考點(diǎn)18空間幾何體的表面積和體積

1.（2021?全國高考真題（文））已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其體積為30兀則該圓錐的側(cè)面積為

【答案】39K

【分析】

利用體積公式求出圓錐的高，進(jìn)一步求出母線長，最終利用側(cè)面積公式求出答案.

【詳解】

V=1兀62-//=30兀

3

S=7ir/=7ix6x_=39n

惻2

故答案為：39兀.

⑴空間幾何體表面積的求法

①旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.

②多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.

(2)空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略

①直接利用公式進(jìn)行求解.

②用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.

1.多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺(tái)

A您

圖形

ABAB

①有兩個(gè)面互相平行且全等，用一個(gè)平行于棱

有一個(gè)面是多邊形，其余

其余各面都是平行四邊形.錐底面的平面去

含義各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)

②每相鄰兩個(gè)四邊形的公共截棱錐，截面和

的三角形的多面體

邊都互相平行底面之間的部分

側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)但不一定相等延長線交于一點(diǎn)

側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形

2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球

圖形烝琮

互相平行且相

母線相交于一點(diǎn)延長線交于一點(diǎn)

等，垂直于底面X

軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓面

側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)

3.直觀圖

斜二測(cè)畫法：(1)原圖形中無軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中無'軸、y'軸的夾角為45?；?35。，z'軸與無'軸

和y'軸所在平面垂直.

(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原

長度不變，平行于y軸的線段在直觀圖中長度為原來的一半.

4.多面體的表面積、側(cè)面積

因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面

積之和.

5.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

6.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積

名稱

表面積體積

幾何體

柱體（棱柱和圓柱）s*=S+2SV=Sh

表面積側(cè)底

V-^Sh

錐體（棱錐和圓錐）S=S+S

表面積側(cè)底

M=；（St+S下

臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)）S=S+S+S

表面積側(cè)上下

4八

球S=4HR2

［經(jīng)典變式練）

K項(xiàng)募）

1.（2020?安徽高三其他模擬（文））某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐表面上的點(diǎn)在三視圖

上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為4反C、。，且A、氏C、。均在網(wǎng)格線上，圖中網(wǎng)格上的小正方形的邊長為1,則幾何體

MNPQ的體積為（）

2.（2021?貴州高三期末（文））如圖，某沙漏由上、下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為16,當(dāng)細(xì)

沙全部在上面的圓錐內(nèi)時(shí)，其高度為圓錐高度的:（中間銜接的細(xì)管長度忽略不計(jì)）.當(dāng)細(xì)沙全部漏入下部

后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則此沙堆的側(cè)面積為（）

A.4&B.8&C.3271771D.16g冗

3.（2021?天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)高三其他模擬）《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱

之為鱉般.若三棱錐P—A3C為鱉般，尸4，平面43。，PA=AB=2,AC=4,三棱錐P—ABC的

四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，則球。的表面積為（）

A.127tB.20兀C.24TID.32兀

4.（2021?玉林市第十一中學(xué)高三其他模擬（文））攢尖是古代中國建筑中屋項(xiàng)的一種結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮

尖，清代稱攢尖，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖也有單檐和重檐之分.多見于亭閣式建

筑，園林建筑.某四角攢尖，它的主要部分輪廓可以近似看作一個(gè)正四棱錐，其三視圖如圖所示，則這個(gè)四

棱錐外接球的表面積為（）

［提升練）

5.（2022?河南高三月考（文））已知表面積為48兀的球。有一內(nèi)接正方體ABCD-ARqq,E為棱BC

的中點(diǎn)，則△OAE的面積為（）

A.3兀B.號(hào)兀C.4而D.2指

6.（2021?正陽縣高級(jí)中學(xué)高三其他模擬（理））已知三棱錐S-ABC的外接球體積為323，AC=3,

71

NABC=-,則三棱錐S-ABC體積的最大值為（）

18+9了18+9部9+9戶口9+93

4242

7.（2021?正陽縣高級(jí)中學(xué)高三其他模擬（文））蹴鞠（如圖所示），又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用

腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球因而蹴鞠就是指古人以腳蹲、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似

于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國家非物質(zhì)文化遺

產(chǎn)名錄.已知某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)A,B,C,P,且球心。在PC上，AC=BC=2,AC1BC,

tanZPAB=tanZPBA=&,則該鞠（球）的表面積為（）

2

A.5TTB.lyjlnC.9兀D.14兀

8.（2021?安徽華星學(xué)校高三其他模擬（文））已知四面體ABC。中，平面A3。，平面BCD,AABD是

邊長為2的等邊三角形，BD=CD,BDLCD,則四面體ABC。的體積為（）

9.（2021?安徽安慶市?安慶一中高三三模（文））已知球。的半徑為E,A,B,C三點(diǎn)在球。的球面匕球

心0到平面ABC的距離為:R,AB=AC=3,ABAC=120°,則球。的表面積為（）

A.48KB.16KC.647rD.36K

10.（2021?四川高三月考（文））已知三棱錐。-ABC的棱長均為1,現(xiàn)將三棱錐。-ABC繞著94旋轉(zhuǎn),

則D-ABC所經(jīng)過的區(qū)域構(gòu)成的幾何體的體積為（）

兀71371k

A.—B.—C.——D."

244

11.（2021?山西高三三模（文））如圖，三棱錐P-ABC的四個(gè)面都為直角三角形，P4_L平面A5C,

PA=@AC=BC=1,三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，現(xiàn)在球。內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)

取自三棱錐P—ABC內(nèi)的概率為（）

12.（2021?全國高三其他模擬（文））已知正四面體ABC?？梢栽趫A錐S。內(nèi)繞自身的中心任意旋轉(zhuǎn)，若該

正四面體棱長的最大值為2々，且圓錐的高為3#,則圓錐S。的表面積為（）

A.27TtB.30KC.32兀D.36兀

13.（2021?陜西高三其他模擬（文））三棱錐尸一ABC中，AABC為正三角形，AC=2PC=4,

兀

NPCB=ZPCA=-,則該三棱錐外接球的表面積為（）

A.22KB.20兀C.18兀D.16K

14.（2021?黑龍江大慶市?鐵人中學(xué)高三一模（文））已知四面體ABC。中，ABAD=60°,NBCD=90°,

AB=AD=2,〃是8。的中點(diǎn)，CH1BD,ZAHC=120°,則四面體的外接球的表面積為（）

2732952

A.——兀B.——71C.—兀D.——%

51549

題練

15.（2021?全國高考真題）正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,則其體積為（）

A.20+12^/3B.28。C.yD.2y

16.（2017?北京高考真題（文））某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.20B.10C.30D.60

17.（2013?廣東高考真題（文））某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

11.2

A.B.D.1

63C3

18.（2014?安徽高考真題（文））一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則多面體的體積是

正《主）視圖

俯視圖

2347

C.6D.7

19.（2014?湖南高考真題（文））一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨、加工成

球，則能得到的最大球的半徑等于

A.1B.2

20.（2015?全國高考真題（文））圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個(gè)幾何體，該幾

何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20冗，則「=

基礎(chǔ)|練）

1.C

【分析】

13

根據(jù)三視圖可得如圖三棱錐MVPQ,確定PN位置,可得匕_°=，>^匕一腔。,即可得解.

【詳解】

O

由三視圖得，幾何體MNPQ是一個(gè)三棱錐，

3

且N是Q尸的中點(diǎn)，QP=-EQ,

133311

如圖，所以V=-=0、3*1*4=不.

N-MPQ24F-MEQgQ-MEF832

故選：C.

2.D

【分析】

首先求得細(xì)沙在上部容器時(shí)小圓錐的底面半徑為4,進(jìn)而求出小棱錐的體積，接著求出流入下部后的圓錐形

沙堆的高，最后求出沙堆的側(cè)面積.

【詳解】

,,1“C128兀

細(xì)沙在上部容器時(shí)的體積V=gX兀X42X8="—，

流入下部后的圓錐形沙堆底面半徑為8,設(shè)高為勺，

1。,128兀

則有義兀X82-4=,

所以々=2,

下部圓錐形沙堆的母線長/=癡6=2"，

故此沙堆的側(cè)面積S=兀x8x2JT7=16<1T7TI.

側(cè)

故選：D.

【點(diǎn)睛】

圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與

底面圓的面積之和.

3.B

【分析】

先分析出三棱錐P-A3C的外接球就是一個(gè)長方體的外接球，直接求出長方體的外接球的半徑為凡求出

球。的表面積.

【詳解】

將三棱錐P-A3C放在一個(gè)長方體中，如圖示：

則三棱錐尸-ABC的外接球就是一個(gè)長方體的外接球，因?yàn)镻A=A3=2,AC=4,^ABC為直角三角

形，所以=A52='42—22=2邪.

設(shè)長方體的外接球的半徑為R,則（2火＞=4+4+12=20,故A=5.

所以外接球的表面積為S=4兀A=20兀.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

多面體的外接球問題解題關(guān)鍵是找球心和半徑，求半徑的方法有：

（1）公式法；（2）多面體幾何性質(zhì)法；（3）補(bǔ)形法；（4）尋求軸截面圓半徑法；（5）確定球心位置法.

4.A

【分析】

依題意畫出直觀圖，由正四棱錐的性質(zhì)可得球心在高S。'上，球的半徑為「，在A3。。'中，利用勾股定理

求出外接球的半徑，即可得解；

【詳解】

解：依題意得到幾何體的直觀圖如下所示：則SO=2j*AB=AO=4,則3。=4戶，正四棱錐中球

心在S。'上設(shè)為。，設(shè)球的半徑為廣，在AB。。'中，由勾股定理得「2=（度—r）+Qj?）,解得

r=2^/2

所以外接球的表面積S=4兀72=4兀X=32兀

故選：A

提升絳

5.D

【分析】

根據(jù)球的表面積可求出球的半徑，即可得出正方體的邊長.再由。、E在正方體內(nèi)的為支持關(guān)系可求出

。4、OE、AE的長度，即可求出△Q4E的面積.

【詳解】

因?yàn)榍?。的表面積為48兀,

所以球的半徑R=2j字,

所以內(nèi)接正方體"CD-ABCD的棱長口=4,

球心。為正方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)，即為AQ的中點(diǎn),

所以。4=2的，

因?yàn)镋為的中點(diǎn),

所以AE=JAB2+BE2=742+22=275，

設(shè)/為正方形ABCD的中心，

=,22+22=25/T,

所以維=出可百T

042+0E2=（2^/3）+

在△O4E中,=20=AE2,

所以QAL0E,

所以s=1QA-0E=2?

△0AE2

故選：D.

6.A

【分析】

根據(jù)正弦定理得AABC外接圓的半徑為廣，根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式可得底面面積的最大值，再由外

接球的球心。到平面A3C的距離d==77=3，點(diǎn)S到平面ABC的距離的最大值為

h=R+d—2^+3,進(jìn)而得解.

【詳解】

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球的半徑為R,^ABC外接圓的半徑為廣，

則:兀A=323，解得R=20,r=-.=73,

3v2smZABC

由余弦定理可得AC2=ABZ+BCZ-ZAB-BC-COSNABC,

所以9=AB?+BC2—2ABBCx；2AB5C,

故AABC的面積S=1-AfiBCsinZABC<,

△ABC24

又外接球的球心。到平面ABC的距離d=JA—九=3，

當(dāng)且僅當(dāng)AB=BC=3時(shí)等號(hào)成立，

所以點(diǎn)S到平面ABC的距離的最大值為/z=R+d=2jJ+3,

所以三棱錐體積的最大值為L竺xQJT+3）=I8+93，

344

故選：A.

7.C

【分析】

根據(jù)題意作出圖形，取A3的中點(diǎn)求得48=2/，由1曲/尸/45=1211/尸54=孚求出?！ǎB

接CM并延長交球。于點(diǎn)“，連接P”,可證再求出結(jié)合勾股定理

尸C2=。"2+尸"2求出PC,再由球體表面積公式即可求解

【詳解】

如圖，取的中點(diǎn)由AC=BC=2,AC±BC,得AB=2四.由

tanZPAB=tanZPBA=,得==連接。心并延長交球。于點(diǎn)“，連接PH.因

22

為PC為球。的直徑，設(shè)球的半徑為R,所以PHLCH,MH=；CH=；AB3,則

PH=JPM2—MH2=73^2=1,所以（2R?=PC2=CH2+PH2=（272）+1=9.可得球的表面積

為4兀尺2=9兀.

故選：c.

8.A

【分析】

證明出平面.,然后利用錐體的體積公式可求得四面體A8C。的體積.

【詳解】

因?yàn)槠矫?3?！?平面BCD,平面A3。c平面6C。=8。，CD1BD,COu平面BCD,

..CD工平面ABD,

?：CD=BD=2,S=￡乂22=串,

AABD4

所以，v=-S-CD=lxJ3x2=^?.

C-ABD3△ABD33

故選：A.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：求空間幾何體體積的方法如下：

(1)求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位

置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；

(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.

9.A

【分析】

根據(jù)題意得平面A5C截球所得圓的半徑(即△ABC的外接圓半徑)為廠=3,進(jìn)而根據(jù)勾股定理計(jì)算求解

即可得R2=12,進(jìn)而可得球的表面積.

【詳解】

?.?△ABC中，AB=AC=3,ZBAC=120°,

平面ABC截球所得圓的半徑(即AABC的外接圓半徑)為廠=3

又?球心到平面ABC的距離

.?.球。的半徑R=，9+1尺2,解得氏2=12,

故球0的表面積S=4兀氏2=48K,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

球的截面的性質(zhì)：用一個(gè)平面去截球，截面是一個(gè)圓面，如果截面過球心，則截面圓半徑等于球半徑，如

果截面圓不過球心，則截面圓半徑小于球半徑，設(shè)截面圓半徑為廣，球半徑為R,球心到截面圓距離為d,

則d=q%=77.在圓中也有類似的性質(zhì).解題時(shí)注意應(yīng)用.

10.B

【分析】

由題意畫出圖形，如圖①所示，設(shè)/是的中點(diǎn)，將。-ABC繞著"旋轉(zhuǎn)所經(jīng)過的區(qū)域構(gòu)成的幾何體

是以為軸，F(xiàn)C為底面半徑的兩個(gè)圓錐，如圖②，圓錐的底面半徑7?=尸C=史，高==

222

再由圓錐體積公式求解.

【詳解】

如圖①，在三棱錐O—ABC中，尸是的中點(diǎn)，

在AFBC中，F(xiàn)C=FB=、優(yōu)

2

由40,尸3,AD1FC,得平面

將。-ABC繞著AD旋轉(zhuǎn)所經(jīng)過的區(qū)域構(gòu)成的幾何體是以為軸，尸C為底面半徑的兩個(gè)圓錐，如圖②,

c

D

②

圓錐的底面半徑尺=/。=、三，高==

222

(L、2

故所構(gòu)成的幾何體的體積為2?:兀氏2/2=尊???(=?.

3312)24

故選：B.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是取A。的中點(diǎn)/，證明平面歹8。，將將。-ABC繞著AD旋轉(zhuǎn)所

經(jīng)過的區(qū)域構(gòu)成的幾何體等價(jià)為以AO為軸，F(xiàn)C為底面半徑的兩個(gè)圓錐.

11.D

【分析】

根據(jù)題意，將三棱錐P-A3C可以在長方體中截得，進(jìn)而得三棱錐P-ABC外接球的半徑R=l,再根據(jù)

幾何概型計(jì)算即可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，三棱錐P-A3C可以在長方體中截得，其中長方體的底面是邊長為1正方形，高為2.

設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半徑為R,

所以三棱錐P-ABC外接球的直徑為長方體的體對(duì)角線，即2R=J+12+5)=2

由于三棱錐尸一ABC的體積為V=LLxlxlx#=0,三棱錐尸一ABC外接球的體積為

P-ABC326

44

V=_兀尺3=_K

球33'

也r

所以在球。內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自三棱錐P-ABC內(nèi)的概率為尸=旦=Y絲

IK8

3

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何體的外接球的半徑的求解，幾何概型，錐體體積，球的體積的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，是

中檔題.本題解題的關(guān)鍵再將三棱錐P-ABC可以在長方體中截得，進(jìn)而的其外接球的半徑.

12.A

【分析】

作圖，由正四面體棱長取到最大值23時(shí)其外接球半徑廠=73,

)R

由ASP。與△SBO相似可得_A「=<_______，解出R即可.

373-73《R2+27

【詳解】

如圖，當(dāng)正四面體棱長取到最大值2#時(shí)，其外接球半徑廠=手義2衣=戶,

此時(shí)該球?yàn)閳A錐S。的內(nèi)切球，設(shè)球心為尸，圓維S。的底面半徑為R,

PQQBJ3R

作軸截面如圖，。為切點(diǎn)，則高=2，即走尸=,，

SPSB3匠&JA+27

解得R=3,故圓錐S。的表面積為兀*3*6+兀*9=27兀.

故選：A

【點(diǎn)睛】

圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與

底面圓的面積之和.

13.A

【分析】

由余弦定理求得尸4=2喬，得出「。，尸8,尸。，尸4,即PC，平面P43,求出的外接圓

半徑廠，則可得外接球半徑滿足A=/2+］；PC；,即可求得表面積.

【詳解】

?;AABC為正三角形，，AC=BC=4,

兀

ZPCB=ZPCA=_,

3

則由余弦定理可得PA=PB=142+22-2x4x2xcos—=2串,

Y3

滿足PB2+PC2=BC2,PA2+PC2=AC2,.-.PC1PB,PC1PA,

?：PAcPB=P,PC，平面PAB,

cosZ.PAB=-2-=—,sinZPAB=直，

2G33

2r_2、''3—3乃3/7

設(shè)△P43的外接圓半徑為廠，則#V,則r=X,

丁

(1Y911

設(shè)三棱錐外接球的半徑為R,則氏2=72+-PC=-+!=_,

{222

所以該三棱錐外接球的表面積為4兀尺2=22兀.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三棱錐的外接球問題，解題的關(guān)鍵是判斷出尸。，平面尸A3,得出關(guān)于球半徑的勾股

關(guān)系.

14.D

【分析】

根據(jù)已知題意作出幾何圖形，經(jīng)過分析可知8。為ABOC所在小圓的直徑，所以球心與的中點(diǎn)的連線

垂直于平面6OC,然后根據(jù)勾股定理列出方程，則求出球心與80的中點(diǎn)的連線的長度，再解方程即可求

得結(jié)果.

【詳解】

A

如圖，四面體ABC。的外接球?yàn)榍?。，連接。打，0A.因?yàn)閆BCD=90°,

則BD為ABDC所在小圓的直徑.

又因?yàn)镹BA。=60。，且AB=4。=2,則5。=2.

又〃是8。的中點(diǎn)，所以河=3.

又因?yàn)镹A〃C=120。，則NAHO=150°或30.

設(shè)球的半徑為R,則A-O"2=1.

在AA"。中，由余弦定理知，

/TOH2+\!3/-R2

cosl50°=-^-=--------------------，

22x07/x73

2

則。"=-W（不合題意，舍去）.

QOH2+\i3/-R2八〃2

又co