高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作業(yè)1第1章函數(shù)第2章極限與連續(xù)(-)單項(xiàng)選擇題.下列各函數(shù)對(duì)中，(C)中的兩個(gè)函數(shù)相等.A.f(x)=(Vx)2?g(x)=xB.f(x)=TP",g(x)=XC.f(x)=Inx3,g(x)=31nxD.f(x)=x+l,A(x)= x-1分析：判斷函數(shù)相等的兩個(gè)條件(1)相應(yīng)法則相同(2)定義域相同A、f(x)=(4x)2=x,定義域{xlx>0}:g(x)=x,定義域?yàn)镽定義域不同，所以函數(shù)不相等；B、/(x)=>/?=H,g(x)=x相應(yīng)法則不同，所以函數(shù)不相等；C、/(x)=lnx3=31nx，定義域?yàn)閧xlx>O},g(x)=31nx,定義域?yàn)閧xlx>0}所以兩個(gè)函數(shù)相等一]D^f(x)=X+l,定義域?yàn)镽;g(x) ]=4+1，定義域?yàn)閧工|工€/?,工壬1}定義域不同，所以兩函數(shù)不等。故選C.設(shè)函數(shù)f(X)的定義域?yàn)?-8,+8), 則函數(shù)/(X)+/(-X)的圖形關(guān)于(C)對(duì)稱.C.)，軸 D.y=x分析：奇函數(shù)，=于原點(diǎn)對(duì)稱偶函數(shù),/(-X)=/(x)，關(guān)于y軸對(duì)稱y=f(x)與它的反函數(shù)y=/-"(x)關(guān)于y=x對(duì)稱，奇函數(shù)與偶函數(shù)的前提是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱設(shè)g(X)=H+g)，則幺(一工)=以7)+1(尤)=就工)所認(rèn)為g(x)=r(x)+/X—X)偶函數(shù)，即圖形關(guān)于y軸對(duì)稱故選c.下列函數(shù)中為奇函數(shù)是(B).A.y=ln(l+x2) B.y=xcosxa'+a~x , 、C.y=——-—— D.y=ln(l+x/t)分析：A、j(-x)=ln(l+(-x)2)=In(1+x2)=y(x)偶函數(shù)B、y(-x)=-xcos(-x)=-xcosx=-y(x)，為奇函數(shù)或者X為奇函數(shù),COSX為偶函數(shù)，奇偶函數(shù)乘積仍為奇函數(shù)C、y(f)="所認(rèn)為偶函數(shù)D、y(-x)=ln(l-x),非奇非偶函數(shù)故選B4.下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是(C).A.y=x+\ B.>=一工-1,x<0y=■C.y=X D.- 1, x>0分析：六種基本初等函數(shù)y=c(常值) 常值函數(shù)y=為常數(shù)一一幕函數(shù)y=ax(a>AaN) 指數(shù)函數(shù)y=log"x(a>O,aK1) 對(duì)數(shù)函數(shù)y=sinx,y=cosx,j?=tanx,y=cotx 三角函數(shù)y=a?rsiny=arccosx,[-1,1], ---反三角函數(shù)y=arctanx,y=arccotx分段函數(shù)不是基本初等函數(shù)，故D選項(xiàng)不對(duì)對(duì)照比較選C下列極限存計(jì)算不對(duì)的的是(D).A.lim— =15x￡+2limln(l+x)=0x->0

D.limxsin—=0

D.limxsin—=0

x*rx-><?分析:人、已知既卜。（〃>。）lim-+-2iS-x=2l瓢-2- =lim =-1-+--)?ex+2isx2x*,,-2r+-Tl+x2x2X 1+()B、limln(l+x)=ln(l+0)=0x->0初等函數(shù)在期定義域內(nèi)是連續(xù)的C、limAA=lim-sinx=0irxx->8xx->00時(shí)，一是無(wú)窮小量,sinx是有界函數(shù)，無(wú)窮小量X有界函數(shù)仍是無(wú)窮小量1Ism—I .D、limxsin—=lim—,令f= 0,x—>oo,則原式=limA-A-WXis1 X ，項(xiàng)t故選D6.當(dāng)XT0時(shí)茂量（C）是無(wú)窮小量.C?xsin— D.ln（x+2）x分析；lim/（x）=0.則稱/（X）為xto時(shí)的無(wú)窮小量A.lim—=1,重要極限iorB、lim±=。。,無(wú)窮大量x-M）vC、limxsin—=0,無(wú)窮小量xX有界函數(shù)sin-仍為無(wú)窮小量D、limln（x+2）=ln（0+2）=In2故選C7.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0滿足(A),則f(x)在點(diǎn)X。連續(xù)。lim/(x)=/(x)XTlim/(x)=/(x)XT氣0f(_r)在點(diǎn)易的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義C.limC.limf(x)=f(x0)D.limf(x)=limf(x)XT*分析：連續(xù)的定義:極限存在且等于此點(diǎn)的函數(shù)值，則在此點(diǎn)連續(xù)即lim/(x)=/(x0)連續(xù)的充足必要條件lim/(x)=/(x0)<=>hm/(x)=lim/(x)=/(x0)故選A(二)填空題函數(shù)KD=V=2+in(i+x)的定義域是一{xlx>3}x-3分析：求定義域一般遵循的原則偶次根號(hào)下的量20分母的值不等于0對(duì)數(shù)符號(hào)下量(真值)為正反三角中反正弦、反余弦符號(hào)內(nèi)的量，絕對(duì)值小于等于1正切符號(hào)內(nèi)的量不能取奴■土號(hào)(4=0,1,2...)然后求滿足上述條件的集合的交集，即為定義域、f(x)= 9+]n(i+j)規(guī)定x-3X2-9>0 x>3a￡x<-3_x-3*0得 X#3求魏l+x>0 x>~l定義域?yàn)閧x|x>3} 已知函數(shù)/(x+\)=X2+X測(cè)“f(x)=X2-X.分析：法一，令t=x+\得x=—l則/(0=(r-1)2+(/-1)=r2-r則f(x)=xi-x法二，/(*+1)=心+1)=(工+1-1)(工+1)所以/?)="_l)flim(1+X)x=.x*2x分析：重要極限甌"T等價(jià)式既推廣lim/(x)=oo則lim(l+))/<x)=eX*'' XFj(x)lim/(x)=0則lim(l+/(x))7A=elim(l+—)'=lim(l+±)~82xir2x1.若函數(shù)y(x)=?(i+Q',工<。，在x=o處連續(xù)，則k=.x+k,x>0分析：分段函數(shù)在分段點(diǎn)Xo處連續(xù)u>limf(x)=lim/(x)=/(x0)X—護(hù)XT%-limy(x)=lim(x+A)=O+k=A醮/(少醮(1+#=。所以k=e.函數(shù)y=-x+1，工>0的間斷點(diǎn)是_x=0_sinx,x<0分析：間斷點(diǎn)即定義域不存在的點(diǎn)或不連續(xù)的點(diǎn)初等函數(shù)在其定義域范圍內(nèi)都是連續(xù)的分段函數(shù)重要考慮分段點(diǎn)的連續(xù)性(運(yùn)用連續(xù)的充足必要條件)不等，所認(rèn)為工=0其間斷點(diǎn)lim/(x)=lim(x+l)=0+不等，所認(rèn)為工=0其間斷點(diǎn)lim/(x)=limsinx=0.若lim/(x)=A,則當(dāng)x->xn時(shí)，fx)—A稱為一x->工？時(shí)的無(wú)窮小量分析：lim(/(x)-A)=limf(x)-hmA=A-A=0所認(rèn)為f(x)-Ax->%時(shí)的無(wú)窮小量(三)計(jì)算題.設(shè)函數(shù)fM=<fM=<x>0x<0求:/X—2),f(0),y⑴.解：/(-2)=-2,/(0)=0./(l)=e'=e2x-\.求函數(shù)y=lg二」的定義域.解：y=ig解：y=ig 故意義，規(guī)定_X解得則定義域?yàn)?1工＜0或r＞：梯形的一個(gè)底邊與半圓的直徑重合，另一底解:形的而積表達(dá)成其高的函數(shù).3.在半徑為R的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形邊的兩個(gè)端點(diǎn)在半圓上,試將梯設(shè)梯形ABCD即為題中規(guī)定的梯形，設(shè)高為h,即OE=h,下底CD=2R直角三角形AOE中，運(yùn)用勾股定理得AE=梯形的一個(gè)底邊與半圓的直徑重合，另一底解:形的而積表達(dá)成其高的函數(shù).3.在半徑為R的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形邊的兩個(gè)端點(diǎn)在半圓上,試將梯設(shè)梯形ABCD即為題中規(guī)定的梯形，設(shè)高為h,即OE=h,下底CD=2R直角三角形AOE中，運(yùn)用勾股定理得AE=y/OA'-OE2=J/??一龍2則上底=2AE=普訴+2』寸一〃)=卜版+農(nóng)2一汁)sin3x.求lim J。sin2xsin3x-x*"TT3sin3x解：lim婪Tim點(diǎn)x-*osin2xx*sin2x乂x_>osin2x=hmx—=-x—2n—2x2x.求limx_ix-?tsin(x+1)解：lim'T=lim-(J==l=l)-=]imx-l,,,,,=——2Tsin(x+1)^sin(x+l)sin(x+l)1((2)((2)lim6.:—求臨—竺=蟲(chóng)

t->0Y=0解:]而業(yè)竺=lim業(yè)?，二】im業(yè)x—」x3=?Zx3=3xzxcos3xz3xcos3x17.求lim7.求lim業(yè)五WI。sinx解:噸匝w?r-*°sinx亞M妃lim +DTim—^。(扃+1)世(1+1)、1z(Vl+x2+l)sinx e31+A2+])汕x解：lim(=T=lim(—)x=lim —=lim1+- …(1+#e9.求i4x-5x+4解:Hm七竺竺=臨尸零^=hm三 4-2_2x~Z-5x+4z(x-4)(x-l)7工一14AT=310.設(shè)函數(shù)(x-2)2,x>lfW=<x, -1<x<1x+1,x<-1討論/■("的連續(xù)性，并寫(xiě)出其連續(xù)區(qū)間.解：分別對(duì)分段點(diǎn)x=-l,x=l處討論連續(xù)性lim/(x)=lim(x+l)=-1+1=0所以lim/(x)#lim/(*)，即/(x)在x=-\處不連續(xù)lim/(x)=lim(x-2)2=(l-2)2=llirn/(x)=limx=l/(')=!所以lhn/(x)=Hm/(x)=/⑴即f(x)在x=1處連續(xù)由(1)(2)得/*(》)在除點(diǎn)x二-\外均連續(xù)故/'(x)的連續(xù)區(qū)間為(1)U(T,*?)高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作業(yè)2第3章導(dǎo)數(shù)與微分(一)單項(xiàng)選擇題1.設(shè)/(())=0且極限lim丑邑存在，則lim丑D=(c).

x->0x .v->0*A./(0).｝廣(0)

冊(cè)cvx2hA2：21xfx)在x0可導(dǎo)，則C.2f(x0)NiB-D?-/Vo)六A.e‘a(chǎn)=(D).B.1+D..設(shè)f(x)=e^m\.設(shè)fM=x(x-/JxL2)J(X-為扁廣(0)=(D).2eI-e4B.-99D.-99!A.B.-99D.-99!C.99!5.下列結(jié)論中對(duì)的的是(CA.若在點(diǎn)X。有極限，則在點(diǎn)％可導(dǎo).B.若/(x)在點(diǎn)尤。連續(xù)，則在點(diǎn))天(人可導(dǎo).Ar->0

C.若/■⑴在點(diǎn)M可導(dǎo)，則在點(diǎn)％有極限.D.若f(x)在點(diǎn)易有極限，則在點(diǎn)氣連續(xù).(-)填空題^^′y°,則，(。)=隼.設(shè)函數(shù)f(x)=? x=00..設(shè)/(ei)=e2t+5e\則業(yè)也2=dxxxsinx在(f,1).曲線/(*)=五+1在(1,2)處的切線斗率是k=-4,曲線/(])處的切線方程是y=gx=gsinx在(f,1)設(shè)y=x2x,?y=2x2x(l+lnx)設(shè)y=xlnx,則y"=x(三)計(jì)算題.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)礦:j=(xjx+3)ex y=(±3)八壽如y1=-esc2x+x+2xk\x2xlnx+x,x(-sinx+2'In2)-3(cosx+2r)y= : ⑸尸ysinxsinx(±一2x)一(Inx—a2⑸尸ysinx/=sin2x(6)y=x4-sinxlnxy=4P一業(yè)一cosxlnx(6)y=cose(7)y=sinx+x2V_3A(cos%(7)y=sinx+x2V_3A(cos%+2x)-(sinx+x2 vln33*321(8)y=exlanx+InxCOS~XX2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y'：y=e'/r7y=\ncosx3-sina-sina：32C2,Oc—一—3a：=-3xtanxcosxy=^Xy/xyfx(4)y=Vx+Vx⑸y=cos2e”/=-evsin(2ex)2 2y'=-2xexsinex?(7)y=sin"xcosnx(7)e(7)ey=ev-y3y'=〃sin"Txcosxcosnx-nsinnxsin(wjr)⑻y=5心/=2xln5cosx25sin?⑼y=W靜Xy'=sin2"心(i?y=Xx"+e質(zhì)(X+2XlnX)+yf=xx 2xexXe''+ee'an、=yr=xe'(— FexInX)4-ee'exx3.在下列方程中，y=y(x)是由方程擬定的函數(shù)，求y'：⑴ycosX=e2vy'cosX-ysinX=2elyy',_ysinXycosx-2e2y⑹y=cose(2)y=cosjlnxy'=siny.yinx+cosy.—xy，=—S212_x(l+sinyinx)r2⑶)2xsiny=一y火2xcosy+二)=牛-2siny

yN2xcosy./+2siny=y),=Z-qysiny2xy2cosy+x2y=x+Inyy=A+iy/=-A-7y-ilnx+ev=y2-+eyy,=2yy,xyr= ! x(2y-ey)⑹y2+\=exsiny2yy'=excosy.y'+siny.exy二Wsiny2y-excosyey/=ex-3y2/(8)y=5'+2)y'=5'ln5+),'2'In2—5,ln5,~l-2yln24.求下列函數(shù)的微分d),：(Dy=cotx+cscx, ,Tcosx、”cos-%sin~xIn%sinx—sinx-lnxcosxd),= 二 dxsin-x(3)y-arcsinl+x-(I+Ar)—(3-x)dx兩邊對(duì)數(shù)得：Iny=-[ln(l-x)-ln(l+x)],KjM?(5)y=sin2exdy=2sinexex"exdx=sin(2€x)ev6Zr⑹y=tanevdy=sec2/3x2i/x=sec2xdx5.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):(Dy=xlnxy,=[=]nx(2)y=xsinxy'=xcosx+sinx=-xsinx+2cosx⑶y=arctanx?2x(4)y=3xy=2x3『In3 /=4x23v2ln23+21n3-3r2(四)證明題設(shè)r(x)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，試證/"(X)是偶函數(shù).證：由于f(x)是奇函數(shù)所以f(-x)=-f(x)兩邊導(dǎo)數(shù)得：=fx)=>fX-x)=/(x)所以/"(x)是偶函數(shù)。高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作業(yè)3第4章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)單項(xiàng)選擇題.若函數(shù)/'(對(duì)滿足條件(D),則存在CGM),使得/??)='(?-&).b-aA.在。，。)內(nèi)連續(xù) B.在(oM)內(nèi)可導(dǎo)C.在(oM)內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo) D,在“，切內(nèi)連續(xù)，在QM)內(nèi)可導(dǎo).函數(shù)/(x)=x2+4x-l的單調(diào)增長(zhǎng)區(qū)間是(D).A.(-oo,2) B.(-1,1)C.(2,+8) D,(-2,+00).函數(shù)y=x2+4x-5在區(qū)間(-6,6)內(nèi)滿足(A).A.先單調(diào)下降再單調(diào)上升 B.單調(diào)下降C.先單調(diào)上升再單調(diào)下降 D.單調(diào)上升.函數(shù)/(X)滿足f(x)=0的點(diǎn)，一定是/(x)的(C).A.間斷點(diǎn) B.極值點(diǎn)C.駐點(diǎn) D.拐點(diǎn).設(shè)y(x)在(入。)內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),x0G(a,b),若.，("滿足(C)Mf(x)在孔取到極小值.A.r(xo)>o,/*(xo)=o B,r(xo)<o,ruo)=oc.r(xo)=o,r(xo)>o D./Vo)=O，f〃(%)vO6.設(shè)/Xx)在內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),且r(x)<0，r(x)<0,則/(x)在此區(qū)間內(nèi)是(A).A.單調(diào)減少且是凸的 B.單調(diào)減少旦是凹的C.單調(diào)增長(zhǎng)且是凸的 D.單調(diào)增長(zhǎng)且是凹的(二)填空題.設(shè)f(x)在(°,b)內(nèi)可導(dǎo)，％e(a,b)t且當(dāng)x<x0時(shí)f(x)<0,當(dāng)x>x0時(shí)f\x)>。，則x0是f(x)的極小值_點(diǎn) .若函數(shù)f(x)在點(diǎn)也可導(dǎo)，且與是fM的極值點(diǎn)，則/V。)=_0.函數(shù)y=ln(l+垠)的單調(diào)減少區(qū)間是(-8,0)..函數(shù)f(x)=ex2的單調(diào)增長(zhǎng)區(qū)間是(0,+8).若函數(shù)/⑴在"，用內(nèi)恒有f(x)v。,則八對(duì)在上的最大值是f(a).. 函數(shù)/(x)=2+5x-3x5的拐點(diǎn)是(三)計(jì)算題.求函數(shù)y=(x+l)(x—5尸的單調(diào)區(qū)間和極值.令y'=(x+l)2(x+5)2=2(x-5)(x-2)X(-8,2)2(2,5)5(5,+8)V+極大 極小+y上升27下降0上升=＞駐點(diǎn)工=2,x=5列表：極大值：/(2)=27極小值：/(5)=0.求函數(shù)y=x2-2x+3在區(qū)間［0,3］內(nèi)的極值點(diǎn)，并求最大值和最小值.令：y'=2x_2令：y'=2x_2=0=>x=1(駐點(diǎn)J/(I)=2/(0)=3/(I)=2n散大值 A3)=6=最小值 /(D=2.試擬定函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d中的使函數(shù)圖形過(guò)點(diǎn)(-2,44)和點(diǎn)(1,-10)，且*=一2是駐點(diǎn)，工=1是拐點(diǎn).44=-Sb+4b-2x+d a=1b=-3b=-3c=16J=-24Q=l2a-4b+c

0=6a+2h.求曲線/=2x上的點(diǎn)，使其到點(diǎn)A(2,0)的距離最短.解：設(shè)p(x,y)是y2=2A?上的點(diǎn),d為p到A點(diǎn)的距離，則:

d=A(X-2)2+y2=yl(x-2)2+2x令2(=2(x-2)+2—:?2y/(x-2)2+2xy](x-2)2+2x2==2尤上點(diǎn)(1,2)到點(diǎn)A(2,0)的距離最短。.圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為公，問(wèn)當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí)，圓柱體的體積最大?設(shè)園柱體半徑為R,高為h,則體積V=7iR2h=7r(l?一h=)h令.?V'=g-2?)+l/-h2]=ni)-3/F]=0 =>L=y/3h.?.當(dāng)h=§R=辱時(shí)其體積最大。.一體積為V的圓柱體，間底半徑與高各為多少時(shí)表面積最?。吭O(shè)園柱體半徑為R,高為h,則體積S表面積=2威h+2忒=2-+2狀2RV=;vR2h=>—=7?3=>/?=2勿令；S'=-2VR~2+4狀=0 7.欲做一個(gè)底為正方形，"容積為62.5立方米的長(zhǎng)方體開(kāi)''■力=件時(shí)表而積最大?？谌萜?，如何做法用料最省?解：設(shè)底連長(zhǎng)為X,高為h°則:62.5=x2h=>h=x側(cè)面積為：S=工2+4引？=工2+丕”X令S,=2x--=0=疽=125口*=5A答：當(dāng)?shù)走B長(zhǎng)為5米，高為2.5米時(shí)用料最省。(四)證明題1.當(dāng)工>0時(shí)，證明不等式x>ln(l+x).證：由中值定理得:ln(1+x)ln(l+x)-ln1(3>0)_>ln(l+x)<i=>x>in(l+x)(當(dāng)x2.當(dāng)x>0時(shí)，證明不等式ex>x+1.T&fM=ex-(x+1)f(x)=ex-l>0 (當(dāng)x>OH寸Jn當(dāng)x>(M/(x)單調(diào)上升且/(0)=0/.f(x)>0.即《>(x+l)證畢(-)單項(xiàng)選擇題高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作業(yè)4不定積定分積分及其應(yīng)用1.若/?(、)的一個(gè)原函數(shù)是一，則f(X)=(DA.In國(guó)C.1x2.下列等式成立的是(D).Aj/V)ck=/a)B.jdf(x)=/a)C.dj/(x)dr=/(x)D.￡j/(x)dx=/(x).若r(x)=cosx,則]7'(x)dx=(B).A.sinx+cB.cosx+cC.-sinx+c.￡抨/(]3)口=(B).D.-COSX4-CA./(x3)