第03講解三角形本講為高考命題熱點，分值10分，題型以選擇題為主，多出現于高考前六題選擇題中，平面向量主要考察線性運算，坐標運算與數量積運算，近幾年多考察拓展類，例如平面向量中的范圍最值，平面向量與三角函數結合等內容；復數主要考察復數的概念，四則運算與復數的模與幾何意義，考察邏輯推理能力，運算求解能力.考點一正余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理公式eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C常見變形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)考點二三角形解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的個數一解兩解一解一解無解考點三三角形面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示a邊上的高).(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(abc,4R).(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為內切圓半徑).考點四測量中的幾個數據1.仰角和俯角在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方叫仰角，目標視線在水平視線下方叫俯角(如圖1).2.方位角從正北方向起按順時針轉到目標方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點的方位角為α(如圖2).3.方向角：正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，如南偏東30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.解決與平面幾何有關的計算問題關鍵是找清各量之間的關系，從而應用正、余弦定理求解.5.常用結論：三角形中的三角函數關系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.在△ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.高頻考點一利用正余弦定理解三角形【例1】（四川省綿陽市2021-2022學年高三下學期期末數學試題）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】利用正弦定理SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，根據三角形性質和邊角互化得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解方程組可得結果.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；因為SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0①；因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0②；由①②可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）.故選：B.【例2】（2022·黑龍江·哈爾濱市第四中學校高三模擬）在SKIPIF1<0中，內角SKIPIF1<0所對的邊分別是SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用余弦定理建立方程可求結果.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以由余弦定理可得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0；解得SKIPIF1<0.故選：D.【方法技巧】利用正弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩角和一角的對邊，求其他邊與角；二是已知兩邊和一邊的對角，求其他邊與角(該三角形具有不唯一性，常根據三角函數值的有界性和大邊對大角定理進行判斷).利用余弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊與角；二是已知三邊求各個角.由于這兩種情形下的三角形是唯一確定的，所以其解也是唯一的.【變式訓練】1．（2022·內蒙古包頭·高三開學考試（理））在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．5 C．SKIPIF1<0 D．6【答案】B【分析】由二倍角公式求得SKIPIF1<0，再用余弦定理即可求得AC.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，代入數據得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）故選：B.2．（2022·貴州·貴陽樂灣國際實驗學校高三開學考試（文））在SKIPIF1<0中，角A，B，C所對的邊分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，B=SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面積S=2，則SKIPIF1<0=___________.【答案】5【分析】先由面積公式計算SKIPIF1<0，再利用余弦定理計算SKIPIF1<0.【詳解】由三角形面積公式，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.由余弦定理，SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0.故答案為：5.高頻考點二正弦定理、余弦定理的應用【例3】（2022·浙江省淳安中學高三開學考試）在平行四邊形SKIPIF1<0中，對角線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】不妨設SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）.在△SKIPIF1<0中，由余弦定理得到SKIPIF1<0，基本不等式得到SKIPIF1<0；在△SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0的取值范圍【詳解】如圖示：不妨設SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）.在△SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（當且僅當SKIPIF1<0時等號成立）.在△SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（當且僅當SKIPIF1<0時等號成立）.即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：D【例4】（2022·四川省武勝烈面中學校高三開學考試（文））SKIPIF1<0的三內角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0且滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】B【分析】對已知條件結合正弦定理進行邊換角，另一個條件說明三角形是等腰三角形，兩者結合起來判斷.【詳解】根據條件：SKIPIF1<0，利用正弦定理可得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，化簡得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（不可能SKIPIF1<0），故SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0為等邊三角形.故選：B.【例5】（2022·湖南·隆回縣教育科學研究室高一期末）如圖，在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0°(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求sinC的值；(3)若D為邊BC上一點，且cos∠ADC=SKIPIF1<0，求BD的長.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【解析】（1）由余弦定理得：SKIPIF1<0＝7∴SKIPIF1<0（2）由正弦定理：SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.（3）如圖所示：過A作AO⊥BC于O，在Rt△ABO中，AB＝SKIPIF1<0，∠B＝300，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在RtSKIPIF1<0中，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0【方法技巧】1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關系；(2)化角為邊，通過代數變形找出邊之間的關系，正(余)弦定理是轉化的橋梁.2.三角形面積計算問題要適當選用公式，可以根據正弦定理和余弦定理進行邊角互化.3.求解幾何計算問題要注意(1)根據已知的邊角畫出圖形并在圖中標示.(2)選擇在某個三角形中運用正弦定理或余弦定理.【變式訓練】1．（2022·安徽蚌埠·一模）圭表是我國古代通過觀察記錄正午時影子長度的長短變化來確定季節(jié)變化的一種天文儀器，它包括一根直立的標桿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標桿垂直的長尺（稱為“圭”）.當正午陽光照射在表上時，影子就會落在圭面上，圭面上影子長度最長的那一天定為冬至，影子長度最短的那一天定為夏至.如圖是根據蚌埠市（北緯SKIPIF1<0）的地理位置設計的圭表的示意圖，已知蚌埠市冬至正午太陽高度角（即SKIPIF1<0）約為SKIPIF1<0，夏至正午太陽高度角（即SKIPIF1<0）約為SKIPIF1<0.圭面上冬至線和夏至線之間的距離（即SKIPIF1<0的長）為7米，則表高（即SKIPIF1<0的長）約為（

）（已知SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0米 B．SKIPIF1<0米 C．SKIPIF1<0米 D．SKIPIF1<0米【答案】C【分析】由題意可求出SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0的長為7米，求出SKIPIF1<0，即可得出答案.【詳解】由圖可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故選：C.2．（2022·全國·高一課時練習）如圖，為了測量某障礙物兩側A，B兩點間的距離，給定下列四組數據，測量時最好選用數據（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據題意，利用余弦定理可以判斷.【詳解】由余弦定理知SKIPIF1<0，所以只要測量出SKIPIF1<0，且這三個數據便于測量．故選：C3．（2022·湖南·長沙一中高二開學考試）神舟十三號飛船于2022年4月16日首次實施快速返回技術成功著陸．若由搜救地面指揮中心的提供信息可知：在東風著陸場搜索區(qū)域內，A處的返回艙垂直返回地面．空中分隊和地面分隊分別在B處和C處，如圖為其示意圖，若A，B，C在同一水平面上的投影分別為A1，B1，C，且在C點測得B的仰角為26.6°，在C點測得A的仰角為45°，在B點測得A的仰角為26.6°，BB1=7km，∠B1A1C=120°．則CA1的長為________km．（參考數據：SKIPIF1<0）【答案】10【分析】設SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線，垂足為SKIPIF1<0，則由題意可表示出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后在△SKIPIF1<0中利用余弦定理列方程可求得結果．【詳解】解：如圖：設SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線，垂足為SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPI