方式。

-通過(guò)反思總結(jié)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的不足并提出改進(jìn)建議，促進(jìn)自我提升。學(xué)生學(xué)習(xí)效果1.知識(shí)掌握：學(xué)生能夠準(zhǔn)確理解和掌握三元一次方程組的概念、解法和應(yīng)用。通過(guò)課前自主探索和課中強(qiáng)化技能，學(xué)生對(duì)三元一次方程組有了深入的了解，能夠熟練運(yùn)用解法技巧解決實(shí)際問(wèn)題。

2.思維能力：學(xué)生能夠運(yùn)用邏輯推理和數(shù)學(xué)建模，將理論知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中。通過(guò)案例分析法和小組討論法，學(xué)生培養(yǎng)了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，提高了思維的深度和廣度。

3.問(wèn)題解決：學(xué)生能夠獨(dú)立解決三元一次方程組的實(shí)際問(wèn)題，并能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決更復(fù)雜的問(wèn)題。通過(guò)課后拓展應(yīng)用，學(xué)生將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中，提高了解決問(wèn)題的能力。

4.合作能力：學(xué)生能夠在小組討論中積極參與，與同伴合作解決問(wèn)題。通過(guò)小組討論法和實(shí)踐活動(dòng)法，學(xué)生培養(yǎng)了團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力，提高了合作解決問(wèn)題的能力。

5.自主學(xué)習(xí)能力：學(xué)生能夠自主閱讀預(yù)習(xí)資料，進(jìn)行獨(dú)立思考和問(wèn)題解決。通過(guò)自主學(xué)習(xí)法和反思總結(jié)法，學(xué)生培養(yǎng)了自主學(xué)習(xí)能力和自我反思能力，提高了學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性。

6.創(chuàng)新思維：學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行創(chuàng)新性思考，解決實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)創(chuàng)新教學(xué)法，學(xué)生培養(yǎng)了創(chuàng)新思維和解決問(wèn)題的能力，提高了解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

7.學(xué)習(xí)興趣：學(xué)生對(duì)三元一次方程組的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了濃厚的興趣，能夠積極參與課堂活動(dòng)。通過(guò)導(dǎo)入新課和實(shí)踐活動(dòng)法，學(xué)生激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣，提高了學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。重點(diǎn)題型整理1.解三元一次方程組

例題1：解方程組

\[

\begin{cases}2x+3y-z=6\\4x+5y+2z=11\\x-y+2z=4\end{cases}

\]

答案：通過(guò)加減法，我們先將方程組中的方程進(jìn)行相加，得到一個(gè)新方程：

\[

9x+10y+10z=21

\]

然后，我們將新方程中的一個(gè)變量（例如，x）消去，得到另一個(gè)新方程。通過(guò)代入法，我們解出新方程的變量值，然后回代求出其他變量的值。

例題2：解方程組

\[

\begin{cases}3x+4y-2z=8\\2x-3y+5z=12\\5x+2y-3z=16\end{cases}

\]

答案：通過(guò)消元法，我們先將方程組中的方程進(jìn)行相加，得到一個(gè)新方程：

\[

10x+3y+10z=36

\]

然后，我們將新方程中的一個(gè)變量（例如，x）消去，得到另一個(gè)新方程。通過(guò)代入法，我們解出新方程的變量值，然后回代求出其他變量的值。

2.三元一次方程組的應(yīng)用

例題3：某工廠生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品，生產(chǎn)A產(chǎn)品需要甲材料10千克，乙材料20千克，丙材料30千克；生產(chǎn)B產(chǎn)品需要甲材料15千克，乙材料30千克，丙材料10千克；生產(chǎn)C產(chǎn)品需要甲材料25千克，乙材料10千克，丙材料15千克?，F(xiàn)有甲材料100千克，乙材料200千克，丙材料200千克。問(wèn)工廠能生產(chǎn)多少件A、B、C產(chǎn)品？

答案：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，C產(chǎn)品z件。根據(jù)題目條件，我們可以建立以下方程組：

\[

\begin{cases}10x+15y+25z\leq100\\20x+30y+10z\leq200\\30x+10y+15z\leq200\end{cases}

\]

例題4：某商場(chǎng)進(jìn)行促銷活動(dòng)，購(gòu)買A產(chǎn)品可以獲得100元優(yōu)惠券，購(gòu)買B產(chǎn)品可以獲得50元優(yōu)惠券，購(gòu)買C產(chǎn)品可以獲得20元優(yōu)惠券。小明有300元預(yù)算，問(wèn)小明最多可以獲得多少元優(yōu)惠券？

答案：設(shè)小明購(gòu)買A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，C產(chǎn)品z件。根據(jù)題目條件，我們可以建立以下方程組：

\[

\begin{cases}100x+50y+20z\leq300\\x,y,z\geq0\end{cases}

\]

例題5：某公司有三種員工：A員工、B員工和C員工。A員工每天工作8小時(shí)，每小時(shí)工資為50元；B員工每天工作6小時(shí)，每小時(shí)工資為60元；C員工每天工作4小時(shí)，每小時(shí)工資為70元。公司每天支付的總工資不超過(guò)1200元，問(wèn)公司最多可以支付多少元工資？

答案：設(shè)公司聘請(qǐng)A員工x人，B員工y人，C員工z人。根據(jù)題目條件，我們可以建立以下方程組：

\[

\begin{cases}50x\cdot8+60y\cdot6+70z\cdot4\leq1200\\x,y,z\geq0\end{cases}

\]板書設(shè)計(jì)在板書中，教師應(yīng)將三元一次方程組的概念、解法和應(yīng)用作為重點(diǎn)內(nèi)容，用簡(jiǎn)潔明了的語(yǔ)言進(jìn)行闡述。例如