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中考專題講座

第一講方案設(shè)計(jì)

一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)梳理

通過(guò)動(dòng)手操作來(lái)解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題特別是作圖題的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)的數(shù)

學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際，從數(shù)學(xué)角度對(duì)某些日常生活出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行設(shè)計(jì)性研究，有

利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)踐應(yīng)用能力和動(dòng)手操作能力的提高，是學(xué)為之用的教改

精神的具體體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)教改中的一大熱點(diǎn).這類題目不僅要求學(xué)生要有扎實(shí)的

數(shù)學(xué)雙基知識(shí)，而且要能夠把實(shí)際問(wèn)題中所涉及到的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化、抽象成具體

的數(shù)學(xué)問(wèn)題，具有很普遍的實(shí)際意義，是中考熱點(diǎn)之一.

創(chuàng)新意識(shí)的激發(fā)，創(chuàng)新思維的訓(xùn)練，創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，是素質(zhì)教育中最具活力

的課題，考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，將是今后數(shù)學(xué)中考命題的熱點(diǎn)之一.

近年一些省市的中考數(shù)學(xué)題中涌現(xiàn)了立意活潑、設(shè)計(jì)新穎、富有創(chuàng)新意識(shí)、培

養(yǎng)創(chuàng)新能力的要求學(xué)生自我設(shè)計(jì)題目.這類命題以綜合考查閱讀理解能力、分析

推理能力、數(shù)據(jù)處理能力、文字概括能力、書面表達(dá)能力和動(dòng)手能力等.能與初

中所學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)結(jié).

題型1設(shè)計(jì)圖形題

幾何圖形的分割與設(shè)計(jì)在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，有時(shí)是根據(jù)面積相等來(lái)分割，有時(shí)

是根據(jù)線段間的關(guān)系來(lái)分割，有時(shí)根據(jù)其它的某些條件來(lái)分割，做此類題一般用

尺規(guī)作圖.

題型2設(shè)計(jì)測(cè)量方案題

設(shè)計(jì)測(cè)量方案題滲透到幾何各章節(jié)之中，例如：測(cè)量底部不能直接到達(dá)的小山

的高，測(cè)量池塘的寬度，測(cè)量圓的直徑等，此類題目解法不惟一，是典型的開(kāi)放

型試題.

題型3設(shè)計(jì)最佳方案題

此類題目往往要求所設(shè)計(jì)的問(wèn)題中出現(xiàn)路程最短、運(yùn)費(fèi)最少、效率最高等詞語(yǔ),

解題時(shí)常常與函數(shù)、兒何聯(lián)系在--起.

創(chuàng)新意識(shí)的激發(fā)，創(chuàng)新思維的訓(xùn)練，創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，是素質(zhì)教育中最具活力

的課題，考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，將是今后數(shù)學(xué)中考命題的熱點(diǎn)之一.

近年一些省市的中考數(shù)學(xué)題中涌現(xiàn)了立意活潑、設(shè)計(jì)新穎、富有創(chuàng)新意識(shí)、培

養(yǎng)創(chuàng)新能力的要求學(xué)生自我設(shè)計(jì)題目.這類命題以綜合考查閱讀理解能力、分析

推理能力、數(shù)據(jù)處理能力、文字概括能力、書面表達(dá)能力和動(dòng)手能力等.能與初

中所學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)結(jié).

二、知識(shí)運(yùn)用舉例

(-)方程、函數(shù)型設(shè)計(jì)題

例1.(07茂名市)已知甲、乙兩輛汽車同時(shí)、同方向從同一地點(diǎn).......A

出發(fā)行駛.

(1)若甲車的速度是乙車的2倍，甲車走了90千米后立即返回與乙車相遇，

相遇時(shí)乙車走了1小時(shí).求甲、乙兩車的速度；

(2)假設(shè)甲、乙每輛車最多只能帶200升汽油，每升汽油可以行駛10千米，

途中不能再加油，但兩車可以互相借用對(duì)方的油，若兩車都必須沿原路返回到出

發(fā)點(diǎn)A,請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案使甲車盡可能地遠(yuǎn)離出發(fā)點(diǎn)A,并求出甲車一共行駛

了多少千米？

解：（1）設(shè)甲，乙兩車速度分別是x千米/時(shí)和y千米/時(shí)，

根據(jù)題意得：

解之得：x2y.ly1902xx120.y60

即甲、乙兩車速度分別是120千米/時(shí)、60千米/時(shí).

（2）方案一：設(shè)甲汽車盡可能地遠(yuǎn)離出發(fā)點(diǎn)A行駛了x千米，

乙汽車行駛了y千米，則

xy<200102.，2x3200103即爛3000.xy<20010

1

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即甲、乙一起行駛到離A點(diǎn)500千米處，然后甲向乙借油50升，乙不再前進(jìn),

甲再前進(jìn)1000千米返回到乙停止處，再向乙借油50升，最后一同返回到A點(diǎn),

此時(shí)，甲車行駛了共3000千米.方案二：（畫圖法）

如圖

此時(shí)，甲車行駛了5002100023000（千米）.

方案三：先把乙車的油均分4份，每份50

升.當(dāng)甲乙一同前往，用了50升時(shí)，甲向乙借油50升，乙停止不動(dòng)，甲繼續(xù)

前行，當(dāng)用了100升油后返回，到乙停處又用了100升油，此時(shí)甲沒(méi)有油了，再

向乙借油50升，一同返回到A點(diǎn).

此時(shí)，甲車行駛了501021001023000（千米）.

例2.（07鄂爾多斯）有甲、乙兩家通迅公司，甲公司每月通話的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如

圖15所示；乙公司每月通話收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如表3所示.

表3

月租費(fèi)通道費(fèi)

2.5元0.15元/分鐘

圖15

（1）觀察圖15,甲公司用戶月通話時(shí)間不超過(guò)100分鐘時(shí)應(yīng)付話費(fèi)金額是

元；甲公司用戶通話100分鐘以后，每分鐘的通話費(fèi)為元;

(2)李女士買了一部手機(jī)，如果她的月通話時(shí)間不超過(guò)100分鐘，她選擇哪

家通迅公司更合算？如果她的月通話時(shí)間超過(guò)100分鐘，又將如何選擇？

解：(1)20；0.2

(2)通話時(shí)間不超過(guò)100分鐘選甲公司合算

設(shè)通話時(shí)間為t分鐘(t100),甲公司用戶通話費(fèi)為yl元，乙公司用戶通話

費(fèi)為y2元.則：yl200.2(tl00)0.2t

y2250.15t

當(dāng)

1y2即:0.2t2§0.15t時(shí),t500

當(dāng)

當(dāng)1y2即:0.2t2*15t時(shí),t500

1y2即：0.2t2$0.15t時(shí),t500

答：通話時(shí)間不超過(guò)500分鐘選甲公司；500分鐘選甲、乙公司均可；超過(guò)500

分鐘選乙公司.例3.(04河北省)光華農(nóng)機(jī)租賃公司共有50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)，

其中甲型20臺(tái)，乙型30臺(tái).現(xiàn)將這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)派往A、B兩地區(qū)收割小麥,

其中30臺(tái)派往A地區(qū)，20臺(tái)派往B地區(qū).

2

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(1)設(shè)派往A地區(qū)x臺(tái)乙型聯(lián)合收割機(jī)，租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲

得的租金為y(元)，求y與x間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

(2)若使農(nóng)機(jī)租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金總額不低于79600

元，說(shuō)

明有多少種分派方案，并將各種方案設(shè)計(jì)出來(lái)；

(3)如果要使這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)每天獲得的租金最高，請(qǐng)你為光華農(nóng)機(jī)租賃

公司提

出一條合理建議.

解：(1)若派往A地區(qū)的乙型收割機(jī)為x臺(tái)，則派往A地區(qū)的甲型收割機(jī)為(30

-X)臺(tái)；派往B地區(qū)的

乙型收割機(jī)為(30-x)臺(tái)，派往B地區(qū)的甲型收割機(jī)為(x-10)臺(tái).

，y=1600x+1800(30-x)+1200(30-x)+1600(x-10)=200x+74000.

x的取值范圍是：10SxS30(x是正整數(shù)).

(2)由題意得200x+74000N79600,

解不等式得xN28.由于lOSxMO,...x取28,29,30這三個(gè)值，

...有3種不同分配方案.

①當(dāng)x=28時(shí)，即派往A地區(qū)甲型收割機(jī)2臺(tái)，乙型收割機(jī)28臺(tái)；派往B

地區(qū)甲型收割機(jī)18臺(tái)，乙型收割機(jī)2臺(tái).

②當(dāng)x=29時(shí)，即派往A地區(qū)甲型收割機(jī)1臺(tái)，乙型收割機(jī)29臺(tái)；派往B

地區(qū)甲型收割機(jī)19臺(tái)，乙型收割機(jī)1臺(tái).

③當(dāng)x=30口寸，即30臺(tái)乙型收割機(jī)全部派往A地區(qū)；20臺(tái)甲型收割機(jī)全部

派往B地區(qū).

(3)由于一次函數(shù)y=200x+74000的值y是隨著x的增大而增大的，所以，

當(dāng)x=30時(shí)，y

取得最大值.如果要使農(nóng)機(jī)租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)每天獲得租金最高，只

需x=30,此時(shí),y=6000+74000=80000.

建議農(nóng)機(jī)租賃公司將30臺(tái)乙型收割機(jī)全部派往A地區(qū)；20臺(tái)甲型收割要全部

派往B地區(qū)，

可使公司獲得的租金最高.

（二）統(tǒng)計(jì)型設(shè)計(jì)題

例4.（07江西省）某學(xué)校舉行演講比賽，選出了10名同學(xué)擔(dān)任評(píng)委，并事先

擬定從如下4個(gè)方案中選擇合理的方案來(lái)確定每個(gè)演講者的最后得分（滿分為

10分）：

方案1所有評(píng)委所給分的平均數(shù).

方案2在所有評(píng)委所給分中，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，然后再計(jì)算其

余給分的平均數(shù).方案3所有評(píng)委所給分的中位數(shù).

方案4所有評(píng)委所給分的眾數(shù).

為了探究上述方案的合理性，先對(duì)某個(gè)同學(xué)的演講成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn).下面

是這個(gè)同學(xué)的得分統(tǒng)計(jì)圖：

人數(shù)分?jǐn)?shù)

（1）分別按上述4個(gè)方案計(jì)算這個(gè)同學(xué)演講的最后得分；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，請(qǐng)用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)說(shuō)明哪些方案不適合作為這個(gè)同學(xué)

演講的最后得分.解：⑴方案1最后得分：1（3.27.07.83838.49.8）7.7；

10

1

8

方案3最后得分：8；

方案4最后得分：8或8.4.方案2最后得分：（7Q7.83838.4）8；

（2）因?yàn)榉桨?中的平均數(shù)受極端數(shù)值的影響，不能反映這組數(shù)據(jù)的“平均水

3

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所以方案1不適合作為最后得分的方案.

因?yàn)榉桨?中的眾數(shù)有兩個(gè)，眾數(shù)失去了實(shí)際意義，所以方案4不適合作為最

后得分的方案.

例5.（廈門）某中學(xué)要召開(kāi)運(yùn)動(dòng)會(huì)，決定從初三年級(jí)全部的150名的女生中選

30人，組成一個(gè)彩旗方隊(duì)（要求參加方隊(duì)的同學(xué)的身高盡可能接近）.現(xiàn)在抽測(cè)

了10名女生的身高，結(jié)果如下（單位：厘米）：

166154151167162158158160162162

（1）依據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)，初三年級(jí)全體女生的平均身高約是多少厘米？

（2）這10名女生的身高的中位數(shù)、眾數(shù)各是多少？

（3）請(qǐng)你依據(jù)樣本數(shù)據(jù)，設(shè)計(jì)一個(gè)挑選參加方隊(duì)的女生的方案.（請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明）

解：（1）因?yàn)椋?66+154+151+167+162+158+158+160+162+162）-10

=160（厘米），所以九年級(jí)全體女生的平均身高約是160厘米.

（2）這10名女生的身高的中位數(shù)是161厘米，眾數(shù)是162厘米.

（3）先將九年級(jí)中身高為162厘米的所有女生挑選出來(lái)作為參加旗隊(duì)的女生,

如此進(jìn)行下去，直至挑選到30人為止.

（三）測(cè)量設(shè)計(jì)題

例6.（07潛江等）經(jīng)過(guò)江漢平原的滬蓉（上海一成都）高速鐵路即將動(dòng)工.工程

需要測(cè)量漢江某一段的寬度.如圖①，一測(cè)量員在江岸邊的A處測(cè)得對(duì)岸岸邊的

一根標(biāo)桿B在它的正北方向，測(cè)量員從A點(diǎn)開(kāi)始

沿岸邊向正東方向前進(jìn)100米到達(dá)點(diǎn)C處，測(cè)得ACB68.

（1）求所測(cè)之處江的寬度（sin680.93,cos680.37,tan682.48.）；

（2

解：

（1）在RtBAC中，ACB68,

.'.ABACtan681002.48248（米）

答：所測(cè)之處江的寬度約為248米

（2）從所畫出的圖形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三

角形的知識(shí)

來(lái)解決問(wèn)題的，只要正確即可得分.

例7.（07樂(lè)山）如圖（14）,小山上有一棵樹.現(xiàn)有測(cè)角儀和皮尺兩種測(cè)量工

具，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種測(cè)量方案，在山腳水平地面上測(cè)出小樹頂端A到水平地面的

距離AB.A要求：

（1）畫出測(cè)量示意圖；

（2）寫出測(cè)量步驟（測(cè)量數(shù)據(jù)用字母表示）；B（3）根據(jù)（2）中的數(shù)據(jù)計(jì)

算AB.A圖（14）

解：（1）測(cè)量圖案（示意圖）如圖示

（2）測(cè)量步驟：

第一步：在地面上選擇點(diǎn)C安裝測(cè)角儀，

4CDEB

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測(cè)得此時(shí)樹尖A的仰角ZAHE,

第二步：沿CB前進(jìn)到點(diǎn)D,用皮尺量

出C,D之間的距離CDm,

第三步：在點(diǎn)D安裝測(cè)角儀，測(cè)得此

時(shí)樹尖A的仰角NAFE,

第四步：用皮尺測(cè)出測(cè)角儀的高h(yuǎn)

（3）計(jì)算：

令A(yù)Ex,則tan又tanxx,得HE,HEtanxx,得EF,EFtan

HEFEHFCDm,

xxm,tantan

mtantan,tantan

mtantan.h.tantan解得xAB

例8（07資陽(yáng)）一座建于若干年前的水庫(kù)大壩的橫斷面如圖7所示，其中背水

面的整個(gè)坡面是長(zhǎng)為90米、寬為5米的矩形.現(xiàn)需將其整修并進(jìn)行美化，方案

如下：①將背水坡AB的坡度由1:0.75改為1

:用一組與背水坡面長(zhǎng)邊垂直的平行線將背水坡面分成9

塊相同的矩形區(qū)域，依次相間地種草與栽花.

⑴求整修后背水坡面的面積；

⑵如果栽花的成本是每平方米25元，種草的成本是每平方

米20元，那么種植花草至少需要多少元？

圖

7

解：⑴作AELBC于E.

AE14V原來(lái)的坡度是1：0.75,，=.=EB0.753

設(shè)AE=4k,BE=3k,/.AB=5k,又AB=5米，/.k=l,則AE=4米.

設(shè)整修后的斜坡為AB3由整修后坡度為1

AE=E=30°,??./ABC.EBAAB0=2AE=8米.，整修后背水坡面面積為

90x8=720米2.

⑵將整修后的背水坡面分為9塊相同的矩形，則每一區(qū)域的面積為80米2.

解法一：要依次相間地種植花草，有兩種方案：

第一種是種草5塊，種花4塊,需要20x5x80+25x4x80=16000元;

第二種是種花5塊，種草4塊，需要20x4x80+25x5x80=16400元.

二應(yīng)選擇種草5塊、種花4塊的方案，需要花費(fèi)16000元.

解法二：要依次相間地種植花草，則必然有一種是5塊，有一種是4塊，

而栽花的成本是每平方米25元，種草的成本是每平方米20元，

,兩種方案中，選擇種草5塊、種花4塊的方案花費(fèi)較少.

5

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即：需要花費(fèi)20x5x80+25x4x80=16000元.

(四)圖形設(shè)計(jì)題

例9.(07四川樂(lè)山)認(rèn)真觀察圖(10.1)的4個(gè)圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，回

答下列問(wèn)題：

圖(10.1)

(1)請(qǐng)寫出這四個(gè)圖案都具有的兩個(gè)共同特征.

特征1：;

特征2：.

(2)請(qǐng)?jiān)趫D(10.2

）中設(shè)計(jì)出你心中最美麗的圖案，使它也具備你所寫出的上述特征

圖（10.2）

解：（1）特征

1：都是軸對(duì)稱圖形；特征2：都是中心對(duì)稱圖形；特征3：這些圖形的面積都

等于

4個(gè)單位面積；等

（2）滿足條件的圖形有很多，只要畫正確一個(gè)，都可以得滿分.

例10（07福建福州）為創(chuàng)建綠色校園，學(xué)校決定對(duì)一塊正方形的空地進(jìn)行種

植花草，現(xiàn)向?qū)W生征集設(shè)計(jì)圖案.圖案要求只能用圓弧在正方形且有一個(gè)內(nèi)角

為60

o

的綠化帶上種植四種不同的花卉，要求種植的四種花卉分別組成面積相等，形

狀完全相同的幾何圖形圖案.某同學(xué)為此6

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提供了如圖所示的五種設(shè)計(jì)方案.其中可以滿足園藝設(shè)計(jì)師要求的有

（C）

（A）2種（B）3種（C）4種（D）5種

2（05海安）光明中學(xué)的6名教師帶領(lǐng)8名市三好學(xué)生到蘇州園林參觀學(xué)習(xí)，

發(fā)現(xiàn)門票有這樣幾種優(yōu)惠方案.（1）學(xué)生可憑學(xué)生證享受6折優(yōu)惠.（2）20人

以上的團(tuán)體隊(duì)可享受8折優(yōu)惠.（3）通過(guò)協(xié)商可以享受9折優(yōu)惠.請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)

上述優(yōu)惠途徑，設(shè)計(jì)出五種不同的優(yōu)惠方案，并說(shuō)明最佳方法.解：設(shè)計(jì)五種

優(yōu)惠方案的方法及注意點(diǎn)：

方法（2）不可以采用；部分或全部學(xué)生使用方法（1）,其余學(xué)生和所有老師

使用方法（3）.最佳方法為：8名學(xué)生使用方法（1）,6名老師使用方法（3）.

3（05紹興市）.班委會(huì)決定，由小敏、小聰兩人負(fù)責(zé)選購(gòu)圓珠筆、鋼筆共22

支，送給結(jié)對(duì)的山區(qū)學(xué)校的同學(xué)，他們?nèi)チ松虉?chǎng)，看到圓珠筆每支5元，鋼筆每

支6元.

（1）若他們購(gòu)買圓珠筆、鋼筆剛好用去120元，問(wèn)圓珠筆、鋼筆各買了多少

支？

（2）若購(gòu)圓珠筆可9折優(yōu)惠，鋼筆可8折優(yōu)惠，在所需費(fèi)用不超過(guò)100元的

前提下，請(qǐng)你寫出一種

選購(gòu)方案.

解：（1）設(shè)買了x支圓珠筆，則有5x+6（22—x）=120,解得：x=12,22-x

=10.

圓珠筆、鋼筆各買了12、10枝.

（2）答案不惟一.如：圓珠筆、鋼筆各買了19、3枝等等.

4（05茂名）.今年6月份，我市某果農(nóng)收獲

荔枝30噸，香蕉13噸，現(xiàn)計(jì)劃租用甲、乙兩

種貨車共10輛將這批水果全部運(yùn)往深圳，已知

甲種貨車可裝荔枝4噸和香蕉1噸，一種貨車

可裝荔枝香麓各2噸?

（1）該果曾按排甲、乙兩種貨車時(shí)有幾種

方案？請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)出來(lái)（6分）

（2）若甲種貨車每輛要付運(yùn)輸費(fèi)2000元，

乙種貨車每輛要付運(yùn)輸費(fèi)1300元，則

該果農(nóng)應(yīng)選擇哪種方案？使運(yùn)費(fèi)最

少？最少運(yùn)費(fèi)是多少元？（4分）

解：（1）設(shè)安排甲種貨車x輛，則安排乙種貨

車（10—x）輛，依題意，得

4x2（1Ox）30x2（10x）13

x5解這個(gè)不等式組，得x7

5x7

x是整數(shù)，x可取5、6、7,

既安排甲、乙兩種貨車有三種方案：

①甲種貨車5輛，乙種貨車5輛；

②甲種貨車6輛，乙種貨車4輛；

7

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③甲種貨車7輛，乙種貨車3輛；

（2）方法一：由于甲種貨車的運(yùn)費(fèi)高于乙種貨車的運(yùn)費(fèi)，兩種貨車共10輛,

所以當(dāng)甲種貨車的數(shù)量越少時(shí)，總運(yùn)費(fèi)就越少，故該果農(nóng)應(yīng)

選擇①運(yùn)費(fèi)最少，最少運(yùn)費(fèi)是16500元；

方法二：方案①需要運(yùn)費(fèi)

200035+130035=16500（元）

方案②需要運(yùn)費(fèi)

200036+130034=17200（元）

方案③需要運(yùn)費(fèi)

200037+130033=17900（元）

該果農(nóng)應(yīng)選擇①運(yùn)費(fèi)最少，最少運(yùn)費(fèi)是16500元；

5（05河南?。┠彻緸榱藬U(kuò)大經(jīng)營(yíng)，決定購(gòu)進(jìn)6臺(tái)機(jī)器用于生產(chǎn)某種活塞.現(xiàn)

有甲、乙兩種機(jī)器供選擇，其中每種機(jī)器的價(jià)格和每臺(tái)機(jī)器日生產(chǎn)活塞的數(shù)量如

下表所示.經(jīng)過(guò)預(yù)算，本次購(gòu)買機(jī)器所耗資金不能超過(guò)34萬(wàn)元.

（1）按該公司要求可以有幾種購(gòu)買方案？

（2）若該公司購(gòu)進(jìn)的6臺(tái)機(jī)器的日生產(chǎn)能力不能低于380個(gè)，那么為了節(jié)約

資金應(yīng)選擇哪種方案？解：（1）設(shè)購(gòu)買甲種機(jī)器x臺(tái)，則購(gòu)買乙種機(jī)器（6—x）

臺(tái).

由題意，得7X5（6X）34,

解這個(gè)不等式，得x2,即x可以取0、1、2三個(gè)值，

所以，該公司按要求可以有以下三種購(gòu)買方案：

方案一：不購(gòu)買甲種機(jī)器，購(gòu)買乙種機(jī)器6臺(tái)；

方案二：購(gòu)買甲種機(jī)器1臺(tái)，購(gòu)買乙種機(jī)器5臺(tái)；

方案三：購(gòu)買甲種機(jī)器2臺(tái)，購(gòu)買乙種機(jī)器4臺(tái)；

（2）按方案一購(gòu)買機(jī)器，所耗資金為30萬(wàn)元，新購(gòu)買機(jī)器日生產(chǎn)量為360個(gè);

按方案二購(gòu)買機(jī)器，所耗資金為尸7+535=32萬(wàn)元；，新購(gòu)買機(jī)器日生產(chǎn)量為

13100+5360=400個(gè)；按方案三購(gòu)買機(jī)器，所耗資金為237+435=34萬(wàn)元；新購(gòu)

買機(jī)器日生產(chǎn)量為23100+4360=440個(gè).因此，選擇方案二既能達(dá)到生產(chǎn)能力不

低于380個(gè)的要求，又比方案三節(jié)約2萬(wàn)元資金，故應(yīng)選擇方案二.

6（05資陽(yáng)）已知某項(xiàng)工程由甲、乙兩隊(duì)合做12天可以完成，共需工程費(fèi)用

13800元，乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間是甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間的

2倍少10天，且甲隊(duì)每天的工程費(fèi)用比乙隊(duì)多150元.

（1）甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程分別需要多少天？

（2）若工程管理部門決定從這兩個(gè)隊(duì)中選一個(gè)隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，從節(jié)約

資金的角度考慮，應(yīng)該選擇哪個(gè)工程隊(duì)？請(qǐng)說(shuō)明理由.

8

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解：（1）設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)完成需x天，則乙隊(duì)單獨(dú)完成需要Qx—10）天.

111根據(jù)題意有.=x2x1012

解得x1=3（舍去），x2=20.

...乙隊(duì)單獨(dú)完成需要2x—10=30（天）.

答：甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程分別需要20天、30天.

（沒(méi)有答的形式，但說(shuō)明結(jié)論者，不扣分）

（2）設(shè)甲隊(duì)每天的費(fèi)用為y元，則由題意有

12y+12（y-150）-138000,解得y=650.

選甲隊(duì)時(shí)需工程費(fèi)用650320=13000,選乙隊(duì)時(shí)需工程費(fèi)用500330=15000.

13000<15000,

，從節(jié)約資金的角度考慮，應(yīng)該選擇甲工程隊(duì).

7（05資陽(yáng)）甲、乙兩同學(xué)開(kāi)展“投球進(jìn)筐”比賽，雙方約定：①比賽分6局進(jìn)

行，每局在指定區(qū)域（用公式或語(yǔ)言表述正確，同樣給分.）

（2）根據(jù)以上方案計(jì)算得6局比賽，甲共得24分，乙共得分23分，

所以甲在這次比賽中獲勝.

8.（05荊門市）某校初中三年級(jí)270名師生計(jì)劃集體外出一日游，乘車往返，

經(jīng)與客運(yùn)公司聯(lián)系，他們有座位數(shù)不同的中巴車和大客車兩種車型可供選擇，每

輛大客車比中巴車多15個(gè)座位，學(xué)校根據(jù)中巴車和大客車的座位數(shù)計(jì)算后得知,

如果租用中巴車若干輛，師生剛好坐滿全部座位；如果租用大客車，不僅少用…

輛，而且?guī)熒旰筮€多30個(gè)座位.

⑴求中巴車和大客車各有多少個(gè)座位？

⑵客運(yùn)公司為學(xué)校這次活動(dòng)提供的報(bào)價(jià)是：租用中巴車每輛往返費(fèi)用350元，

租用大客車每輛往返費(fèi)用400元,學(xué)校在研究租車方案時(shí)發(fā)現(xiàn)，同時(shí)租用兩種車,

其中大客車比中巴車多租?輛，所需租車費(fèi)比單獨(dú)租用一種車型都要便宜，按這

種方案需要中巴車和大客車各多少輛？租車費(fèi)比單獨(dú)租用中巴車或大客車各少

多少元？

解：⑴設(shè)每輛中巴車有座位x個(gè)，每輛大客車有座位（x+15）個(gè)，依題意有

27027030.1xxl5

解之彳導(dǎo)：xl=45,x2=-90（不合題意，舍去）

答：每輛中巴車有座位45個(gè)，每輛大客車有座位60個(gè).

9

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⑵解法一：①若單獨(dú)租用中巴車，租車費(fèi)用為2703350=2100（元）45

②若單獨(dú)租用大客車，租車費(fèi)用為（6-1）3400=2000（元）

③設(shè)租用中巴車y輛，大客車（y+1）輛，則有

45y+60（y+1）>270

解得yN2,當(dāng)y=2時(shí)，y+l=3,運(yùn)送人數(shù)為4532+6（r3=270合要求

這時(shí)租車費(fèi)用為35032+40（）33=1900（元）

故租用中巴車2輛和大客車3輛，比單獨(dú)租用中巴車的租車費(fèi)少200元，比單

獨(dú)租用

大客車的租車費(fèi)少100元.

解法二：①、②同解法一

③設(shè)租用中巴車y輛，大客車（y+1）輛，則有

350y+400（y+1）<2000解得：y32.故y=l或y=215

以下同解法一.（解法二的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)參照解法一酌定）

9（05荊門市）為了測(cè)量漢江某段河面的寬度，秋實(shí)同學(xué)設(shè)計(jì)了如下圖所示的

測(cè)量方案：先在河的北岸選一定點(diǎn)A,再在河的南岸選定相距a米的兩點(diǎn)B、C

（如圖），分別測(cè)得NABC=a,NACB=B，請(qǐng)你根據(jù)秋實(shí)同學(xué)測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)

算出河寬AD.（結(jié)果用含a和含a、。的三角函數(shù)表示）

BDC

解：解法一：Vcota=BD,/.BD=AD2cotaAD

同理，CD=AD2cotp

AD2cota+AD2cotp=a

AD=a（米）cot.cot

ADAD,，BD=BDtan解法二：Vtana=

同理，CD=ADtan

，ADAD+=atantan

atan-tan（米）tan.tanAD=

10（05山東省泰州）高為12.6米的教學(xué)樓ED前有一棵大樹AB（如圖1）.10

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（1）某一時(shí)刻測(cè)得大樹AB、教學(xué)樓ED在陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)分別是BC=2.4米,

DF=7.2米，求大樹

AB的高度.（3分）

（2）用皮尺、高為h米的測(cè)角儀，請(qǐng)你設(shè)計(jì)另一種測(cè)量大樹AB高度的方案,

要求：...

①在圖2上，畫出你設(shè)計(jì)的測(cè)量方案示意圖，并將應(yīng)測(cè)數(shù)據(jù)標(biāo)記在圖上（長(zhǎng)度

用字母m、n…表示，角度用希臘字母a、0…表示）；（3分）

②根據(jù)你所畫的示意圖和標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算大樹AB高度（用字母表示）.（3

分）

光線A

圖1圖2

解：連結(jié)AC、EF

（1）?.?太陽(yáng)光線是平行線，AC〃EF，NACB=NEFD

VZABC=ZEDF=90°AAABC^AEDF?,.ABBCAB2.4/.AAB

=4.2EDDF12.67.2

答：大樹AB的圖是4.2米.

（2）（方法一）

A

（方法二）

AG=AE如圖MG=BN=mAG=mtana.,.AB—（mtana+h）

米mmAB=+hcotcotcotcot

或AB=mtantan+htantan

11（05寧波）滬杭甬高速公路拓寬寧波段工程進(jìn)入全面施工階段，在現(xiàn)有雙向

四車道的高速公路兩側(cè)經(jīng)加寬形成雙向八車道.如圖，路基原橫斷面為等腰梯形

ABCD,AD〃BC,斜坡DC的坡度為il,在其一側(cè)加寬DF=7.75米，點(diǎn)E、F

分別在BC、AD的延長(zhǎng)線上，斜坡FE的坡度為i2（ilVi2）.設(shè)路基的高DM=h

米，拓寬后橫斷面一側(cè)增加的四邊形DCEF的面積為s米2.

（1）已知i2=l：1.7,h=3米，求ME的長(zhǎng).

（1）不同路段的il、i2、、、h是不同的，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)求面積S的公式（用含il、

i2的代數(shù)式表示）.（通常把坡面的鉛直高度與水平寬度的比叫做坡度.坡度常用字

母i表示，即1=

llh,通常寫成1：m的形式）1

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解：（1）

過(guò)F作FNLCE于N

ME=MN+NE=7.75+5.1=12.85(米)

(2)il=DM/MC/.MC=h/il

同理得NE=h/i2,

CE=ME-MC=MN+NE-MC=7.75+h/i2-h/i2

12（05茂名）如圖所示，轉(zhuǎn)盤被等分成六個(gè)扇形，并在上面依次寫上數(shù)字1、

2、3、4、5>6；

（1）若自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)它停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針指向奇數(shù)區(qū)的概率是多少？（4

分）

（2）請(qǐng)你用這個(gè)轉(zhuǎn)盤設(shè)計(jì)一個(gè)游戲，當(dāng)自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針指向的

區(qū)域的概率為

分）

解：

解：（1）P（指針指向奇數(shù)區(qū)域）=2,（433162

23

23（2）方法一：如圖所示，自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針指向陰影部

分區(qū)域的概率為方法二：自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)它停止時(shí)，指針指向的數(shù)字不

大于3時(shí)，指針指向的區(qū)域的概率是

（注：答案不唯一，只要答案合力都給滿分）

13（05大連市）有一個(gè)拋兩枚硬幣的游戲，規(guī)則是：若出現(xiàn)兩個(gè)正面，則甲贏;

若出現(xiàn)一正一反，則乙贏；若出現(xiàn)兩個(gè)反面，則甲、乙都不贏.

（1）這個(gè)游戲是否公平？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）如果你認(rèn)為這個(gè)游戲不公平，那么請(qǐng)你改變游戲規(guī)則，設(shè)計(jì)一個(gè)公平的

游戲；如果你認(rèn)為這個(gè)

游戲公平，那么請(qǐng)你改變游戲規(guī)則，設(shè)計(jì)一個(gè)不公平的游戲.

解：（1）不公平.

因?yàn)閽仈S兩枚硬幣，所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果為：

正正，正反，反正，反反.

1,4

21出現(xiàn)一正一反的概率為?42所以出現(xiàn)兩個(gè)正面的概率

為

因?yàn)槎吒怕什坏?，所以游戲不公?

2.游戲規(guī)則一：若出現(xiàn)兩個(gè)相同面，則甲贏；若出現(xiàn)一正一反（一反一正）,

則乙贏；

12

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游戲規(guī)則二：若出現(xiàn)兩個(gè)正面，則甲贏；若出現(xiàn)兩個(gè)反面，則乙贏；若出現(xiàn)一

正一反，則甲、

乙都不贏.

14（05宜昌市）質(zhì)檢員為控制盒裝飲料產(chǎn)品質(zhì)量，需每天不定時(shí)的30次去檢

測(cè)生產(chǎn)線上的產(chǎn)品.若把從0時(shí)到24時(shí)的每十分鐘作為一個(gè)時(shí)間段（共計(jì)144個(gè)

時(shí)間段），請(qǐng)你設(shè)計(jì)一?種隨機(jī)抽取30個(gè)時(shí)間段的方法：使得任意一個(gè)時(shí)間段被抽

取的機(jī)會(huì)均等，且同一時(shí)間段可以多次被抽取.（要求寫出具體的操作步驟）

解：（方法一）

（1）.用從1到144個(gè)數(shù)，將從0時(shí)到24時(shí)的每十分鐘按時(shí)間順序編號(hào)，共有

144個(gè)編號(hào).

（2）.在144個(gè)小物品（大小相同的小紙片或小球等）上標(biāo)出1到144個(gè)數(shù).

（3）把這144個(gè)小物品用袋（箱）裝好，并均勻混合.

（4）每次從袋（箱）中摸出一個(gè)小物品，記下上面的數(shù)字后，將小物品返回

袋中并均勻混合.

（5）將上述步驟4重復(fù)30次，共得到30個(gè)數(shù).

（6）對(duì)得到的每一個(gè)數(shù)除以60轉(zhuǎn)換成具體的時(shí)間.（不答此點(diǎn)不扣分）

（方法二）

(1)用從1到144個(gè)數(shù)，將從0時(shí)到24時(shí)的每十分鐘按時(shí)間順序編號(hào)，共有

144個(gè)編號(hào).

(2)使計(jì)算器進(jìn)入產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的狀態(tài).

(3).將1到144作為產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的范圍.

(4)進(jìn)行30次按鍵，記錄下每次按鍵產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)，共得到30個(gè)數(shù).

(5)對(duì)得到的每一個(gè)數(shù)除以60轉(zhuǎn)換成具體的時(shí)間.(不答此點(diǎn)不扣分)

注意：本題可以設(shè)計(jì)多種方法，學(xué)生的答案中(法一)只要體現(xiàn)出隨機(jī)性即可

評(píng)2分；體現(xiàn)出按時(shí)間段順序編號(hào)即可評(píng)2分；體現(xiàn)出有放回的抽簽(小物品)

即可評(píng)1分；體現(xiàn)出30次性重復(fù)抽簽即可評(píng)1分；敘述大體完整、基本清楚即

可評(píng)1分，共7分.(法二)只要體現(xiàn)出按時(shí)間段順序編號(hào)即可評(píng)2分；體現(xiàn)出

30次重復(fù)按鍵即可評(píng)1分；其他只要敘述大體完整、基本清楚即可.

15(05浙江省)某電腦公司現(xiàn)有A,B,C三種型號(hào)的甲品牌電腦和D,E兩

種型號(hào)的乙品牌電腦.希望中學(xué)要從甲、乙兩種品牌電腦中各選購(gòu)一種型號(hào)的電

腦.

(1)寫出所有選購(gòu)方案(利用樹狀圖或列表方法表示)；

(2)如果(1)中各種選購(gòu)方案被選中的可能性相同，那么A型號(hào)電

被選中的概率是多少？

(3)現(xiàn)知希望中學(xué)購(gòu)買甲、乙兩種品牌電腦共36臺(tái)(價(jià)格如圖所示)，

好用了10萬(wàn)元人民幣，其中甲品牌電腦為A型號(hào)電腦，求購(gòu)買的A

號(hào)電腦有幾臺(tái).

解：(1)樹狀圖如下列表如下：

有6可能結(jié)果：(A,D),(A,E),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E).

13腦恰型

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(注：用其它方式表達(dá)選購(gòu)方案且正確給1分)

1(2)因?yàn)檫x中A型號(hào)電腦有2種方案，即(A,D)(A,E),所以A型號(hào)電

腦被選中的概率是3

（3）由（2）可知，當(dāng)選用方案（A,D）時(shí)，設(shè)購(gòu)買A型號(hào)、D型號(hào)電腦分

別為x,y臺(tái)，根據(jù)

xy36,題意，得6000x5000y100000.

x~80,解得經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意，舍去；y116.

（注：如考生不列方程，直接判斷（A,D）不合題意，舍去，也給2分）

當(dāng)選用方案（A,E）時(shí)，設(shè)購(gòu)買A型號(hào)、E型號(hào)電腦分別為x,y臺(tái)，根據(jù)

題意，得

xy36,6000x2000y100000.

x7,解得y29.

所以希望中學(xué)購(gòu)買了7臺(tái)A型號(hào)電腦.

16（05年恩施自治州）某中學(xué)平整的操場(chǎng)上有一根旗桿（如圖），一數(shù)學(xué)興趣

小組欲測(cè)量其高度，現(xiàn)有測(cè)量工具（皮尺、測(cè)角器、標(biāo)桿）可供選用，請(qǐng)你用所

學(xué)的知識(shí)，幫助他們?cè)O(shè)計(jì)測(cè)量方案.要求：（1）畫出你設(shè)計(jì)的測(cè)量平面圖；

（2）簡(jiǎn)述測(cè)量方法，并寫出測(cè)量的數(shù)據(jù)（長(zhǎng)度用a、b、c,,表示；角度用a、p?

表示）；

（3）根據(jù)你測(cè)量的數(shù)據(jù)，計(jì)算旗桿的高度.

解：（1）如圖所示

（2）①在操場(chǎng)上選取一點(diǎn)D,

用皮尺量出8?=2米

②在點(diǎn)D用測(cè)角器測(cè)出旗桿頂部A的仰角ZACE=a

③用皮尺量出測(cè)角器??=1,米

（3）顯然BE=CD=b,BD=CE=aZAEC=90o

AE=CE3tana

?[AB=AE+BE=atana+b

D三個(gè)食品加工廠，這三個(gè)工廠和開(kāi)發(fā)區(qū)A處的自來(lái)水廠17（05年濰坊）某

市經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)建有B、C、

正好在一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)上，它們之間有公路相通，且ABCD900米，

ADBC1700米.自來(lái)水公司已經(jīng)修好一條自來(lái)水主管道AN,BC兩廠之間的

公路與自來(lái)水管道交于E處，EC500米.若自來(lái)水主管道到各工廠的自來(lái)水

管道由各廠負(fù)擔(dān)，每米造價(jià)800元.

（1）要使修建自來(lái)水管道的造價(jià)最低，這三

來(lái)水管道路線應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)？并在圖形中畫（2）求出各廠所修建的自來(lái)水管道

的最低的

少元？

D分別作AN的垂線段解：（1）過(guò)B、C、

BH、CF、DG,交AN于H、F、G,

D個(gè)工廠的自出；造價(jià)各是多CC

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BH、CF、DG即為所求的造價(jià)最低的管道路線.

圖形如圖所示.

（2）（法一）

BEBCC米），

AE=1500（米），

ABEsCFE,得到：

ACFCFCE.ABAECEAB500900300（米）.AE1500

CFCEBHEsCFE,得至U，BHBE

BECF1200300720（米）.ABHCE500

ABAEABEsDGA,A,DGAD

ABAD90017001020（米）./.DGAE1500

D三廠所建自來(lái)水管道的最低造價(jià)分別是所以，B、C、

7203800=576000（元），3003800=240000（元），10203800=816000（元）

18（05廣西欽州市）在某居民小區(qū)的中心地帶，留有-?塊長(zhǎng)16m,寬12m的矩

形空地，計(jì)劃用于建造一個(gè)花園，設(shè)計(jì)要求.花園面積為空地面積的一半，且整

體圖案成軸對(duì)稱圖形.

⑴小明的設(shè)計(jì)方案如圖2—2—19所示，其中花園四周是人行道，且人行道的

寬度都相等.你知道人行道的寬度是多少嗎？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算，給予回答.

⑵其實(shí)，設(shè)計(jì)的方案可以是多種多樣的.請(qǐng)你按設(shè)計(jì)要求，另設(shè)計(jì)一種方案.

解：⑴設(shè)人行道寬為xm,根據(jù)題意，得

（162x）（122x）=11612.2

解之，得xl=2,x2=12（舍去）

答：人行道的寬為2m.

⑵符合要求和答案很多，如圖2—2—20的①?④都是.其中圖①中的花園是底

邊長(zhǎng)為16m的等腰三角形.圖②中的花園是兩個(gè)底邊長(zhǎng)為8m的等腰三角形.圖③

中的花園是頂點(diǎn)分別是矩形中點(diǎn)的菱形.圖④中的花園是上底與下底之和為16的

等腰梯形.

19（2006年山東省濰坊市中考題）如圖2—2—21,河邊有一條筆直的公路1,

公路兩側(cè)是平坦的草15①

③圖2220④

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地.在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師要求測(cè)量河對(duì)岸B點(diǎn)到公路的距離，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)

測(cè)量方案.要求：⑴列出你測(cè)量所使用的測(cè)量工具；

⑵畫出測(cè)量的示意圖，寫出測(cè)量的步驟；

⑶用字母表示測(cè)得的數(shù)據(jù)，求出B點(diǎn)到公路的距離.

解：本例屬于測(cè)量問(wèn)題的方案設(shè)計(jì)題.⑴測(cè)角器、尺子；

(2)測(cè)量示意圖見(jiàn)圖2—2—22；

測(cè)量步驟：

①在公路上取兩點(diǎn)C、D,使NBCD、NBDC為銳角；

②用測(cè)角器測(cè)出NBCD=,ZBDC=Z；

③用尺子測(cè)得CD的長(zhǎng)，記為m米；

④計(jì)算求值.

⑶解：設(shè)B到CD的距離為x米，

作BA_LCD于點(diǎn)A,在ACAB中，x=CAtan,,

在ADAB中，x=ADtan,

?*.CA=xx,AD=.tantanCA圖

2-2-22D公路圖2-2-21公路

VCA+AD=m,.?.xx=m,.tantan

tantan.tan.tan/.x=m2

20（06浙江省金華市）圖2—2—23中的大正三角形是由9個(gè)相同的小正三角形

拼成的，將其部分涂黑，如圖2—2—23①、②所示.觀察圖中涂黑部分構(gòu)成的圖

案.它們具有如下性質(zhì)：⑴都是軸對(duì)稱圖形，⑵涂黑部分都是三個(gè)小正三角形.請(qǐng)

你在圖2—2—23③、④③④圖2-2-23

21.如圖2—2—24①，李叔叔想要檢測(cè)雕塑底座正面四邊形ABCD是否為矩

形，但他隨身只帶了有刻度的卷尺，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案，幫助李叔叔檢測(cè)四邊形

ABCD是否為矩

形（圖2—2—24②供設(shè)計(jì)備用）.

解：方案如下：①用卷尺分別比較AB與CD,AD與BC的長(zhǎng)度，當(dāng)AB

16

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=CD,且AD=BC時(shí)，四邊形ABCD為平行四邊形；否則四邊形ABCD不是

平行四邊形，從而不是矩形.②當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形時(shí)，用卷尺比較對(duì)

角線AC與BD的長(zhǎng)度，當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形ABCD是矩形;否則四邊形ABCD

不是矩形

22.（06年廣西梧州市）某學(xué)校準(zhǔn)備在一塊菱形空地分別種上不同的的花草，現(xiàn)

要求將這塊空地分成面積相等的四部分，請(qǐng)同學(xué)們?cè)趫D2—2—25中畫出你的設(shè)

計(jì)方案以供學(xué)校參考.（保留作圖痕跡，不寫作法，不用證明.）

解：解法不惟一，略.

23（06四川省樂(lè)山市）為了搞好防洪工程建設(shè)，需要測(cè)量岷江河某段的寬度，

如圖2—2—26,一測(cè)量員在河岸邊的A處測(cè)得對(duì)岸岸邊的一個(gè)標(biāo)記B在它的正

北方向，測(cè)量員從A點(diǎn)開(kāi)始沿岸邊向正東方向行進(jìn)了150米到達(dá)點(diǎn)C處，這時(shí)

測(cè)得標(biāo)記B在北偏西30。的方向.

⑴求河的寬度？（保留根號(hào)）

⑵除上述測(cè)量方案外，請(qǐng)你在圖2—2—27中再設(shè)計(jì)一種測(cè)量河的寬度的方案.

圖2-2-25

圖2-2-27圖2-2-26

解：⑴河的寬度為1503米⑵利用全等或相似的方法均可，略

24（05湖北省孝感市）陽(yáng)光小區(qū)有一塊正方形的空地，設(shè)計(jì)用作休閑場(chǎng)地和綠化

場(chǎng)地.如圖2—2—28是小聰根據(jù)正方形空地完成的設(shè)計(jì)方案示意圖（陰影部分為

綠化場(chǎng)地）.請(qǐng)你用圓規(guī)和直尺在同樣的正方形內(nèi)（圖2—2—27、圖2—2—29）,畫

出二種不同于

小聰?shù)脑O(shè)計(jì)方案示意圖，使它們的綠化面積（用陰

影表示）與已知圖2—2—30中的綠化面積相同（不

圖2-2-28

要求寫畫法）.

解：

設(shè)計(jì)方案部分參考示意圖如圖：

上圖中休閑場(chǎng)地為以正方邊長(zhǎng)為直徑的兩個(gè)半圓圖2-2-29圖

2-2-30

25（2007哈爾濱）現(xiàn)將三張形狀、大小完全相同的平行四邊形透

明紙片，分別放在方格紙中，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均

為1,并且平行四邊形紙片的每個(gè)頂點(diǎn)與小正方形的頂點(diǎn)重合（如

圖1、圖2、圖3）.

分別在圖1、圖2、圖3

中，經(jīng)過(guò)平行四邊形紙片的任意一個(gè)頂點(diǎn)

17

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畫一條裁剪線，沿此裁剪線將平行四邊形紙片裁成兩部分，并把這兩部分重新

拼成符合下列要求的兒何圖形.

要求：

(1)在左邊的平行四邊形紙片中畫一條裁剪線，然后在右邊相對(duì)應(yīng)的方格紙

中，按實(shí)際大小畫出所拼成的符合要求的幾何圖形；

(2)裁成的兩部分在拼成兒何圖形時(shí)要互不重疊且不留空隙；

(3

）所畫出的幾何圖形的各頂點(diǎn)必須與小正方形的頂點(diǎn)重合.

圖1矩形（非正方形）

圖2正方形

圖3有一個(gè)角是135。的三角形

（第3題圖）

解：

圖1矩形（非正方

圖2正方

圖3有一個(gè)角是135。的三

26(

2007山東濟(jì)寧）某小區(qū)有一長(zhǎng)100

m,寬80cm的空地，現(xiàn)將其建成花園廣場(chǎng)，設(shè)計(jì)圖案如下，陰影區(qū)域?yàn)榫G化

區(qū)（四塊綠化區(qū)是全等矩形），空白區(qū)域?yàn)榛顒?dòng)區(qū)，且四周出口一樣寬，寬度不小

于50m,不大于60m.預(yù)計(jì)活動(dòng)區(qū)每平方米造價(jià)60元，綠化區(qū)每平方米造價(jià)50

元.

（1）設(shè)一塊綠化區(qū)的長(zhǎng)邊為xm,寫出工程總造價(jià)y與x的函數(shù)關(guān)系式（

寫出x的取值范圍）；

（2）如果小區(qū)投資46.9萬(wàn)元，問(wèn)能否完成工程任務(wù)，若能，請(qǐng)寫出x為整數(shù)

的所有工程方案；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.（參考值：1.732）

18

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27（2007廣東梅州）梅林中學(xué)租用兩輛小汽車（設(shè)速度相同）同時(shí)送1名帶隊(duì)

老師及7名九年級(jí)的學(xué)生到縣城參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每輛限坐4人（不包括司機(jī)）.其

中一輛小汽車在距離考場(chǎng)15km的地方出現(xiàn)故障，此時(shí)離截止進(jìn)考場(chǎng)的時(shí)刻還有

42分鐘，這時(shí)唯一-可利用的交通工具是另一一輛小汽車，且這輛車的平均速度是

60km/h,人步行的速度是5km/h（上、下車時(shí)間忽略不計(jì)）.

（1）若小汽車送4人到達(dá)考場(chǎng)，然后再回到出故障處接其他人，請(qǐng)你能過(guò)計(jì)

算說(shuō)明他們能否在截止進(jìn)考場(chǎng)的時(shí)刻前到達(dá)考場(chǎng)；

（2）假如你是帶隊(duì)的老師，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種運(yùn)送方案，使他們能在截止進(jìn)考場(chǎng)

的時(shí)刻前到達(dá)考場(chǎng)，并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明方案的可行性.

解：（1）1533（h）45（分鐘），4542,604

不能在限定時(shí)間先將4人用車送到考場(chǎng)所需時(shí)間為設(shè)汽車返回

t（h）后先步行的4人相遇，

t13.,解得75t5t602.75.13

2.75h.13

2.756040.442.所以用這一方案送這8人到考場(chǎng)共需15213

汽車由相遇點(diǎn)再去考場(chǎng)所需時(shí)間也是

所以這8個(gè)個(gè)能在截止進(jìn)考場(chǎng)的時(shí)刻前趕到.

方案2：8人同時(shí)出發(fā)，4人步行，先將4人用車送到離出發(fā)點(diǎn)xkm的A處，

然后這4個(gè)人步行前往考場(chǎng)，車回去接應(yīng)后面的4人，使他們跟前面4人同時(shí)到

達(dá)考場(chǎng)................6分

15x(h),5

xx(h)先步行的4人走了5(km),汽車從出發(fā)點(diǎn)到A處需6060由A

處步行前考場(chǎng)需

19

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設(shè)汽車返回t(h)后與先步行的4人相遇，則有60t5tx5所以相遇點(diǎn)

與考場(chǎng)的距離為15x60

xllx,解得t,60780

1lx2x

15(km).78013

由相遇點(diǎn)坐車到考場(chǎng)需

X1

'(h).4390

xxllxl

:(h),607804390

所以先步行的4人到考場(chǎng)的總時(shí)間為

先坐車的4人到考場(chǎng)的總時(shí)間為他們同時(shí)到達(dá)，則有

xl5x

.(h),

560

xllxlxxl5x

'解得x13.607804390605

將x13代入上式，可得他們趕到考場(chǎng)所需時(shí)間為

132

,6037(分鐘).605

3742.

他們能在截止進(jìn)考場(chǎng)的時(shí)刻前到達(dá)考場(chǎng)

28(2007山東青島)某飲料廠開(kāi)發(fā)了A、B兩種新型飲料，主要原料均為甲和

乙，每瓶飲料中甲、乙的含量如下表所示.現(xiàn)用甲原料和乙原料各2800克進(jìn)行

試生產(chǎn)，計(jì)劃生產(chǎn)A、B兩種飲料共100瓶.設(shè)生產(chǎn)A種飲料x瓶，解答下列

問(wèn)題：

(1)有兒種符合題意的生產(chǎn)方案？寫出解答過(guò)程；

(2)如果A種飲料每瓶的成本為2.60元，B種飲料每瓶的成本為2.80元，這

兩種飲料成本總額為y元，請(qǐng)寫出y與x之間的關(guān)系式，并說(shuō)明x取何值會(huì)使成

本總額最低？

解：⑴設(shè)生產(chǎn)A種飲料x瓶，根據(jù)題意得：

解這個(gè)不等式組，得20sxs40.因?yàn)槠渲姓麛?shù)解共有21個(gè)，

所以符合題意的生產(chǎn)方案有21種.(2)根據(jù)題意，得y=2.6x+2.8(100-

x).整理，得y=-0.2x+280.Vk=-0.2<0,

.*.y隨x的增吳而減小.

,當(dāng)x=40時(shí)成本總額最低.

20x30(lOOx)

40x20(100x)

<2800,<2800.

29(2007重慶)我市某鎮(zhèn)組織20輛汽車裝運(yùn)完A、B、C三種臍橙共100噸到

外地銷售.按計(jì)劃,20

之間的函數(shù)關(guān)系式；

20

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(2)如果裝運(yùn)每種臍橙的車輛數(shù)都不少于4輛，那么車輛的安排方案有幾種？

并寫出每種安排方案；

(3)若要使此次銷售獲利最大，應(yīng)采用哪種安排方案？并求出最大利潤(rùn)的值.

解：(1)根據(jù)題意，裝運(yùn)A種臍橙的車輛數(shù)為x,裝運(yùn)B種臍橙的車輛數(shù)為y,

那么裝運(yùn)C種臍橙的車輛數(shù)為2旅丫，則有：

6x5y420xy100整理得：y'2x20

(2)由(1)知，裝運(yùn)A、B、C三種臍橙的車輛數(shù)分別為x、~2x20、x,由題

意得：x4,

'2x204

解得：4<x<8,因?yàn)閤為整數(shù)，所以x的值為4、5、6、7、8,所以安排方案

共有5種.

方案一：裝運(yùn)A種臍橙4車，B種臍橙12車，C種臍橙4車；

方案二：裝運(yùn)A種臍橙5車，B種臍橙10車，C種臍橙5車；

方案三：裝運(yùn)A種臍橙6車，B種臍橙8車，C種臍橙6車；

方案四：裝運(yùn)A種臍橙7車，B種臍橙6車，C種臍橙7車；

方案五：裝運(yùn)A種臍橙8車，B種臍橙4車，C種臍橙8車；

（3）設(shè)利潤(rùn)為W（百元）貝U：

W6x1252x20164x10'48x1600

Vk'480，W的值隨x的增大而減小

要使利潤(rùn)W最大，則x4,故選方案一

W最大'4841600=1408（百元）=14.08（萬(wàn)元）

答：當(dāng)裝運(yùn)A種臍橙4車，B種臍橙12車，C種臍橙4車時(shí)，獲利最大，最

大利潤(rùn)為14.08萬(wàn)元.

30（2007湖南懷化）2007年我市某縣籌備20周年縣慶，園林部門決定利用現(xiàn)

有的3490盆甲種花卉和2950盆乙種花卉搭配A,B兩種園藝造型共50個(gè)擺放

在迎賓大道兩側(cè)，已知搭配一個(gè)A種造型需甲種花卉80盆，乙種花卉40盆，

搭配一個(gè)B種造型需甲種花卉50盆，乙種花卉90盆.

（1）某校九年級(jí)（1）班課外活動(dòng)小組承接了這個(gè)園藝造型搭配方案的設(shè)計(jì)，

問(wèn)符合題意的搭配方案有幾種？請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)出來(lái).

（2）若搭配一個(gè)A種造型的成本是800元，搭配一個(gè)B種造型的成本是960

元，試說(shuō)明（1）中哪種方案成本最低？最低成本是多少元？

解：設(shè)搭配A種造型x個(gè)，則B種造型為（5限）個(gè)，

依題意，得：80x50（50x）<349040x90（50x）<2950

x<3332,33,,31<x<33x是整索x可取31,x》l解這個(gè)不等式

組，得：

可設(shè)計(jì)三種搭配方案：

①A種園藝造型31個(gè)B種園藝造型19個(gè)

②A種園藝造型32個(gè)B種園藝造型18個(gè)

③A種園藝造型33個(gè)B種園藝造型17個(gè).

（2）方法一：由于B種造型的造價(jià)成本高于A種造型成本.所以B種造型越

少，成本越低，故應(yīng)選擇方案③，成本最低，最低成本為：338001796042720

（元）

21

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方法二：方案①需成本：318001996043040（元）

方案②需成本：328001896042880（元）

方案③需成本：338001796042720元

應(yīng)選擇方案③，成本最低，最低成本為42720元

31（2007南充）某商店需要購(gòu)進(jìn)一批電視機(jī)和洗衣機(jī)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，決定電

視機(jī)進(jìn)貨量不少于洗衣

計(jì)劃購(gòu)進(jìn)電視機(jī)和洗衣機(jī)共100臺(tái)，商店最多可籌集資金161800元.

(1)請(qǐng)你幫助商店算一算有多少種進(jìn)貨方案？(不考慮除進(jìn)價(jià)之外的其它費(fèi)

用)

(2)哪種進(jìn)貨方案待商店銷售購(gòu)進(jìn)的電視機(jī)與洗衣機(jī)完畢后獲得利潤(rùn)最多？

并求出最多利潤(rùn).(利潤(rùn)=售價(jià)一進(jìn)價(jià))

解：(1)設(shè)商店購(gòu)進(jìn)電視機(jī)x臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)洗衣機(jī)(100-x)臺(tái)，根據(jù)題意，得

111x(100x),3339,解不等式組，得

<x<.2331800x1500(100x)161800.

即購(gòu)進(jìn)電視機(jī)最少34臺(tái)，最多39臺(tái)，商店有6種進(jìn)貨方案.

(2)設(shè)商店銷售完畢后獲利為y元，根據(jù)題意，得

y=(2000-1800)x+(1600-1500)(100-x)=100x+10000.

V100>0,/.當(dāng)x最大時(shí)，y的值最大.

即當(dāng)x=39時(shí)，商店獲利最多為13900元.

32(2007四川眉山)某縣響應(yīng)“建設(shè)環(huán)保節(jié)約型社會(huì)”的號(hào)召，決定資助部分付

鎮(zhèn)修建一批沼氣池，使農(nóng)