PAGE單元素養(yǎng)檢測(三)(第四章)(120分鐘150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求的)1.函數(shù)f(x)=QUOTE+lg(1+x)的定義域是 ()A.(-∞,-1) B.(1,+∞)C.(-1,1)∪(1,+∞) D.(-∞,+∞)【解析】選C.要使函數(shù)f(x)有意義,則QUOTE解得x>-1,且x≠1.故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,1)∪(1,+∞).【補(bǔ)償訓(xùn)練】下列函數(shù)中,滿意“f(x+y)=f(x)·f(y)”的函數(shù)是 ()A.f(x)=3x B.f(x)=x3C.f(x)=3x D.f(x)=log3x【解析】選C.因?yàn)?(x+y)=3xy不恒成立,所以選項(xiàng)A不滿意f(x+y)=f(x)·f(y);(x+y)3=x3y3不恒成立,所以選項(xiàng)B不滿意f(x+y)=f(x)·f(y);3x·3y=3x+y,所以選項(xiàng)C滿意f(x+y)=f(x)·f(y);log3xy=log3x+log3y,所以選項(xiàng)D不滿意f(x+y)=f(x)·f(y).2.給出f(x)=QUOTE則f(log23)的值等于 ()A.-QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】選D.因?yàn)閘og23∈(1,2),所以f(log23)=f(log23+1)=f(log26)=f(log26+1)=f(log212)=f(log212+1)=f(log224)=QUOTE=QUOTE.3.(2024·全國卷Ⅱ)函數(shù)fQUOTE=QUOTE的圖象大致為 ()【命題意圖】本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的運(yùn)用,重在考查識(shí)圖實(shí)力,留意應(yīng)用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性.【解析】選B.因?yàn)閤≠0,f(-x)=QUOTE=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù),舍去A,因?yàn)閒(1)=e-e-1>0,所以舍去D;因?yàn)閒′(x)=QUOTE=QUOTE,所以x>2,f′(x)>0,所以舍去C;因此選B.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在同始終角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=QUOTE,y=logaQUOTE(a>0且a≠0)的圖象可能是()【解析】選D.當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)y=ax過定點(diǎn)QUOTE且單調(diào)遞減,則函數(shù)y=QUOTE過定點(diǎn)QUOTE且單調(diào)遞增,函數(shù)y=logaQUOTE過定點(diǎn)QUOTE且單調(diào)遞減,D選項(xiàng)符合;當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=ax過定點(diǎn)QUOTE且單調(diào)遞增,則函數(shù)y=QUOTE過定點(diǎn)QUOTE且單調(diào)遞減,函數(shù)y=logaQUOTE過定點(diǎn)QUOTE且單調(diào)遞增,各選項(xiàng)均不符合.4.已知a=QUOTE,b=log34,c=loQUOTE3,則以下關(guān)系正確的是 ()A.a<b<c B.b<a<cC.a<c<b D.c<a<b【解析】選A.因?yàn)閍=QUOTE<QUOTE=1可知0<a<1,又因?yàn)?<b=log34<c=loQUOTE3=log39,所以1<b<c,即a<b<c.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)a=50.4,b=log0.40.5,c=log40.4,則a,b,c的大小關(guān)系是A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a【解析】選B.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別推斷a,b,c與0和1的大小,即可得結(jié)果.因?yàn)閍=50.4>50=1,0<b=log0.40.5<log0.4c=log40.4<log41=0,所以c<b<a.5.設(shè)f(x)=2x-x2,則在下列區(qū)間中使函數(shù)f(x)有零點(diǎn)的區(qū)間是 ()A.(0,1) B.(1,2)C.(-2,-1) D.(-1,0)【解析】選D.因?yàn)閒(x)=2x-x2,所以f(0)=20-02=1>0,f(1)=2-1=1>0,f(2)=22-22=0,f(-2)=2-2-(-2)2<0,f(-1)=2-1-(-1)2<0,所以f(-1)f(0)<0,因此函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,0)上有零點(diǎn).【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=QUOTE-log2x.在下列區(qū)間中,包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是 ()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,4) D.(4,+∞)【解析】選C.由題意知f(1)=QUOTE-log21=6>0,f(2)=QUOTE-log22=3-1=2>0,f(4)=QUOTE-log24=QUOTE-2=-QUOTE<0.故f(2)·f(4)<0.由零點(diǎn)存在定理可知,包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間為(2,4).6.已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點(diǎn)QUOTE,則log4f(2)的值為()A.QUOTEB.-QUOTEC.2D.-2【解析】選A.設(shè)f(x)=xa,圖象過點(diǎn)QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,解得a=QUOTE,所以log4f(2)=log4QUOTE=QUOTE.7.已知函數(shù)f(x)=log2(x2-ax+3a)在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是()A.(-∞,4] B.(-∞,2]C.[-4,4] D.(-4,4]【解析】選D.由函數(shù)f(x)=log2(x2-ax+3a)在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增,所以QUOTE解得-4<a≤4,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-4,4].【補(bǔ)償訓(xùn)練】若函數(shù)f(x)=logaQUOTE(a>0,a≠1)在區(qū)間QUOTE內(nèi)恒有f(x)>0,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ()A.(0,+∞) B.(2,+∞)C.(1,+∞) D.QUOTE【解析】選A.令M=x2+QUOTEx,當(dāng)x∈QUOTE時(shí),M∈(1,+∞),f(x)>0,所以a>1,所以函數(shù)y=logaM為增函數(shù),又M=QUOTE-QUOTE,因此M的單調(diào)遞增區(qū)間為QUOTE.又x2+QUOTEx>0,所以x>0或x<-QUOTE.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).8.已知函數(shù)f(x)=QUOTE若函數(shù)g(x)=f(x)-2x恰有三個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.[-1,1)B.[-1,2)C.[-2,2)D.[0,2]【解析】選B.由題意可得g(x)=QUOTE恰有三個(gè)不同的零點(diǎn),如圖所示,-1≤a<2.【補(bǔ)償訓(xùn)練】關(guān)于x的方程QUOTE+a-2=0有解,則a的取值范圍是 ()A.0≤a<1 B.1≤a<2C.a≥1 D.a>2【解析】選B.QUOTE+a-2=0有解等價(jià)于a=2-QUOTE有解,由于|x|≥0,所以0<QUOTE≤1,由此1≤2-QUOTE<2,可得關(guān)于x的方程QUOTE+a-2=0有解,則a的取值范圍是1≤a<2.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.下列計(jì)算正確的是 ()A.log26-log23=log23 B.log26-log23=1C.log39=2 D.log3(-4)2=2log3(-4)【解析】選BC.在B選項(xiàng)中,log26-log23=log2QUOTE=log22=1,故B正確,在C選項(xiàng)中,log39=log332=2log33=2,故C正確.10.已知y=x(x-1)(x+1)的圖象如圖所示.令f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,則下列關(guān)于f(x)=0的解敘述正確的是 ()A.有三個(gè)實(shí)根B.當(dāng)0<x<1時(shí)恰有一實(shí)根C.當(dāng)-1<x<0時(shí)恰有一實(shí)根D.當(dāng)x<-1時(shí)恰有一實(shí)根(有且僅有一實(shí)根)【解析】選AD.f(x)的圖象是將函數(shù)y=x(x-1)(x+1)的圖象向上平移0.01個(gè)單位得到.故f(x)的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn),它們分別在區(qū)間(-∞,-1),QUOTE和QUOTE內(nèi).11.給定下列函數(shù),其中在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的函數(shù)是 ()A.y=QUOTE B.y=loQUOTE(x+1)C.y=|x-1| D.y=2x+1【解析】選BC.y=loQUOTE(x+1)和y=|x-1|在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,y=QUOTE和y=2x+1在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增.12.對于0<a<1,給出下列四個(gè)不等式,其中成立的是 ()A.loga(1+a)<loga(1+QUOTE)B.loga(1+a)>loga(1+QUOTE)C.a1+a<QUOTED.a1+a>QUOTE【解析】選BD.由0<a<1,則y=logax在(0,+∞)單調(diào)遞減,a<QUOTE,則1+a<1+QUOTE,則loga(1+a)>loga(1+QUOTE),故A錯(cuò)誤,B正確;由0<a<1,則y=ax在R上單調(diào)遞減,a<QUOTE,則1+a<1+QUOTE,則a1+a>QUOTE,故C錯(cuò)誤,D正確.三、填空題(本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.假如函數(shù)f(x)=(3-a)x,g(x)=logax的增減性相同,則a的取值范圍是________.

【解析】由題意,得QUOTE或QUOTE解得1<a<2.答案:(1,2)14.函數(shù)f(x)=2x3-3x2+1的零點(diǎn)為________.

【解析】因?yàn)閒(x)=2x3-3x2+1,若f(x)=0,則2x3-3x2+1=0,可解得:x=1或-QUOTE,即函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為1和-QUOTE.答案:1和-QUOTE15.已知函數(shù)f(x)=QUOTE,則f(1)=________,f(f(1))=________.

【解析】f(1)=QUOTE=0,f(f(1))=f(0)=21=2.答案:0216.某池塘中野生水葫蘆的面積與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示.假設(shè)其函數(shù)關(guān)系為指數(shù)函數(shù),并給出下列說法:①此指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2;②在第5個(gè)月時(shí),野生水葫蘆的面積就會(huì)超過30m2;③野生水葫蘆從4m2擴(kuò)散到12m2只需1.5個(gè)月;④設(shè)野生水葫蘆擴(kuò)散至2m2,3m2,6m2所需的時(shí)間分別為t1,t2,t3,則有t1+t2=t3;⑤野生水葫蘆在第1到第3個(gè)月之間擴(kuò)散的平均速度等于在第2到第4個(gè)月之間擴(kuò)散的平均速度.其中,正確的是________.(填序號(hào)).

【解析】因?yàn)殛P(guān)系為指數(shù)函數(shù),所以可設(shè)y=ax(a>0且a≠1).由題圖可知2=a1.所以a=2,即底數(shù)為2,所以說法①正確;因?yàn)?5=32>30,所以說法②正確;設(shè)水葫蘆擴(kuò)散至4m2,12m2的時(shí)間分別為x1,x2,當(dāng)面積為4時(shí),由4=QUOTE,解得x1=2,當(dāng)面積為12時(shí),由12=QUOTE,解得x2=log212=2+log23.x2-x1=log23≠1.5,所以說法③不正確;t1=1,t2=log23,t3=log26,所以t1+t2=t3.所以說法④正確;因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)增加速度越來越快,所以說法⑤不正確.故正確的有①②④.答案:①②④四、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分,解答時(shí)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)計(jì)算:(1)2QUOTE-QUOTE+1QUOTE+(QUOTE-1)0.(2)log3QUOTE+lg25-QUOTE+lg4.【解析】(1)2QUOTE-QUOTE+1QUOTE+QUOTE=(33QUOTE-52+(24QUOTE+1=QUOTE-25+8+1=-QUOTE.(2)log3QUOTE+lg25-QUOTE+lg4=QUOTElog327+(lg25+lg4)-QUOTE=QUOTE+2-QUOTE=1.18.(12分)已知函數(shù)f(x)=2a·9x-3x+1+1.(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的零點(diǎn).(2)若f(x)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=2·9x-3·3x+1.令f(x)=0,即2·(3x)2-3·3x+1=0,解得3x=1或3x=QUOTE.所以x=0或x=-log32,函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為0,-log32.(2)若f(x)有零點(diǎn),則方程2a·9x-3x+1+1=0有解,于是2a=QUOTE=QUOTE-QUOTE=-QUOTE+QUOTE,所以2a≤QUOTE,即a≤QUOTE.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為QUOTE.19.(2024·蘇州高一檢測)已知函數(shù)f(x)=2x-2-x.(1)推斷并證明f(x)的奇偶性.(2)求函數(shù)g(x)=22x+2-2x-f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值和最大值.【解析】(1)函數(shù)f(x)=2x-2-x的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱,因?yàn)閒(-x)=2-x-2x=-(2x-2-x)=-f(x),因此,函數(shù)f(x)=2x-2-x為奇函數(shù).(2)設(shè)u=f(x),由于函數(shù)y1=2x為增函數(shù),函數(shù)y2=2-x為減函數(shù),所以,函數(shù)u=f(x)為增函數(shù),當(dāng)x∈[0,1]時(shí),則u∈QUOTE,且22x+2-2x=(2x-2-x)2+2=u2+2,則g(x)=u2-u+2,令y=u2-u+2=QUOTE+QUOTE,u∈QUOTE.所以,g(x)min=QUOTE,g(x)max=QUOTE+QUOTE=QUOTE.20.(12分)已知函數(shù)f(x-3)=logaQUOTE(a>0,a≠1).(1)推斷f(x)的奇偶性,并說明理由.(2)當(dāng)0<a<1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.【解析】令x-3=u,則x=u+3,于是f(u)=logaQUOTE(a>0,a≠1,-3<u<3),所以f(x)=logaQUOTE(a>0,a≠1,-3<x<3).(1)因?yàn)閒(-x)+f(x)=logaQUOTE+logaQUOTE=loga1=0,所以f(-x)=-f(x),又定義域(-3,3)關(guān)于原點(diǎn)對稱.所以f(x)是奇函數(shù).(2)令t=QUOTE=-1-QUOTE,則t在(-3,3)上是增函數(shù),當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)y=logat是減函數(shù),所以f(x)=logaQUOTE(0<a<1)在(-3,3)上是減函數(shù),即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-3,3).21.(12分)據(jù)觀測統(tǒng)計(jì),某濕地公園某種珍稀鳥類的現(xiàn)有個(gè)數(shù)約1000只,并以平均每年8%的速度增加.(1)求兩年后這種珍稀鳥類的大約個(gè)數(shù).(2)寫出y(珍稀鳥類的個(gè)數(shù))關(guān)于x(經(jīng)過的年數(shù))的函數(shù)關(guān)系式.(3)約經(jīng)過多少年以后,這種鳥類的個(gè)數(shù)達(dá)到現(xiàn)有個(gè)數(shù)的3倍或以上?(結(jié)果為整數(shù))(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)【解析】(1)依題意,一年后這種鳥類的個(gè)數(shù)為1000+1000×8%=1080(只).兩年后這種鳥類的個(gè)數(shù)為1080+1080×8%≈1166(只).(2)由題意可知珍稀鳥類的現(xiàn)有個(gè)數(shù)約1000只,并以平均每年8%的速度增加,則所求的函數(shù)關(guān)系式為y=1000×1.08x,x∈N.(3)令1000×1.08x≥3×1000,得:1.08x≥3,兩邊取常用對數(shù)得:lg1.08x≥lg3,即xlg1.08≥lg3,考慮到lg1.08>0,故x≥QUOTE,故x≥QUOTE=QUOTE,因?yàn)閘g108=lg(33×22)=3lg3+2lg2,所以x≥QUOTE≈QUOTE≈14.3.約經(jīng)過15年以后,這種鳥類的個(gè)數(shù)達(dá)到現(xiàn)有個(gè)數(shù)的3倍或以上.22.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=log3(9x)·log3(3x),且QUOTE≤x≤9.(1)求f(3)的值.(2)令t=log3x,將f(x)表示成以t為自變量的函數(shù),并由此求函數(shù)f(x)的最大值與最小值及與之對應(yīng)的x的值.【解析】(1)f(3)=log327·log39=3×2=6.(2)因?yàn)閠=log3x,又因?yàn)镼UOTE≤x≤9,所以-2≤log3x≤2,即-2≤t≤2.f(x)=(log3x+2)·(log3x+1)=(log3x)2+3log3x+2=t2+3t+2.令g(t)=t2+3t+2=QUOTE-QUOTE,t∈[-2,2].①當(dāng)t=-QUOTE時(shí),g(t)min=-QUOTE,即log3x=-QUOTE,則x=QUOTE=QUOTE,所以f(x)min=-QUOTE,此時(shí)x=QUOTE;②當(dāng)t=2時(shí),g