第五章極限定理本章要解決的問題1.為何能以某事件發(fā)生的頻率作為該事件的概率的估計？2.為何能以樣本均值作為總體期望的估計？3.為何正態(tài)分布在概率論中占有極其重要的地位？4.大樣本統(tǒng)計推斷的理論基礎是什么？大數(shù)定律中心極限定理第一節(jié)大數(shù)定律切比雪夫不等式大數(shù)定律的背景及概念依概率收斂定義及性質三個大數(shù)定律

1.1

切比曉夫（Chebyshev）不等式:（2）

X的方差越小，P(|X-EX|<e

)就越大，即X

的取值越集中在EX附近。這進一步說明了方差的概率含義：刻劃了隨機變量取值與均值的離散程度。

證明：

設X為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為f(x)注（1）等價形式定理1.1

設隨機變量X的期望EX及方差DX存在，則對任意的

e>0，有EXEX-

EX+

（3）

當隨機變量X的期望、方差已知而分布未知時，切比雪夫不等式提供了估計事件{|X-EX|<e

}或{|X-EX|≥ε}的概率的大小的一種方法。

Ex3：某電網有10000盞燈，夜晚每盞燈打開的概率為0.7,假定各燈的開、關彼此獨立。用切比曉夫不等式估計夜晚同時開著的燈的數(shù)量在6800與7200之間的概率。解：設X表示夜晚同時開的燈數(shù)，則X~B（10000，0.7）。EX=7000，DX=2100

由切比曉夫不等式得:注：X的分布可以不給出,而只給出其期望,方差即可.P110例1例1

已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數(shù)平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估計每毫升白細胞數(shù)在5200~9400之間的概率.解：設每毫升白細胞數(shù)為X依題意，EX=7300,DX=7002所求為

P(5200≤X≤9400)由切比雪夫不等式1.2切比雪夫大數(shù)定律

大量隨機試驗中大數(shù)定律的客觀背景例1、擲一顆均勻正六面體的骰子，出現(xiàn)1點的概率是1/6。但擲的次數(shù)少時，出現(xiàn)1點的頻率可能與1/6相差較大，但擲次數(shù)很多時，出現(xiàn)1點的頻率接近1/6幾乎是必然的。例2、測量一個長度a，一次測量的結果不見得就等于a，量了若干次，其算術平均值仍不見得等于a,但當測量的次數(shù)很多時，算術平均值接近于a幾乎是必然的。

概率論中用來闡明大量隨機現(xiàn)象平均結果的穩(wěn)定性的一系列定理，稱為大數(shù)定律（lawoflargenumber)

大數(shù)定律的概念本章將介紹三個大數(shù)定律：（1）切比雪夫大數(shù)定律、（2）辛欽大數(shù)定律（3）伯努利大數(shù)定律。它們之間既有區(qū)別也有聯(lián)系。

一、隨機變量序列依概率收斂的定義注:(1)定義中的式子等價于

定義1.1：設

X

1

,X

2

,…,Xn,…是一隨機變量序列，如果存在常數(shù)a，使對任意的e>0，都有：

則稱隨機變量序列{X

n}依概率收斂于a，簡記為：aa-

a+

(3)若X是一隨機變量,且,則稱隨機變量序列

{X

n}依概率收斂于X，簡記為：(2){X

n}依概率收斂于a意味著對任給正數(shù)e，當

n充分大時，

事件“|X

n-a|<e”發(fā)生的概率很大，接近于1.當

n充分大時,X

n的取值就密集在a附近。但并不排除事件“|X

n-a|

e”的發(fā)生，只不過它發(fā)生的可能性很小而已。定義1.2若對任何正整數(shù)m≥2，X1,X2,…，Xm相互獨立，則稱隨機變量X1,X2,…，Xn，…是相互獨立的，此時，若所有Xi又有相同的分布函數(shù)，則稱X1,X2,…，Xn，…是獨立同分布的隨機變量序列。由切比曉夫不等式得：證：

切比曉夫大數(shù)定律

定理1.2：設X1,X2,…,X

n,…是相互獨立的隨機變量序列，期望EX1,EX2,…,EXn,…及方差DX1,DX2,…,DXn,…都存在，且方差有界（對任意i

有DXi

M（常數(shù)）），則對于任意的>0，恒有注：（1）結論等價于即這意味著：只要n充分大，盡管n個隨機變量可以各有分布，但其算術平均以后得到的隨機變量將較密集地聚集在它的期望附近，不再為個別隨機變量所左右。---大數(shù)定律（3）切比雪夫大數(shù)定律是1866年被俄國數(shù)學家切比雪夫所證明，它是關于大數(shù)定律的一個相當普遍的結論，很多大數(shù)定律的古典結果是它的特例。切比曉夫大數(shù)定律推論：設X1,X2,…,Xn,…是獨立同分布的隨機變量序列，EXi=

,DXi=

2

（i=1，2，…），則對于任意的>0，恒有

推論中方差的存在性可去掉，得如下結論

這一推論使算術平均值的法則有了理論根據(jù)。假使要測量某一個物理量a,在不變的條件下重復測量n

次，得到的觀測值x1,x2,…,xn

是不完全相同的，這些結果可以看作是服從同一分布并且期望值為a

的n個相互獨立的隨機變量X1,X2,…,Xn

…的試驗數(shù)值。由推論可知，當n充分大時,取()作為

a的近似值，可以認為所發(fā)生的誤差是很小的。即對于同一個隨機變量X進行n

次獨立觀察，則所有觀察結果的算術平均數(shù)依概率收斂于隨機變量的期望值EX。辛欽大數(shù)定律

定理1.3：設X1,X2,…,Xn,…是獨立同分布的隨機變量序列EXi=

,（i=1，2，…），則對于任意的>0，恒有

伯努利大數(shù)定律證：令定理1.4設mn

為n

重伯努利試驗中事件A

發(fā)生的次數(shù)，p

是A

在每次試驗中發(fā)生的概率，則對任意的

>0有或X1,X2,…,Xn

獨立同分布,都服從0-1分布，EXi=p,DXi=p(1-p)由辛欽大數(shù)定理得：對于任意的>0，恒有此定理說明了頻率的穩(wěn)定性。

伯努利大數(shù)定律伯努里大數(shù)定律的重要意義：

(1)從理論上證明了頻率具有穩(wěn)定性。（2)提供了通過試驗來確定事件概率的方法:

這種方法是參數(shù)估計的重要理論基礎。（3）是“小概率原理”的理論基礎。小概率原理：實際中概率很小的隨機事件在個別試驗中幾乎是不可能發(fā)生的。第二節(jié)中心極限定理中心極限定理的背景中心極限定理的定義中心極限定理

中心極限定理的客觀背景

在實際問題中許多隨機變量是由相互獨立隨機因素的綜合（或和)影響所形成的.例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受著許多隨機因素（如瞄準，空氣阻力，炮彈或炮身結構等）綜合影響的.每個隨機因素的對彈著點（隨機變量和）所起的作用都是很小的.那么彈著點服從怎樣分布？

如果一個隨機變量是由大量相互獨立的隨機因素的綜合影響所造成，而每一個別因素對這種綜合影響中所起的作用不大.則這種隨機變量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.中心極限定理定義

概率論中有關論證獨立隨機變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理稱為中心極限定理。

定理2.1(林德貝格-勒維中心極限定理）

由林德貝格-勒維中心極限定理得：表明：獨立同分布隨機變量之和的極限分布為正態(tài)分布林德貝格-勒維中心極限定理(獨立同分布的中心極限定理)的意義

對于獨立同分布的隨機變量序列，只要期望和方差存在，不管原來的分布是什么分布，和的極限分布都是正態(tài)分布。

提供了計算獨立同分布隨機變量和的分布的近似方法。只要和式中加項個數(shù)充分大就可以利用正態(tài)分布近似。

例1:設某商店每天接待顧客100人,設每位顧客的消費額服從[0,60]上的均勻分布,且顧客的消費是相互獨立的.求商店的日銷售額超過3500的概率。

則Xi服從[0，60]的均勻分布

解一第i個顧客的消費額為Xi(元),（i=1.,2,…,100).Xi獨立同分布EXi=30，DXi=300

例1:設某商店每天接待顧客100人,設每位顧客的消費額服從[0,60]上的均勻分布,且顧客的消費是相互獨立的.求商店的日銷售額超過3500的概率。

則Xi服從[0，60]的均勻分布

解二第i個顧客的消費額為Xi(元),（i=1.,2,…,100).Xi獨立同分布EXi=30，DXi=300

例2：一袋鹽的重量(千克)是一隨機變量,期望為1,方差為0.01,一箱裝有100袋.求一箱中每袋平均重量在0.98至1.02千克之間的概率.

解：第i袋鹽的重量為Xi(千克),（i=1.,2,…,100).Xi獨立同分布EXi=1，DXi=0.01

例3：一射擊運動員，在一次射擊中所得環(huán)數(shù)X

的概率分布如下表所示。問在

100次射擊中所得的總環(huán)數(shù)介于900

環(huán)與930環(huán)之間的概率是多少？超過950環(huán)的概率是多少？

解：令

X

i

表示第i

次所得環(huán)數(shù)，則諸X

i

(i=1,2,…,100)具有同一分布，且相互獨立。易得：EXi=9.15EXi2

=84.77DXi=EXi2

–(EXi)2=84.77–9.152

1.05

將林德貝格-勒維定理用到貝努利試驗的場合，得到下面的定理：設Yn

服從參數(shù)為

n，

p（

0<p<1）的二項分布,則對任意實數(shù)x有:

證：令{Xi

}為獨立,服從參數(shù)為p的0-1分布，(i=1,2,…,n…)且EXi

=p，DXi

=p(1-p)由林德貝格-勒維定理即得本定理。

定理2.2（隸莫弗-拉普拉斯定理）EYn=np，DYn=np(1-p)

由定理4.4得:二項分布的極限分布是正態(tài)分布.

即:若X~B(n,p),n充分大時,X近似服從N(np,np(1-p))

可用正態(tài)分布近似計算二項分布。

例4：設有10000

盞電燈,夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7,假定各燈開關彼此獨立,求同時開著的燈數(shù)在6800

與7200

之間的概率。解：令X

為同時開燈的數(shù)目,則X

~B(10000,0.7).

如果準確計算，應為：X~B(10000,0.7),則X

近似服從N(7000,2100)

例5：食堂為1000個學生服務，每個學生去食堂吃早餐的概率為0.6,去與不去食堂用餐忽不影響。問食堂想以99.7%的把握保障供應，每天應準備多少份早餐？解：應準備N份早餐。令X

為到食堂用餐的學生數(shù)，

則X~B(1000,0.6).X~B(1000,0.6),則X

近似服從N(600,240)保障供應(XN).

例6：產品為廢品的概率為p=0.005，求10000件產品中廢品數(shù)不大于

70的概率。

解：令X為10000件產品中的廢品數(shù)，則X

~B(10000,0.00