試卷類型：A

絕密★啟用前

2024高考壓軸卷全國乙卷

文科數(shù)學

注意事項：

1.考生答卷前，務必將自己的姓名、座位號寫在答題卡上.將條形碼粘貼在規(guī)定區(qū)域.本試卷滿分

150分，考試時間120分鐘.

2.做選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.

3.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡的規(guī)定區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

第I卷（選擇題）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合4=<x-2<x<1={x|x（3x+8）V3},則NU3=（）

11

A.-3o,—B.-2,—C.—2,—D.-3o,—

A.6+iB.6—iC.-6+iD.-6—i

3.設如貝!）“加〃=1"是“取加+坨〃=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4?在△AEC中，石在邊5c上，且EC=3BE,Z）是邊ZB上任意一點，4E與CD交于盤P,若

CP=xCA+yCB,貝(J3x+4y=()

33

A.-B.—C.3D.-3

44

1

J>o

5.在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)任取一點尸(x,y),則滿足y?x-2的概率為(：)

x+y-6<0

小)=，i

log/,一vxKc

6.已知函數(shù)葭4，若f(x)的值域是［-2,2］,貝妙的值為()

A.2B.20c.4D.8

7.已知見〃，P，geN,且數(shù)列是等比數(shù)列，則“44=%%”是“m+〃=p+q”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

8.聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學模型是函數(shù)》=4sind,但我們平時

聽到的樂音不止是一個音在響，而是許多個音的結(jié)合，稱為復合音.若一個復合音的數(shù)學模型是函數(shù)

/(x)=sinx+^-sm2x(xeR),則下列說法正確的是()

3

A.7(x)的一個周期為兀B.7(x)的最大值為一

C.f(x)的圖象關于點對稱D./(x)在區(qū)間［0,可上有2個零點

9.在平面直角坐標系xQy中，設4(2,4),5(-2,-4),動點尸滿足而.回J=—1,貝！ItanNPB。的最大

值為()

A,運C.2百D,也

B.返

2129412

10.在正方體43cz451GA中，及尸,G分別為3C,CZ),O4的中點，若43=4,則平面*G截正

方體所得截面的面積為()

A.60B.64C.12&D.126

11.設g(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且g(”x)=g(l+x).若g)

2

12.已知雙曲線C：鼻_今=1(0>°，6>°)的左、右焦點分別為6、5，雙曲線C的離心率為處在第

一象限存在點P,滿足e，sin/P月耳=1,且S占%=4',則雙曲線C的漸近線方程為()

A.2x±y=0B.x±2y=0

C.3x±j=0D.x±3j=0

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.拋物線/=白》的準線方程為y=l,則實數(shù)。的值為.

a

14.在中，HA，C的對邊分別為a,b,c,已知a=&,b=4,CCOsB+a=0,則邊C=.

15.已知函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù)，且最大值為1.則函數(shù)y=2/(x)+l的最大值和最小值的和為.

16.已知4,3,C是表面積為36萬的球O的球面上的三個點，且NC=43=l,NA4C=120°,則三棱錐

O-43C的體積為.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟第17?21題為必考題，每個試

題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，

每個試題考生都必須作答。第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：共60分。

17.近日埃隆?馬斯克旗下的腦機接口公司官宣，已經(jīng)獲得批準啟動首次人體臨床試驗，我國腦機接口技

術起步晚，發(fā)展迅猛，2014年，浙江大學團隊在人腦內(nèi)植入皮層腦電微電極，實現(xiàn)“意念”控制機械手完

成高難度的"石頭、剪刀、布''手指運動，創(chuàng)造了當時的國內(nèi)第一，達到國際同等水平，目前，較為主流的

分類方式將腦機接口分為侵入式和非侵入式，侵入式由于需要道德倫理審查，目前無法大面積實驗，大多

數(shù)研究公司采用非侵入式，即通過外部頭罩和腦電波影響大腦，主要應用于醫(yī)療行業(yè)，如戒煙未來10到20

年，我國腦機接口產(chǎn)業(yè)將產(chǎn)生數(shù)百億元的經(jīng)濟價值.為了適應市場需求，同時兼顧企業(yè)盈利的預期，某科

技公司決定增加一定數(shù)量的研發(fā)人員，經(jīng)過調(diào)研，得到年收益增量y(單位：億元)與研發(fā)人員增量X(人)

的10組數(shù)據(jù).現(xiàn)用模型①y=bx+a,②y=c+d?分別進行擬合，由此得到相應的經(jīng)驗回歸方程，并

3

110

根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計算得到下表數(shù)據(jù)，其中《=喜/=上匯4

10H

io?10.1010

z（-）

yt匯日-元）2f（必-刃（毛-元）￡（凹-刃（4-亍）

2=1/=12=17=1

7.52.2582.504.5012.142.88

（1）根據(jù)殘差圖，判斷應選擇哪個模型；（無需說明理由）

（2）根據(jù)（1）中所選模型，求出歹關于X的經(jīng)驗回歸方程；并用該模型預測，要使年收益增量超過8億

元，研發(fā)人員增量至少多少人？（精確到1）

附：對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)（x13%）,（馬,力），…，（X"，”），其經(jīng)驗回歸直線y=a+bx的斜率和

n

?￡（玉-元）（乂-刃八

截距的最小二乘估計分別為6=『；-------;—,a=y-bx.

大演-“

M

18.如圖，在四棱錐尸-疑8中，底面加8是邊長為2的正方形，PD_L底面HBCD,尸。=4。＞,點E

在棱尸。上，R4//平面的.

AB

（1）試確定點E的位置，并說明理由；

4

（2）是否存在實數(shù)2，使三棱錐片-麗體積為§,若存在，請求出具體值，若不存在，請說明理由.

4

19.已知函數(shù),\\\\

（1）若X=1是函數(shù)＞'=/（?"）的極值點，求a的值；

（2）求函數(shù)'=/（"）的單調(diào)區(qū)間.

22

20.已知橢圓C：二+匕=1（。＞2）的離心率為出.

a23

（1）求。的方程；

（2）過。的右焦點尸的直線/與C交于A,8兩點，與直線x=4交于點D,且2%叫=/口修，求/的

斜率.

5

21.已知數(shù)列｛4｝為有窮數(shù)列，且&CN*,若數(shù)列｛4｝滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)列｛%｝為加的左增數(shù)

列：

①勾+%+。3+…+a*=m；

②對于1<i<J<n,使得q<%的正整數(shù)對(iJ)有左個.

(1)寫出所有4的1增數(shù)列；

(2)當〃=5時，若存在加的6增數(shù)列，求機的最小值.

(-)選考題：共10分.請者生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所寫的第一題

計分.

［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

1

X=

cos/TT

22.在直角坐標系xQy中，曲線。的參數(shù)方程為<(a為參數(shù)，a豐k兀+一),以坐標原點

也sina2

y=

cosa

。為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為28s［e+gj=i.

(1)求曲線。的普通方程和直線/的直角坐標方程；

(2)已知點尸(2,0),若直線/與曲線C交于4,5兩點，求浸i-占的值.

\PA\\PB\

［選修4-5：不等式選講］

23已知加均為正數(shù)，函數(shù)〃1：)=,+加|+卜-〃|+/的最小值為3.

(1)求2"+3〃2+61的最小值;

9

>

(2)求證：-dm2+mn+n2+-Jn2+nt+t2+Jt2+mt+m22-

6

2024高考壓軸卷全國乙卷

文科數(shù)學答案

1.【答案】A

【解析】由題意知5=卜,(3工+8)43}二{x|(x+3)(3x—1)?()}=—3,^，所以/U3=—3,.故

選A.

2【答案】A

【解析】由題意，3i(g-2i)=i-6f=6+i

故選：A.

3【答案】B

【解析】由物〃=1不能推出lg/?+lg〃=0,如加=〃=一1滿足加〃=1,

但lg?n』g〃無意義，故，冽〃=1"不是“l(fā)g/+lg〃=0”的充分條件；

再由lg?n+lg〃=0可得1g(加〃)=0,即得加〃=1,故，掰〃=1”是“1g加+lg〃=0"的必要條件.

即“加〃=1”是“1g加+1g〃=0”的必要不充分條件.

故選：B.

4.【答案】C

【解析】上三點共線，設方=，應(0＜，＜1),則

CP=CE^EP=-CB+tEA=-CB^t(CA-CE)=\---t\CB^tCA,又?;CP=xCA+yCB,所以

33

x=f,___f=y,所以3x+4y=3.故選C.

44

5.【答案】C

”0

【解析】如圖，不等式組表示的平面區(qū)域為△Q4B及其內(nèi)部，其中0(0,0),4(6,0)1(3,3),

x+y-6＜0

所以"以5=；X6X3=9,設直線y=x-2與直線y=0,x+y-6=0分別交于點。(2,0),。(4,2),所

以滿足y之x-2的平面區(qū)域為四邊形OCD3及其內(nèi)部，S醐形的=SAOAB-SAACD^9-^x4x2=5,

7

所以滿足yNx—2的概率為2=：.故選C.

6【答案】C

-2<x<—/(x)=x2+x=fx+——e--,2

【解析】當"丁時，八"12)4L4'」

因為f（x）的值域是［-2,2］,又'（"叫”在［了4上單調(diào)遞減,

log1c=-2,/.c=4

所以7

故選：C.

7.【答案】B

［解析］設等比數(shù)列｛4｝的公比為％.若%=L當加=1，〃=2,0=3國=4時，aman=apaq但是

掰+〃。P+q,所以“aman=apaq?不是“a+〃=p+q”的充分條件；

若i=p+q,則勺4=附;皿=無:"2嗎%=附包+1=42端+2,所以44=%％,所以

“aman=apaq?是“加+〃=,+q”的必要條件,綜上，“”是，，加+〃=P+q”的必要不

充分條件.故選B.

8【答案】D

【解析】對于A,因為y=sinx的周期為2兀，y=！sin2x的周期為兀，所以/（x）=sinx+；sin2K的周

22

期為2兀，故A錯誤；

對于B,因為函數(shù)y=sinx的最大值為1,y=；sin2K的最大值為去,

3

故兩個函數(shù)同時取最大值時，f（x）的最大值為J,

JT7T

此時需滿足X=一+2E,左￡Z且2x=—+2kn,keZ，不能同時成立，

22

3

故最大值不能同時取到，故/（力的最大值不為萬，則B錯誤；

對于C,/（兀-x）=sin（兀一x）+gsin［2（7i-x）］=sinx-isin2x,貝!|/（x）+/（兀-x）=2sinxW0,

8

故/(x)的圖象不關于點oj對稱，C錯誤；

對于D,因為/(x)=sinx+gsin2x=sinx(l+cosx)=0時，sinx=0,又xe[0,ii],

所以x=0或者工=兀；或者l+cosx=0,此時8sx=-1,又xe[0,兀

所以*=兀，綜上可知，/(x)在區(qū)間[0,可上有2個零點，故D正確，

故選：D.

9【答案】C

【解析】設尸(x,y),則而=(一與一力，歷=(2-蒼4一?,

則尸O?尸4=_x(2_x)_y(4_y)=_l,即r2—Zx+y2_4y+1=0,

化為(x—iy+(y—2)2=4,則點尸的軌跡為以。(1,2)為圓心，半徑為2的圓,

顯然當直線與此圓相切時，tanNMO的值最大.

又BD=府+62=3有，尸。=2,

則PB=^BD^-PD1=J45-4=歷,

PD_2_2“1

貝！1tanNPBO=

PB“T屈

故選：C.

10.【答案】D

【解析】如圖，過點G作E廠的平行線交34于點J,過點/作/G的平行線交溝用于點/,過點/作收

的平行線交4。于點耳，易知點都在截面EFG內(nèi)，且都是其所在棱的中點，從而所得截面是邊長

為20的正六邊形，所求面積S=6x(gx2JIx20xsin60j=12質(zhì).故選D.

9

11【答案】A

【解析】若g(l—x)=g(l+x),且g(x)是定義域為R的奇函數(shù)，故—g(x)=g(-x),

貝！lg(r)=g(x+2),-g(x)=g(x+2),變形得g(x+4)=-g(x+2)=g(x),

可得g(x)周期為4,則g-g㈢Y故A正確.

故選:A

12【答案】A

設忸司=乙則忸局=f-2a,而e-sinZP與爸=1,所以sinN尸斗與=」,

“ec

所以點P到FF的距離為盧不卜inNPF畫=t-,

X2C

又因聞=2c,所以2"瑪=，2c-q=4/,

解得”4a,即四|=4a,從而|%|=2a,

又因為sinN尸耳巴

b

所以ssNPKB：

在△尸攵耳中，由余弦定理有8S5鳥=2=(""(2c)2二⑷):,

c2-4a-2c

川+4/,即竺

所以=4a2+c2-a2+4=0,

"a

10

解得2=2,雙曲線C的漸近線方程為2x土y=0.

a

故選：A.

13【答案】一！

4

【解析】依題可知匕

1,

則ma=——1，

4

故答案為：—-

4

14【答案】國

n2,2_h2

【解析】因acos3+a=0,由余弦定理，c^—~~—+a=0,化簡得3/+。2=/,

lac

因a=y/2，6=4，故c=-\Jb2-3a2=-J10-

故答案為：g

15【答案】2

【解析】奇函數(shù)如果存在最值，則最大值和最小值之和為0.所以V=/(x)最值之和為。.則2f(x)+l的最

值之和為2.故答案為2.

16.【答案】—

6

【解析】設球。的半徑為&△43C外接圓的半徑為，在△23。中，AC=AB=l,ZBAC=120°,則

由余弦定理得3C2=HC2+432—24C-Z2cosZR4C=l+l—2xlxlx[-：j=3,即3C=的，所以

2r=---------=2,所以r=l.因為球。的表面積為36乃，則4笈滅~二36萬，解得&=3,所以球心。

sinZBAC

到平面ABC的距離d=4M-戶=2五,即三棱錐O-ABC的高為2加,又

SA4BC=-AB-AC-sinABAC=—,所以三棱錐O-4SC的體積分一相=^x立x20=逅.

24346

17.解：(1)選擇模型②.

(2)根據(jù)模型②，令，=質(zhì),與/可用線性回歸來擬合，有3=展+2J

11

10

工包-刃&-?。?88

則2=

io"=4—=0.64,

zu-n

7=1

所以2=]-=7.5-0.64x2.25=6.06，

則v關于，的經(jīng)驗回歸方程為j=0.640f+6.06.

所以y關于x的經(jīng)驗回歸方程為j=0.64石+6.06.

由題意，y-0.64Vx+6,06>8?解得》>（篝）《=9.2,又X為整數(shù)，所以“之10.

所以，要使年收益增量超過8億元，研發(fā)人員增量至少為10人.

18【答案】（1）點E是PC的中點，理由見解析

4

（2福在丸=2,四棱錐E-8PD體積為？

【分析】

（1）連接4C,交BD于點°,連結(jié)OE,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，證出P4〃°E,再結(jié)合。是4c的中

4

點，判斷出點E是尸。的中點，可得答案；（2）若三棱錐E-BPO體積為3,則可推出三棱錐尸-BDC的體

8

積為進而利用棱錐的體積公式與尸。,底面相8,列式算出實數(shù)2的值，即可得到答案.

【解析】（1）點E是PC的中點，理由如下：

連接4C,交BD于點、。,連結(jié)OE,

???底面加8是正方形，4C、即相交于點0,

。是4c的中點，

;尸/〃平面￡5。，P4含于平面R4C,平面P4Cn平面BDE=OE,

12

PAHOE,?JMC中，0是4c的中點,

???E是PC的中點.

(2);E為PC中點,

七-BPD~QVC_BPD~~^r-DBC

_4_8

^E-BPD-T_,/-DBC=~

??若3,則3

vPD_L底面48cD,PD=ACD=22,

S=BCD-~x2x2=2

?[8

---Up-DBC=§■Sq38-2%=-x2x2A=—

解得2=2.

4

，存在;I=2,使三棱錐E—BPD體積為？.

19【答案】⑴1（2）單調(diào)減區(qū)間為（°必），單調(diào)增區(qū)間為但”）

【分析】（1）由*=1是函數(shù)》=/（"）的極值點，r（D=°,求解驗證即可;

（2）利用導函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.

【小問1詳解】

,2ax24-（1-2df2jx-67

函數(shù)定義域為（°'+叼，一X,

因為x=i是函數(shù)》=/（"）的極值點，

、j.

所以/'（1）=1+。一2a2=0,解得“一5或。=1,

因為。之0,所以a=1.此時以⑴=2J—x-1=(2工+V)(f—1)

X

令/'(x)>0得x>l,令/'(x)<0得0<x〈l,

???/（可在（0,1）單調(diào)遞減，在（L+8）單調(diào)遞增，所以x=l是函數(shù)的極小值點

所以a=l.

【小問2詳解】

7'()2ax"+(1-2a'卜-a(2<2x+l)(x-ti)

XX

13

因為aNO,所以ZzrNO,令/''（x）＞0得x＞a；令/"'（x）＜0得0＜x＜a；

...函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（o,a）,單調(diào)增區(qū)間為（4+8）.

x2V2

20【答案】（1）—+2_=1

62

（2）±1

【分析】（1）由離心率公式求出/即可；

（2）首先計算直線/的斜率為0時不符合題意，設直線/的方程為y=Nx—2乂左WO）,z（n，M）,

3（X2,刈），聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，表示出卜可，再求出。點坐標，即可得到I。尸

從而得到方程，求出左即可.

【小問1詳解】

因為橢圓C：1+三=1（。＞2）的離心率為半，

【小問2詳解】

由（1）可得尸（2,0）,

當直線/的斜率為0時，則4（庭,0）,川一指,0）,。（4,0）,

所以?a=2逐,|。片=2,顯然不滿足2卜同=4|2）尸故舍去;

依題意直線/的斜率存在且不為0,設直線/的方程為丁=左（》一2）（左00）,4（再,乂），3（盯,乃）,

y=^(x-2)

由‘Vy2,消去)‘整理得(1+3左°)——12左、+12左2-6=0

——+—=1

、62

12k)12k2-6

顯然△＞（）,則須+起jqx=

1+3左221+3左2

2

所以,a=J1+左|xj-x2|=y]l+k-J(X[+?j-4%馬

'12k2]12k2-6

-4x

[11+3村1+3它

2庭（1+左2）

1+3左2

y=k(x-2\[y=2k

又I解得彳j，所以。(4,2左)，

x4x4

所以|Z)尸卜J(4-2)2+(2"=2，1+左2,

因為2|45|=60廠|,所以4何1+W=2.瓦針解得k=±l,

1+3左’

綜上可得/的斜率為±1.

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解訣直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

(1)設直線方程，設交點坐標為(看,比)、(馬,必)；

(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于x(或))的一元二次方程，必要時計算A；

(3)列出韋達定理；

(4)將所求問題或題中的關系轉(zhuǎn)化為巧+巧、再馬的形式；

(5)代入韋達定理求解.

21【答案】(1)所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1,2,1和數(shù)列1,3

(2)7

【分析】(1)利用給定的新定義，求出所有符合條件的數(shù)列即可.

(2)運用給定的新定義，分類討論求出結(jié)果即可.

【小問1詳解】

由題意得勾+。2^-----H=4,貝!11+1+2=4或1+3=4,

故所有4的1請數(shù)列有數(shù)列1,2,1和數(shù)列1,3.

15

【小問2詳解】

當〃=5時，因為存在加的6增數(shù)列,

所以數(shù)列｛4｝的各項中必有不同的項，所以加之6且掰eN*，

若加=6,滿足要求的數(shù)列｛/｝中有四項為1,一項為2,

所以左44,不符合題意，所以加＞6

若加=7,滿足要求的數(shù)列｛&｝中有三項為1,兩項為2,符合加的6增數(shù)列.

所以，當〃=5時，若存在加的6增數(shù)列，加的最小值為7.

22【答案】（1）C：x2-^-=l,直線/：X—如一2=0

⑵-

3

x=pcos。

【分析】（1）用消參數(shù)法化參數(shù)方程為普通方程,由公式〈化極坐標方程為直角坐標方程;

y=psin夕

（2）化直線方程為尸點的