第1節(jié)平面向量的概念及線性運算2025優(yōu)化備考策略考情分析:平面向量和復數(shù)在高考中每年必考,一般情況下各命制一道客觀題,復數(shù)多為選擇題,且題號比較靠前,屬于簡單的保分題,主要考查復數(shù)的基本概念、四則運算.平面向量的考查則相對靈活,題型多變,難度不等.主要考點有平面向量的數(shù)量積及其應用、平面向量的坐標運算及線性運算等.平面向量有時也作為工具,與平面幾何、解三角形、解析幾何等知識綜合呈現(xiàn).復習策略:1.復數(shù)部分:本部分知識不用研究過難過深,能準確地進行復數(shù)的四則運算,并熟練記憶復數(shù)的模、共軛、實部、虛部、純虛數(shù)等概念,明確復數(shù)的幾何意義,還要關注一元二次方程復數(shù)根的問題.2.平面向量部分:(1)本部分知識較為瑣碎,需要通過梳理分類,構建完整的知識體系,記憶相關的概念、公式和結論.(2)重視向量“數(shù)”“形”兼?zhèn)涞奶攸c,解題時要注意數(shù)形結合思想和轉化化歸的數(shù)學思想.(3)重視向量的工具作用,復習時要了解并體會向量與其他知識交匯命題的特點.(4)向量數(shù)量積公式及其變形是本部分知識的重點,要理清各個知識點間的聯(lián)系.掌握常用的解題技巧與規(guī)律.課標解讀1.通過力和力的分析等實例,了解向量的實際背景,理解平面向量和相等向量的含義,理解向量的幾何表示.2.通過實例,掌握向量的加、減運算,并理解其幾何意義.3.通過實例,掌握向量的數(shù)乘運算,并理解其幾何意義,以及兩個向量共線的含義.4.理解向量的線性運算性質及其幾何意義.1強基礎固本增分2研考點精準突破目錄索引

1強基礎固本增分知識梳理1.向量的有關概念

名稱定義備注向量既有

又有

的量叫做向量;向量

的大小稱為向量

的

(或稱

)

記作||注意字母的前后順序零向量長度為

的向量叫做零向量

記作0單位向量長度等于

的向量,叫做單位向量

一個與之同向,另一個反向,這兩個單位向量互為相反向量與非零向量a共線的單位向量為±大小

方向長度模01個單位長度名稱定義備注平行向量(共線向量)方向

或

的非零向量叫做平行向量(共線向量)

零向量與任意向量平行相等向量長度

且方向

的向量叫做相等向量

兩向量只有相等或不相等,不能比較大小相反向量長度

且方向

的向量叫做相反向量

零向量的相反向量仍是零向量相同相反相等相同相等相反微點撥1.注意0與0的區(qū)別,0是一個向量,0是一個實數(shù),且|0|=0,一個向量是零向量的充要條件是其模等于0.2.單位向量有無數(shù)個,它們的模相等,都等于1,但方向不一定相同.3.零向量和單位向量是兩個特殊的向量,它們的模是確定的,但是方向不確定,因此在解題時要注意它們的特殊性.4.任意一組平行向量都可以平移到同一直線上.微思考向量平行與直線平行有何不同?提示

向量平行與向量共線是完全相同的一個概念,指兩個向量的方向相同或相反,亦即向量所在的直線可以平行,也可以重合;但直線平行不包含直線重合的情況.2.向量的線性運算

向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算,叫做向量的加法三角形法則適用于任意兩個非零向量求和平行四邊形法則只能用于兩個不共線向量求和交換律:a+b=

結合律:(a+b)+c=

b+a

a+(b+c)向量運算定義法則(或幾何意義)運算律減法向量a加上b的相反向量,叫做a與b的差.求兩個向量差的運算叫做向量的減法三角形法則—數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算叫做向量的數(shù)乘|λa|=

;

當λ>0時,λa的方向與a的方向

;當λ<0時,λa的方向與a的方向

;當λ=0時,λa=0

λ(μa)=

;

(λ+μ)a=

;

λ(a+b)=________

(λ,μ為實數(shù))

|λ||a|相同

相反(λμ)a

λa+μaλa+λb微點撥1.兩個向量的和仍然是一個向量.2.利用三角形法則時,兩向量要首尾相連,利用平行四邊形法則時,兩向量要有相同的起點.3.當兩個向量共線時,三角形法則仍然適用,而平行四邊形法則不再適用.3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是:存在唯一一個實數(shù)λ,使得

.

不能漏掉這一條件

微思考共線向量定理中為什么規(guī)定a≠0?b=λa提示

(1)若將條件a≠0去掉,即當a=0時,顯然a與b共線;(2)當a=0時,若b≠0,則不存在實數(shù)λ,使得b=λa,但此時向量a與b共線;(3)當a=0時,若b=0,則對任意實數(shù)λ,都有b=λa,與有唯一一個實數(shù)λ矛盾.因此限定a≠0的目的是保證實數(shù)λ的存在性和唯一性.微點撥三點共線的幾個等價關系

A,P,B

三點共線?常用結論

自主診斷題組一思考辨析(判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)1.|a|與|b|是否相等與a,b的方向無關.(

)2.若向量a與b同向,且|a|>|b|,則a>b.(

)3.起點不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量.(

)√×√×題組二回源教材

6.(人教A版必修第二冊6.2.3節(jié)例8改編)已知a,b是兩個不共線的向量,若向量b-ta與

共線,則實數(shù)t=

.

題組三連線高考

CA.-3 B.-2 C.2

D.3C2研考點精準突破考點一平面向量的基本概念例1(1)(多選題)(2024·吉林實驗繁榮學校模擬)下列命題正確的有(

)A.方向相反的兩個非零向量一定共線B.單位向量都相等C.若兩個向量相等,則它們的起點相同,終點相同D.“若A,B,C,D是不共線的四點,且”?“四邊形ABCD是平行四邊形”AD解析

對于A,方向相同或相反的兩個非零向量為共線向量,故A正確;對于B,單位向量的模為1,但是方向不一定相同,故B錯誤;對于C,若兩個向量相等,它們的起點不一定相同,終點也不一定相同,故C錯誤;對于D,若A,B,C,D是(2)設a,b都是非零向量,下列四個條件中,使

成立的充分條件是(

)A.a=-b

B.a∥bC.a=2b

D.a∥b且|a|=|b|C解析

由

,知a與b方向相同.A選項中兩向量是相反向量,錯誤;B選項中兩向量可能同向,也可能反向,錯誤;C選項中兩向量同向,正確;D選項中兩向量可能同向也可能反向,錯誤.[對點訓練1]給出下列命題:①若|a|=|b|,則a=b或a=-b;②有向線段

表示相反向量;③兩條有公共終點的有向線段表示的向量是平行向量;④a=b的充要條件是|a|=|b|,且a∥b.其中真命題的序號是

.

②

解析

①不正確.兩個向量的模相等,方向可以是任意的;②正確.③不正確.終點相同,起點是任意的,不一定是平行向量;④不正確.當a∥b且方向相反時,即使|a|=|b|,也不能得到a=b.綜上所述,真命題的序號是②.考點二平面向量的線性運算(多考向探究預測)考向1向量加、減法的幾何意義

D考向2向量的線性運算

A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3nB考向3根據(jù)向量線性運算求參數(shù)

D[對點訓練2](1)(2024·云南曲靖模擬)已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖,則c=(

)A.2a+b

B.2a-bC.-a+2b

D.a-2bC解析

如圖,根據(jù)向量的線性運算的幾何意義,可得c=-a+2b.B2r+3s=(

)A.1 B.2

C.3

D.4C考點三共線向量定理及其應用例5設兩個非零向量a與b不共線.(2)試確定實數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.(2)解

由于a,b不共線,易知向量a+kb為非零向量.∵ka+b與a+kb共線,∴存在實數(shù)λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a,b是不共線的兩個非零向量,∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1.變式探究1故當m=7時,A,B,D三點共線.變式探究2(變條件)若將本例(2)中的“共線”改為“反向共線”,則k為何值?解

由于a,b不共線,易知向量a+kb為非零向量.因為ka+b與a+kb反向共線,所以存在實數(shù)λ(λ<0),使ka+b=λ(a+kb),所以

所以k=±1.又λ<0,k=λ,所以k=-1.故當k=-1時,兩向量反向共線.[對點訓練3]設e1,e2是兩個不共線的向量,若向量m=-e1+ke2(k∈