人教版2019高一數(shù)學(xué)（選修一）第二章直線和圓的方程2.5.2

直線的點(diǎn)斜式方程目錄/CONTENTS新知探究情景導(dǎo)入學(xué)習(xí)目標(biāo)課堂小結(jié)分層練習(xí)錯(cuò)因分析學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能根據(jù)給定圓的方程，用代數(shù)法判斷圓與圓的位置關(guān)系（重難點(diǎn)）2.能根據(jù)給定圓的方程，用幾何法判斷圓與圓的位置關(guān)系（重點(diǎn)）3.兩圓相交與相切問題（易錯(cuò)點(diǎn)）情景導(dǎo)入 “打水漂”游戲別名輕功水上漂、七點(diǎn)漂、漂瓦.人們用扁形瓦片或石片,在手上呈水平放置后,用力飛出,石片擦水面飛行,石片碰水面后彈起再飛,石片不斷在水面上向前彈跳,直至沉水.

在這一過程中,石片與水面接觸形成了一個(gè)個(gè)逐漸擴(kuò)大的圓,這些圓在變化的過程中位置關(guān)系是怎樣的?1.圓與圓的位置關(guān)系新知探究我們知道，兩個(gè)圓之間存在以下三種位置關(guān)系：（1）兩圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）兩圓相切，包括外切與內(nèi)切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）兩圓相離，包括外離與內(nèi)含，沒有公共點(diǎn).類比運(yùn)用直線和圓的方程，研究直線與圓的位置關(guān)系的方法，如何利用圓的方程，判斷它們之間的位置關(guān)系？O1O2兩圓相交O1O2O1O2兩圓相切O1O2O1O2兩圓相離內(nèi)切外切外離內(nèi)含兩圓無公共點(diǎn)兩圓有一個(gè)公共點(diǎn)兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)問題2類比直線與圓的位置關(guān)系幾何法：比較d與r之間的大小關(guān)系，你能歸納圓與圓的位置關(guān)系幾何法的比較方式嗎？O1O2兩圓相交O1O2O1O2兩圓相切O1O2O1O2兩圓相離外離

內(nèi)含

外切

內(nèi)切

概念歸納設(shè)圓C1的半徑為r1，圓C2的半徑為r2，圓心距|C1C2|=d，則圓與圓位置關(guān)系的判定(1)圓和圓外離(2)圓和圓外切(3)圓和圓相交(4)圓和圓內(nèi)切(5)圓和圓內(nèi)含

課本例題解法一:把圓C1與圓C2的方程分別化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得∴圓C1與圓C2相交.yxABC2C1

課本例題解法二:將圓C1與圓C2的方程聯(lián)立，得到方程組①-②，得聯(lián)立①③，消去y，可得方程④的根的判別式△>0，所以方程④有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1=-1，x2=3.yxABC2C1兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，連接這兩個(gè)公共點(diǎn)的線段叫公共弦，你能求它的方程嗎？代人方程③，得到y(tǒng)1=1，y2=-1.因此圓C1與圓C2有兩個(gè)公共點(diǎn)A(-1,1)，B(3,-1)，這兩個(gè)圓相交.

課本例題解:將圓C1與圓C2的方程聯(lián)立，得到方程組①-②，得聯(lián)立①③，消去y，可得yxABC2C1A(-1,1)，B(3,-1)

兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，連接這兩個(gè)公共點(diǎn)的線段叫公共弦，你能求出它的方程嗎？思考探究yxABC2C1

A(-1,1)，B(3,-1)消去y，可得方法一：將圓C1與圓C2的方程聯(lián)立，方法二：將圓C1與圓C2的方程相減，得到

公共弦長(zhǎng)的求法:方法一：

將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng)．方法二：

求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．概念歸納

思考探究

思考探究什么是軌跡？舉例1舉例2軌跡就是一個(gè)幾何圖形，是滿足一定條件的點(diǎn)，常常把圖形看成點(diǎn)的集合或點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成的軌跡.所以求軌跡，就是求一個(gè)幾何圖形.求軌跡的方程就是求幾何圖形的方程。

課本例題我們可以通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求得滿足條件的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，從而得到點(diǎn)M的軌跡;通過研究它的軌跡方程與圓O方程的關(guān)系，判斷這個(gè)軌跡與圓O的位置關(guān)系。

課本例題

AOBPMxy課本例題

思考探究概念歸納把幾何問題求軌跡轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題求軌跡方程，再通過軌跡方程的代數(shù)特征回歸到它是什么軌跡這個(gè)問題的結(jié)論中，這就是利用坐標(biāo)法解決軌跡問題的基本步驟

坐標(biāo)法求軌跡方程的步驟：建、設(shè)、限、代、化、檢。

判斷兩圓的位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法:利用兩圓半徑的和或差與圓心距作比較,得到兩圓的位置關(guān)系;(2)代數(shù)法:把兩圓位置關(guān)系的判定完全轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,轉(zhuǎn)化為方程組的解的個(gè)數(shù)問題.

相交弦及軌跡問題的解決1.求兩圓的公共弦所在直線的方程的方法:將兩圓方程相減即得兩圓公共弦所在直線方程,但必須注意只有當(dāng)兩圓方程中二次項(xiàng)系數(shù)相同時(shí),才能如此求解,否則應(yīng)先調(diào)整系數(shù).公共弦長(zhǎng)度可以用交點(diǎn)得距離公式，也可以用勾股關(guān)系求解.2.坐標(biāo)法求軌跡問題：建、設(shè)、限、代、化、檢.概念歸納當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，兩圓C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相離？題型1兩圓位置關(guān)系的判定典例剖析1．幾何法判斷圓與圓的位置關(guān)系的步驟(1)將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑r1，r2；(3)求兩圓的圓心距d；(4)比較d與|r1－r2|，r1＋r2的大小關(guān)系，從而判斷兩圓的位置關(guān)系．2．代數(shù)法判斷圓與圓的位置關(guān)系的注意點(diǎn)(1)由Δ＝0得兩圓相切，但無法區(qū)分內(nèi)切或外切．(2)由Δ<0得兩圓相離，但無法區(qū)分內(nèi)含或外離．歸納總結(jié)1．已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0與圓C2：x2＋y2＋2x＝0.(1)當(dāng)m＝1時(shí)，判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系；(2)是否存在m使得圓C1與圓C2內(nèi)含？練一練練一練

(多選)若圓C1：(x－1)2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－8x＋8y＋m＝0相切，則m的值可以是 (

)A．16 B．7C．－4 D．－7題型2與兩圓相切有關(guān)的問題典例剖析探究一已知兩圓相切求變量范圍AC典例剖析題型2與兩圓相切有關(guān)的問題探究二

兩圓的公切線問題BBCD已知直線l：y＋2＝0和圓C：x2＋y2－2y＝0，動(dòng)圓M與l相切，且與C內(nèi)切．當(dāng)M的圓心距直線g：x－y－2＝0最近時(shí)，求M的方程．

典例剖析題型3與兩圓都相切的軌跡問題處理兩圓相切問題的兩個(gè)步驟(1)定性，即必須準(zhǔn)確把握是內(nèi)切還是外切，若只是告訴相切，則必須考慮分兩圓內(nèi)切還是外切兩種情況討論．(2)轉(zhuǎn)化思想，即將兩圓相切的問題轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對(duì)值(內(nèi)切時(shí))或兩圓半徑之和(外切時(shí))．歸納總結(jié)2．已知?jiǎng)訄AM與y軸相切且與定圓A：(x－3)2＋y2＝9外切，則動(dòng)圓的圓心M的軌跡方程是 (

)A．y2＝12x(x>0)B．y＝0(x<0)C．y2＝12xD．y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0)練一練D練一練3．已知以C(4，－3)為圓心的圓與圓O：x2＋y2＝1相切，則圓C的方程是______________．【解析】若圓C與圓O外切，則rc＋1＝5，所以rc＝4.若圓C與圓O內(nèi)切，因?yàn)辄c(diǎn)C在圓O外，所以rc－1＝5，所以rc＝6.所以圓C的方程為(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36練一練已知⊙A的方程為x2＋y2－2x－2y－7＝0，⊙B的方程為x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，判斷⊙A和⊙B是否相交．若相交，求過兩交點(diǎn)的直線的方程及兩交點(diǎn)間的距離；若不相交，請(qǐng)說明理由．典例剖析

題型4與兩圓相交有關(guān)的問題歸納總結(jié)1．公共弦長(zhǎng)的求法(1)代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng)．(2)幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．2．兩圓相交時(shí)，過交點(diǎn)的直線或圓的方程的求法已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，其中λ為任意實(shí)數(shù)．當(dāng)兩圓C1，C2相交時(shí)．①若λ＝－1，則方程表示過兩圓C1，C2的交點(diǎn)的直線；②若λ≠－1，則方程表示過兩圓C1，C2的交點(diǎn)的圓系方程(但方程所表示的圓不包括圓C2，圓系中的一切圓都和C1，C2相交)．4．將本例中⊙A的方程改為x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，⊙B的方程改為x2＋y2－4x＋2y－11＝0，如何解答？練一練練一練練一練5．(拓展練)求經(jīng)過點(diǎn)M(2，－2)以及圓x2＋y2－6x＝0與圓x2＋y2＝4交點(diǎn)的圓的方程．解：設(shè)過圓x2＋y2－6x＝0與圓x2＋y2＝4交點(diǎn)的圓的方程為x2＋y2－6x＋λ(x2＋y2－4)＝0①，把點(diǎn)M(2，－2)代入①，得λ＝1.把λ＝1代入①，化簡(jiǎn)得x2＋y2－3x－2＝0，所以所求圓的方程為x2＋y2－3x－2＝0.1.兩圓x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置關(guān)系是(

)A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.外離2.半徑為6的圓與x軸相切,且與圓x2+(y-3)2=1內(nèi)切,則此圓的方程為(

)A.(x-4)2+(y-6)2=16 B.(x±4)2+(y-6)2=16C.(x-4)2+(y-6)2=36 D.(x±4)2+(y-6)2=36BD隨堂練隨堂練3.圓C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圓C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直線方程是

.

4.已知圓x2+y2=9與圓x2+y2+8x-6y+25-r2=0(r>0)有公共點(diǎn),則r的取值范圍是

.

4x+3y-2=0[2,8]課本練習(xí)習(xí)題2.5OMECxyABMCC1解法二：相交圓系BACOxyBACOxy解法二：相交圓系CABMOxyNCFE11.如圖，某臺(tái)機(jī)器的三個(gè)輪齒，A和B嚙合，C和B也嚙合.若A輪的直徑為200cm，B輪的直徑為120cm，C輪的直徑為250cm，且∠A=45°.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用坐標(biāo)法求出A，C兩齒輪的中心距離(精確到1cm).錯(cuò)因分析易錯(cuò)辨析忘記求相交兩圓的公共弦方程的前提致錯(cuò)．過兩圓C1：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，C2：x2＋y2－4x－21＝0的交點(diǎn)所在的直線的方程為(

)A．x－y＋11＝0B．x－y－11＝0C．x＋y＋11＝0D．不存在D錯(cuò)因分析易錯(cuò)警示：忘記了兩圓相交的前提，直接把兩圓方程相減得x－y＋11＝0，錯(cuò)選A.糾錯(cuò)心得：只有當(dāng)兩圓相交時(shí)，它的公共弦方程才是把兩圓的方程對(duì)應(yīng)相減得到；如果兩圓不相交，則不能用這個(gè)結(jié)論．今后遇到類似問題，要先判斷兩圓的位置關(guān)系，再作決定分層練習(xí)-基礎(chǔ)1．兩圓x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置關(guān)系是(

)A．內(nèi)切 B．相交C．外切 D．外離2．圓C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0與C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切線有(

)A．1條 B．2條C．3條 D．4條BC分層練習(xí)-基礎(chǔ)3．圓C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0與圓C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的公切線有(

)A．1條 B．2條C．3條 D．4條CC分層練習(xí)-基礎(chǔ)5．兩圓x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－3＝0與x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－1＝0公共弦長(zhǎng)的最大值為________．6．已知圓C1：x2＋y2＝4與圓C2：x2＋y2－2ax＋a2－1＝0內(nèi)切，則a等于________．7．若曲線C1：x2＋y2＝5與曲線C2：x2＋y2－2mx＋m2－20＝0(m∈R)相交于A，B兩點(diǎn)，且兩曲線在A處的切線互相垂直，則m的值是________．8．已知圓C1：x2＋y2－6x－7＝0與圓C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中垂線方程為________．2±1±5x＋y－3＝0分層練習(xí)-基礎(chǔ)分層練習(xí)-基礎(chǔ)分層練習(xí)-基礎(chǔ)10．已知過點(diǎn)M(0,2)且斜率為k的直線l與圓C：(x－1)2＋y2＝1交于A，B兩點(diǎn)．(1)求斜率k的取值范圍；(2)以點(diǎn)M為圓心，r為半徑的圓與圓C總存在公共點(diǎn)，求r的取值范圍；(3)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：直線OA與OB斜率之和為定值．分層練習(xí)-基礎(chǔ)分層練習(xí)-基礎(chǔ)分層練習(xí)-鞏固C分層練習(xí)-鞏固12．(多選)已知圓C1：x2＋y2＝r2，圓C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0