8.6.3平面與平面垂直

新課程標準新學(xué)法解讀

1.在對面面垂直判定時，既可以從

平面與平面的夾角為直角的角度

借助長方體，通過直觀感知，了解爭論，又可以從已有的線面垂直關(guān)

空間中平面與平面垂直的判定定系動身進行推理論證.

理與性質(zhì)定理.2.利用面面垂直的性質(zhì)定理時，

留意找準兩平面的交線是解題關(guān)

鍵.

課前篇咱主梳理穩(wěn)固根底

［筆記教材］

學(xué)問點1二面角

1.定義及記法

如下圖，從一條直線動身的兩個半平面所組成的圖形叫做二面

角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.棱為

AB,面分別為a,￡的二面角記作二面角a—A3—￡.有時為了便利，

也可在a,￡內(nèi)（棱以外的半平面局部）分別取點P,Q,將這個二面角

記作二面角P-AB-Q.

假如棱記作/,那么這個二面角記作二面角a—1一口或P-1-Q.

2.二面角的平面角

如圖，在二面角a—/一￡的棱/上任取一點0,以點。為垂足，

在半平面a和4內(nèi)分別作垂直于棱/的射線0A和0B,那么射線

和0B構(gòu)成的NA08叫作二面角的平面角.

二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少

度，就說這個二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫作直二面角.

學(xué)問點2平面與平面垂直

1.平面與平面垂直的定義

一般地，兩個平面相交，假如它們所成的二面角是直二面角，就

說這兩個平面相互垂直.

2.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

位置

定理符號表示

關(guān)系

如果一個平面過另一

判aUa\

定個平面的垂線，那么皿卜皿

這兩個平面垂直

面面

兩個平面垂直，如果

垂直a.Lp

一個平面內(nèi)有一直線

性anp=AB

質(zhì)垂直于這兩個平面的

aUa

交線，那么這條直線

a_LAB

與另一個平面垂直

留意：平面與平面垂直的性質(zhì)定理可以用來判定線面垂直.

第一課時平面與平面垂直的判定

［重點理解］

1.二面角與平面幾何中的角的比照

平面幾何中的角二面角

圖

形頂點5L

定從平面內(nèi)一點動身的兩條射從一條直線動身的兩個半平

義線組成的圖形面組成的圖形

續(xù)表

平面幾何中的角二面角

表；

由射線一點(頂點)一射線構(gòu)由半平面一線(棱)一半平面

示

成，記為NA03構(gòu)成，記為二面角a—l—。

法

思定量的反映兩條直線的位置定量的反映兩個平面的位置

義關(guān)系關(guān)系

(1)兩個平面垂直是兩個平面相交的特別狀況.例如正方體中任

意相鄰的兩個面都是相互垂直的.

(2)兩個平面垂直和兩條直線相互垂直的共同點：都是通過所成

的角是直角定義的.

3.詳解平面與平面垂直的判定定理

(1)本質(zhì)：通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直，即線面

垂直二面面垂直.

(2)證題思路：處理面面垂直問題轉(zhuǎn)化為處理線面垂直問題，進

一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問題來解決.

［自我排查］

1.如下圖的二面角可記為()

A.a-p—lB.M-l-N

C.1-M-ND.l—fi—a

答案：B

解析：依據(jù)二面角的記法規(guī)那么可知B正確.應(yīng)選B.

2.假設(shè)直線/_1_平面a,/U平面從那么a與4的位置關(guān)系是（）

A.平行B.可能重合

C.相交且垂直D.相交不垂直

答案：C

解析：由面面垂直的判定定理，得a與￡垂直，應(yīng)選C.

3.直線此平面a,那么經(jīng)過/且和a垂直的平面（）

A.有一個B.有兩個C.有很多個D.不存在

答案：C

解析：經(jīng)過/的任一平面都和a垂直.應(yīng)選C.

4.在三棱錐尸一A8C中，PALPB,PB.LPC,PCVPA,如下圖,

那么在三棱錐P—ABC的四個面中，相互垂直的面有對.

答案：3

解析：平面平面PAC,平面附B_L平面PBC,平面PAC

J■平面PBC.

5.在正方體ABC。一AIiGU中，二面角A-BC—Ai的平面角

等于.

答案：45°

解析：依據(jù)正方體中的線面位置關(guān)系可知，AB.LBC,MBA.BC,

依據(jù)二面角平面角的定義可知，NAB4即為二面角A-BC-Ai的平

面角.又AB=A4i,^LAB-LAAi,所以NAB4=45°.

課堂篇?重點難點研習(xí)突破

研習(xí)1二面角大小的計算

［典例1］如圖，四邊形ABCD是正方形，出，平面ABCQ,且

PA=AB.

(1)求二面角A—PD—C平面角的大小；

(2)求二面角8一出一。平面角的大小.

［解］⑴:巾上平面ABCD,

.'.PA-LCD又四邊形ABCD為正方形，

：.CD±AD.PAHAD=A,

二.CQJ■平面又CQU平面PCD,

二.平面RLD_L平面PCD.

..?二面角A—PD—C平面角的度數(shù)為90°.

(2):以_1平面48。。，

：.AB.LPA,AC-LPA.

.■.ZBAC為二面角B-PA-C的平面角.

又四邊形A3CO為正方形，

N84C=45。.

即二面角8一出一。平面角的度數(shù)為45。.

［巧歸納］求二面角大小的步驟

簡稱為“一作二證三求〃.

留意：作平面角時，要清晰二面角的平面角的大小與頂點在棱上

的位置無關(guān)，通?？梢罁?jù)需要，選擇特別點作平面角的頂點.

［練習(xí)1］如圖，在四周體用3c中，△ABC與△PBC是邊長為

2的正三角形，B4=3,D為協(xié)的中點，求二面角D-BC-A的大小.

解：取8c的中點，記為E,連接￡4,ED,EP（圖略）.

「△ABC與△PBC是邊長為2的正三角形，

：.BC±AE,BC1PE,

又AECiPE=E,AE,P￡U平面抬區(qū)

.?.3。，平面PAE.

又DEU平面：.BC±DE,

：.NAED即二面角D-BC-A的平面角.

又由條件，知4后=尸片=芋43=小，

13

An

：.DELPA.：.sinZAED=^=-^-.

又易知NAEQ為銳角，AZAEZ）=60°,

即二面角D-BC-A的大小為60°.

研習(xí)2平面與平面垂直的證明

［典例2］（鏈接教材第157頁例7,158頁例8）如下圖，在四周體

ABCS中，/BSC=90°,ZBSA=ZCSA=60°,又SA=SB=SC.

求證：平面ABC，平面SBC

［證明I法一（利用定義證明）:

A

由于NBSA=NCSA=60。，SA=SB=SC,

所以aASB和aASC是等邊三角形，

那么有S4=SB=SC=AB=AC,令其值為a,

那么△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形.

取8C的中點Q,如下圖，

連接4。，SD,那么AQ_L3C,SD±BC,

所以NADS為二面角A-BC-S的平面角.

在RtZkBSC中，由于SB=SC=%

所以SQ=*a,BD=當?shù)萢.

A/2

在RtZk48□中，AD=『,

在△ADS中，由于SQ2+A/）2=S42,

所以NADS=90。，即二面角A-3C—S為直二面角,

故平面ABCJ■平面SBC.

法二（利用判定定理）：

由于&4=S3=SC,

且N8S4=NCSA—60°,

所以S4AB=AC,

所以點A在平面SBC上的射影為aSBC的外心.

由于ASBC為直角三角形，

所以點A在ASBC上的射影D為斜邊BC的中點，

所以AD_L平面SBC.

又由于AQU平面ABC,

所以平面AJBC-L平面SBC.

［巧歸納］證明面面垂直常用的方法

(1)定義法：說明兩個半平面所成的二面角是直二面角；

(2)判定定理法：在其中一個平面內(nèi)查找一條直線與另一個平面

垂直，即把問題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”；

(3)性質(zhì)法：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，那么另

一個也垂直于此平面.

［練習(xí)2］在邊長為。的菱形ABC。中，N4BC=60。，PC,平面

ABCD,求證：平面平面B4c.

證明：AfiCD,BOU平面ABC。,

PCLBD.'：四邊形ABCD為菱形，

C.ACLBD,又PCnAC=C,PC,ACU平面用C,

.?.80,平面PAC.

?.?8QU平面PBD,

工平面平面PAC.

課后篇?根底達標延長閱讀

1.以下命題中正確的選項是()

A.平面a和￡分別過兩條相互垂直的直線，那么a_L￡

B.假設(shè)平面a內(nèi)的一條直線垂直于平面￡內(nèi)的兩條平行直線，

那么a_L6

C.假設(shè)平面a內(nèi)的一條直線垂直于平面￡內(nèi)的兩條相交直線，