平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差方差分析多重比較集中點離散程度差異顯著性一個變量（產(chǎn)量）施肥量播種密度品種在實際研究中，事物之間的相互關(guān)系涉及兩個或兩個以上的變量，只要其中的一個變量變動了，另一個變量也會跟著發(fā)生變動，這種關(guān)系稱為協(xié)變關(guān)系，具有協(xié)變關(guān)系的變量稱為協(xié)變量。確定的函數(shù)關(guān)系PV=RT氣體壓強(qiáng)S=πr2

圓的面積協(xié)變量S=ab長方形面積身高與胸圍、體重施肥量與產(chǎn)量溶液的濃度與OD值人類的年齡與血壓溫度與幼蟲孵化不完全確定的函數(shù)關(guān)系(相關(guān)關(guān)系)協(xié)變量相關(guān)變量一個變量的變化受另一個變量或幾個變量的制約因果關(guān)系平行關(guān)系兩個以上變量之間共同受到另外因素的影響動物的生長速度受遺傳、營養(yǎng)等影響子女的身高受父母身高的影響人的身高和體重之間的關(guān)系兄弟身高之間的關(guān)系

為了確定相關(guān)變量之間的關(guān)系，首先應(yīng)該收集一些數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)應(yīng)該是成對的，然后在直角坐標(biāo)系上描述這些點，這一組點集稱為散點圖。散點圖(scatterdiagram)為了研究父親與成年兒子身高之間的關(guān)系，卡爾.皮爾遜測量了1078對父子的身高。把1078對數(shù)字表示在坐標(biāo)上，如圖。用水平軸X上的數(shù)代表父親身高，垂直軸Y上的數(shù)代表兒子的身高，1078個點所形成的圖形是一個散點圖。它的形狀象一塊橄欖狀的云，中間的點密集，邊沿的點稀少，其主要部分是一個橢圓。

散點圖(scatterdiagram)兩個變量間關(guān)系的性質(zhì)（正向協(xié)同變化或負(fù)向協(xié)同變化）和程度（關(guān)系是否密切）兩個變量間關(guān)系的類型（直線型或曲線型）是否有異常觀測值的干擾123456432112345643211234564321正向直線關(guān)系負(fù)向直線關(guān)系曲線關(guān)系定性研究回歸(regerssion)相關(guān)(correlation)定量研究曲線直線型非直線型變量二元多元直線型二元直線相關(guān)與回歸分析第九章第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)回歸與相關(guān)的概念直線回歸直線相關(guān)直線回歸與相關(guān)分析第九章第一節(jié)：回歸與相關(guān)的概念相關(guān)變量因果關(guān)系平行關(guān)系回歸分析（regressionanalysis）相關(guān)分析（correlationanalysis）一個變量的變化受另一個變量或幾個變量的制約兩個以上變量之間共同受到另外因素的影響在生物學(xué)中，研究兩個變量間的關(guān)系，主要是為了探求兩變量的內(nèi)在聯(lián)系，或從一個變量X（可以是隨機(jī)變量，也可以是一般的變量），去推測另一個隨機(jī)變量Y。xy施肥量(可以嚴(yán)格地人為控制)產(chǎn)量如果對x的每一個可能的值，都有隨機(jī)變量y的一個分布相對應(yīng)，則稱隨機(jī)變量y對變量x存在回歸(regression)關(guān)系。自變量(independentvariable)因變量(dependentvariable)因果關(guān)系一個變量的變化受另一個變量或幾個變量的制約在大量測量各種身高人群的體重時會發(fā)現(xiàn)，雖然在同樣身高下，體重并不完全一樣。但在每一身高下，都有一個確定的體重分布與之相對應(yīng);在大量測量各種體重人群的身高時會發(fā)現(xiàn)，雖然在同樣體重下，身高并不完全一樣。但在每一體重下，都有一個確定的身高分布與之相對應(yīng);身高與體重之間存在相關(guān)關(guān)系。X身高Y體重X體重Y身高相關(guān)關(guān)系第二節(jié)：直線回歸LinearRegression一、直線回歸方程的建立二、直線回歸的數(shù)學(xué)模型和基本假定三、直線回歸的假設(shè)檢驗四、直線回歸的區(qū)間估計簡單回歸(SimpleRegression)一、直線回歸方程的建立直線回歸就是用來描述一個變量如何依賴于另一個變量

溫度天數(shù)Y=a+bx^直線回歸方程(linearregressionequation)截距(intercept)回歸截距斜率(slope)回歸系數(shù)(regerssioncoefficient)自變量與x值相對應(yīng)的依變量y的點估計值0xya>0,b>0a<0,b>0a>0,b<0a=0b=0變量1變量2收集數(shù)據(jù)散點圖溫度天數(shù)

X

Y平均溫度（℃）歷期天數(shù)（d）11.830.1

14.717.315.6

16.716.813.617.1

11.918.810.719.58.320.4

6.7黏蟲孵化歷期平均溫度與歷期天數(shù)關(guān)系圖01020304010121416182022溫度天數(shù)（天）（℃）回歸直線在平面坐標(biāo)系中的位置取決于a,b的取值。y最小最小二乘法(methodofleastsquare)最小為最小值基本性質(zhì)

X

Y平均溫度（℃）歷期天數(shù)（d）11.830.1

14.717.315.6

16.716.813.617.1

11.918.810.719.58.320.4

6.701020304010121416182022溫度天數(shù)（天）（℃）11.8-----20.4用x估計y，存在隨機(jī)誤差，必須根據(jù)回歸的數(shù)學(xué)模型對隨機(jī)誤差進(jìn)行估計，并對回歸方程進(jìn)行檢驗。y誤差二、數(shù)學(xué)模型和基本假定yy的總體平均數(shù)因x引起y的變異y的隨機(jī)誤差總體回歸截踞總體回歸系數(shù)隨機(jī)誤差直線回歸的數(shù)學(xué)模型(modeloflinearregression)基本假定x是沒有誤差的固定變量，或其誤差可以忽略，而y是隨機(jī)變量，且有隨機(jī)誤差。x是的任一值對應(yīng)著一個y總體，且作正態(tài)分布，其平均數(shù)μ＝α+βx，方差受偶然因素的影響，不因x的變化而改變。隨機(jī)誤差ε是相互獨立的，呈正態(tài)分布。y三、直線回歸的假設(shè)檢驗有意義指導(dǎo)實踐？是否真正存在線性關(guān)系回歸關(guān)系是否顯著一、直線回歸的變異來源y=a+bxy(x,y)y-yy-yy-y實際值與估計值之差，剩余或殘差。y-y估計值與均值之差，它與回歸系數(shù)的大小有關(guān)。檢驗線性回歸系數(shù)的顯著性，采用t檢驗法進(jìn)行。假設(shè)H0:β=0

HA:β≠0檢驗樣本回歸系數(shù)b是否來自β=0的雙變量總體，以推斷線性回歸的顯著性。(三）t檢驗依變量y的平方和，總平方和，SSy,SS總回歸平方和U離回歸平方和Qy的離均差，反映了y的總變異程度，稱為y的總平方和。說明未考慮x與y的回歸關(guān)系時y的變異。反映了由于y與x間存在直線關(guān)系所引起的y的變異程度，因x的變異引起y變異的平方和，稱為回歸平方和。它反映在y的總變異中由于x與y的直線關(guān)系，而使y變異減小的部分，在總平方和中可以用x解釋的部分。U值大，說明回歸效果好?；貧w平方和(regressionsumofsquares)U誤差因素引起的平方和，反映了除去x與y的直線回歸關(guān)系以外的其余因素使y引起變化的大小。反映x對y的線性影響之外的一切因素對y的變異的作用，也就是在總平方和中無法用x解釋的部分。離回歸平方和誤差平方和，剩余平方和(residualsumofsquares)Q在散點圖上，各實測點離回歸直線越近，Q值越小，說明直線回歸的估計誤差越小。依變量y的平方和，總平方和，SSy,SS總回歸平方和U離回歸平方和Q直線回歸分析中，回歸自由度等于自變量的個數(shù)，只涉及到1個自變量df回歸＝1df總＝n-1df離回歸＝n-2Q/n-2離回歸標(biāo)準(zhǔn)差回歸估計標(biāo)準(zhǔn)誤剩余標(biāo)準(zhǔn)差離回歸方差總體回歸截踞總體回歸系數(shù)隨機(jī)誤差α：它是y的本底水平，即x對y沒有任何作用時，y的數(shù)量表現(xiàn)。βx：它描述了因變量y的取值改變中，由y與自變量x的線性關(guān)系所引起的部分，即可以由x直接估計的部分。誤差：它描述了因變量y的取值改變由x以外的可能與y有關(guān)的隨機(jī)和非隨機(jī)因素共同引起的部分，即不能由x直接估計的部分。兩個變量是否存在線性關(guān)系，可采用F檢驗法進(jìn)行?？傮w回歸截踞總體回歸系數(shù)隨機(jī)誤差若x與y間不存在直線關(guān)系，則總體回歸系數(shù)β=0;若x與y間存在直線關(guān)系，則總體回歸系數(shù)β≠0假設(shè)H0:兩變量間無線性關(guān)系

HA:兩變量間有線性關(guān)系在無效假設(shè)存在下，回歸方差與離回歸方差的比值服從F分布。df1=1df2=n-2H0:黏蟲孵化歷期平均溫度x與歷期天數(shù)y之間不存在線性關(guān)系

HA:兩變量間有線性關(guān)系變異來源dfSSs2

FF0.05F0.01

回歸1353.6628353.662889.89**5.9913.74離回歸623.60603.9343總變異7377.2688df=n-2回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤否定H0:β=0，接受HA:β≠0，認(rèn)為黏蟲孵化歷期平均溫度與歷期天數(shù)間有真實直線回歸關(guān)系。同一概率值F（一尾）值（df1=1,df2=n-2）t值（兩尾）（df=n-2）四、直線回歸的區(qū)間估計點估計四、直線回歸的區(qū)間估計a和b的置信區(qū)間（一）μy/x

的置信區(qū)間和單個y的預(yù)測區(qū)間（二）μy/x

和單個y觀測值置信區(qū)間圖示（三）(一）a和b的置信區(qū)間(一）a和b的置信區(qū)間df=2(一）a和b的置信區(qū)間總體回歸截距α的置信區(qū)間(一）a和b的置信區(qū)間總體回歸系數(shù)β

的置信區(qū)間95%的樣本回歸截距落在該區(qū)間內(nèi)95%的樣本回歸系數(shù)落在該區(qū)間內(nèi)(二）μy/x

的置信區(qū)間和單個y的預(yù)測區(qū)間不包含隨機(jī)誤差由回歸方程預(yù)測x為某一定值時y的觀測值所在區(qū)間，則y觀測值不僅受到y(tǒng)和b的影響，也受到隨機(jī)誤差的影響。y總體的平均數(shù)單個y值所在的區(qū)間x點估計(二）μy/x

的置信區(qū)間和單個y的預(yù)測區(qū)間df=n-2y總體的平均數(shù)單個y值所在的區(qū)間xy總體的平均數(shù)黏蟲孵化歷期平均溫度為15℃時，歷期天數(shù)為多少天（取95％置信概率）？df=n-2y總體的平均數(shù)x單個y值所在的區(qū)間單個y值所在的區(qū)間某年的歷期平均溫度為15℃時，該年的歷期天數(shù)為多少天（取95％置信概率）？(二）μy/x

的置信區(qū)間和單個y的預(yù)測區(qū)間(三）μy/x

和單個y觀測值置信區(qū)間圖示正比反比愈靠近x，對y總體平均值或單個y的估計值就愈精確，而增大樣本含量，擴(kuò)大x的取值范圍亦可提高精確度。作回歸分析時要有實際意義。直線回歸注意問題不能把毫無關(guān)聯(lián)的兩種現(xiàn)象勉強(qiáng)作回歸分析，即便有回歸關(guān)系也不一定是因果關(guān)系，還必須對兩種現(xiàn)象的內(nèi)在聯(lián)系有所認(rèn)識，即能從專業(yè)理論上作出合理解釋或有所依據(jù)。進(jìn)行直線回歸分析之前，繪制散點圖。直線回歸注意問題當(dāng)觀察點的分布有直線趨勢時，才適宜作直線回歸分析。散點圖還能提示資料有無異常值，即對應(yīng)于殘差絕對值特別大的觀測數(shù)據(jù)。異常點的存在往往對回歸方程中的a和b的估計產(chǎn)生較大的影響。因此，需要復(fù)查此異常點的值。直線回歸的適應(yīng)范圍一般以自變量的取值為限。直線回歸注意問題在自變量范圍內(nèi)求出的估計值，一般稱為內(nèi)插(interpolation);超過自變量取值范圍所計算出的估計值，稱為外延(extrapolation)。若無充分理由證明超過自變量取值范圍還是直線，應(yīng)該避免外延。描述兩變量間的依存關(guān)系。直線回歸的應(yīng)用利用回歸關(guān)系進(jìn)行預(yù)測(forecast)。直線回歸的應(yīng)用將自變量作為預(yù)報回子，代入方程對預(yù)報量進(jìn)行估計，其波動范圍可按個體y值容許區(qū)間方法計算。回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計控制(statisticalcontrol).直線回歸的應(yīng)用

NO2濃度Y(NO2濃度，mg/m3)=-0.064866+0.000133x(車流量，輛／小時）^第三節(jié)：直線相關(guān)LinearCorrelation一、相關(guān)系數(shù)和決定系數(shù)二、相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗三、相關(guān)系數(shù)的區(qū)間估計一、相關(guān)系數(shù)和決定系數(shù)xy線性關(guān)系了解x和y相關(guān)以及相關(guān)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)相關(guān)類型正相關(guān)負(fù)相關(guān)零相關(guān)IIIIIIIVIIIIIIIVIIIIIIIVIIIIIIIV正相關(guān)IIIIIIIV正相關(guān)IIIIIIIV負(fù)相關(guān)IIIIIIIV零相關(guān)直線相關(guān)的兩個變量的相關(guān)程度和性質(zhì)乘積和互變量（1)單位問題（2)x與y本身的變異不影響x與y之間的相關(guān)性？ｎr兩個變量的變異程度兩個變量的度量單位兩個變量的個數(shù)r可以用來比較不同雙變量的相關(guān)程度和性質(zhì)。樣本總體兩個變量在相關(guān)系數(shù)計算中的地位是平等的，沒有自變量和依變量之分相關(guān)回歸區(qū)別聯(lián)系決定系數(shù)coefficientofdetermination變量x引起y變異的回歸平方和占y總變異平方和的比率當(dāng)SSy固定時，回歸平方和U的大小取決于r2?；貧w平方和U是由于引入了相關(guān)變量而使總平方和SSy減少的部分。說明引入相關(guān)的效果好用y可以準(zhǔn)確預(yù)測y值x與y完全相關(guān)。完全正相關(guān)完全負(fù)相關(guān)散點圖上所有點必在一條直線上?；貧w一點作用也沒有，即用x的線性函數(shù)完全不能預(yù)測y值的變化。x與y之間不存在直線相關(guān)關(guān)系，這時散點圖分布紊亂，沒有直線的趨勢，但可能存在非線性關(guān)系。IIIIIIIVx的線性函數(shù)對預(yù)測y值的變化有一定作用，但不能準(zhǔn)確預(yù)測，說明y還受其他因素（包括隨機(jī)誤差）的影響。相關(guān)系數(shù)(r)和決定系數(shù)(r2)

的區(qū)別(1)除去r=1和0的情況外，r2<r，這樣可以防止對相關(guān)系數(shù)所表示的相關(guān)程度作夸張的解釋。（2）r可正可負(fù)，r2取正，r2一般只用于表示相關(guān)程度而不表示相關(guān)性質(zhì)。溫度天數(shù)黏蟲孵化歷期平均溫度與歷期天數(shù)成負(fù)相關(guān)。x和y的變異有93.74％可用二者之間的線性關(guān)系來解釋。ρ=0xy(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)(xn,yn)P?二、相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗r是線性關(guān)系強(qiáng)弱的指標(biāo)H0:β=0

HA:β≠0檢驗樣本回歸系數(shù)b是否來自β=0的雙變量總體，以推斷線性回歸的顯著性。對于相關(guān)系數(shù)r作顯著性檢驗的無效假設(shè)為ρ=0，即測定r來自ρ=0總體的概率，也就是判斷r所代表的總體是否存在直線相關(guān)。總體相關(guān)系數(shù)ρ=0相關(guān)系數(shù)r的標(biāo)準(zhǔn)誤（１）假設(shè)（2）水平（3）檢驗（4）推斷H0:ρ=0；HA:ρ≠0選取顯著水平α在α顯著水平上，否定H0，接受HA；推斷r顯著。在α顯著水平上，接受H0，否定HA；推斷r不顯著。r經(jīng)顯著性檢驗的結(jié)果呈不顯著時，便推斷兩變數(shù)間不存在相關(guān)關(guān)系，這時不能用r代表其相關(guān)密切程度。（１）假設(shè)（2）水平（3）檢驗（4）推斷H0:ρ=0；HA:ρ≠0選取顯著水平α＝0.01否定H0，接受HA；推斷r極顯著，黏蟲孵化歷期溫度與歷期天數(shù)之間存在著極顯著的直線相關(guān)關(guān)系。必然結(jié)果r與t符號相同。相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗可不計算t值，直接從附表12查出df=n-2時r的臨界值。椰子樹的產(chǎn)量數(shù)X(個)椰子樹的高度Y(尺)X(個)120121

123126

128Y(尺)2123

222524椰子樹的產(chǎn)果樹與樹高之間無直線相關(guān)關(guān)系。當(dāng)樣本太小時，即使r值達(dá)到0.7996，樣本也可能來自總體相關(guān)系數(shù)ρ=0的總體。不能直觀地由r值判斷兩變數(shù)間的相關(guān)密切程度。試驗或抽樣時，所取的樣本容量n大一些，由此計算出來的r值才能參考價值。12三、相關(guān)系數(shù)的區(qū)間估計r值經(jīng)假設(shè)檢驗達(dá)到顯著水平，需要由r估計總體相關(guān)系數(shù)ρ所在的區(qū)間。ρy(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)(xn,yn)Xρ＝0兩變量無直線相關(guān)關(guān)系ρ≠0兩變量有直線相關(guān)關(guān)系正態(tài)分布黏蟲孵化歷期溫度與歷期天數(shù)的總體相關(guān)系數(shù)ρ的95％的置信區(qū)間為（-0.9944，-0.8294）。相關(guān)與回歸的聯(lián)系回歸方程的顯著性回歸系數(shù)的顯著性相關(guān)系數(shù)的顯著性一致xy三者同時顯著或不顯著。r與b的符號一致，由兩變量離均差乘積之和的符號決定。相關(guān)與回歸的聯(lián)系r：+,兩變量間的相互關(guān)系是同向變化的。b：+,x增（減）一個單位，y平均值增（減）b個單位。相關(guān)與回歸的聯(lián)系用回歸解釋相關(guān)。相關(guān)與回歸的聯(lián)系y關(guān)于x的直線回歸系數(shù)x關(guān)于y的直線回歸系數(shù)xy回歸相關(guān)x是可以精確測量和嚴(yán)格控制的變量。y服從正態(tài)分布。x服從正態(tài)分布。y服從正態(tài)分布。I型回歸II型回歸相關(guān)與回歸的區(qū)別資料要求xy兩變量間依存變化的數(shù)量關(guān)系兩變量間相關(guān)關(guān)系回歸相關(guān)相關(guān)與回歸的區(qū)別應(yīng)用