（必修二）

高

中

數(shù)

學

第

章

教

案

2.1.1平面

二、教學重點、難點

重點：1.平面的概念及表示；

2.平面的基本性質(zhì)，注意他們的條件、結(jié)論、作

用、圖形語言及符號語言.

難點：平面基本性質(zhì)的掌握及運用.

觀察并思考以下問題：

1.長方體由哪些基本元素構(gòu)成？答：點、線、面.

2.觀察長方體的面，說說它的特點？答：是平的.

指出：長方體的面給我們以平面的印象；生活中常見

的如黑板、平整的操場、桌面、平靜的湖面等等，都給我

們以平面的印象.

（二）探究新知

1.平面含義

指出：以上實物都給我們以平面的印象，幾何里所說

的平面，就是從這樣的一些物體中抽象出來的。平面是沒

有厚薄的，可以無限延伸，這是平面最基本的屬性常見的

桌面，黑板面，平靜的水面等都是平面的局部形象；一個

平面把空間分成兩部分，一條直線把平面分成兩部分.

2.平面的畫法及表示

①平面的畫法：和學生一起,老師邊說邊畫，學生跟著

畫.

在立體幾何中，常用平行四邊形表示平面，當平面水

平放置時，通常把平行四邊形的銳角畫成45。，且橫邊長畫

成鄰邊長的兩倍；畫兩個平面相交時，當一個平面的一部

分被另一個平面遮住時，應(yīng)把被遮住的部分畫成虛線或不

畫.②平面的表示方法

平面通常用希臘字母a、B、丫等表示，如平面a、

平面B等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點

或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面

ABCD等.

3.點及平面的關(guān)系及其表示方法

指出：平面內(nèi)有無數(shù)個點，平面可以看成點的集合.

點A在平面CL內(nèi)，記作：Aea

點B在平面a夕卜，記作：Bea

想一想：點和平面的位置關(guān)系有幾種？

4.平面的基本性質(zhì)

思考：如果直線及平面有一個公共點P,直線是否在

平面內(nèi)？如果直線及平面有兩個公共點呢？要讓學生充

分發(fā)表自己的見解.

觀察理解：把一把直尺邊緣上的任意兩點放在桌邊，

可以看到，直尺的整個邊緣就落在了桌面上.

得出結(jié)論:

公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么

這條直線在此平面內(nèi)

（教師引導(dǎo)學生閱讀教材P42前幾行相關(guān)內(nèi)容，并加

以解析）

符號表示為

公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)

師：生活中，我們看到三腳架可以牢固地支撐照相機

或測量用的平板儀等等……

引導(dǎo)學生歸納出公理2

公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平

面.符號表示為：A、B、C三點不共線二》有且只有

一個平面e使A￡a、B￡a、CGa

公理2作用：確定一個平面的依據(jù).

補充3個推論:

推論1:經(jīng)過一條直線及直線外一點，有且只有一個

平面.

推論2：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.

推論3：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.

教師用正（長）方形模型，讓學生理解兩個平面的交線的

含義.

引導(dǎo)學生閱讀P42的思考題，從而歸納出公理3

公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么

它們有且只有一條過該點的公共直線.符號表示為：P

ean0=>aGB=L,且PEL

公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)

二、教學重、難點：

1.重點：（1）空間中兩條直線的位置關(guān)系的判定；

（2）理解并掌握公理4.

2.難點：理解異面直線的概念、畫法.

四、教學過程：

（一）復(fù)習引入

1.前面我們已學習了平面的概念及其基本性質(zhì).

回顧一下，怎樣確定一個平面呢？（公理3及其三個

推論）

2.在一個平面內(nèi)，兩直線有哪幾種位置關(guān)系呢？在空

間中呢？

（二）新課推進

以學生身邊的實例引出空間兩條直線位置關(guān)系問題

共面直,相交：同一平面內(nèi)，有且只有一個

公共點

平行：同一平面內(nèi)，沒有公共點

異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點

(1)概念：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線.

讓學生直觀判斷異面直線，既加深了對概念的理解,

又可引出異面直線的畫法，還為下面的辨析作好鋪墊.

(3)畫法：用一個或兩個平面襯托

m

（4）辨析

①空間中沒有公共點的兩條直線是異面翼線，

②分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線是異面直線.

③不同在某一平面內(nèi)的兩條直線是異面直線.

④平面內(nèi)的一條直線和平面外的一條直線是異面直線.

⑤既不相交，又不平行的兩條直線是異面直線.

（5）結(jié)合實例小結(jié)判斷異面直線的關(guān)鍵

①例1:在正方體ABCD-4與￡口中，哪些棱所在的直線及

網(wǎng)成異面直線？

②合作探究

如右圖所示是一個正方體的展開

圖，如果將它還原成正方體，那么AB、

F

CD、EF、GH這四條線段所在的直線是

異面直線的有幾對?

讓學生根據(jù)異面直線的定義判斷在幾何體上的具有異

面直線位置關(guān)系的兩條直線.培養(yǎng)學生的空間想象能力，

加深對異面直線概念的理解.

③判斷異面直線的關(guān)鍵：既不相交，又不平行.

3.公理4的教學

⑴思考：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都及第三條直線

平行,那么這兩條直線平行。空間中，如果兩條直線都及第

三條直線平行,是否也有類似的規(guī)律？

(2)觀察:如圖2.1.2-2,長方體ABCD-A4GA中,

AAJ/BB,,AA1//DDt,那么叫及平行嗎?

D1_____________

公理4：平行于同一條直線的兩條直線互修八一曲1

符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線1^""I/0

AB

注：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間此

性質(zhì)都適用;

公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù).

⑶講解例2,讓學生掌握公理4的運用

例2：如圖在空間四邊形ABCD中,E、F、G、H分別是AB、

BC、CD、DA的中點.

求證：四邊形EFGH是平行四邊形.力

考慮到學生第一次接觸空間四邊形，E先

結(jié)自制模型X\

簡單介紹什么叫空間四邊形，再分

析如何證明)F

分析：如何判定一個四邊形是平行四邊形？

怎樣證明EH〃FG?證明關(guān)鍵是什么？

提問：有沒有其它證明方法呢？(EF〃HG,且EF=HG)

變式練習：

⑴在例2中，如果再加上條件AC=E),那么四邊形

EFG”是什么圖形？

(2)把條件改為：E、H分別是邊AB、AD的中點，F(xiàn)、G

分別是邊CB、CD上的點，且則四邊形EFG”是什

么圖形?為什么？

（四）小結(jié)

Cl）空間中兩直線有何位置關(guān)系？（平行、相交、異面）

（2）怎樣判斷兩直線是異面直線？（判斷關(guān)鍵：既不平

行又不相交）

（3）什么是平行公理?它的作用是什么？

（平行同一條直線的兩條直線互相平行，作用：判斷

兩直線平行它將空間平行問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的平行問題）

（五）作業(yè)

（1）

⑵在正方體ABC。-44CQ中，及對角線。4成異面直線的

棱共有幾條?

§2.1.3空間中直線及平面

§2.1.4平面及平面之間的位置關(guān)系

二、教學重點、難點

重點：空間直線及平面、平面及平面之間的位置關(guān)系。

難點：用圖形表達直線及平面、平面及平面的位置關(guān)系。

三、教學設(shè)計

空間中直線及平面有多少種位置關(guān)系？

（二）研探新知

1.引導(dǎo)學生觀察、思考身邊的實物，從而直觀、準確地

歸納出直線及平面有三種位置關(guān)系:

(1)直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點

(2)直線及平面相交一一有且只有一個公共點

(3)直線在平面平行一一沒有公共點

指出：直線及平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為譽線在平面

外，可用aa來表示

〃a

例4:加深了學生對這幾種位置關(guān)系的理解.

2.引導(dǎo)學生對生活實例以及對長方體模型的觀察、思考,

準確歸納出兩個平面之間有兩種位置關(guān)系：

(1)兩個平面平行一一沒有公共點

(2)兩個平面相交有且只有一條公共直線

用類比的方法，學生很快地理解及掌握了新內(nèi)容，這兩種

位置關(guān)系用圖形表示為

a〃BaGB二L

指出：畫兩個相互平行的平面時，要注意使表示平面

的兩個平行四邊形的對應(yīng)邊平行.

二、教學的重點及難點：

教學重點：通過直觀感知、操作確認，歸納出直線和平面

平行的判定及其應(yīng)用。

教學難點：直線和平面平行的判定定理的探索過程及其應(yīng)

用O

三、教學過程設(shè)計：

（二）溫故知新

直線及平面平行的定義是什么？

如果一條直線和一個平面沒有公共點，那么我們就說這條

直線及這個平面平行.

這里所說的直線是向兩方無限延伸的，平面是向四周無

限延展的.

那么，直線及平面的位置關(guān)系有幾種？

直線及平面的位置關(guān)系有三種：

①直線在平面內(nèi)一一有無數(shù)個公共點；

②直線及平面相交一一有且只有一個公共點；

③直線及平面平行一一沒有公共點.

問：我們把直線及平面相交或直線及平面平行的情況

統(tǒng)稱為直線在平面外。今后凡談到直線在平面外，則有兩

種情況：直線及平面相交，直線及平面平行。直線及平面

的三種位置關(guān)系的圖形語言、符號語言各是怎樣的？

（三）講解新課

直線a在平面a外，是不是能夠斷定a//c呢？

直線及平面平行將如何判定呢？

直線無限延伸，平面無限延展，如何保證直線及平面

有沒有公共點呢？請同學們將一本書平放

在桌面上，翻動書的硬皮封面，封面邊緣//

AB所在直線及桌面所在平面具有什么樣的

位置關(guān)系？

如圖:直線a及平面平行嗎？若a內(nèi)有直線b及a平行，

那么a及a的位置關(guān)系如何？是否可以保證直線a及平

面a平行？

判定定理告訴我們直線及平面平行應(yīng)具備幾個條件？

符號語言表示：

這個定理可以簡述為：“線線平行，則線面平行”，不過要

注意，前面的線線有什么區(qū)別？

例1求證：空間四邊形相鄰兩邊中點的連線平行于經(jīng)過另

外兩邊所在的平面.

因為EF<z平面BCD,BDu平面BCD

由直線及平面平行的判定定理得EF〃平面BCD

2.2.2平面及平面平行的判定

二、教學重、難點：

1.重點：平面和平面平行的判定定理的探索過程及應(yīng)用。

2.難點：平面和平面平行的判定定理的探究發(fā)現(xiàn)及其應(yīng)

用。

三、教學過程：

(-)創(chuàng)設(shè)情景

1.你知道建筑師是如何檢驗屋頂平面是及水平面平

行的嗎？

2.三角板的一條邊所在直線及地面平行，這個三角板所

在平面及地面平行嗎？三角板的兩條邊所在直線及地面

平行，情況又如何呢？

(二)溫故知新

線面平行的判定方法有幾種？

(1)定義法：若直線及平面無公共點，則直線及平面

平行.

(2)面面平行定義的推論：若兩平面平行，則其中一

個平面內(nèi)的直線及另一平面平行.

(3)判定定理：證明面外直線及面內(nèi)直線平行.

(三)探求新知

平面及平面平行的定義是什么？如何判斷兩平面平

行？

如果兩個平面平行,那么其中一個平面內(nèi)的直線及另一

個平面關(guān)系如何？為什么？

若一個平面內(nèi)所有直線都和另一個平面平行，那么這兩

個平面會平行嗎？

由此將判定兩個平面平行的問題可以轉(zhuǎn)化為線面平行

的問題來解決，可是最少需要幾條線及面平行呢？

平面廠內(nèi)有一條直線及平面a平行，a、￡平行嗎？請

舉例說明.

如右圖，借助長方體模型，我們

可以看出，平面AADD中直線

4A〃平面DCCD',

但平面AADD'與平面DCCD’相交.

若平面a內(nèi)有兩條直線a、b都平行于平面B，能保證

a〃B嗎？

如上圖，借助長方體模型，在平D，

面內(nèi)，有一條及A'A平行一的直A岑T----曠

[.」一?c

線EF,顯然A'4及EF都平行及平面AB

DCCD',但這兩條平行直線所在的平面AADD及平面DCCD,相

交.

如下圖，平面夕內(nèi)有兩條相交直線及平面a平行，情況

如何?

一般地，我們有如下的判定平面平行的定理：

如果一個平面內(nèi)的兩條交直線及另一個平面平行，則這兩

個平面平行.

以上是兩個平面平行的文字語言表述，你能寫出定理的符

號語言嗎？

若au/3,bu/3、acb=P,且@〃。,b〃/則a〃/?.

利用判定定理證明兩個平面平行，必須具備哪些條件？

(1)由兩條直線平行及另一個平面，(2)這兩條直線必

須相交.

從轉(zhuǎn)化的角度認識該定理就是：線線相交，線面相交n

面面平行.

（四）拓展應(yīng)用

例1.已知正方體ABCD-A4GA，求證：平面ABQ〃平面

QBD.

證明：因為ABCD-AACQ為正方體,

所以AB=A4,D\CJ!A圈￡>G=A4，

又ABH%B\,=所以AG〃A8，

RG=AB,所以RG8A為平行四邊形.

所以GBu平面GBD,D\A/!C\B.

又2Az平面C|5O,G6u平面GB￡）,

由直線及平面的判定定理得。①〃平面￡8。，同理

。4〃平面C15O,又AAc￡>4=〃，所以平面ABQ//平面G3D.

拓展1.已知正方體ABCD-ABCDM、N分別為A】A、CC.的

中I占/、、、?

求證:平面NBD〃平面MBD.

拓展2.已知正方體ABCD-ABCDP、Q、R分別為A.A.AB、

AD的中點.

求證：平面PQR〃平面CBD.

例2.點P是4ABC所在平面外一點，M、N、G分別是△PBC、

△PCA、ZkPAB的重心.求證:平面MNG〃平面ABC

分析：連結(jié)PM,PN,PG則PM:PD=PN:PE=PG:PF故

MN〃DE,MG〃EF

2.2.3平面及平面平行的判定

二、教學重點、難點、疑點及解決方法

1.教學重點：掌握兩個平面平行的性質(zhì)及其應(yīng)用；

掌握兩平行平面間的距離的概念，會求兩個平行平面間的

距離.

2.教學難點：掌握兩個平行平面的性質(zhì)及其應(yīng)用.

三、教學設(shè)計

(-)復(fù)習兩個平面的位置關(guān)系及兩個平面平行的

判定

兩個平面的位置關(guān)系有哪幾種？

兩個平面平行的判定方法有哪幾種？

(二)兩個平面平行的性質(zhì)

根據(jù)兩個平面平行直線和平面平行的定義可知：兩個平

面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面.因

此，在解決實際問題時，常常把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行

或線線平行.這個結(jié)論可作為兩個平面平行的性質(zhì)1：

aHB，aua貝a〃月.

1.兩個平面平行的性質(zhì)定理

如果兩個平行平面同時和第三個平面〃//

相交，那么它們的交線平行./4/

圖1-111

已知：a〃B,yna=a,yGB

二b.

求證：a//b.

直接證法：???a〃B,a及B沒有公共點.

又?；auy,buy

.\a〃b

這個結(jié)論可作為性質(zhì)2：若。〃自，any=a,BA

Y=b,則a//b.

2.例題

例2一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它

也垂直于另一個平面.

已知：a〃B,/±?,/na=A.

求證：11/3.

證明直線及平面垂直的方法有幾種?

方法一，證明直線及平面內(nèi)的任何一條直線都垂直；

方法二，證明直線及平面內(nèi)兩條相交的直線垂直；方法

三，證明直線的一條平行線及平面垂直.

我們可以試著用第一種方法來證明.

證明：在平面B內(nèi)任取一條直線b,平面丫是經(jīng)過點A

及直線b的平面，設(shè)YAa=a.

a“BJ

>=a"b

an1=ai

PA7=blb

aua]

,Hila

Ila

J

因為直線b是平面B內(nèi)的任意一條直線，所以

這個例題的結(jié)論可及定理“一個平面垂直于兩條平行

直線中的一條直線，它也垂直于另一條直線.”聯(lián)系起來

記憶，它也可作為性質(zhì)3：若a〃0,l±a,貝！

3.兩個平行平面的公垂線、公垂線段和距離

及兩個平行平面a,B同時垂直的直線L叫做這兩個

平行平面a,B的公垂線，它夾在這兩個平行平面間的部

分叫做這兩個平行平面的公垂線段.

如圖a〃B.如果AAJBB'都是它們的公垂線段，那

么AA'〃BB',根據(jù)兩個平面平行的性質(zhì)定理有A'B，//

AB,所以四邊形ABB'A'是平行四邊形，AA'=BB\

由此，我們得到，兩個平行平面的公垂線段都相等，

公垂線段的長度具有唯一性.及兩平行線間的距離定義相

類似，我們把公垂線段的長度叫做兩個平行平面的距

離.兩個平行平面間距離實質(zhì)上也是點到面或兩點間的距

離，求值最后也是通過解三角形求得

練習.夾在兩個平行平面間的平行線段相等.

已知：如圖a〃B,AB〃CD,Aea,

Cea,Be3,DeP.

求證：AB=CD.

證明：VAB/7CD,

.,.過AB、CD的平面y及平面a和B分別交于AC'

和BD.

：a〃B,.,.BD/7AC.

二.四邊形ABCD是平行四邊形，，AB=CD.

這個練習的結(jié)論可作為性質(zhì)4：夾在兩個平行平面間

的平行線段相等.

二、教學重、難點:

1.重點：兩個平面平行的性質(zhì)定理的探索過程及應(yīng)

用.

2.難點：兩個平面平行的性質(zhì)定理的探究發(fā)現(xiàn)及其

應(yīng)用.

三、教學過程：

(一)溫故知新

1.兩個平面的位置關(guān)系？

2.面面平行的判定方法：

(1)定義法：若兩平面無公共點，則兩平面平行.

(2)判定定理：

如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個

平面，那么這兩個平面平行.

(二)創(chuàng)設(shè)情景

兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線及另一

平面有什么樣的關(guān)系？

通過分析可以發(fā)現(xiàn)，若平面。和平面￡平行，則兩面

無公共點，那么就意味著平面a內(nèi)任一直線a和平面夕也

無公共點，即直線a和平面夕平行.

用語言表述就是：如果兩個平面平行，那么其中一

個平面內(nèi)的直線平行及另一個平面.用式子可表示為：

a/1（3,aua=>all[3。

兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線及另一

平面內(nèi)的直線有何關(guān)系？

（三）探求新知

如圖，設(shè)all/3,acy=a，Bcy=b,我們研究兩條交線的位

置關(guān)系。

因為口〃廣，所以a,b內(nèi)有公共點，而a,b又同在平面?

內(nèi)，于是有a//b.

兩個平面平行的性質(zhì)定理：

如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交

線平行.

用符號表示為:

（五）歸納整理

面面平行的性質(zhì)，

面面平行的判定”

2.3.1直線及平面垂直的判定.

二、教學重點、難點一

重點：（1）直線及平面垂直的定義和判定定理;

（2）直線和平面所成的角.一

難點：直線及平面垂直判定定理的探究.

三、教學過程

(-)新課導(dǎo)入

問題：直線和平面平行的判定方法有幾種？

(二)探索新知

1.直線和平面垂直的定義、畫法一

如果直線,及平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們說

直線,及平面a互相垂直，記作ALa.直線/叫做平面的

垂線，平面a叫做直線/的垂面.直線及平面垂直時，它們

惟一的公共點尸叫做垂足.一

畫直線及平面垂直時，通常把直線畫成及表不平面的平

行四邊形的一邊垂直，如圖.一

(1)試驗如圖，過△/比1的頂點/翻折紙片，得到折痕

AD,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上QBD、〃。及桌面接

觸).

折痕及桌面垂直嗎？/\

￡DC

如何翻折才能使折痕AD及桌面所在

平面a垂直？一

3.直線及平面垂直的判定定理：

一條直線及一個平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，則該直

線及此平面垂直.一

思考：能否將直線及平面垂直的判定定理中的“兩條相

交直線”改為一條直線或兩條平行直線？

例1如圖，已知a//b,a_La,求證：ab

b.La._Jy/

證明：在平面a內(nèi)作兩條相交直線以n._

因為直線a,a,根據(jù)直線及平面垂直的定義知一

a.Lni,a.Ln..

又因為b//a,

所以blm,bln.

乂因為mu?,〃ua,m、刀是兩條相父直線,

Z?J_a.

如圖，一條直線必和一個平面a相交，但不及這個平

面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線的平面的交

點APO,過垂足0和斜足A的直線40叫做斜線在這個平面

上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳

角，叫做這條直線和這個平面所成的角.

一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一

條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是

0°的角.

例2如圖，在正方體ABCD-ABCD

中，求48和平面44⑦所成的角.

分析：找出直線48在平面4區(qū)繆內(nèi)

的射影，就可以求出48和平面43繆所成的角.

解：連結(jié)BG交6c于點0,連結(jié)4〃

設(shè)正方體的棱長為a,因為A山」BB所

以44，平面BCCB.

所以8G.

又因為因_L3C,所以8C_L平面486ZZ

所以4。為斜線4方在平面/山⑦內(nèi)的射影，/BAW為

48及平面442所成的角.

在中，9=扃，，

所以，ZBAO=30°

因此，直線48和平面力山⑦所成的v

角為3。。.O

四、課堂練習

1.如圖，在三棱錐V-/■中，VA=VC,AB=BC,求

證：VBA.AC.

2.過△/%所在平面a外一點R作尸O，a,垂足為0,

連接用，PB,PC.

(1)若P歸PB=PC,Zr=90°,則點。是”邊的

心.

⑵若PA=PB=PC,則點。是△力%的心.

(3)若以，陽，陽_L/T,如,為，則點。是△/國的

心.

3.兩條直線和一個平面所成的角相

等，這兩條直線一定平行嗎？

4.如圖，直四棱柱卬B'CD'

/aZ?(側(cè)棱及底面垂直的棱柱稱為直棱柱)中，底面四邊

形力蹌?滿足什么條件時，A'C±B'D'?

五、歸納總結(jié)

1.直線和平面垂直的定義判定

2.直線和平面所成的角定義及解答步驟、完善.

3.線線垂直u線面垂直

二、教學重、難點

重點：平面及平面垂直的判定.

難點：找出二面角的平面角.

三、教學過程：

（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

問題1:平面幾何中“角”是怎樣定義的？

問題2：在立體幾何中，“異面直線所成的角”、“直線

和平面所成的角”又是怎樣定義的？它們有什么共同的特

征？

在生產(chǎn)實踐中，有許多問題要涉及到兩個平面相交所

成的角的情形，你能舉出這個問題的一些例子嗎？如修水

壩、發(fā)射人造衛(wèi)星等，而這樣的角有何特點，該如何表示

呢？

（二）研探新知

1、二面角的有關(guān)概念

展示一張紙面，并對折讓學生觀察其狀，然后引導(dǎo)學

生用數(shù)學思維思考，并對以上問題類比，歸納出二面角的

概念及記法表示（如下表所示）

角二面角

A

圖形

頂點0B才

邊Ba

從平面內(nèi)一點出發(fā)的從空間一直線出發(fā)的

定義兩條射線（半直線）所兩個半平面所組成的圖

組成的圖形形

射線一點(頂點)半平面一線(棱)一

構(gòu)成

一射線半平囿

ZAOB二面角a-1-B或a

-AB-3

2、二面角的度量

二面角定義反映了兩個平面相交的位置關(guān)系，如我們

常說“把門開大一些”，是指二面角大一些，那我們應(yīng)如

何度量二兩角的大小呢？二面角中在其棱上任取一點為

頂點，在兩個半平面內(nèi)各作一射線，如圖探究二面角大小

的度量方法——二面角的平面角.

特別指出：八

(1)表示二面角的平面角時，要求前域\oB±L：

(2)NAOB的大小及點0在L上位置4必B/

(3)當二面角的平面角是直角時，這兩個平

面的位置關(guān)系怎樣?

觀察，類比得兩個平面互相垂直的判定定理:

一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直。

（三）實際應(yīng)用，鞏固深化

例1、設(shè)AB是圓0的直徑，PA垂直于圓0所在平面，C

是圓周上的任意點，求證：面PAC_L面PBC.

例2、已知直線PA垂直正方形ABCD所在的平面，A為

垂足。求證：平面PAU平面PBD.

說明：這兩題都涉及線面垂直、面面垂直的性質(zhì)和判定，

其中證明況工平面為。和應(yīng)江平面必。是關(guān)鍵.從解題

方法上說，由于“線線垂直”、“線面垂直”及“面面垂直”

之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個解題過程始終沿著“線線垂

直o線面垂直=面面垂直”轉(zhuǎn)化途徑進行.

（五）小結(jié)歸納，整體認識

（1）二面角以及平面角的有關(guān)概念；

(2)兩個平面垂直的判定定理的內(nèi)容，它及直線及平

面垂直的判定定理有何關(guān)系？

二、教學重、難點

重點：直線和平面垂直的性質(zhì)定理和推論的內(nèi)容和簡單

應(yīng)用.

難點：直線和平面垂直的性質(zhì)定理和推論的證明，等價

轉(zhuǎn)化思想的滲透.

三、教學過程

復(fù)習引入

判斷直線和平面垂直的方法有幾種？

各判定方法在何種條件或情形下方可熟練運用？

若能確定直線及平面內(nèi)任意一直線垂直,則運用定義說

明.

若能說明所證直線和平面內(nèi)的一條直線平行，則可運用

例題結(jié)論說明.

若能說明直線和平面內(nèi)兩相交直線垂直，則可運用判定

定理去完成判定.

在空間，過一點，有幾條直線及已知平面垂直？過一點,

有幾個平面及已知直線垂直？

判斷下列命題是否正確:

1.在平面中，垂直于同一直線的兩條直線互相平行.

2.在空間中，垂直于同一直線的兩條直線互相平行.

3.垂直于同一平面的兩直線互相平行.

4.垂直于同一直線的兩平面互相平行.

這節(jié)課我們來共同探討直線和平面垂直,則其應(yīng)具備的

性質(zhì)是什么？

創(chuàng)設(shè)情景

如圖，長方體ABCD—A'B'C

>中，棱AA，、BB，、CC，、

DI）'所在直線都垂直于平面ABCD,它們之間具有什么位

置關(guān)系？

（三）講解新課

例1已知：

證：b〃a

分析：此問題是在a，吟的條件下，研究a和b

是否平行，若從正面去證明1）〃2,則較困難。而利用反證

法來完成此題，相對較為容易，但難在輔助線6的作出，

這也是立體幾何開始的這部分較難的一個證明.

證明：假定b不平行于a,設(shè)ac〃=O,〃是經(jīng)過點0的兩

直線a平行的直線.

*/a〃Z?,a-L0,：.b±a

即經(jīng)過同一點0的兩直線b,6都及a垂直,這是不可能

的，因此b〃a.

得到結(jié)論：

直線和平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一

個平面,那么這兩條直線平行,也可簡記為線面垂直,線線

平行.

萬，求證a〃夕

（四）課堂練習

課本79頁第1、2題.

拓展練習：設(shè)直線a,b分別在正方體ABCD—A'B'C'

D'中兩個不同的平面內(nèi)，欲使b〃a,則a、b應(yīng)滿足什么

條件？

分析：結(jié)合兩直線平行的判定定理，考慮a、b滿足的

條件。

解：a、b滿足下面條件中的任何一個，都能使b〃a

(1)a>b同垂直于正方體的一個面.

(2)a、b分別在正方體兩個相對的面內(nèi)且共面.

(3)a、b平行于同一條棱.

(4)E、F、G、H分別為B'C、CC7、AA'、

AD的中點，

EF所在直線為a,GH所在直線為b.

(五)課堂小結(jié)

直線和平面垂直的性質(zhì)定理，定理的證明用到反證法,

證明幾何問題常規(guī)的方法有兩種：直接證法和間接證法。

直接證法長依據(jù)定義、定理、公理，并適當引用平面幾何

知識；用直接法證明比較困難時，我們可以考慮間接證法,

反證法就是一種間接證法。關(guān)于直線及平面垂直的