第二章因子分析第一節(jié)引言第二節(jié)因子分析模型

第三節(jié)因子載荷矩陣求解

第四節(jié)公因子重要性的分析

第五節(jié)實例分析與計算機實現(xiàn)

第2章_因子分析第一節(jié)引言一般認為因子分析是從CharlesSpearman在1904年發(fā)表的文章《對智力測驗得分進行統(tǒng)計分析》開始，他提出這種方法用來解決智力測驗得分的統(tǒng)計方法。目前因子分析在心理學、社會學、經(jīng)濟學等學科中都取得了成功的應(yīng)用，是多元統(tǒng)計分析中典型方法之一。因子分析(factoranalysis)也是一種降維、簡化數(shù)據(jù)的技術(shù)。它通過研究眾多變量之間的內(nèi)部依賴關(guān)系，探求觀測數(shù)據(jù)中的基本結(jié)構(gòu)，并用少數(shù)幾個“抽象”的變量來表示其基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這幾個抽象的變量被稱作“因子”，能反映原來眾多變量的主要信息。原始的變量是可觀測的顯在變量，而因子一般是不可觀測的潛在變量。第2章_因子分析例如，在商業(yè)企業(yè)的形象評價中，消費者可以通過一系列指標構(gòu)成的一個評價指標體系，評價百貨商場的各個方面的優(yōu)劣。但消費者真正關(guān)心的只是三個方面：商店的環(huán)境、商店的服務(wù)和商品的價格。這三個方面除了價格外，商店的環(huán)境和服務(wù)質(zhì)量，都是客觀存在的、抽象的影響因素，都不便于直接測量，只能通過其它具體指標進行間接反映。因子分析就是一種通過顯在變量測評潛在變量，通過具體指標測評抽象因子的統(tǒng)計分析方法。又比如，在研究區(qū)域社會經(jīng)濟發(fā)展中，描述社會與經(jīng)濟現(xiàn)象的指標很多，過多的指標容易導(dǎo)致分析過程復(fù)雜化。一個合適的做法就是從這些關(guān)系錯綜復(fù)雜的社會經(jīng)濟指標中提取少數(shù)幾個主要因子，每一個主要因子都能反映相互依賴的社會經(jīng)濟指標間共同作用，抓住這些主要因素就可以幫助我們對復(fù)雜的社會經(jīng)濟發(fā)展問題進行深入分析、合理解釋和正確評價。第2章_因子分析因子分析的內(nèi)容非常豐富，常用的因子分析類型是R型因子分析和Q型因子分析。R型的因子分析是對變量作因子分析，Q型因子分析是對樣品作因子分析。本章側(cè)重討論R型因子分析。第2章_因子分析第二節(jié)因子分析模型一因子分析的數(shù)學模型

二因子載荷陣的統(tǒng)計意義

第2章_因子分析一、因子分析的數(shù)學模型第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析無論是R型或Q型因子分析，都用公共因子F代替X，一般要求m<p，m<n，因此，因子分析與主成分分析一樣，也是一種降低變量維數(shù)的方法。我們下面將看到，因子分析的求解過程同主成分分析類似，也是從一個協(xié)方差陣出發(fā)的。因子分析與主成分分析有許多相似之處，但這兩種模型又存在明顯的不同。主成分分析的數(shù)學模型本質(zhì)上是一種線性變換，是將原始坐標變換到變異程度大的方向上去，相當于從空間上轉(zhuǎn)換觀看數(shù)據(jù)的角度，突出數(shù)據(jù)變異的方向，歸納重要信息。而因子分析從本質(zhì)上看是從顯在變量去“提練”潛在因子的過程。正因為因子分析是一個提練潛在因子的過程，因子的個數(shù)m取多大是要通過一定規(guī)則確定的，并且因子的形式也不是唯一確定的。一般說來，作為“自變量”的因子F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m是不可直接觀測的。這里我們應(yīng)該注意幾個問題。第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析二、因子載荷陣的統(tǒng)計意義前面的因子分析模型中出現(xiàn)了一個概念叫因子載荷矩陣，實際上因子載荷矩陣存在明顯的統(tǒng)計意義。為了對因子分析過程和計算結(jié)果做詳細的解釋，我們對因子載荷矩陣的統(tǒng)計意義加以說明。第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析第三節(jié)因子載荷矩陣求解一因子載荷矩陣的求解二約相關(guān)陣的估計

第2章_因子分析一、因子載荷矩陣的求解

第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析這樣在模型上就解決了從約相關(guān)陣R*出發(fā)求載荷矩陣A第2章_因子分析二、約相關(guān)陣的估計

第2章_因子分析

第2章_因子分析

第2章_因子分析第2章_因子分析2024/8/15

主成分法

用主成分法確定因子載荷是在進行因子分析之前先對數(shù)據(jù)進行一次主成分分析，然后把前面幾個主成分作為未旋轉(zhuǎn)的公因子。相對于其它確定因子載荷的方法而言，主成分法比較簡單。但是由于用這種方法所得的特殊因子之間并不相互獨立，因此，用主成分法確定因子載荷不完全符合因子模型的假設(shè)前提，也就是說所得的因子載荷并不完全正確。但是當共同度較大時，特殊因子所起的作用較小，因而特殊因子之間的相關(guān)性所帶來的影響就幾乎可以忽略。事實上，很多有經(jīng)驗的分析人員在進行因子分析時，總是先用主成分法進行分析，然后再嘗試其他的方法。第2章_因子分析2024/8/15中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心式中，為隨機向量的相關(guān)矩陣的特征值所對應(yīng)的特征向量的分量，因為特征向量之間彼此正交，從到的轉(zhuǎn)換關(guān)系是可逆的，很容易得出由到的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

用主成分法尋找公因子的方法如下：假定從相關(guān)陣出發(fā)求解主成分，設(shè)有個變量，則我們可以找出個主成分。將所得的個主成分按由大到小的順序排列，記為，則主成分與原始變量之間存在如下關(guān)系式:第2章_因子分析(1)我們對上面每一等式只保留前個主成分而把后面的部分用代替，則（1）式變?yōu)椋?/p>

(2)第2章_因子分析這與因子模型完全一致，這樣，就得到了載荷矩陣和一組初始公因子（未旋轉(zhuǎn)）。

式（2）在形式上已經(jīng)與因子模型相一致，且（）之間相互獨立，且與之間相互獨立，為了把轉(zhuǎn)化成合適的公因子，現(xiàn)在要做的工作只是把主成分變?yōu)榉讲顬?的變量。為完成此變換，必須將除以其標準差，由上一章主成分分析的知識知其標準差即為特征根的平方根。于是，令，，則(2)式變?yōu)椋旱?章_因子分析2024/8/15中國人民大學六西格瑪質(zhì)量管理研究中心一般設(shè)為樣本相關(guān)陣的特征根，為對應(yīng)的標準正交化特征向量。設(shè)，則因子載荷矩陣的一個解為：共同度的估計為：

那么如何確定公因子的數(shù)目呢？一般而言，這取決于問題的研究者本人，對于同一問題進行因子分析時，不同的研究者可能會給出不同的公因子數(shù)；當然，有時候由數(shù)據(jù)本身的特征可以很明確地確定出因子數(shù)目。當用主成分法進行因子分析時，也可以借鑒確定主成分個數(shù)的準則，如所選取的公因子的信息量的和達到總體信息量的一個合適比例為止。但對這些準則不應(yīng)生搬硬套，應(yīng)按具體問題具體分析，總之要使所選取的公因子能夠合理地描述原始變量相關(guān)陣的結(jié)構(gòu)，同時要有利于因子模型的解釋。第2章_因子分析第四節(jié)公因子重要性的分析一因子旋轉(zhuǎn)

二因子得分第2章_因子分析一、因子旋轉(zhuǎn)因子分析的目標之一就是要對所提取的抽象因子的實際含義進行合理解釋。有時直接根據(jù)特征根、特征向量求得的因子載荷陣難以看出公共因子的含義。例如，可能有些變量在多個公共因子上都有較大的載荷，有些公共因子對許多變量的載荷也不小，說明它對多個變量都有較明顯的影響作用。這種因子模型反而是不利于突出主要矛盾和矛盾的主要方面的，也很難對因子的實際背景進行合理的解釋。這時需要通過因子旋轉(zhuǎn)的方法，使每個變量僅在一個公共因子上有較大的載荷，而在其余的公共因子上的載荷比較小，至多達到中等大小。這時對于每個公共因子而言（即載荷矩陣的每一列），它在部分變量上的載荷較大，在其它變量上的載荷較小，使同一列上的載荷盡可能地向靠近1和靠近0兩極分離。這時就突出了每個公共因子和其載荷較大的那些變量的聯(lián)系，矛盾的主要方面顯現(xiàn)出來了，該公共因子的含義也就能通過這些載荷較大變量做出合理的說明，這樣也顯示了該公共因子的主要性質(zhì)。第2章_因子分析

第2章_因子分析第2章_因子分析

第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析當m>2時，我們可以逐次對每兩個公共因子和進行上述旋轉(zhuǎn)。對公因子Fl和Fk進行旋轉(zhuǎn)，就是對A的第l和k兩列進行正交變換，使這兩列元素平方的相對方差之和達到最大，而其余各列不變，其正交變換矩陣為第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析二、因子得分

第2章_因子分析第2章_因子分析第2章_因子分析第五節(jié)實例分析與計算機實現(xiàn)一利用SPSS進行因子分析二因子分析在市場研究中的應(yīng)用第2章_因子分析一、利用SPSS進行因子分析

第2章_因子分析

（一）操作步驟

1.在SPSS窗口中選擇Analyze→DataReduction→Factor，調(diào)出因子分析主界面圖(7.1)，并將變量X1—X13移入Variables框中。圖7.1因子分析主界面第2章_因子分析 2.點擊Descriptives按鈕，展開相應(yīng)對話框，見圖7.2。選擇Initialsolution復(fù)選項。這個選項給出各因子的特征值、各因子特征值占總方差的百分比以及累計百分比。單擊Continue按鈕，返回主界面。圖7.2Descriptives子對話框第2章_因子分析 3.點擊Extraction按鈕，設(shè)置因子提取的選項，見圖7.3。在Method下拉列表中選擇因子提取的方法，SPSS提供了七種提取方法可供選擇，一般選擇默認選項，即“主成分法”。在Analyze欄中指定用于提取因子的分析矩陣，分別為相關(guān)矩陣和協(xié)方差矩陣。在Display欄中指定與因子提取有關(guān)的輸出項，如未旋轉(zhuǎn)的因子載荷陣和因子的碎石圖。在Extract欄中指定因子提取的數(shù)目，有兩種設(shè)置方法：一種是在Eigenvaluesover后的框中設(shè)置提取的因子對應(yīng)的特征值的范圍，系統(tǒng)默認值為1，即要求提取那些特征值大于1的因子；第二種設(shè)置方法是直接在Numberoffactors后的矩形框中輸入要求提取的公因子的數(shù)目。這里我們均選擇系統(tǒng)默認選項，單擊Continue按鈕，返回主界面。第2章_因子分析圖7.3Extraction子對話框第2章_因子分析 4.點擊Rotation按鈕，設(shè)置因子旋轉(zhuǎn)的方法。這里選擇Varimax(方差最大旋轉(zhuǎn))，并選擇Display欄中的Rotatedsolution復(fù)選框，在輸出窗口中顯示旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣。單擊Continue按鈕，返回主界面。圖7.4Rotation子對話框第2章_因子分析 5.點擊Scores按鈕，設(shè)置因子得分的選項。選中Saveasvariables復(fù)選框，將因子得分作為新變量保存在數(shù)據(jù)文件中。選中Displayfactorscorecoefficientmatrix復(fù)選框，這樣在結(jié)果輸出窗口中會給出因子得分系數(shù)矩陣。單擊Continue按鈕返回主界面。

6.單擊OK按鈕，運行因子分析過程。圖7.5Scores子對話框第2章_因子分析

（二）主要運行結(jié)果解釋

1.Communalities（給出變量共同度）變量共同度反映每個變量對所提取的所有公共因子的依賴程度，此數(shù)值是因子載荷陣中每一行的因子載荷量的平方和，提取的因子個數(shù)不同，變量共同度也不同。

2.TotalVarianceExplained（給出各公因子方差貢獻表）InitialEigenvalues給出初始相關(guān)矩陣或協(xié)差陣矩陣的特征值，用于確定哪些因子應(yīng)該被提取，共有三項：Total列為各因子對應(yīng)的特征值，本例中共有四個因子對應(yīng)的特征值大于1，因此應(yīng)提取相應(yīng)的四個公因子；%ofVariance列為各因子的方差貢獻率；Cumulative%列為各因子的累積方差貢獻率，由表7.1可以看出，前四個因子已經(jīng)可以解釋89.651%的方差。RotationSumsofSquaredLoadings給出提取出的公因子經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后的方差貢獻情況。第2章_因子分析表7.1特征根與方差貢獻率表

第2章_因子分析

第2章_因子分析表7.2旋轉(zhuǎn)前因子載荷陣第2章_因子分析第2章_因子分析表7.3旋轉(zhuǎn)后因子載荷陣

第2章_因子分析第2章_因子分析注意：在因子表達式中的各變量為進行標準化變換后的標準變量，均值為0，標準差為1。

7.由于我們已經(jīng)在Scores子對話框中選擇了Saveasvariables復(fù)選框，因此，因子得分已經(jīng)作為新的變量保存在數(shù)據(jù)文件中，變量名分別為fac1_1、fac2_1、fac3_1和fac4_1。此后，我們還可以利用因子得分進行其他的統(tǒng)計分析。第2章_因子分析表7.4因子得分系數(shù)矩陣

第2章_因子分析二、因子分析在市場研究中的應(yīng)用表7.5是研究消費者對購買牙膏偏好的調(diào)查數(shù)據(jù)。通過市場的攔截訪問，用7級量表詢問受訪者對以下陳述的認同程度（1表示非常不同意，7表示非常同意）。

V1：購買預(yù)防蛀牙的牙膏是重要的；

V2：我喜歡使牙齒亮澤的牙膏