一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGEPAGE1第八章立體幾何第四講直線、平面垂直的判定及性質(zhì)練好題·考點自測1.下列說法錯誤的是()A.垂直于同一個平面的兩條直線平行B.若兩個平面垂直,則其中一個平面內(nèi)垂直于這兩個平面交線的直線與另一個平面垂直C.一個平面內(nèi)的兩條相交直線均與另一個平面平行,則這兩個平面平行D.一條直線與一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則這條直線和這個平面垂直2.〖2021合肥市調(diào)研檢測〗已知m,n為直線,α為平面,且m?α,則“n⊥m”是“n⊥α”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.〖2017全國卷Ⅲ,10,5分〗〖文〗在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CD的中點,則()A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC4.〖2021湖南模擬〗如圖8-4-1,在三棱錐V-ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,VA=VB,AD=BD,則下列結(jié)論中不一定成立的是()A.AC=BCB.AB⊥VCC.VC⊥VDD.S△VCD·AB=S△ABC·VO圖8-4-15.〖2019北京,13,5分〗〖文〗已知l,m是平面α外的兩條不同直線.給出下列三個論斷:①l⊥m;②m∥α;③l⊥α.以其中的兩個論斷作為條件,余下的一個論斷作為結(jié)論,寫出一個正確的命題:.

6.〖2020江蘇,15,14分〗如圖8-4-2,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,B1C⊥平面ABC,E,F分別是AC,B1C的中點.(1)求證:EF∥平面AB1C1.(2)求證:平面AB1C⊥平面ABB1.圖8-4-2拓展變式1.〖2021陜西省部分學(xué)校摸底測試〗如圖8-4-4,在四棱錐P-ABCD中,圖8-4-4BP⊥平面PDC,四邊形ABCD是一個直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=AB=12(1)求證:CD⊥平面PBD.(2)若AB=BP=PA,且VP-ABCD=162,求三棱錐P-ABD的側(cè)面積.2.〖2020南昌市三?！饺鐖D8-4-7,三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,BC=2,AC=2,四邊形ABB1A1為菱形,且∠ABB1=60°,AC⊥CC1.圖8-4-7(1)求證:平面ABB1A1⊥平面BB1C1C.(2)求點B1到平面ABC的距離.3.〖2020河南名校6月聯(lián)考〗圖8-4-14(1)是由直角梯形ABEF與直角梯形CDFE構(gòu)成的,已知AB⊥BC,DC⊥BC,EF⊥BC,AB=5,EF=4,CD=9,BE=2,EC=4,現(xiàn)以EF為折痕,將圖8-4-14(1)翻折為如圖8-4-14(2)所示的空間幾何體,使得△BEC的面積最大.(1)在圖8-4-14(2)所示的空間幾何體中,線段BC上是否存在一點G,使得EG∥平面AFC?如果存在,請指出點G的位置并證明,如果不存在,請說明理由.(2)求D到平面AFC的距離.(1)(2)圖8-4-14答案第八章立體幾何第四講直線、平面垂直的判定及性質(zhì)1.D對于A,由線面垂直的性質(zhì)定理知,垂直于同一個平面的兩條直線平行,A正確;對于B,由面面垂直的性質(zhì)定理知,若兩個平面垂直,則其中一個平面內(nèi)垂直于這兩個平面交線的直線與另一個平面垂直,B正確;對于C,由面面平行的判定定理知,一個平面內(nèi)的兩條相交直線均與另一個平面平行,則這兩個平面平行,C正確;對于D,當(dāng)一條直線與一個平面內(nèi)的無數(shù)條相互平行的直線垂直時,該直線與這個平面不一定垂直,D錯誤.故選D.2.B當(dāng)直線m,n都在平面α內(nèi)時,不能由m⊥n推出n⊥α;若n⊥α,且m?α,由線面垂直的性質(zhì)知m⊥n.所以“n⊥m”是“n⊥α”的必要不充分條件,故選B.3.C由正方體的性質(zhì)得A1B1⊥BC1,B1C⊥BC1,又A1B1∩B1C=B1,所以BC1⊥平面A1B1CD,又A1E?平面A1B1CD,所以A1E⊥BC1,故選C.4.C因為VO⊥平面ABC,AB?平面ABC,所以VO⊥AB.因為VA=VB,AD=BD,所以VD⊥AB.而VO∩VD=V,所以AB⊥平面VCD.因為CD?平面VCD,所以AB⊥CD,所以AC=BC,可知A一定成立.因為VC?平面VCD,所以AB⊥VC,可知B一定成立.因為S△VCD=12VO·CD,S△ABC=12AB·CD,所以S△VCD·AB=S△ABC·VO由題中條件無法判斷VC⊥VD,可知C不一定成立.故選C.5.若l⊥m,l⊥α,則m∥α.(〖答案〗不唯一)若l⊥α,l⊥m,則m∥α,顯然①③?②正確;若l⊥m,m∥α,則l∥α或l與α相交,故①②?③不正確;若l⊥α,m∥α,則l垂直α內(nèi)所有直線,在α內(nèi)必存在與m平行的直線,所以可推出l⊥m,故②③?①正確.6.(1)因為E,F分別是AC,B1C的中點,所以EF∥AB1.又EF?平面AB1C1,AB1?平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.(2)因為B1C⊥平面ABC,AB?平面ABC,所以B1C⊥AB.又AB⊥AC,B1C?平面AB1C,AC?平面AB1C,B1C∩AC=C,所以AB⊥平面AB1C.又因為AB?平面ABB1,所以平面AB1C⊥平面ABB1.1.(1)如圖D8-4-1,設(shè)E是BC的中點,連接DE,設(shè)AD=AB=12BC=a,則BE=EC=a,所以AD=AB=又AD∥BE,∠ABC=90°,所以四邊形ABED為正方形,所以DE=a,且DE⊥BC,所以BD=DC=2a.又BC=2a,所以由勾股定理的逆定理得CD⊥BD.因為BP⊥平面PDC,CD?平面PDC,所以BP⊥CD.又BD∩BP=B,所以CD⊥平面PBD.(2)因為BP⊥平面PDC,所以BP⊥PD,所以PD=BD2-BP2如圖D8-4-1,在等腰直角三角形PBD中,設(shè)O是BD的中點,連接PO,則PO⊥BD,PO=12BD=2由(1)知CD⊥平面PBD,所以CD⊥PO.又BD∩CD=D,所以PO⊥平面ABCD.由(1)得S梯形ABCD=(a所以VP-ABCD=13S梯形ABCD·PO=13×3a22所以△PAB和△PAD都是邊長為4的等邊三角形,△PBD是一個腰長為4的等腰直角三角形,所以三棱錐P-ABD的側(cè)面積S側(cè)=S△PAB+S△PAD+S△PBD=43+43+8=83+8.圖D8-4-12.(1)如圖D8-4-2,取BB1的中點O,連接AB1,OA,OC.菱形ABB1A1中,∠ABB1=60°,故△ABB1是等邊三角形,則AO⊥BB1,BO=1,AO=3.又BB1∥CC1,AC⊥CC1,所以AC⊥BB1,又AO⊥BB1,AO∩AC=A,故BB1⊥平面AOC,所以BB1⊥CO,在Rt△BOC中,CO=BC所以CO2+AO2=AC2,故CO⊥AO,又AO⊥BB1,CO∩BB1=O,所以AO⊥平面BB1C1C,又AO?平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面BB1C1C.(2)如圖D8-4-2,連接B1C,由(1)知VB1-ABC=VA-BCB1=13S△在△ABC中,cos∠BAC=34所以sin∠BAC=74,所以S△ABC=12·AB·AC·sin∠BAC=設(shè)點B1到平面ABC的距離為h,則h=3V圖D8-4-23.(1)存在,且BG=15BC,證明如下圖D8-4-3在線段AB上取點H,使得BH=1,連接EH,HG,EG,如圖D8-4-3.因為四邊形ABEF是梯形,所以AB∥EF,即AH∥EF.又AH=EF=4,所以四邊形AHEF是平行四邊形,所以HE∥AF.因為BHBA所以HG∥AC.又HG,HE?平面EHG,HG∩HE=H,AF,AC?平面AFC,AF∩AC=A,所以平面EHG∥平面AFC.又EG?平面EHG,所以EG∥平面AFC.(2)由已知條件得,S△BEC=12×EB×EC×sin∠BEC=12×2×4×sin∠所以當(dāng)∠BEC=90°,即EB⊥EC時,△BEC的面積最大.設(shè)D到平面AFC的距離為d.在△AFC中,AF=(5-4)2+22=5,AC=52+(22+42)=35,CF=42+42=42,由余弦定理得cos∠CAF=S△CDF=S梯形FECD-S△FEC=12×(4+9)×4-1因為CE⊥BE,BE⊥EF,CE∩EF=E,所以BE⊥平面CEF,又AB∥平面CDFE,所以A到平面CDFE的距離為BE=2.因為VD-AFC=VA-CDF,所以13S△AFC·d=13S△CDF·BE,即13×6×d=13×18×2,所以d=6,即D第八章立體幾何第四講直線、平面垂直的判定及性質(zhì)練好題·考點自測1.下列說法錯誤的是()A.垂直于同一個平面的兩條直線平行B.若兩個平面垂直,則其中一個平面內(nèi)垂直于這兩個平面交線的直線與另一個平面垂直C.一個平面內(nèi)的兩條相交直線均與另一個平面平行,則這兩個平面平行D.一條直線與一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則這條直線和這個平面垂直2.〖2021合肥市調(diào)研檢測〗已知m,n為直線,α為平面,且m?α,則“n⊥m”是“n⊥α”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.〖2017全國卷Ⅲ,10,5分〗〖文〗在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CD的中點,則()A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC4.〖2021湖南模擬〗如圖8-4-1,在三棱錐V-ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,VA=VB,AD=BD,則下列結(jié)論中不一定成立的是()A.AC=BCB.AB⊥VCC.VC⊥VDD.S△VCD·AB=S△ABC·VO圖8-4-15.〖2019北京,13,5分〗〖文〗已知l,m是平面α外的兩條不同直線.給出下列三個論斷:①l⊥m;②m∥α;③l⊥α.以其中的兩個論斷作為條件,余下的一個論斷作為結(jié)論,寫出一個正確的命題:.

6.〖2020江蘇,15,14分〗如圖8-4-2,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,B1C⊥平面ABC,E,F分別是AC,B1C的中點.(1)求證:EF∥平面AB1C1.(2)求證:平面AB1C⊥平面ABB1.圖8-4-2拓展變式1.〖2021陜西省部分學(xué)校摸底測試〗如圖8-4-4,在四棱錐P-ABCD中,圖8-4-4BP⊥平面PDC,四邊形ABCD是一個直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=AB=12(1)求證:CD⊥平面PBD.(2)若AB=BP=PA,且VP-ABCD=162,求三棱錐P-ABD的側(cè)面積.2.〖2020南昌市三模〗如圖8-4-7,三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,BC=2,AC=2,四邊形ABB1A1為菱形,且∠ABB1=60°,AC⊥CC1.圖8-4-7(1)求證:平面ABB1A1⊥平面BB1C1C.(2)求點B1到平面ABC的距離.3.〖2020河南名校6月聯(lián)考〗圖8-4-14(1)是由直角梯形ABEF與直角梯形CDFE構(gòu)成的,已知AB⊥BC,DC⊥BC,EF⊥BC,AB=5,EF=4,CD=9,BE=2,EC=4,現(xiàn)以EF為折痕,將圖8-4-14(1)翻折為如圖8-4-14(2)所示的空間幾何體,使得△BEC的面積最大.(1)在圖8-4-14(2)所示的空間幾何體中,線段BC上是否存在一點G,使得EG∥平面AFC?如果存在,請指出點G的位置并證明,如果不存在,請說明理由.(2)求D到平面AFC的距離.(1)(2)圖8-4-14答案第八章立體幾何第四講直線、平面垂直的判定及性質(zhì)1.D對于A,由線面垂直的性質(zhì)定理知,垂直于同一個平面的兩條直線平行,A正確;對于B,由面面垂直的性質(zhì)定理知,若兩個平面垂直,則其中一個平面內(nèi)垂直于這兩個平面交線的直線與另一個平面垂直,B正確;對于C,由面面平行的判定定理知,一個平面內(nèi)的兩條相交直線均與另一個平面平行,則這兩個平面平行,C正確;對于D,當(dāng)一條直線與一個平面內(nèi)的無數(shù)條相互平行的直線垂直時,該直線與這個平面不一定垂直,D錯誤.故選D.2.B當(dāng)直線m,n都在平面α內(nèi)時,不能由m⊥n推出n⊥α;若n⊥α,且m?α,由線面垂直的性質(zhì)知m⊥n.所以“n⊥m”是“n⊥α”的必要不充分條件,故選B.3.C由正方體的性質(zhì)得A1B1⊥BC1,B1C⊥BC1,又A1B1∩B1C=B1,所以BC1⊥平面A1B1CD,又A1E?平面A1B1CD,所以A1E⊥BC1,故選C.4.C因為VO⊥平面ABC,AB?平面ABC,所以VO⊥AB.因為VA=VB,AD=BD,所以VD⊥AB.而VO∩VD=V,所以AB⊥平面VCD.因為CD?平面VCD,所以AB⊥CD,所以AC=BC,可知A一定成立.因為VC?平面VCD,所以AB⊥VC,可知B一定成立.因為S△VCD=12VO·CD,S△ABC=12AB·CD,所以S△VCD·AB=S△ABC·VO由題中條件無法判斷VC⊥VD,可知C不一定成立.故選C.5.若l⊥m,l⊥α,則m∥α.(〖答案〗不唯一)若l⊥α,l⊥m,則m∥α,顯然①③?②正確;若l⊥m,m∥α,則l∥α或l與α相交,故①②?③不正確;若l⊥α,m∥α,則l垂直α內(nèi)所有直線,在α內(nèi)必存在與m平行的直線,所以可推出l⊥m,故②③?①正確.6.(1)因為E,F分別是AC,B1C的中點,所以EF∥AB1.又EF?平面AB1C1,AB1?平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.(2)因為B1C⊥平面ABC,AB?平面ABC,所以B1C⊥AB.又AB⊥AC,B1C?平面AB1C,AC?平面AB1C,B1C∩AC=C,所以AB⊥平面AB1C.又因為AB?平面ABB1,所以平面AB1C⊥平面ABB1.1.(1)如圖D8-4-1,設(shè)E是BC的中點,連接DE,設(shè)AD=AB=12BC=a,則BE=EC=a,所以AD=AB=又AD∥BE,∠ABC=90°,所以四邊形ABED為正方形,所以DE=a,且DE⊥BC,所以BD=DC=2a.又BC=2a,所以由勾股定理的逆定理得CD⊥BD.因為BP⊥平面PDC,CD?平面PDC,所以BP⊥CD.又BD∩BP=B,所以CD⊥平面PBD.(2)因為BP⊥平面PDC,所以BP⊥PD,所以PD=BD2-BP2如圖D8-4-1,在等腰直角三角形PBD中,設(shè)O是BD的中點,連接PO,則PO⊥BD,PO=12BD=2由(1)知CD⊥平面PBD,所以CD⊥PO.又BD∩CD=D,所以PO⊥平面ABCD.由(1)得S梯形ABCD=(a所以VP-ABCD=13S梯形ABCD·PO=13×3a22所以△PAB和△PAD都是邊長為4的等邊三角形,△PBD是一個腰長為4的等腰直角三角形,所以三棱錐P-ABD的側(cè)面積S側(cè)=S△PAB+S△PAD+S△PBD=43+43+8=83+8.圖D8-4-12.(1)如圖D8-4-2,取BB1的中點O,連接AB1,OA,OC.菱形ABB1A1中,∠ABB1=60°,故△ABB1是等邊三角形,則AO⊥BB1,BO=1,AO=3.又BB1∥CC1,AC⊥CC1,所以AC⊥BB1,又AO⊥BB1,AO∩AC=A,故BB1⊥平面AOC,所以BB1⊥CO,在Rt△BOC中,CO=BC所以CO2+AO2=AC2,故CO⊥AO,又AO⊥BB1,CO∩BB1=