《7.3復(fù)數(shù)的三角表示》復(fù)習(xí)教案

7.3.1復(fù)數(shù)的三角表示式

【基礎(chǔ)知識(shí)拓展】

1.在復(fù)數(shù)的三角形式中，輻角0的值可以用弧度表示，也可以用角度表示，

可以是主值，也可以是主值加2衣”或

A?360°(AWZ).但為了簡(jiǎn)便起見，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式時(shí)，一般

將0寫成主值.

2.兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.判一判(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)—l=cosn+isinn.()

,(JT吟，

(2)2i=21cos5+isin萬J.()

(3)-3(cos200°+isin200°)是復(fù)數(shù)的三角形式.()

答案⑴V(2)V(3)X

2.做一做

(1)將復(fù)數(shù)z,=-l+V3i表示成三角形式為.

(2)已知|z|二2木,argz=q,求復(fù)數(shù)z=.

(3)若a<0,則a的三角形式是.

答案(l)2^cos^-+isin^(2)^3-31

(3)—a(cosn+isinn)

【核心素養(yǎng)形成】

題型一復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式

例1把下列復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化成三角形式:

⑴/+i；(2)l-i.

［解］(l)r=-\/3+l=2,

V^3+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,

⑵r=y/l+l=木.

Vl-i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,

-17n

且tan0=---=-1,/?0=彳，

(7Ji.7nA

A1—i=-\/r2lcos-y+isin-Y-l?

【解題技巧】

復(fù)數(shù)代數(shù)形式化為三角形式的步驟

(1)先求復(fù)數(shù)的模.

(2)決定輻角所在的象限.

(3)根據(jù)象限求出輻角(一般取其主值).

(4)求出復(fù)數(shù)三角形式.

【跟蹤訓(xùn)練】

把下列復(fù)數(shù)表示成三角形式.

,(3n3吟

(1)—2+2i；(2)21sin-^j—+icos-^j—I.

解⑴原式=2蛆(一乎+坐)=2隹b0$等+isin午)

(2)原式=2(乎一乎i)=21os芋+isin4").

題型二判斷復(fù)數(shù)三角形式的條件

例2判斷下列各式是否是復(fù)數(shù)的三角形式，若不是，把它們表示成三角形

式.

1(兀兀、

(1)^1COS-■—isinyI；

ifJinA

(2)—dcos—+isin-yI;

(3)2—cos—+isin—；

(4)sin-+icos-

55

［解］根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式的結(jié)構(gòu)，

z=r(cos，+isin，可依次作出判斷.

7n7n

(1)不是?/cos——isin-rcos-7-+isin-r-

44

(2)不是.一不

44兀

cos-7-+isin-

4n4兀

(3)不是.21—cos-+isin-=2lcos-^+isin-

⑷不是.sin-4-icos-=cos-

55

【解題技巧】

判斷復(fù)數(shù)的三角形式的條件

⑴「川；

⑵加號(hào)連接；

(3)cos在前，sin在后；

(4)0前后一致，可任意值.

即“模非負(fù)，角相同，余正弦，加號(hào)連”.

【跟蹤訓(xùn)練】

求復(fù)數(shù)2=3.5可一icos§J的輻角主值.

11n,11n

-—+isin—-

11JT

二輻角主值argz=~^―.

題型三復(fù)數(shù)三角形式化為代數(shù)形式

例3把下列復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式.

(JIJT\

(1)41cos—+isin—I；

/、(lln.11nA

(2)6lcos+isinI.

[解]根據(jù)a+6i=r(cos+isin。)，可得

d=zcos9,b=rsin。，故可解.

JIr^-]=4X4+4X^i=2+2^5i.

(1)4cos-+i

ooJNZ

(11JI

(2)61cos，6+isin

【解題技巧】

將復(fù)數(shù)的三角形式化為代數(shù)形式:

由z=r(cos，+isinJ)=_rcosJ+irsin0,

可得a=rcos9,Z>=rsin9.

【跟蹤訓(xùn)練】

將下列復(fù)數(shù)的三角形式化成代數(shù)形式.

(JT吟

(1)Z|=2lcos~+isin-I

(2)Z2=6(COS60°+isin60°).

解⑴Z[=

⑵Z2=6

【課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】

1.—6的輻角主值為()

JIJI

A.0B.-C.D.——

乙乙

答案c

解析一6=6(―1+0?i)=6(cos九+isin”)，輻角主值。=".故選C.

2.下列說法正確的是()

7JI7兀3兀

A.已知復(fù)數(shù)z=cost-+isin-T，則z的輻角主值為q-

555

B.復(fù)數(shù)z=2i+3的虛部為2i

C.(#+i)6=—64

―..(3n3nA

D.復(fù)數(shù)z=2i的三角形式為z=2|^cos—+isin—j

答案C

7n

解析A項(xiàng)，z的輻角主值arg2=丫，錯(cuò)誤；B項(xiàng)，虛部為實(shí)數(shù)2,錯(cuò)誤；

□

C項(xiàng),(m+i)6=[(4+i)2『=(2+2:i)3=8+3X2義(2^3i)2+3X22X(2^3

i)4-(2^3i):,=—64,正確；D項(xiàng)，z=2(0+i)=2&os5+isin萬)，錯(cuò)誤.故C

正確.

3.復(fù)數(shù)J—的三角形式是.

乙乙

答案cos-^4-isin-

解析71：-i=cos—5n+isin—5JI,故復(fù)數(shù)51一日-i的三角形式是cos5.JTT

乙乙O。乙乙O

5冗

isin-z-.

0

4.設(shè)復(fù)數(shù)z,z+2的輻角主值為三,z-2的輻角主值為等,則z=

答案—i+q5i

解析設(shè)z+2=r[cosw+isin詈八,小n

2+21

C{5JI|5吟V3rr.

z-2=^cos—+isin—22

.?.&2+處]=2-四+亂

卜2=2斗①

易得4

典［二衛(wèi)e

、2一2'U

.,.或=十力，代入①得力=2,.,.z=l+/i—2=—l+/i.

5.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z-3,的輻角主值為等，z+1的模為亞，求復(fù)數(shù)z.

解設(shè)z=x+yi(x,yGR).

由得|(x+1)+yi|

...(x+l)2+/=10.①

又z—3z=(x+yi)—3(x—yi)=-2x+4yi,所以

f-2x<0,

—5n/

arg(z—3z)=-4八0,②

1一2x=4y,

解①②，可得x=2,y=-1.

所以z=2—i.

《7.3復(fù)數(shù)的三角表示》課后作業(yè)

7.3.1復(fù)數(shù)的三角表示式

基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練

一、選擇題

7JT

1.如果非零復(fù)數(shù)有一個(gè)輻角為一一1，那么該復(fù)數(shù)的（）

A.輻角唯一B.輻角主值唯一

7n7n

C.輻角主值為一丁D.輻角主值為了

答案B

解析???輻角主值范圍是［0,2c］,任何一個(gè)非零復(fù)數(shù)都有唯一的輻角主值,

7JiJi

...有一輻角為一丁，則該復(fù)數(shù)有唯一的一個(gè)輻角主值，為彳.故選B.

（4n4幾、

2.復(fù)數(shù)z=—31sinFicosfj的輻角主值是（）

4n5n11nJI

A.-z-B，-

o-0.飛D-T

答案C

JTn=3[siny-icosy

解析-sin-+icos-

OO

(11H.11n11幾

=3cos-—H-isin-T-

I66argz=6?

3.復(fù)數(shù)z=者的輻角主值是（）

JI3n5n7n

C.~r~D.—~

A-TB?丁44

答案D

11

析

fA刀-,_^2|7兀,7n，所以輻角主值是手，故選

牛z---

lf-1221

A:fCOS'■bisin-

D.

4.復(fù)數(shù)l+/i的三角形式是（)

JIJTJTJI

A.cos—+isin—B.2lcos—+isin—

33

JIJTJTn

C.cos—+isin—D.2cos-+isin—

66I66,

答案B

解析1+m1=2（；+乎]=2（JTJT

COS—+isin—I.故選B.

5.已知復(fù)數(shù)z=-i+[5i,則它的共拆復(fù)數(shù)，的三角形式為（）

I4n4冗

A.z=2lcos-^——isin-

JI

B.=-2lcos-+isin-

I4n4冗

C.z=2lcos^-+isin—

(5n,5n

D.z=2lcos-^-4-isin—

答案c

解析,.*7=—1—A/3I,：.\~Z\=2,?=2—g—乎i)=

(4n

21cos-

6.著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)數(shù)的三角形式：e"=cosx+isinx(其中i為虛

數(shù)單位，i2=-l),根據(jù)這個(gè)公式，加表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案B

解析：e"=cosx+isinx,e:ii=cos3+isin3,3弧度的角終邊在第二象

限.選B.

二、填空題

7.復(fù)數(shù)一2i的實(shí)部是虛部是三角形式是

(3n3n、

答案0—221cos￡-+isin-^-J

解析復(fù)數(shù)一2i=0—2i,所以實(shí)部是0,虛部是一2,三角形式為

(3n,3吟

21cos~^-+isin-^-|.

8.復(fù)數(shù)1+i的模是，輻角主值是，三角形式是.

答案.y何cos5+isin爸

解析復(fù)數(shù)i+i的模是4r針=電，..T+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，且輻

JI

角的正切tanJ=l,.,.arg(l+i)=-p

二三角形式為呵cos：+isin5

9.復(fù)數(shù)2+i和-3一i的輻角主值分別為a,￡,則tan(a+￡)等于

答案1

解析???復(fù)數(shù)2+i和一3—i的輻角主值分別為a,J3.

1八1

/.tana=-,tanP=~,

乙o

.,c、tana+tan￡

??tan(a+￡)=""~&=1.

1—tanatanP

三、解答題

10.已知復(fù)數(shù)z=2+乎i,乎+乎i,求復(fù)數(shù)zi〃+z”的模及輻角主值.

解獷+z/=z獷(1+冷=異乎乎+乎i](l+i)=*-乎+與)

(5n5nA

=yjr21cos-^-+isin-^-1.

，復(fù)數(shù)z獷+z情的模為加，輻角主值為\

能力提升訓(xùn)練

1.已知復(fù)數(shù)z=l—sin夕+icos夕[n)求z

值.

解z=l+cos[萬+?]+isin田+

JlJTJT

22T.2丁240

—2cos9+2isin9cos

乙乙2

JT/

—+0(JTJT、

2——+0—卜0

—2cos9_2____..29

乙COSc+1S1I1

\22)

JIJi3nOnJIJI03n

當(dāng)時(shí)’4〈42〈2'2"<T+T<—>

—+0(n0Jl、

-2丁V+了+0

??z——2cos/

/ocos八Hsl112)

\2

3n9f3n0

+isin--y

2

3n，

，輻角主值為丁一萬.

2.已知復(fù)數(shù)z=l+i,求復(fù)數(shù)“"的模和輻角主值.

NIJL

z2-3z+6(l+i)2-3(l+i)+63-i

解A73z+1=i+T+i=2+T=1-1>

|l-i|=^/l2+(-l)2=A/2,因?yàn)閘—i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限且輻角的正切

tan0=-\,所以輻角的主值，=:.

《7.3.2復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義》復(fù)習(xí)教案

【基礎(chǔ)知識(shí)拓展】

1.復(fù)數(shù)三角形式的乘法公式推廣

Zi為Z3"?z〃=力(cos〃|+isin"J,?2(cos02+isin0.........r;,(cos0n-\-

isin%)=力n…乙,[cos(/+%+…+%)+isin(%+%+…+%)].

2.復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算(棣莫佛定理)

[r(cos，+isin0)]“=/(cos〃，+isinz?夕).

即復(fù)數(shù)的次幕的模等于模的〃次毒，輻角等于這個(gè)復(fù)數(shù)的輻角的n

倍，這個(gè)定理稱為棣莫佛定理.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.判一判(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“義”)

(1)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，1的立方根是1.()

⑵ZZ=Iz「.()

nJiA?

(3)2cos-+isin-^I?3|

答案⑴X(2)V(3)V

2.做一做

(1)把z=2—i對(duì)應(yīng)的向量0Z,按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)T，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)

的代數(shù)形式為

⑵(1+信產(chǎn)?

(3)121cos}~+isinJInY\

cos—+isin—I=

JIJT

答案⑴一1—2i(2)—2刈-(3)2lcosy+isiny

【核心素養(yǎng)形成】

題型一復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算

例1計(jì)算下列各式:

JIJI5JI

⑴wcos-+isin--~^+isin

6

JIJI

(2)3cosl-+isin-I?7lcos-^+isin

66

JT

(3)2lcos—+isinyIF'.

?！筥5兀JI5n

［解］(1)原式cos12+^Q+isini2+-r

..11nA

+iSin12/

fJi.3

JI3n+isinly+JI

(2)原式=21cosT

11JT11n

=211cosI。+isirr，2-J.

]

(3)原式=

(JIJI、

2lcos-+isin-

]

(4n,4n

161cos-^-H-isin-

_1，^3.

_1_2+2]1].

一/1也?廠16—32+32，

叫一二21)

【解題技巧】

(1)積的模等于模的積，積的輻角等于輻角之和.

(2)復(fù)數(shù)三角形式乘法運(yùn)算注意向量旋轉(zhuǎn)的方向.

(3)做復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算時(shí)，三角形式和代數(shù)形式可以交替使用，但是結(jié)果一般

保留代數(shù)形式.

【跟蹤訓(xùn)練】

(1)如果向量應(yīng)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)4i,應(yīng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后再把模變?yōu)樵瓉淼氖?

得到向量的，那么與0Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是—

⑵計(jì)算(l+45i)6.

答案⑴-4+4i⑵見解析

(JIJI

解析(1)"=4i=4|cosK+isirrr

「(冗冗We/6冗6n

⑵原式=2lcos—+isin—I'=2blcos-^-+isin—=26.

題型二復(fù)數(shù)三角形式的除法運(yùn)算

例2計(jì)算(1+i)，/(cos?+isin4

［解］因?yàn)閘+i=，^(cos?+isinT，,

所以原式=

__3L

【解題技巧】

(1)商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去

除數(shù)的輻角.

(2)結(jié)果一般保留代數(shù)形式.

(3)商的輻角主值不一定等于被除數(shù)的輻角主值減去除數(shù)的輻角主值所得的

差.實(shí)際上，arg^?與argzi,argz2的關(guān)系是：arg^=argz,—argz2+2An(AEZ).

【跟蹤訓(xùn)練】

計(jì)算:(1)[6(cos70°+isin70°)]4-[3(cos40°+isin40°)]；

(2)^cos-^-+isi+isin-

解(1)原式=2(cos30°+isin30°)=y[3+i.

(2)原式=4(cosK+isinK1=4i.

題型三復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算幾何意義的應(yīng)用

例3如圖所示，已知平面內(nèi)并列八個(gè)全等的正方形，利用復(fù)數(shù)證明：Z1

+Z2+Z3+Z4=4.

4

［證明］如圖，建立平面直角坐標(biāo)系(復(fù)平面).

1234

012345678^

Zl=arg(3+i),

N2=arg(5+i),

Z3=arg(7+i),

Z4=arg(8+i).

所以/1+N2+N3+/4就是乘積(3+i)(5+i)(7+i)(8+i)的輻角.而

(3+i)(5+i)(7+i)(8+i)=650(l+i),

JT

所以arg[(3+i)(5+i)(7+i)(8+i)]=1，

又因?yàn)镹l,Z2,Z3,N4均為銳角，

于是0<Nl+N2+N3+N4〈2n,

JI

所以Nl+N2+N3+N4=1.

【解題技巧】

復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的幾何意義是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)，利用復(fù)數(shù)的幾何意義解題要

充分挖掘題目中的已知條件.

【跟蹤訓(xùn)練】

—?-?

設(shè)復(fù)數(shù)Z2對(duì)應(yīng)的向量為前，恁，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且Z產(chǎn)一l+/i,若

>-?

4ji3Ji

把的繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)丁,把困繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)丁,所得兩向量恰好重合，

o4

求復(fù)數(shù)無

'4JT4兀)

解依題意(-l+/i)cos~3+isin31

_________且_______

3n.3n-

cos.+isin,

44

Z2=(—1+/i)(cos，Ji4nV3Ji,3幾

-H-isin-T-cos-7"+isin-

33人44

「(2JI.4Ji?3兀、)+isi管+小引

-2[■31314,

(11JT,11JI)

—21cos~彳-,+isin彳

=T+業(yè).

【課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】

B.-i

DM

答案A

A””(n.nA10JT,10n5n,5nn

解析cos-+isin-=cos-:-+isin-:-=cos-T-+isin-T-=cos-

\AJLJ44乙LiLi

+isin-=i.故選A.

2.若復(fù)數(shù)z=e7則它的三角形式為（）

1(JIJI

A.71cos-+isin-

B.^/2^cos-+isin-

、2(豆吟

C.cos-+isin-

2144J

72(nJTA

D.cos——isin-

2144J

答案C

解析*=±=1+與,.?.歸=乎，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是2,位于第

1I"1ZJZCJl乙乙）

一象限，所以argz=~故選C.

(JTJlVJT吟

3.1COS-+isin—IIcos-+isin-1=()

A.iB.-i

C.1D.-1

答案A

解析

4.itM2-rlcos-+isin-1=.

答案木一加i

2.(1T)

解析解法一：原式=

乎(l+i)(l-i)小

億/+一5_u2(cos0+isin0)

解法_：原式-----------

cos-+isin-

I44J

=2X坐+2X1一制

/(#一1)2乖一書

y2=啦=2.

《7.3.2復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義》課后作業(yè)

基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練

一、選擇題

1.復(fù)數(shù)sin40°-icos40°的輻角主值是()

A.40°B.140°

C.220°D.310°

答案D

解析Vsin40°=cos310°，—cos40°=sin310°,/.sin40°-icos40°

=cos310°+isin310°.故復(fù)數(shù)的輻角主值為310°.選D.

2.(cosj~+isinj~)(l+i)的值是()

A.-yftiB./i

C.2iD.-2i

答案B

解析解法一：原式=宙+半i](l+i)=^(l+i)2=^X(2i)=^i.

(JIJiA(JIJIA

解法二：原式=kos7+isirr]J?^/r2lcosY+isin—I

=-\/2^cos—+isin-^=-\j2i.故選B.

3.計(jì)算一一「。二..的輻角主值為()

cosl20+isin120

5n7n

A.~7~B

0-v

c11n5幾

D.-z-

c.-yO

答案c

111n11JT,,

解析解法一：原式=]i=cos—rfisin一h.故選C.

&力4_cos90°+isin90°/,...。、

解法一：原式=cosl20。+isinl20°=cos(—30ox)+isin(-30)=

11JI

cos3300+isin33。。,因?yàn)?3。。=丁.故選C.

4.計(jì)算（cos36°+isin36°的結(jié)果為（）

A.-1B.1

1

2-

C.D.2

答案A

11

解析原式=1.選A.

(cos36°+isin36°)'cosl80°+isinl80°

（i是虛數(shù)單位）的三角形式是（）

(4n4”

C.3lcos-+isin-

f6n6n

D.31cos-isin-

答案C

(JT吟(4n

解析z=3|—cos-+isin-=3cos-r-.故選C.

V55J<5

6.計(jì)算(1+/。2。2。=()

A.2239+2刈9/iB.—299+2刈9/i

C.2刈9—2如9/iD.-22019-220,9V3i

答案D

解析原式=^cosy+isiny^j]2020=22020(cos2。].+isin^y

22°{COS券+isin*)=2+；—乎i[=—2刈-2期々§i.選D.

二、填空題

“3

7.若復(fù)數(shù)z=（a+i）2的輻角是g兒則實(shí)數(shù)a的值是

答案-1

3n

解析2輻角為〒，則才一