第九節(jié)多元函數(shù)的極值工科數(shù)學(xué)分析北京理工大學(xué)第二學(xué)期主要內(nèi)容多元函數(shù)的極值及其求法最小二乘法多元函數(shù)的極值及其求法問題的提出多元函數(shù)的極值和最值條件極值拉格朗日乘數(shù)法小結(jié)實(shí)例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1.2元，店主估計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣元，外地牌子的每瓶賣元，則每天可賣出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁問：店主每天以什么價(jià)格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益為求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值.一、問題的提出二、多元函數(shù)的極值和最值播放二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值1、二元函數(shù)極值的定義(1)(2)(3)例1例２例３

2、多元函數(shù)取得極值的條件證

仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).(即定義梯度為零向量的點(diǎn)為多元函數(shù)的駐點(diǎn))駐點(diǎn)極值點(diǎn)問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？注意：解求最值的一般方法：

將函數(shù)在D

內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D

的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.3、多元函數(shù)的最值解如圖,解由無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.實(shí)例：小王有200元錢，他決定用來購買兩種急需物品：多功能膠水和AA電池，設(shè)他購買瓶膠水，盒AA電池達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為．設(shè)每瓶膠水8元，每盒電池10元，問他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果．問題的實(shí)質(zhì)：求在條件下的極值點(diǎn)．三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法條件極值：對自變量有附加條件的極值．目標(biāo)函數(shù)約束條件Lagrange函數(shù)，為Lagrange乘數(shù)先構(gòu)造函數(shù)其中為某一常數(shù)，可由解出，其中就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo).拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)，帶有多個(gè)附加條件的情況：

下的極值.要找函數(shù)在條件，解則解可得即多元函數(shù)的極值拉格朗日乘數(shù)法（取得極值的必要條件、充分條件）多元函數(shù)的最值四、小結(jié)主要內(nèi)容多元函數(shù)的極值及其求法最小二乘法最小二乘法經(jīng)驗(yàn)公式最小二乘法小結(jié)在工程問題中，常常需要根據(jù)兩個(gè)變量的幾組實(shí)驗(yàn)數(shù)值——實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，來找出這兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系的近似表達(dá)式．通常把這樣得到的函數(shù)的近似表達(dá)式叫做經(jīng)驗(yàn)公式.一、經(jīng)驗(yàn)公式問題：如何得到經(jīng)驗(yàn)公式，常用的方法是什么？二、最小二乘法例1為了測定刀具的磨損速度，我們做這樣的實(shí)驗(yàn)：經(jīng)過一定時(shí)間(如每隔一小時(shí))，測量一次刀具的厚度,得到一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：如圖，在坐標(biāo)紙上畫出這些點(diǎn)，因?yàn)檫@些點(diǎn)本來不在一條直線上，我們只能要求選取這樣的，使得在處的函數(shù)值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相差都很?。饩褪且蛊疃己苄?因此可以考慮選取常數(shù)，使得定義

這種根據(jù)偏差的平方和為最小的條件來選擇常數(shù)的方法叫做最小二乘法．這種確定常數(shù)的方法是通常所采用的.最小來保證每個(gè)偏差的絕對值都很?。芽闯勺宰兞亢偷囊粋€(gè)二元函數(shù)，那么問題就可歸結(jié)為求函數(shù)在哪些點(diǎn)處取得最小值.即將括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)進(jìn)行整理合并，并把未知數(shù)和分離出來，便得計(jì)算得代入方程組（1）得解此方程組，得到這樣便得到所求經(jīng)驗(yàn)公式為由（2）式算出的函數(shù)值與實(shí)測的有一定的偏差.現(xiàn)列表比較如下：偏差的平方和，

它的平方根．我們把稱為均方誤差，它的大小在一定程度上反映了用經(jīng)驗(yàn)公式來近似表達(dá)原來函數(shù)關(guān)系的近似程度的好壞．例2

在研究單分子化學(xué)反應(yīng)速度時(shí)，得到下列數(shù)據(jù)：其中表示從實(shí)驗(yàn)開始算起的時(shí)間，表示時(shí)刻反應(yīng)物的量．試定出經(jīng)驗(yàn)公式由化學(xué)反應(yīng)速度的理論知道，應(yīng)是指數(shù)函數(shù)：其中和是待定常數(shù).解12345678369121518212457.641.931.022.716.612.28.96.5由于所以仿照例1中的討論,通過求方程