PAGE第1頁【專題10】排列、組合和二項式定理1、排列數(shù)中，、，組合數(shù)中，，，、．（1）排列數(shù)公式：（）；．（2）組合數(shù)公式：（）；規(guī)定，．（3）排列數(shù)、組合數(shù)的性質：①；②；③；④；⑤；⑥．例1、（，）的個位數(shù)字為_________．【答案】3例2、滿足的_________．【答案】8例3、已知，求、的值．【答案】2、解排列組合問題的依據(jù)是：加法原理（分類相加：每類方法都能獨立地完成這件事，它是相互獨立的，一次的且每次得出的是最后的結果，只需一種方法就能完成這件事）；乘法原理（分步相乘：一步得出的結果都不是最后的結果，任何一步都不能獨立地完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事，各步是關聯(lián)的）．有序排列，無序組合．例4、將5封信投入3個郵筒，不同的投法共有_________種．【答案】例5、從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要甲型與乙型電視機各一臺，則不同的取法共有_________種．【答案】70例6、從集合和中各取一個元素作為點的坐標，則在直角坐標系中能確定不同點的個數(shù)是_________．【答案】23例7、72的正約數(shù)（包括1和72）共有_________個．【答案】12例8、的一邊上有4個點，另一邊上有5個點，連同的頂點共10個點，以這些點為頂點，可以構成_________個三角形．【答案】90例9、用六種不同顏色把右圖中、、、四塊區(qū)域分開，允許同一顏色涂不同區(qū)域，但相鄰區(qū)域不能是同一種顏色，則共有_________種不同涂法．【答案】480例10、同室4人各寫1張賀年卡，然后每人從中拿1張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式有_________種．【答案】9例11、是集合到集合的映射，且，則不同的映射共有_________個．【答案】7例12、滿足的集合、、共有_________組．【答案】3、解排列組合問題的方法：（1）特殊元素、特殊位置優(yōu)先法：元素優(yōu)先法，先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法，先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置．例13、某單位準備用不同花色的裝飾石材分別裝飾辦公樓中的辦公室、走廊、大廳的地面及樓的外墻，現(xiàn)有編號為1到6的6種不同花色的石材可選擇，其中1號石材有微量的放射性，不可用于辦公室內，則不同的裝飾效果有_________種．【答案】300例14、某銀行儲蓄卡的密碼是一個4位數(shù)碼，某人采用千位、百位上的數(shù)字之積作為十位個位上的數(shù)字（如2816）的方法設計密碼，當積為一位數(shù)時，十位上數(shù)字選0．千位、百位上都能取0．這樣設計出來的密碼共有_________種．【答案】100例15、用0、1、2、3、4、5這六個數(shù)字，可以組成無重復數(shù)字的四位偶數(shù)_________個．【答案】156例16、某班上午要上語、數(shù)、外和體育4門課，如體育不排在第一、四節(jié)；語文不排在第一、二節(jié)，則不同排課方案種數(shù)為_________．【答案】6例17、四個不同的小球全部放入編號為1、2、3、4的四個盒中．①恰有兩個空盒的放法有_________種；②甲球只能放入第2或3號盒，而乙球不能放入第4號盒的不同放法有_________種．【答案】84；96例18、設有編號為1、2、3、4、5的五個茶杯和編號為1、2、3、4、5的5個杯蓋，將五個杯蓋蓋在五個茶杯上，至少有兩個杯蓋和茶杯的編號相同的蓋法有_________種．【答案】31（2）間接法：對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉．例19、在平面直角坐標系中，由六個點、、、、、可以確定三角形的個數(shù)為_________．【答案】15（3）相鄰問題捆綁法：把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列．例20、把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法種數(shù)為_________．【答案】2880例21、某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中中恰好有3槍連在一起的情況的不同種數(shù)為_________．【答案】20例22、把一同排6張座位編號為1、2、3、4、5、6的電影票全部分給4個人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，那么不同的分法種數(shù)是_________．【答案】144（4）不相鄰（相間）問題插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間．例23、3人坐在一排八個座位上,若每人的左右兩邊都有空位,則不同的坐法種數(shù)有_________種．【答案】24例24、某班新年聯(lián)歡晚會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目．如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為_________．【答案】42（5）多排問題單排法：例25、若個學生排成一排的排法數(shù)為，這個學生排成前后兩排，每排各個學生的排法數(shù)為，則、的大小關系為_________．【答案】相等（6）多元問題分類法：例26、某化工廠實驗生產中需依次投入2種化工原料，現(xiàn)有5種原料可用，但甲、乙兩種原料不能同時使用，且依次投料時，若使用甲原料，則甲必須先投放．那么不同的實驗方案共有_________種．【答案】15例27、某公司新招聘進8名員工，平均分給下屬的甲、乙兩個部門．其中兩名英語翻譯人員不能同給一個部門；另三名電腦編程人員也不能同給一個部門，則不同的分配方案有_________種．【答案】36例28、9名翻譯中，6個懂英語，4個懂日語，從中選撥5人參加外事活動，要求其中3人擔任英語翻譯，選撥的方法有_________種．【答案】90（7）有序問題組合法：例29、書架上有3本不同的書，如果保持這些書的相對順序不便，再放上2本不同的書，有_________種不同的放法．【答案】20例30、百米決賽有6名運動、、、、、參賽，每個運動員的速度都不同，則運動員比運動員先到終點的比賽結果共有_________種．【答案】360例31、學號為1、2、3、4的四名學生的考試成績（）且滿足，則這四位同學考試成績的所有可能情況有_________種．【答案】15例32、設集合，對任意，有，則映射的個數(shù)是_________．【答案】例33、如果一個三位正整數(shù)形如“”滿足且，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如120、363、374等），那么所有凸數(shù)個數(shù)為_________．【答案】240例34、離心率等于（其中，且、）的不同形狀的的雙曲線的個數(shù)為_________．【答案】26（8）選取問題先選后排法：例35、某種產品有4只次品和6只正品，每只產品均不相同且可區(qū)分，今每次取出一只測試，直到4只次品全測出為止，則最后一只次品恰好在第五次測試時，被發(fā)現(xiàn)的不同情況種數(shù)是_________．【答案】576（9）至多至少問題間接法：例36、從7名男同學和5名女同學中選出5人，至少有2名女同學當選的選法有_________種．【答案】596（10）相同元素分組可采用隔板法：例37、10個相同的球各分給3個人，每人至少一個，有多少種分發(fā)？每人至少兩個呢？【答案】36；15例38、某運輸公司有7個車隊，每個車隊的車都多于4輛且型號相同，要從這7個車隊中抽出10輛車組成一運輸車隊，每個車隊至少抽1輛車，則不同的抽法有多少種？【答案】844、分組問題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成組問題別忘除以．例39、4名醫(yī)生和6名護士組成一個醫(yī)療小組，若把他們分配到4所學校去為學生體檢，每所學校需要一名醫(yī)生和至少一名護士的不同選派方法有_______種．【答案】374405、二項式定理：，其中組合數(shù)叫做第項的二項式系數(shù)；展開式共有項，其中第項（1、2、3、、）稱為二項展開式的通項，二項展開式通項的主要用途是求指定的項．特別提醒：①項的系數(shù)與二項式系數(shù)是不同的兩個概念，但當二項式的兩個項的系數(shù)都為1時，系數(shù)就是二項式系數(shù)．如在的展開式中，第項的二項式系數(shù)為，第項的系數(shù)為；而的展開式中的系數(shù)就是二項式系數(shù)；②當?shù)臄?shù)值不大時往往借助楊輝三角直接寫出各項的二項式系數(shù)；③審題時要注意區(qū)分所求的是項還是第幾項？求的是系數(shù)還是二項式系數(shù)？例40、的展開式中常數(shù)項是_________．【答案】14例41、的展開式中的的系數(shù)為_________．【答案】330例42、數(shù)的末尾連續(xù)出現(xiàn)零的個數(shù)是_________．【答案】3例43、展開后所得的的多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有_________項．【答案】7例44、若（且）的值能被5整除，則的可取值的個數(shù)有_________個．【答案】5例45、若，且，二項式按降冪展開后，其第二項不大于第三項，則的取值范圍是_________．【答案】例46、函數(shù)的最大值是_________．【答案】10246、二項式系數(shù)的性質：（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即；（2）增減性與最大值：當時，二項式系數(shù)的值逐漸增大，當時，的值逐漸減小，且在中間取得最大值．當為偶數(shù)時，中間一項（第項）的二項式系數(shù)取得最大值．當為奇數(shù)時，中間兩項（第和項）的二項式系數(shù)相等并同時取最大值；（3）二項式系數(shù)的和：；．例47、在二項式的展開式中，系數(shù)最小的項的系數(shù)為_________．【答案】例48、在的展開式中，第十項是二項式系數(shù)最大的項，則_________．【答案】17、18或19例49、如果，則_________．【答案】128例50、化簡．【答案】7、賦值法：應用“賦值法”可求得二項展開式中各項系數(shù)和為、“奇數(shù)（偶次）項”系數(shù)和為，以及“偶數(shù)（奇次）項”系數(shù)和為．例51、已知，則等于_________．【答案】例52、，則_________．【答案】2004例53、設，則_________．【答案】8、系數(shù)最大項的求法：設第項的系數(shù)最大，由不等式組確定．例54、求的展開式中，系數(shù)的絕對值最大的項和系數(shù)最大的項．【答案】系數(shù)絕對值最大的項為，系數(shù)最大的項為9、二項式定理的應用：二項式定理的主要應用有近似計算、證明整除性問題或求余數(shù)、應用其首尾幾項進行放縮證明不等式．例55、精確到近似值為_________．【答案】例56、被4除所得的余數(shù)為_________．【答案】0例57、今天是星期一，天后是星期_________．【答案】二例58、求證：（）能被64整除．例59、求證：（，且）．【專題10】概率1、隨機事件的概率滿足：，其中當時，稱為必然事件；當時，稱為不可能事件．2、等可能事件的概率（古典概率）：．理解這里、的意義．3、互斥事件：、互斥，即事件、不可能同時發(fā)生．計算公式：．4、對立事件：、對立，即事件、不可能同時發(fā)生，但、中必然有一個發(fā)生．計算公式是：；．5、獨立事件：事件、的發(fā)生相互獨立，互不影響．計算公式是：．特別提醒：①如果事件、獨立，那么事件與、與及事件與也都是獨立事件；②如果事件、相互獨立，那么事件、至少有一個不發(fā)生的概率是：；③如果事件、相互獨立，那么事件、至少有一個發(fā)生的概率是：．6、獨立事件重復試驗：事件在次獨立重復試驗中恰好發(fā)生了次的概率：（是二項展開式的第項），其中為在一次獨立重復試驗中事件發(fā)生的概率．特別提醒：①探求一個事件發(fā)生的概率，關鍵是分清事件的性質．在求解過程中常應用等價轉化思想和分解（分類或分步）轉化思想處理，把所求的事件：轉化為等可能事件的概率（常常采用排列組合的知識）；轉化為若干個互斥事件中有一個發(fā)生的概率；利用對立事件的概率，轉化為相互獨立事件同時發(fā)生的概率；看作某一事件在次實驗中恰有次發(fā)生的概率，但要注意公式的使用條件；②事件互斥是事件獨立的必要非充分條件，反之，事件對立是事件互斥的充分非必要條件；③概率問題的解題規(guī)范：先設事件“”，“”；列式計算；作答．例1、將數(shù)字1、2、3、4填入編號為1、2、3、4的四個方格中，每格填一個數(shù)字，則每個方格的標號與所填數(shù)字均不相同的概率是__________．【答案】例2、設10件產品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①從中任取2件都是次品；②從中任取5件恰有2件次品；③從中有放回地任取3件至少有2件次品；④從中依次取5件恰有2件次品．【答案】①；②；③；④例3、有、兩個口袋，袋中有4個白球和2個黑球，袋中有3個白球和4個黑球，從、袋中各取兩個球交換后，求袋中仍裝有4個白球的概率．【答案】例4、甲、乙兩個人輪流射擊，先命中者為勝，最多各打5發(fā)，已知他們的命中率分別為和，甲先射，則甲獲勝的概率是_______（結果保留兩位小數(shù)）．【答案】例5、有一個公用電話亭，在觀察使用這個電話的人的流量時，設在某一時刻，有個人正在使用電話或等待使用的概率為，且與時刻無關，統(tǒng)計得到，那么在某一時刻，這個公用電話亭里一個人也沒有的概率的值是__________．【答案】例6、設兩個獨立事件和都不發(fā)生的概率為，發(fā)生不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相同，則事件發(fā)生的概率是__________．【答案】例7、某同學參加科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：答對第一、二、三個問題分別得100分、100分、200分，答錯得0分，假設這位同學答對第一、二、三個問題的概率分別為、、，且各題答對與否相互之間沒有影響，則這名同學得300分的概率為__________，這名同學至少得300分的概率為__________．【答案】；例8、袋中有紅、黃、綠色球各一個，每次任取一個，有放回地抽取三次，球的顏色全相同的概率是__________．【答案】例9、一項“過關游戲”規(guī)則規(guī)定：在第關要拋擲一顆骰子次，如果這次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于，則算過關，那么，連過前二關的概率是__________．【答案】例10、有甲、乙兩口袋，甲袋中有六張卡片，其中一張寫有0，兩張寫有1，三張寫有2；乙袋中有七張卡片，四張寫有0，一張寫有1，兩張寫有2，從甲袋中取一張卡片，乙袋中取兩張卡片．設取出的三張卡片的數(shù)字乘積的可能值為、、、，且，其相應的概率記為、、、，則的值為__________．【答案】例11、平面上有兩個質點、分別位于、點，在某一時刻同時開始每隔1秒鐘向上下左右四個方向中的任何一個方向移動1個單位，已知質點向左、右移動的概率都是，向上、下移動的概率分別是和，質點向四個方向中的任何一個方向移動的概率都是．①求和的值；②試判斷最少需要幾秒鐘，、能同時到達點？并求出在最短時間內同時到達的概率．【答案】①，；②3秒；例12、小王通過英語聽力測試的概率是，他連續(xù)測試3次，那么其中恰有1次獲得通過的概率是__________．【答案】例13、冰箱中放有甲、乙兩種飲料各5瓶，每次飲用時從中任意取1瓶甲種或乙種飲料，取用甲種或乙種飲料的概率相等，則甲種飲料飲用完畢時乙種飲料還剩下3瓶的概率為__________．【答案】【專題10】統(tǒng)計1、抽樣方法：（1）簡單隨機抽樣（抽簽法、隨機樣數(shù)表法）：常常用于總體個數(shù)較少時，它的主要特征是從總體中逐個抽取；（2）分層抽樣：主要特征分層按比例抽樣，主要使用于總體中的個體有明顯差異．共同點：每個個體被抽到的概率都相等．例1、某社區(qū)有500個家庭，其中高收入家庭125戶，中等收入家庭280戶，低收入家庭95戶．為了調查社會購買力的某項指標，要從中抽取一個容量為100戶的樣本，把這種抽樣記為；某中學高中一年級有12名女排運動員，要從中選取3人調查學習負擔的情況，把這種抽樣記為，那么完成上述兩項調查應分別采用的抽樣方法：為_______，為_______．【答案】分層抽樣；簡單隨機抽樣例2、從10名女生與5名男生中選6名學生參加比賽，如果按性別分層隨機抽樣，則組成此參賽隊的概率為______．【答案】例3、某中學有高一學生400人，高二學生300人，高三學生300人，現(xiàn)通過分層抽樣抽取一個容量為的樣本，已知每個學生被抽到的概率為，則_______．【答案】200例4、容量為100的樣本拆分成10組，前7組的頻率之和為，而剩下的三組的頻數(shù)組成等比數(shù)列，且其公比不為1，則剩下的三組中頻數(shù)最大的一組的頻率是______．【答案】例5、用簡單隨機抽樣的方法從含有10個個體的總體中，抽取一個容量為2的樣本，則某一個體在“第一次被抽到的概率”、“第一次未被抽到，第二次被抽到的概率”、“在整個抽樣過程中被抽到的概率”分別是______________．【答案】；；例6、某班試用電子投票系統(tǒng)選舉班干部候選人．全班名同學都有選舉權和被選舉權，他們的編號分別為1、2、、，規(guī)定：同意按“1”，不同意（含棄權）按“0”，令，其中、2、、；、2、、，則同時同意第1、2號同學當選的人數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】C2、總體分布的估計：用樣本估計總體，是研究統(tǒng)計問題的一個基本思想方法，即用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)（即總體期望值是描述一個總體的平均水平）；用樣本方差估計總體方差（方差和標準差是描述一個樣本和總體的波動大小的特征數(shù)，方差或標準差越小，表示這個樣本或總體的波動越小，即越穩(wěn)定）．一般地，樣本容量越大，這種估計就越精確．總體估計要掌握：（1）“表”（頻率分布表）；（2）“圖”（頻率分布直方圖）．特別提醒：直方圖的縱軸（小矩形的高）一般是頻率除以組距的商（而不是頻率），橫軸一般是數(shù)據(jù)的大小，小矩形的面積表示頻率．例7、一個容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后組距與頻數(shù)如下：，2；，3；，4；，5；，4；，2；則樣本在區(qū)間上的頻率為