2023年呼和浩特市中考試卷數(shù)學(xué)留意事項(xiàng)：1．考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填涂在試卷和答題卡的規(guī)定位置．2．考生要將答案寫在答題卡上，在試卷上答題一律無(wú)效．考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回．3．本試卷滿分120分．考試時(shí)間120分鐘．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.-2的確定值是（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的確定值的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：在數(shù)軸上，點(diǎn)-2到原點(diǎn)的距離是2，所以-2的確定值是2，故選：A．2.如圖，直角三角板的直角頂點(diǎn)落在矩形紙片的一邊上．若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由平行線的性質(zhì)和余角的定義求解即可．【詳解】解：如圖，由題意可知，∴，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三角板中的角度計(jì)算，平行線的性質(zhì)和余角的定義．把握兩直線平行，同位角相等是解題關(guān)鍵．3.下列運(yùn)算正確的是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)二次根式的加法，二次根式的性質(zhì)，冪的乘方法則，同底數(shù)冪的乘法法則逐項(xiàng)計(jì)算即可推斷．【詳解】解：3和不是同類二次根式，不能合并，故A計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；，故B計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；，故C計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；，故D計(jì)算正確，符合題意．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的加法，二次根式的性質(zhì)，冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法．嫻熟把握各運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．4.下圖是某幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是（）A. B. C.

D.【答案】C【解析】【分析】認(rèn)真觀看三視圖結(jié)合選項(xiàng)確定正確的答案即可．【詳解】解：結(jié)合三視圖發(fā)覺(jué)：該幾何體為圓柱和長(zhǎng)方體的結(jié)合體，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖推斷幾何體的學(xué)問(wèn)，解題的關(guān)鍵是有足夠的空間想象力量，把握三視圖的定義5.若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)二次根式和分式有意義的條件即可求得答案．【詳解】解：由題意可得，解得：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式及分式有意義的條件，此為基礎(chǔ)且重要學(xué)問(wèn)點(diǎn)，必需嫻熟把握．6.在同始終角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的大致圖象可能為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可解答．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，，一次函數(shù)經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)其次、四象限；②當(dāng)時(shí)，，一次函數(shù)經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)第一、三象限；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把握一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)一、三象限；當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)二、四象限；反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)一、三象限；當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)二、四象限．7.如圖，矩形中，對(duì)角線的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，．若，，則的長(zhǎng)為（）A. B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，連接，記與交于點(diǎn)，先證，從而得，再由線段垂直平分從而，又在中可得的值，從而再在中可求得．【詳解】解：由題意，連接，記與交于點(diǎn)．線段垂直平分，，．四邊形是矩形，．．又，．．在中，．在中可得，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)，解題時(shí)要嫻熟把握并理解是關(guān)鍵．8.如圖所示的兩張圖片外形大小完全相同，把兩張圖片全部從中間剪斷，再把四張外形大小相同的小圖片混合在一起．從四張圖片中隨機(jī)摸取一張，不放回，接著再隨機(jī)摸取一張，則這兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】四張外形相同的小圖片分別用、、、表示，其中和合成一張完整圖片，和合成一張完整圖片，用列表法或畫樹(shù)狀圖法可呈現(xiàn)全部12種等可能的結(jié)果，再找出兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的結(jié)果數(shù)，然后依據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：四張外形相同的小圖片分別用、、、表示，其中和合成一張完整圖片，和合成一張完整圖片，畫樹(shù)狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的結(jié)果數(shù)為4，所以兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的概率．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查列表法與樹(shù)狀圖法：把握列表法或畫樹(shù)狀圖求等可能大事概率的方法是解題的關(guān)鍵．9.如圖，在中，，，，點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且．若，則的面積為（）

A.13 B. C.8 D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意，連接，然后先證明，從而，又由等腰可得，從而在中可以求得，又，從而可得的值，進(jìn)而可以得解．【詳解】解：如圖，連接．在中，，，點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，，，，．．，，，．．又，，．，．在中，．在中，．又在中，，．．．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題時(shí)要嫻熟把握并機(jī)敏運(yùn)用是關(guān)鍵．10.關(guān)于的二次函數(shù)的結(jié)論①對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等．②若圖象過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，．③若，對(duì)應(yīng)的的整數(shù)值有個(gè)，則或．④當(dāng)且時(shí)，，則．其中正確的結(jié)論有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】【分析】先求出該函數(shù)對(duì)稱軸為直線，再得出和關(guān)于直線對(duì)稱，即可推斷①；把代入，求出，則當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，得出，即可推斷②；依據(jù)，然后進(jìn)行分類爭(zhēng)辯：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即可推斷③；依據(jù)當(dāng)且時(shí)，得出y隨x的增大而減小，依據(jù)時(shí)，，求出，則當(dāng)時(shí)，，求出n的值，即可推斷④．【詳解】解：①∵二次函數(shù)，∴該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，∵，，∴，即和關(guān)于直線對(duì)稱，∴對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，故①正確，符合題意；②把代入得：，解得：，∴二次函數(shù)表達(dá)式為，∵，該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∵，∴，∴，∴，故②不正確，不符合題意；③∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∵，∴y隨x的增大而增大，∵，對(duì)應(yīng)的的整數(shù)值有個(gè)，∴四個(gè)整數(shù)解為：，∴，解得：，當(dāng)時(shí)，∵，∴y隨x的增大而減小，∵，對(duì)應(yīng)的的整數(shù)值有個(gè)，∴四個(gè)整數(shù)解為：，∴，解得：，綜上：或，故③正確，符合題意；④當(dāng)且時(shí)，y隨x的增大而減小，∵，∴當(dāng)時(shí)，，解得：，∴，當(dāng)時(shí)，，解得：，故④不正確，不符合題意；綜上：正確的有①③，共2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是嫻熟把握的對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；時(shí)，函數(shù)開(kāi)口向上，在對(duì)稱軸左邊，y隨x的增大而減小，在對(duì)稱軸右邊，y隨x的增大而增大，時(shí)，函數(shù)開(kāi)口向下，在對(duì)稱軸左邊，y隨x的增大而增大，在對(duì)稱軸右邊，y隨x的增大而減?。?、填空題（本大題共6小題，每題3分，共18分．本題要求把正確結(jié)果填在答題卡規(guī)定的橫線上，不需要解答過(guò)程）11.分解因式________．【答案】【解析】【分析】先提取公因式，再依據(jù)完全平方公式，即可進(jìn)行因式分解．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了綜合提公因式和公式法因式分解，解題的關(guān)鍵是正確找出公因式，嫻熟把握完全平方公式．12.圓錐的高為，母線長(zhǎng)為3，沿一條母線將其側(cè)面開(kāi)放，開(kāi)放圖（扇形）的圓心角是________度，該圓錐的側(cè)面積是________（結(jié)果用含的式子表示）．【答案】①.120②.【解析】【分析】依據(jù)勾股定理，先求出圓錐底面半徑，進(jìn)而得出底面周長(zhǎng)，即圓錐開(kāi)放圖的弧長(zhǎng)，依據(jù)圓錐母線為圓錐的側(cè)面開(kāi)放圖的半徑，結(jié)合扇形弧長(zhǎng)公式和面積公式，即可求解．【詳解】解：依據(jù)勾股定理可得：圓錐底面半徑，∴該圓錐底面周長(zhǎng)，∵圓錐母線長(zhǎng)為3，∴該圓錐的側(cè)面開(kāi)放圖的半徑為3，∴，解得：，即開(kāi)放圖（扇形）的圓心角是120度，圓錐的側(cè)面積，故答案：120，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求圓錐地面半徑，扇形面積公式和弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是把握弧長(zhǎng)，扇形面積．13.某乳業(yè)公司要出口一批規(guī)格為500克/罐的奶粉，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)廠家供應(yīng)貨源，它們的價(jià)格相同，品質(zhì)也相近．質(zhì)檢員從兩廠的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取15罐進(jìn)行檢測(cè)，測(cè)得它們的平均質(zhì)量均為500克，質(zhì)量的折線統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．觀看圖形，甲、乙兩個(gè)廠家分別供應(yīng)的15罐奶粉質(zhì)量的方差________．（填“”或“”或“”）【答案】【解析】【分析】依據(jù)方差的意義結(jié)合圖形推斷即可．【詳解】解：觀看折線統(tǒng)計(jì)圖可以發(fā)覺(jué)，乙廠家15罐奶粉質(zhì)量的波動(dòng)較甲廠家15罐奶粉質(zhì)量的波動(dòng)大，所以，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查折線統(tǒng)計(jì)圖，方差的意義，把握方差的意義是解題的關(guān)鍵．14.如圖，內(nèi)接于且，弦平分，連接，．若，，則________，________．【答案】①.②.【解析】【分析】首先利用已知條件得到為直徑，然后可以證明為等腰直角三角形，由此求出，接著把繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，證明為等腰直角三角形即可解決問(wèn)題．【詳解】解：內(nèi)接于且，為的直徑，，，弦平分，，，，，，，如圖把繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，、、三點(diǎn)共線，為等腰直角三角形，，．故答案為：，．【點(diǎn)睛】此題分別考查了三角形的外接圓、圓周角定理及其推論、角平分線的性質(zhì)及勾股定理，有肯定的綜合性．15.甲、乙兩船從相距150km的，兩地同時(shí)勻速沿江動(dòng)身相向而行，甲船從地順流航行90km時(shí)與從地逆流航行的乙船相遇．甲、乙兩船在靜水中的航速均為30km/h，則江水的流速為_(kāi)_______km/h．【答案】6【解析】【分析】設(shè)江水的流速為千米每小時(shí)，則甲速度為，乙速度為，依據(jù)行駛時(shí)間相等列出方程解答即可．【詳解】解：設(shè)江水的流速為千米每小時(shí)，依據(jù)題意得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，答：江水的流速．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了列分式方程，讀懂題意找出等量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．16.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接分別交，于點(diǎn)，，且，連接，則________，________．【答案】①.2②.【解析】【分析】如圖，證明，得到，勾股定理求出長(zhǎng)，等積法求出的長(zhǎng)，證明，相像比求出的長(zhǎng)，證明，求出的長(zhǎng)，證明，求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出的長(zhǎng)．【詳解】解：∵正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；∵，∴，，∴，∴，∴，故點(diǎn)作，則：，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：2，．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相像三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，本題的綜合形較強(qiáng)，屬于中考填空題中的壓軸題．嫻熟把握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等和相像，是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8小題，滿分72分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.（1）計(jì)算：（2）解不等式組：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先去確定值，計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，化最簡(jiǎn)二次根式，計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值，再依據(jù)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）分別解出每個(gè)不等式的解集，再依據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”的原則求出其公共解即可．【詳解】解：（1）；（2），解不等式①，得：，解不等式②，得：∴原不等式組的解集為．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及去確定值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，化最簡(jiǎn)二次根式，特殊角的三角函數(shù)值．還考查解一元一次不等式組．把握實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則和解一元一次不等式組的步驟是解題關(guān)鍵．18.如圖所示，小明上學(xué)途中要經(jīng)過(guò)，兩地，由于，兩地之間有一片草坪，所以需要走路線，．小明想知道，兩地間的距離，測(cè)得，，，請(qǐng)幫小明求出兩地間距離的長(zhǎng)．（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)和根式表示即可）【答案】【解析】【分析】過(guò)作于，求出，，在中可得，可得兩地間距離的長(zhǎng)為．【詳解】解：過(guò)作于，如圖：在中，，，，，在中，，，，；兩地間距離的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是把握銳角三角函數(shù)的定義．19.3月21日是國(guó)際森林日．某中學(xué)為了推動(dòng)同學(xué)探究森林文化，進(jìn)行自然教育，開(kāi)展了“森林——地球之肺”相關(guān)學(xué)問(wèn)的測(cè)試活動(dòng)．測(cè)試結(jié)束后隨機(jī)抽取了部分同學(xué)成果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按成果分成A，，，，五個(gè)等級(jí)，并繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖，解答下列問(wèn)題：同學(xué)成果頻數(shù)分布直方圖

同學(xué)成果扇形統(tǒng)計(jì)圖等級(jí)成果/分A（1）本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了________名同學(xué)的成果，頻數(shù)分布直方圖中________；補(bǔ)全同學(xué)成果頻數(shù)分布直方圖；（2）所抽取同學(xué)成果的中位數(shù)落在________等級(jí)；（3）若成果在60分及60分以上為合格，全校共有920名同學(xué)，估量成果合格的同學(xué)有多少名？【答案】（1）40，7，作圖見(jiàn)解析；（2）B；（3）851人．【解析】【分析】（1）依據(jù)C等級(jí)的人數(shù)和所占的百分比求出樣本的總?cè)藬?shù)，再用總?cè)藬?shù)D等級(jí)所占的百分比求出m，求出B等級(jí)的人數(shù)補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可；（2）依據(jù)中位數(shù)的定義推斷即可；（3）先求出優(yōu)秀所占的百分比，再與總數(shù)相乘即可．【小問(wèn)1詳解】解：本次調(diào)查一共抽取了（名）；（人）；B等級(jí)的人數(shù)為（人）；補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．故答案為：40，7；【小問(wèn)2詳解】解：一共有40人，中位數(shù)是第20，21個(gè)數(shù)的平均數(shù)，所以中位數(shù)落在B等級(jí)；故答案為：B；【小問(wèn)3詳解】解：（人）．所以成果優(yōu)秀的同學(xué)有851人．【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻數(shù)分布直方圖（表），扇形統(tǒng)計(jì)圖，中位數(shù)，樣本估量總體的思想等，弄清頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．20.如圖，四邊形是平行四邊形，連接，交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，連接，．（1）求證：；（2）若四邊形是菱形且，，求四邊形的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)，角平分線定義推出，得到，判定四邊形是平行四邊形，推出，得到．（2）由菱形的性質(zhì)得到，，推出四邊形的菱形，由平行線的性質(zhì)得到，判定是等邊三角形，得到，，求出，得到，由菱形的面積公式即可求出四邊形的面積．【小問(wèn)1詳解】證明：四邊形是平行四邊形，，，，平分，平分，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，．【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，，四邊形是菱形，，，，四邊形的菱形，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，四邊形的面積．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由，得到，判定四邊形是平行四邊形；證明四邊形是菱形．21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正六邊形的對(duì)稱中心在反比例函數(shù)的圖象上，邊在軸上，點(diǎn)在軸上，已知．（1）推斷點(diǎn)是否在該反比例函數(shù)的圖象上，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）求出直線：的解析式，并依據(jù)圖象直接寫出當(dāng)時(shí)，不等式的解集．【答案】（1）點(diǎn)E在該反比例函數(shù)的圖象上，理由見(jiàn)解析（2），【解析】【分析】（1）依據(jù)正六邊形的性質(zhì)得出，，則，，得出，，連接，推出為等邊三角形，得出，則反比例函數(shù)表達(dá)式為把，代入，求出，即可解答；（2）把，代入，求出a和b的值，即可得出直線的解析式，依據(jù)圖象，找出直線位于雙曲線上方時(shí)自變量的取值范圍即可．【小問(wèn)1詳解】解：∵六邊形為正六邊形，，∴，，∴，，∴，，連接，∵六邊形為正六邊形，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，把代入得：，解得：，∴反比例函數(shù)表達(dá)式為．∵為等邊三角形，∴點(diǎn)E和點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱，∴，把代入得：，∴點(diǎn)E在該反比例函數(shù)的圖象上；【小問(wèn)2詳解】解：把，代入得：，解得：，∴直線的解析式為：，∵，，∴由圖可知，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正六邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把握用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的方法和步驟，正六邊形的性質(zhì)．22.學(xué)校通過(guò)勞動(dòng)教育促進(jìn)同學(xué)樹(shù)德、增智、強(qiáng)體、育美全面進(jìn)展，方案組織八班級(jí)同學(xué)到“快活”農(nóng)場(chǎng)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)．到達(dá)農(nóng)場(chǎng)后分組進(jìn)行勞動(dòng)，若每位老師帶38名同學(xué)，則還剩6名同學(xué)沒(méi)老師帶；若每位老師帶40名同學(xué)，則有一位老師少帶6名同學(xué)．勞動(dòng)實(shí)踐結(jié)束后，學(xué)校在租車總費(fèi)用2300元的限額內(nèi)，租用汽車送師生返校，每輛車上至少要有1名老師．現(xiàn)有甲、乙兩種大型客車，它們的載客量和租金如下表所示甲型客車乙型客車載客量/（人/輛）4530租金/（元/輛）400280（1）參與本次實(shí)踐活動(dòng)的老師和同學(xué)各有多少名？（2）租車返校時(shí)，既要保證全部師生都有車坐，又要保證每輛車上至少有1名老師，則共需租車________輛；（3）學(xué)校共有幾種租車方案？最少租車費(fèi)用多少？【答案】（1）參與本次實(shí)踐活動(dòng)的老師有6名，同學(xué)有234名（2）6（3）學(xué)校共有兩套租車方案，最少租車費(fèi)用是2160元【解析】【分析】（1）設(shè)參與本次實(shí)踐活動(dòng)的老師有x名，依據(jù)“若每位老師帶38名同學(xué)，則還剩6名同學(xué)沒(méi)老師帶；若每位老師帶40名同學(xué)，則有一位老師少帶6名同學(xué)”列出方程求解即可；（2）依據(jù)每輛車上至少有1名老師，參與本次實(shí)踐活動(dòng)的老師有6名，得出汽車總數(shù)不超過(guò)6輛，依據(jù)要保證全部師生都有車坐，得出汽車總數(shù)不少于輛，即可解答；（3）設(shè)租用甲客車a輛，則租用乙客車輛，列出不等式組，解得，設(shè)租車費(fèi)用為y元，得出，依據(jù)一次函數(shù)增減性得出y隨a的增大而增大，即可解答．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)參與本次實(shí)踐活動(dòng)的老師有x名，，解得：，∴，答：參與本次實(shí)踐活動(dòng)的老師有6名，同學(xué)有234名；【小問(wèn)2詳解】解：∵每輛車上至少有1名老師，參與本次實(shí)踐活動(dòng)的老師有6名，∴汽車總數(shù)不超過(guò)6輛，∵要保證全部師生都有車坐，∴汽車總數(shù)不少于（輛），則汽車總數(shù)最少為6輛，∴共需租車6輛，故答案為：6．【小問(wèn)3詳解】解：設(shè)租用甲客車a輛，則租用乙客車輛，，解得：，∵a為整數(shù)，∴或，方案一：租用甲客車4輛，則租用乙客車2輛；方案二：租用甲客車5輛，則租用乙客車1輛；設(shè)租車費(fèi)用y元，，∵，∴y隨a的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，y最小，，綜上：學(xué)校共有兩套租車方案，最少租車費(fèi)用是2160元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，依據(jù)題意找出數(shù)量關(guān)系，列出方程、不等式組、一次函數(shù)表達(dá)式．23.已知在中，，，，以邊為直徑作，與邊交于點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接．（1）求證：是的切線；（2）點(diǎn)為直線上任意一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接．①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；②求的最大值．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）①或；②【解析】【分析】（1）連接，，由是的直徑，可得，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，依據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，即，再利用切線的判定定理即可證得結(jié)論；（2）①分兩種狀況：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用勾股定理和解直角三角形即可求得答案；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，運(yùn)用勾股定理和解直角三角形即可；②設(shè)，則，利用面積法可得，得出，即，再運(yùn)用乘法公式和不等式性質(zhì)可得，即可得出答案．【小問(wèn)1詳解】證明：如圖，連接，，是的直徑，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，，，，，，即，，即，，是的半徑，是的切線；【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

在中，，設(shè)，，，，，，，解得：，，，即，；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，設(shè)，則，在中，，即，解得：，（舍去），，，，，設(shè)，則，在中，，即，解得：，（舍去），；綜上所述，的長(zhǎng)為或；②設(shè)，則，如圖，是的直徑，，，，，，，，，的最大值為．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了切線的判定定理，圓周角定理，勾股定理，解直角三角形，三角形面積，乘法公式和不等式性質(zhì)等．嫻熟把握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)和