-2024學(xué)年重慶市高三數(shù)學(xué)第八次質(zhì)量檢測(cè)試卷本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題．每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1．設(shè)全集，集合，則（

）A．B．C． D．2．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部與實(shí)部之和為0，則實(shí)數(shù)（

）A． B．0 C．1 D．33．已知函數(shù)，則下圖所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式為（

）

A．B．C． D．4．已知點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為等邊三角形，則的取值范圍是（

）A．B．C． D．5．在中，為的中點(diǎn)，為邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，記，用表示為（

）A．B．C． D．6．已知一個(gè)15位正整數(shù)，且的30次方根仍是一個(gè)整數(shù)，則這個(gè)30次方根為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．3 B．4 C．5 D．67．已知點(diǎn)P為雙曲線C：（，）上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向雙曲線C的一條漸近線l作垂線，垂足為A，為雙曲線C的左焦點(diǎn)，若，則漸近線l的斜率為（）A． B． C． D．8．已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則的最大值為（

）A．4 B． C． D．3二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分．9．已知某次數(shù)學(xué)測(cè)試班級(jí)最高分為150分．最低分為50分，現(xiàn)將所有同學(xué)本次測(cè)試的原始成績(jī)經(jīng)過(guò)公式進(jìn)行折算，其中為原始成績(jī)，為折算成績(jī)，折算后班級(jí)最高分仍為150分，最低分為80分，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若某同學(xué)本次測(cè)試的原始成績(jī)?yōu)?00分，則其折算成績(jī)?yōu)?15分B．班級(jí)折算成績(jī)的平均值高于原始成績(jī)的平均值C．班級(jí)折算成績(jī)的方差可能等于原始成績(jī)的方差D．班級(jí)每位同學(xué)的折算成績(jī)均不低于原始成績(jī)10．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)在正方形內(nèi)（不包含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．與平面所成角為定值B．點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C．存在點(diǎn)使得D．存在唯一的點(diǎn)使得11．已知是三個(gè)互不相等的正實(shí)數(shù)，且，則的大小關(guān)系可能是（

）A．B．C． D．12．一座對(duì)外封閉的小島上共有三座城市，三座城市第年居住人口分別為（單位萬(wàn)人，因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)方法的影響，可能不為整數(shù)或有理數(shù)），假設(shè)出生率與死亡率相當(dāng)（即總?cè)丝诓蛔儯?，每年人口都?huì)在三座城市間流動(dòng)，如城每年有留在城，有去往城，有去往城，總體流動(dòng)情況如下表所示：城市每年去往每年去往每年去往則以下說(shuō)法中，正確的有（

）A．若，則B．若三座城市人口均保持每年穩(wěn)定不變，則C．無(wú)論初始人口如何分布，經(jīng)過(guò)足夠久的年份后，三座城市的人口數(shù)會(huì)趨向相同D．每?jī)赡甑娜丝诹鲃?dòng)情況為下表所示：城市每?jī)赡耆ネ績(jī)赡耆ネ績(jī)赡耆ネ?、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若，則．14．的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為．15．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列的前三項(xiàng)分別為1，2，6，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．16．已知函數(shù)，若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．已知函數(shù)的最小正周期為．(1)求的值及函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo)；(2)已知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既有最大值又有最小值，求的取值范圍．18．某地區(qū)舉行專業(yè)技能考試，共有8000人參加，分為初試和復(fù)試，初試通過(guò)后方可參加復(fù)試．為了解考生的考試情況，隨機(jī)抽取了100名考生的初試成績(jī)繪制成如圖所示的樣本頻率分布直方圖．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本的平均數(shù)；(2)若所有考生的初試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，，試估計(jì)所有考生中初試成績(jī)不低于80分的人數(shù)；(3)復(fù)試共四道題，前兩道題考生每題答對(duì)得5分，答錯(cuò)得0分，后兩道題考生每題答對(duì)得10分，答錯(cuò)得0分，四道題的總得分為考生的復(fù)試成績(jī)．已知某考生進(jìn)入復(fù)試，他在復(fù)試中前兩題每道題能答對(duì)的概率均為，后兩題每道題能答對(duì)的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響．記該考生的復(fù)試成績(jī)?yōu)椋?附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則：，，.19．已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知是公比為的等比數(shù)列，，若數(shù)列是遞增數(shù)列，求的取值范圍．20．如圖，四棱錐的底面為矩形，．

(1)求四棱錐的體積；(2)設(shè)，直線與平面所成角為，是否存在滿足條件的點(diǎn)使得？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．21．已知橢圓的左右焦點(diǎn)為為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別與橢圓交于另外三點(diǎn)，當(dāng)為橢圓上頂點(diǎn)時(shí)，有．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求的最大值．22．已知函數(shù)，其中．(1)若恒成立，求的取值范圍；(2)令，已知且，試證明：．1．D【分析】由補(bǔ)集的定義、并集的定義結(jié)合已知條件依次分別求出、即可.【詳解】由題意，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所?故選：D.2．D【分析】由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算結(jié)合虛部、實(shí)部等概念即可求解.【詳解】由題意，所以復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部分別為，結(jié)合已知有，解得.故選：D.3．C【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域排除A、B、D，再根據(jù)奇偶性和單調(diào)性判斷C.【詳解】對(duì)于A，，因?yàn)?，所以，即函?shù)的定義域?yàn)?，故A函數(shù)不符合；對(duì)于B，，因?yàn)?，所以，即函?shù)的定義域?yàn)椋蔅函數(shù)不符合；對(duì)于C，，函數(shù)定義域R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋栽趩握{(diào)遞增，故C函數(shù)符合；對(duì)于D，，因?yàn)?，所以，即函?shù)的定義域?yàn)?，故D函數(shù)不符合.故選：C.4．B【分析】根據(jù)題意，由直線與圓的位置關(guān)系可得，可得點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，由此分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意，圓，即是以為圓心，半徑為的圓，連接，若為等邊三角形，則，在中，，易得，故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，又由，則，即，故的取值范圍是.故選：B.

5．D【分析】將分別用表示，再解出即可.【詳解】由題知①，②，①＋3×②得，故．故選：D.6．A【分析】設(shè)這個(gè)30次方根為，則，結(jié)合題目所給數(shù)據(jù)將其變形為，由此即可得解.【詳解】設(shè)這個(gè)30次方根為，則，其中且，故，，故，故．故選：A.7．D【分析】設(shè)漸近線l的方程，由兩直線垂直的條件可得直線的方程，聯(lián)立兩直線方程求得A的坐標(biāo)，再由向量共線的坐標(biāo)表示可得P的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，化簡(jiǎn)整理可得所求直線的斜率．【詳解】解：設(shè)，漸近線l的方程為，①直線的方程為，②聯(lián)立①②可得，，即有，由，可得，，解得，，即，由P在雙曲線上，可得，化為，即，可得，所以直線l的斜率為．故選：D．8．B【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)已知條件，結(jié)合正弦定理、余弦定理以及輔助角公式求得的最大值.【詳解】依題意，，則，，其中，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為.故選：B【點(diǎn)睛】在求解三角函數(shù)有關(guān)題目的過(guò)程中，遇到正切時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化為正弦和余弦來(lái)進(jìn)行求解.求解三角形有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題，可利用正弦定理、余弦定理和三角恒等變換等知識(shí)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)三角函數(shù)值域的知識(shí)進(jìn)行求解.9．ABD【分析】由求得得解析式，對(duì)選項(xiàng)A直接計(jì)算即可；由可得，折算成績(jī)均不低于原始成績(jī)，可判斷選項(xiàng)B、D正確；對(duì)選項(xiàng)C：由判斷.【詳解】由題知，解得，∴，當(dāng)時(shí)，，故A正確；，由知，即，故當(dāng)原始成績(jī)低于150分時(shí)，折算成績(jī)均高于原始成績(jī)，即除150分不變外，其余成績(jī)折算后均提高，故B，D均正確；，故折算成績(jī)的方差必小于原始成績(jī)的方差，故C錯(cuò)誤．故選：ABD10．AD【分析】對(duì)B：可得，故點(diǎn)軌跡是以為圓心、1為半徑的圓位于正方形以部的圓??；對(duì)A：為與底面所成角；對(duì)C：通過(guò)證明判斷；對(duì)D：由面證得再判斷.【詳解】

如圖：由知，故點(diǎn)軌跡是以為圓心、1為半徑的圓位于正方形內(nèi)部的圓弧，其弧長(zhǎng)為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)槊?，所以與底面所成角為，因?yàn)?，故為定值，與底面所成角即為與底面所成角，故選項(xiàng)A正確；，故不存在使得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；在底面內(nèi)的射影為，若，又面，所以面，又面，所以，故為圓弧與的交點(diǎn)，選項(xiàng)D正確．故選：AD.11．BC【分析】根據(jù)等式結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，分析，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得，再由即可分析出，均小于或，均大于.【詳解】設(shè)，由知，則，故函數(shù)有零點(diǎn)，所以，即，又，所以，又，故，均小于或，均大于，即或.故選：BC12．BCD【分析】由題意知，與滿足的關(guān)系式，逐項(xiàng)計(jì)算即可得出答案.【詳解】由題意知與滿足關(guān)系式：，其中，對(duì)于A，當(dāng)，則，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在上述關(guān)系式中令，反解線性方程組，即可知恒成立，從而，故B正確；對(duì)于C，由流動(dòng)比例的輪換對(duì)稱性及總?cè)丝诓蛔?，知三座城市人口趨于相同，故C正確；對(duì)于D，將代入，則，故D正確.故選:BCD.13．##【分析】根據(jù)倍角公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系化為齊次式求解.【詳解】.故答案為：14．【分析】根據(jù)多項(xiàng)式相乘展開(kāi)方法求解.【詳解】的展開(kāi)式中，構(gòu)成項(xiàng)只能是一個(gè)、一個(gè)、3個(gè)相乘，故此項(xiàng)為．故答案為：.15．【分析】先根據(jù)數(shù)列的前三項(xiàng)分別為1，2，6，得到，繼而可求出等比數(shù)列的公比，寫出數(shù)列通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)列是公等差數(shù)列，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，兩者相等，即可求解.【詳解】根據(jù)題意得，，則，即，設(shè)的公比為，則，故，又，∴，∴．故答案為：16．【分析】根據(jù)題意，分別討論與兩種情況，利用二次不等式的求解與導(dǎo)數(shù)解決恒成立的方法，分別求得的范圍，從而得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，由，得，由題知時(shí)，故；當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，設(shè)，則在上單減，在上單增，所以，故，綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.17．(1)；(2)【分析】（1）利用輔助角公式，結(jié)合正弦型函數(shù)的周期公式、正弦型函數(shù)的對(duì)稱中心進(jìn)行求解即可；（2）結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），由最小正周期為，所以所以，，對(duì)稱中心坐標(biāo)為；（2）由，則，且區(qū)間端點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，只需觀察左右兩邊的函數(shù)圖像，

當(dāng)取得最大值；當(dāng)取得最小值；則當(dāng)，所以的收值范諱是．18．(1)62(2)182人(3)【分析】（1）根據(jù)分布直方圖計(jì)算即得；（2）由學(xué)生初試成績(jī)服從正態(tài)分布，可得，，再由計(jì)算即得；（3）分別求出，和的概率，即得.【詳解】（1）由題意得，樣本平均數(shù)的估計(jì)值為.（2）以為學(xué)生初試成績(jī)服從正態(tài)分布，其中，，則，所以，所以估計(jì)初試成績(jī)不低于80分的人數(shù)為人.（3）由題意得，，，所以.19．(1)(2)．【分析】（1）由累乘法可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）分類討論，即可得出答案.【詳解】（1）由可得，當(dāng)時(shí)，，，將以上各式相乘可得：，當(dāng)時(shí)，成立；所以（2）因?yàn)槭枪葹榈牡缺葦?shù)列，，若，則，數(shù)列不是遞增數(shù)列，若數(shù)列是遞增數(shù)列，恒成立，則．故的取值范圍為：.20．(1)(2)存在，【分析】（1）由題意可證出面，結(jié)合四棱錐的體積公式即可求出.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出直線與平面所成的角，列出方程，即可求得的值.【詳解】（1）連接，設(shè)與交點(diǎn)為，連接，在中，，又為的中點(diǎn)，所以，四棱錐的底面為矩形，所以，則，在中，，又，，所以，則，又，，平面，故面，又因?yàn)?，則四棱錐的體積.（2）由（1）知面，四棱錐的底面為矩形，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

，由，則，又因?yàn)?，，，設(shè)平面的法向量為，則令，得，因?yàn)橹本€與平面所成角為，且，則，，即，解得或，又因?yàn)?，所以（舍去），?21．(1)(2)．【分析】（1）由題知，代入橢圓求得即可；（2）設(shè)，求得坐標(biāo)代入橢圓方程求出，代入計(jì)算求最值即可.【詳解】（1）由題知，代入橢圓得，∴，，∴橢圓的方程為；（2）

設(shè)，設(shè)，由得，解得，則，代入橢圓的方程得，即，即，即，即，即，∴，同理可得，，由題知，∴，當(dāng)即為短軸端點(diǎn)時(shí)取得最大值．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問(wèn)題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的