球的體積與表面積思考：如何求球的體積？排液法：hHhR

高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積對比球的體積球的體積公式則球的體積為：OO球的表面積公式推導(dǎo)一、基本計(jì)算問題例1.(1)把球的半徑擴(kuò)大為原來的3倍，則體積擴(kuò)大為原來的________倍.(2)把球隊(duì)表面積擴(kuò)大到原來的2倍，那么體積擴(kuò)大為原來的_______倍.(3)三個球的表面積之比為1:2:3，則它們的體積之比為_________.(4)三個球的體積之比為1:8:27，則它們的表面積之比為________.例題解說（4）.若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是______.（1）.若球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼腳__倍.（2）.若球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼腳__倍.（3）.若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是______.例2一、基本計(jì)算問題練習(xí).鋼球直徑是5cm,求它的體積.例3.如圖,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,求證:(1)球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.(2)球的表面積等于圓柱全方面積的三分之二.O一、基本計(jì)算問題例4.一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,外徑是5cm,求它的內(nèi)徑.(鋼的密度是7.9g/cm2)解:設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為2xcm,則鋼球的質(zhì)量是答:空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5cm.由計(jì)算器算得:一、基本計(jì)算問題用一種平面α去截一種球O，截面是圓面O?球的截面的性質(zhì)：球心和截面圓心的連線垂直于截面球心到截面的距離為d，球的半徑為R，則二、截面問題OABC例5.已知過球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心O的距離等于球半徑的二分之一，且AB=BC=CA=3cm，求球的體積，表面積．二、截面問題變式：在半徑為13cm的球面上有A、B、C三點(diǎn)，AB＝6cm，BC＝8cm，CA＝10cm，求通過A、B、C三點(diǎn)的截面與球心O之間的距離.二、截面問題二、截面問題例6.一球的球面面積為256πcm2，過此球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于這條半徑的截面，求截面圓的面積.變式：在球內(nèi)有相距9cm的兩個平行截面，截面面積分別為49πcm2和400πcm2，求球的表面積.兩種狀況要點(diǎn)：精確畫圖，運(yùn)用基本三角形三、“接”與“切”：兩個幾何體相（內(nèi)）切:一種幾何體的各個面與另一種幾何體的各面相切兩個幾何體相接:一種幾何體的全部頂點(diǎn)都在另一種幾何體的表面上解決“接切”問題的核心是畫出對的的截面，把空間“接切”轉(zhuǎn)化為平面“接切”問題1.球與正方體的“接切”問題典型：有三個球,甲球切于正方體的各面,乙球切于正方體的各側(cè)棱,丙球過正方體的各頂點(diǎn),求這三個球的體積之比.

畫出對的的截面：(1)中截面；(2)對角面；找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系例2.鋼球直徑5cm，把鋼球放入一種正方體有蓋紙盒中,最少要用多少紙?用料最省時,球與正方體有什么位置關(guān)系?正方體的內(nèi)切球側(cè)棱長為5cm1.球與正方體的“接切”問題例3.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,它的各個頂點(diǎn)都在球O的球面上，問球O的表面積。ABCDD1C1B1A1O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重疊，則正方體對角線與球的直徑相等。ABCDD1C1B1A1O正方體的外接球1.球與正方體的“接切”問題1.球與正方體的“接切”問題2.四周體與球的“接切”問題典型：正四周體ABCD的棱長為a，求其內(nèi)切球半徑r與外接球半徑R.思考：若正四周體變成正三棱錐，辦法與否有變化？1、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等2、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重疊3、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重疊4、基本辦法：構(gòu)造三角形運(yùn)用相似比和勾股定理5、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法2.四周體與球的“接切”問題3.球與旋轉(zhuǎn)體的“接切”問題1.半圓O的直徑為直角梯形垂直于底的腰，且切AB、BC、CD于A、E、D點(diǎn)，將其繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一種球與一種圓臺，若球的表面積與圓臺側(cè)面積的比為3:4，求球的體積與圓臺體積之比.2.一種倒立的圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在此容器內(nèi)注入水并且放入一種半徑為r的鐵球，這時水面正好和球面相切，問將球從圓錐內(nèi)取出后，圓錐內(nèi)水平面的高是多少？軸截面四、球堆問題1.把半徑為R的四個球壘成兩層放在桌面，下層放三個，上層放一種，兩兩相切，求上層小球最高點(diǎn)離桌面的距離.2