一輪復習精品資料(高中)PAGE1-課時作業(yè)梯級練三十二基本不等式一、選擇題(每小題5分,共25分)1.設x>0,則y=3-3x-QUOTE的最大值是 ()A.3 B.3-2QUOTEC.-1 D.3-2QUOTE〖解析〗選D.因為x>0,所以3x+QUOTE≥2QUOTE=2QUOTE,當且僅當x=QUOTE時取等號,-QUOTE≤-2QUOTE,則y=3-3x-QUOTE≤3-2QUOTE.2.已知實數(shù)x,y滿足x+2y=4,則3x+9y ()A.有最大值6 B.有最小值6C.有最大值18 D.有最小值18〖解析〗選D.x+2y=4,由基本不等式得3x+9y≥2QUOTE=2QUOTE=18,當且僅當x=2,y=1時取等號.3.(2021·玉溪模擬)若x>0,y>0,且x+y=S,xy=P,則下列說法中正確的是()A.當且僅當x=y時S有最小值2QUOTEB.當且僅當x=y時P有最大值QUOTEC.當且僅當P為定值時S有最小值2QUOTED.若S為定值,當且僅當x=y時P有最大值QUOTE〖解析〗選D.因為x,y∈R+,x+y=S,xy=P,所以S=x+y≥2QUOTE=2QUOTE①,當且僅當x=y時取等號;所以如果P是定值,那么當且僅當x=y時S的值最小,故A,C錯誤;由①得,P≤QUOTE=QUOTE,當且僅當x=y時取等號;所以如果S是定值,那么當且僅當x=y時P有最大值,故D正確,B錯誤.4.已知實數(shù)x,y滿足x2-xy+y2=1,則x+y的最大值為 ()A.1 B.2 C.3 D.4〖解析〗選B.原式可化為(x+y)2=1+3xy≤1+QUOTE,解得-2≤x+y≤2,當且僅當x=y=1時取最大值.5.(一題多解)若正數(shù)a,b滿足QUOTE+QUOTE=1,則QUOTE+QUOTE的最小值為 ()A.4 B.6 C.9 D.16〖解析〗選A.方法一:由QUOTE+QUOTE=1,可得a=QUOTE,所以QUOTE+QUOTE=b-1+QUOTE.由a,b為正數(shù)且QUOTE+QUOTE=1,可得a>1,b>1.所以QUOTE+QUOTE=b-1+QUOTE≥2QUOTE=4,當且僅當b-1=QUOTE,即b=3,a=QUOTE時等號成立.方法二:由QUOTE+QUOTE=1,可得QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=4,當且僅當QUOTE=QUOTE,即a=QUOTE,b=3時等號成立.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2021·大理模擬)若實數(shù)x,y滿足x>y>0,且log2x+log2y=2,則QUOTE+QUOTE的最小值為________;QUOTE的最大值為________.

〖解析〗因為log2x+log2y=2,所以xy=4.實數(shù)x,y滿足x>y>0,所以QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=QUOTE(當且僅當x=2QUOTE,y=QUOTE時等式成立).QUOTE=QUOTE=QUOTE≤QUOTE(當且僅當x=2QUOTE+2,y=2QUOTE-2時等式成立).〖答案〗:QUOTEQUOTE7.設x,y∈(0,+∞),(x+y)QUOTE≥a恒成立,則實數(shù)a的最大值為________.

〖解析〗由于(x+y)QUOTE=2+QUOTE+QUOTE≥2+2QUOTE=4,當且僅當x=y=1時等號成立,而x,y∈(0,+∞),(x+y)QUOTE≥a恒成立,故a≤4,也即a的最大值為4.〖答案〗:48.某公司一年購買某種貨物400噸,每次都購買x噸,運費為4萬元/次,一年的總存儲費用為4x萬元,要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則x=________噸.

〖解析〗每次都購買x噸,則需要購買QUOTE次.因為運費為4萬元/次,一年的總存儲費用為4x萬元,所以一年的總運費與總存儲費用之和為4×QUOTE+4x萬元.因為4×QUOTE+4x≥160,當且僅當4x=QUOTE時取等號,所以x=20噸時,一年的總運費與總存儲費用之和最小.〖答案〗:20三、解答題(每小題10分,共20分)9.(1)已知x>0,求f(x)=QUOTE+3x的最小值;(2)已知x<3,求f(x)=QUOTE+x的最大值.〖解析〗(1)因為x>0,所以f(x)=QUOTE+3x≥2QUOTE=12,當且僅當QUOTE=3x?x=2時取等號,所以f(x)的最小值為12.(2)因為x<3?3-x>0,f(x)=QUOTE+x-3+3=-QUOTE+3≤-2QUOTE+3=-1,當且僅當QUOTE=3-x?x=1時取等號,所以f(x)的最大值為-1.10.經(jīng)過長期觀測得到:在交通繁忙的時段內(nèi)某公路汽車的車流量y(千輛/時)與汽車的平均速度v(千米/時)之間的函數(shù)關系式為y=QUOTE(v>0).(1)在該時段內(nèi),當汽車的平均速度v為多少時,車流量最大?最大車流量是多少(精確到0.1千輛/時)?(2)若要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/時,則汽車的平均速度應該在什么范圍內(nèi)?〖解析〗(1)依題意y=QUOTE≤QUOTE=QUOTE,當且僅當v=40等號成立,最大車流量y=QUOTE≈11.1(千輛/時).(2)由條件得QUOTE>10,整理得v2-89v+1600<0,解得25<v<64.故汽車的平均速度應該在QUOTE范圍內(nèi).1.(5分)若正數(shù)x,y滿足x+4y-xy=0,則QUOTE的最大值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1〖解析〗選A.因為x+4y-xy=0,化簡可得x+4y=xy,左右兩邊同時除以xy得,QUOTE+QUOTE=1.求QUOTE的最大值,即求QUOTE=QUOTE+QUOTE的最小值,所以QUOTE×1=QUOTE×QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE≥2QUOTE+QUOTE+QUOTE=3,當且僅當QUOTE=QUOTE時取等號,所以QUOTE的最大值為QUOTE.2.(5分)已知a,b均為正數(shù),函數(shù)f(x)=alog2x+b的圖象過點(4,1),則QUOTE的最小值為 ()A.6 B.7 C.8 D.9〖解析〗選D.因為f(x)=alog2x+b的圖象過點(4,1),所以alog24+b=1,即2a+b=1,又a,b均為正數(shù),所以QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE+1+4+QUOTE≥5+2QUOTE=9,當且僅當QUOTE=QUOTE,即a=b=QUOTE時,等號成立.3.(5分)如圖,某汽車運輸公司剛買了一批豪華大客車投入營運,據(jù)市場分析每輛客車營運的總利潤y(單位:10萬元)與營運年數(shù)x(x∈N)為二次函數(shù)關系,若使營運的年平均利潤最大,則每輛客車應營運 ()A.3年 B.4年 C.5年 D.6年〖解析〗選C.可設y=a(x-6)2+11,又曲線過(4,7),所以7=a(4-6)2+11,所以a=-1.即y=-x2+12x-25,所以QUOTE=12-QUOTE≤12-2QUOTE=2,當且僅當x=5時取等號.4.(5分)(2021·樂山模擬)已知正數(shù)x,y滿足x+y=1,且QUOTE+QUOTE≥m,則m的最大值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.4〖解析〗選B.根據(jù)題意,正數(shù)x,y滿足x+y=1,則QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=(y+1)+QUOTE-4+(x+1)+QUOTE-4=QUOTE-5,又由QUOTE+QUOTE=QUOTE〖(x+1)+(y+1)〗=QUOTE≥QUOTE,當且僅當x=y=QUOTE時等號成立,則QUOTE+QUOTE=QUOTE-5≥QUOTE-5=QUOTE,即QUOTE+QUOTE的最小值為QUOTE,若QUOTE+QUOTE≥m,則m的最大值為QUOTE.5.(10分)若兩個正實數(shù)x,y滿足QUOTE+QUOTE=1,且存在這樣的x,y使不等式x+QUOTE<m2+3m有解,求實數(shù)m的取值范圍.〖解析〗因為不等式x+QUOTE<m2+3m有解,所以QUOTE<m2+3m.因為x>0,y>0,且QUOTE+QUOTE=1,所以x+QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTE+2≥2QUOTE+2=4,當且僅當QUOTE=QUOTE,即x=2,y=8時取“=”,所以QUOTE=4,故m2+3m>4,即(m-1)(m+4)>0,解得m<-4或m>1,所以實數(shù)m的取值范圍是(-∞,-4)∪(1,+∞).6.(10分)如圖,建立平面直角坐標系xOy,x軸在地平面上,y軸垂直于地平面,單位長度為1km.某炮位于坐標原點.已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx-QUOTE(1+k2)x2(k>0)表示的曲線上,其中k與發(fā)射方向有關.炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標.(1)求炮的最大射程;(2)設在第一象限有一飛行物(忽略其大小),其飛行高度為3.2km,試問它的橫坐標a不超過多少時,炮彈可以擊中它?〖解析〗(1)令y=0,得kx-QUOTE(1+k2)x2=0,由實際意義和題設條件知x>0,k>0,故x=QUOTE=QUOTE≤QUOTE=10,當且僅當k=1時取等號.所以炮的最大射程為10km.(2)因為a>0,所以炮彈可擊中目標等價于存在k>0,使3.2=ka-QUOTE(1+k2)a2成立,即關于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根,所以判別式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0,解得a≤6,所以0<a≤6.所以當a不超過6km時,炮彈可擊中目標.1.《蒙娜麗莎》是意大利文藝復興時期畫家列奧納多·達芬奇創(chuàng)作的油畫,現(xiàn)收藏于法國羅浮宮博物館.該油畫規(guī)格為:縱77cm,橫53cm.油畫掛在墻壁上的最低點處B離地面237cm(如圖所示).有一身高為175cm的游客從正面觀賞它(該游客頭頂T到眼睛C的距離為15cm),設該游客離墻距離為xA.77 B.80 C.100 D.77QUOTE〖解析〗選D.如圖所示,設∠BCD=α,則tanα=QUOTE=QUOTE.tan(θ+α)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,解得tanθ=QUOTE≤QUOTE=QUOTE,當且僅當x=QUOTE,即x=77QUOTE時取等號.故選D.2.在△ABC中,設角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若sinB=QUOTE,則QUOTE+QUOTE的最小值為________.

〖解析〗由正弦定理可得b=QUOTE,cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE≥QUOTE=QUOTE,當且僅當a=c時,等號成立,則B∈QUOTE,QUOTE+QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE≥QUOTE+QUOTE×2QUOTE=QUOTE,當且僅當a=c時,等號成立.因為sinB∈QUOTE,QUOTE∈QUOTE,即QUOTE+QUOTE≥QUOTE.〖答案〗:QUOTE課時作業(yè)梯級練三十二基本不等式一、選擇題(每小題5分,共25分)1.設x>0,則y=3-3x-QUOTE的最大值是 ()A.3 B.3-2QUOTEC.-1 D.3-2QUOTE〖解析〗選D.因為x>0,所以3x+QUOTE≥2QUOTE=2QUOTE,當且僅當x=QUOTE時取等號,-QUOTE≤-2QUOTE,則y=3-3x-QUOTE≤3-2QUOTE.2.已知實數(shù)x,y滿足x+2y=4,則3x+9y ()A.有最大值6 B.有最小值6C.有最大值18 D.有最小值18〖解析〗選D.x+2y=4,由基本不等式得3x+9y≥2QUOTE=2QUOTE=18,當且僅當x=2,y=1時取等號.3.(2021·玉溪模擬)若x>0,y>0,且x+y=S,xy=P,則下列說法中正確的是()A.當且僅當x=y時S有最小值2QUOTEB.當且僅當x=y時P有最大值QUOTEC.當且僅當P為定值時S有最小值2QUOTED.若S為定值,當且僅當x=y時P有最大值QUOTE〖解析〗選D.因為x,y∈R+,x+y=S,xy=P,所以S=x+y≥2QUOTE=2QUOTE①,當且僅當x=y時取等號;所以如果P是定值,那么當且僅當x=y時S的值最小,故A,C錯誤;由①得,P≤QUOTE=QUOTE,當且僅當x=y時取等號;所以如果S是定值,那么當且僅當x=y時P有最大值,故D正確,B錯誤.4.已知實數(shù)x,y滿足x2-xy+y2=1,則x+y的最大值為 ()A.1 B.2 C.3 D.4〖解析〗選B.原式可化為(x+y)2=1+3xy≤1+QUOTE,解得-2≤x+y≤2,當且僅當x=y=1時取最大值.5.(一題多解)若正數(shù)a,b滿足QUOTE+QUOTE=1,則QUOTE+QUOTE的最小值為 ()A.4 B.6 C.9 D.16〖解析〗選A.方法一:由QUOTE+QUOTE=1,可得a=QUOTE,所以QUOTE+QUOTE=b-1+QUOTE.由a,b為正數(shù)且QUOTE+QUOTE=1,可得a>1,b>1.所以QUOTE+QUOTE=b-1+QUOTE≥2QUOTE=4,當且僅當b-1=QUOTE,即b=3,a=QUOTE時等號成立.方法二:由QUOTE+QUOTE=1,可得QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=4,當且僅當QUOTE=QUOTE,即a=QUOTE,b=3時等號成立.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2021·大理模擬)若實數(shù)x,y滿足x>y>0,且log2x+log2y=2,則QUOTE+QUOTE的最小值為________;QUOTE的最大值為________.

〖解析〗因為log2x+log2y=2,所以xy=4.實數(shù)x,y滿足x>y>0,所以QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=QUOTE(當且僅當x=2QUOTE,y=QUOTE時等式成立).QUOTE=QUOTE=QUOTE≤QUOTE(當且僅當x=2QUOTE+2,y=2QUOTE-2時等式成立).〖答案〗:QUOTEQUOTE7.設x,y∈(0,+∞),(x+y)QUOTE≥a恒成立,則實數(shù)a的最大值為________.

〖解析〗由于(x+y)QUOTE=2+QUOTE+QUOTE≥2+2QUOTE=4,當且僅當x=y=1時等號成立,而x,y∈(0,+∞),(x+y)QUOTE≥a恒成立,故a≤4,也即a的最大值為4.〖答案〗:48.某公司一年購買某種貨物400噸,每次都購買x噸,運費為4萬元/次,一年的總存儲費用為4x萬元,要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則x=________噸.

〖解析〗每次都購買x噸,則需要購買QUOTE次.因為運費為4萬元/次,一年的總存儲費用為4x萬元,所以一年的總運費與總存儲費用之和為4×QUOTE+4x萬元.因為4×QUOTE+4x≥160,當且僅當4x=QUOTE時取等號,所以x=20噸時,一年的總運費與總存儲費用之和最小.〖答案〗:20三、解答題(每小題10分,共20分)9.(1)已知x>0,求f(x)=QUOTE+3x的最小值;(2)已知x<3,求f(x)=QUOTE+x的最大值.〖解析〗(1)因為x>0,所以f(x)=QUOTE+3x≥2QUOTE=12,當且僅當QUOTE=3x?x=2時取等號,所以f(x)的最小值為12.(2)因為x<3?3-x>0,f(x)=QUOTE+x-3+3=-QUOTE+3≤-2QUOTE+3=-1,當且僅當QUOTE=3-x?x=1時取等號,所以f(x)的最大值為-1.10.經(jīng)過長期觀測得到:在交通繁忙的時段內(nèi)某公路汽車的車流量y(千輛/時)與汽車的平均速度v(千米/時)之間的函數(shù)關系式為y=QUOTE(v>0).(1)在該時段內(nèi),當汽車的平均速度v為多少時,車流量最大?最大車流量是多少(精確到0.1千輛/時)?(2)若要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/時,則汽車的平均速度應該在什么范圍內(nèi)?〖解析〗(1)依題意y=QUOTE≤QUOTE=QUOTE,當且僅當v=40等號成立,最大車流量y=QUOTE≈11.1(千輛/時).(2)由條件得QUOTE>10,整理得v2-89v+1600<0,解得25<v<64.故汽車的平均速度應該在QUOTE范圍內(nèi).1.(5分)若正數(shù)x,y滿足x+4y-xy=0,則QUOTE的最大值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1〖解析〗選A.因為x+4y-xy=0,化簡可得x+4y=xy,左右兩邊同時除以xy得,QUOTE+QUOTE=1.求QUOTE的最大值,即求QUOTE=QUOTE+QUOTE的最小值,所以QUOTE×1=QUOTE×QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE≥2QUOTE+QUOTE+QUOTE=3,當且僅當QUOTE=QUOTE時取等號,所以QUOTE的最大值為QUOTE.2.(5分)已知a,b均為正數(shù),函數(shù)f(x)=alog2x+b的圖象過點(4,1),則QUOTE的最小值為 ()A.6 B.7 C.8 D.9〖解析〗選D.因為f(x)=alog2x+b的圖象過點(4,1),所以alog24+b=1,即2a+b=1,又a,b均為正數(shù),所以QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE+1+4+QUOTE≥5+2QUOTE=9,當且僅當QUOTE=QUOTE,即a=b=QUOTE時,等號成立.3.(5分)如圖,某汽車運輸公司剛買了一批豪華大客車投入營運,據(jù)市場分析每輛客車營運的總利潤y(單位:10萬元)與營運年數(shù)x(x∈N)為二次函數(shù)關系,若使營運的年平均利潤最大,則每輛客車應營運 ()A.3年 B.4年 C.5年 D.6年〖解析〗選C.可設y=a(x-6)2+11,又曲線過(4,7),所以7=a(4-6)2+11,所以a=-1.即y=-x2+12x-25,所以QUOTE=12-QUOTE≤12-2QUOTE=2,當且僅當x=5時取等號.4.(5分)(2021·樂山模擬)已知正數(shù)x,y滿足x+y=1,且QUOTE+QUOTE≥m,則m的最大值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.4〖解析〗選B.根據(jù)題意,正數(shù)x,y滿足x+y=1,則QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=(y+1)+QUOTE-4+(x+1)+QUOTE-4=QUOTE-5,又由QUOTE+QUOTE=QUOTE〖(x+1)+(y+1)〗=QUOTE≥QUOTE,當且僅當x=y=QUOTE時等號成立,則QUOTE+QUOTE=QUOTE-5≥QUOTE-5=QUOTE,即QUOTE+QUOTE的最小值為QUOTE,若QUOTE+QUOTE≥m,則m的最大值為QUOTE.5.(10分)若兩個正實數(shù)x,y滿足QUOTE+QUOTE=1,且存在這樣的x,y使不等式x+QUOTE<m2+3m有解,求實數(shù)m的取值范圍.〖解析〗因為不等式x+QUOTE<m2+3m有解,所以QUOTE<m2+3m.因為x>0,y>0,且QUOTE+QUOTE=1,所以x+QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTE+2≥2QUOTE+2=4,當且僅當QUOTE=QUOTE,即x=2,y=8時取“=”,所以QUOTE=4,故m2+3m>4,即(m-1)(m+4)>0,解得m<-4或m>1,所以實數(shù)m的取值范圍是(-∞,-4)∪(1,+∞).6.(10分)如圖,建立平面直角坐標系xOy,x軸在地平面上,y軸垂直于地平面,單位長度為1km.某炮位于坐標原點.已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx-QUOTE(1+k2)x2(k>0)表示的曲線上,其中