PAGEPAGE1微專題2不等式恒成立及有解問題專題1與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題1.假如不等式2x2+2mx+m4x2+6答案：(1,3)解析：∵4x2+6x+3=2x+322+34>0,∴原不等式?2x2+2mx+m<4x2+6x+3?2x2+(6-2m)x+(3-m)>0,x∈R恒成立?Δ=(6-2m)2-8(3-m)<0,解得2.(2024·泰山外國語學(xué)校高二月考)若關(guān)于x的不等式x2-ax-a>0的解集為(-∞,+∞)。求實(shí)數(shù)a的取值范圍。答案：解:關(guān)于x的不等式x2-ax-a>0的解集為(-∞,+∞),則Δ=a2-4(-a)<0,解得-4<a<0。3.(2024·北京東城區(qū)高二期中)若對隨意的x∈R,都有ax2+ax+1>0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。答案：解:若對隨意的x∈R,都有ax2+ax+1>0恒成立,則必有a>0,Δ=a2-44.(2024·沈陽二中高二月考)為使關(guān)于x的不等式(2-a)x2-2(a-2)x+4>0對一切實(shí)數(shù)x都成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。答案：解:當(dāng)2-a=0時,不等式化為4>0,恒成立,所以a=2;當(dāng)2-a≠0時,關(guān)于x的不等式(2-a)x2-2(a-2)x+4>0對一切實(shí)數(shù)x都成立,則2--2<a<2。綜上知,a的取值范圍是(-2,2]。5.(2024·山東博興一中高二調(diào)考)完成下列題目。(1)若對于x∈R,mx2-mx-1<0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;答案：要使mx2-mx-1<0恒成立,若m=0,明顯-1<0,滿意題意;若m≠0,則m<0,Δ=m2+4m(2)若對于x∈[1,3],mx2-mx-1<5-m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。答案：當(dāng)x∈[1,3]時,mx2-mx-1<5-m恒成立,即當(dāng)x∈[1,3]時,m(x2-x+1)-6<0恒成立,∵x2-x+1=x-12又m(x2-x+1)-6<0,∴m<6x∵函數(shù)y=6x-122∴只需m<67綜上所述,m的取值范圍是-∞,6專題2均值不等式有關(guān)的恒成立問題6.(2024·北京工大附中高二月考)已知兩個正實(shí)數(shù)x,y滿意2x+1y=1,且恒有x+2y>m,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是答案：(-∞,8)解析：∵x>0,y>0,2x+1y=1,∴x+2y=(x+2y)2x+1y=2+2+4yx+xy≥4+24yx·xy=8,(當(dāng)且僅當(dāng)x=4,y=2時,取等號7.(2024·大連其次十四中學(xué)高二月考)已知a,b∈R*,a+b=1,若4a+1b≥k恒成立,求答案：解:已知a,b∈R*,且a+b=1,則4a+1b=4a+1b(a+b)=5+4ba+ab≥5+24=9,當(dāng)且僅當(dāng)4ba=ab時等號成立,又4a+8.(2024·德州第一中學(xué)高二月考)若實(shí)數(shù)x,y滿意xy=1,則2x2+y2≥a恒成立,求a的最大值。答案：解:∵xy=1,∴2x2+y2≥22x2y2=22(當(dāng)且僅當(dāng)2x=y時,取等號),∴a≤22,故a9.已知不等式(x+y)1x+ay≥9對隨意正實(shí)數(shù)x,y恒成立答案：解:右邊是常數(shù),只需滿意左邊的最小值≥9即可,(x+y)·1x+ay=1+a+yx+axy≥1+a+2∴(a+1)2≥9?a≥2?a≥4,故a的最小值為4。10.(2024·丹東四中高二段考)已知x>0,y>0,且2x+1y=1,若x+2y>m2+2m恒成立,求實(shí)數(shù)答案：解:∵x>0,y>0,且2x+1∴x+2y=(x+2y)2x+1y=4+4yx+當(dāng)且僅當(dāng)4yx=xy,即x=2又2x+1y=1,∴x=4,∴(x+2y)min=8,要使x+2y>m2+2m恒成立,只需(x+2y)min>m2+2m,即8>m2+2m,解得-4<m<2,故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-4,2)。專題3不等式存在解問題11.(2024·北京朝陽區(qū)模擬)關(guān)于x的不等式x2+4x+3<a有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。答案：解:不等式等價于x2+4x+3-a<0有解,則只需Δ=42-4(3-a)>0即可,解得a>-1。故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-1,+∞)。12.(2024·山東濰坊一中高二期中)若兩個正實(shí)數(shù)x,y滿意1x+4y=1,且存在這樣的x,y使不等式x+y4<m2+3m有解,答案：解:∵不等式x+y4<m2+3m有解∴x+y4min<m2+3m。∵x>0,y>0,且∴x+y4=x+y41x+4y=4xy+y4x+2≥24xy·y4x+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)4x即(m-1)(m+4)>0,解得m<-4或m>1,∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,-4)∪(1,+∞)。13.(2024·遼寧沈陽一中高二月考)若關(guān)于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。答案：解:關(guān)于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集,則x2-ax-a+3≤0在(-∞,+∞)上有解,∴Δ=a2-4(-a+3)≥0,解得a≤-6或a≥2。14.(2024·山東棲霞二中高二周練)存在x滿意不等式kx2-6kx+k+8<0,求實(shí)數(shù)k的取值范圍。答案：解:(1)當(dāng)k=0時,原不等式化為8<0,明顯不符合題意。(2)當(dāng)k≠0時,要使一元二次不等式有解,則必需滿意:k<0或k>0,Δ>0,即k<0或k綜合(1)(2)得k的取值范圍為k<0或k>1。專題4不等式的證明15.(2024·遼寧育才中學(xué)高二月考)設(shè)a,b均為正實(shí)數(shù),求證:1a2+1b2+ab答案：證明:由于a,b均為正實(shí)數(shù),所以1a2+1b2≥2當(dāng)且僅當(dāng)1a2=1b2,即a又因?yàn)?ab+ab≥22ab·當(dāng)且僅當(dāng)2ab=ab時等號成立所以1a2+1b2+ab≥2ab+當(dāng)且僅當(dāng)1a2=1b2,2ab16.(2024·山東定陶一中高二月考)已知a>0,b>0,a+b=1,求證:(1)1a+1b+1答案：1a+1b+1ab∵a+b=1,a>0,b>0,∴1a+1b=a+ba+a+∴1a+1b+1ab≥(2)1+1a1+答案：方法一:∵a>0,b>0,a+b=1,∴1+1a=1+a+ba=2+ba,同理∴1+1a1+1b=2+∴1+1a1+1方法二:1+1a1+1b=1+1由(1)知,1a+1b+1故1+1a1+1b=1+1a+17.(2024·東城匯文中學(xué)高二月考)已知a>0,b>0,a+b=1,求證:12a+1+4答案：證明:方法一:因?yàn)閍>0,b>0,a+b=1,所以12a+1+42b+1[(2